Karteesiset koordinaatit: materiaali, järjestelmä, esimerkkiongelmat, keskustelu

Suorakulmaisia ​​koordinaatteja kutsutaan usein myös neliökoordinaateiksi. Termi Cartesian sanasta on tarkoitettu muistamaan matemaatikkoa ja filosofia Ranskasta nimeltä Rene Descartes.

Hän oli asiantuntija, jolla oli suuri rooli algebran ja geometrian yhdistämisessä.

Descartesin löydön tulokset, suorakulmaiset koordinaatit olivat erittäin vaikuttavia analyyttisen geometrian, laskennan ja kartografian kehittämisessä.

Tämän järjestelmän käytön perusidean alku kehitettiin vuonna 1637 kahdessa Descartesin teoksen kirjoituksessa.

Descartes Discourse on Method -ohjelmassa hän esitteli uuden ehdotuksen objektin tilan tai pisteen sijainnin osoittamiseksi pinnalla.

Menetelmä tai menetelmä on käyttää kahta akselia, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Seuraavassa teoksessa La Géométrie hän syventää myös kehittämiään käsitteitä.

Sitten se esiteltiin muihin koordinaattijärjestelmiin, kuten napakoordinaattijärjestelmään.

Karteesinen koordinaattifunktio

Matematiikassa suorakulmaisten koordinaattien järjestelmää käytetään jokaisen pisteen määrittämiseen käyttäen kahta lukua, joita kutsutaan yleisesti x-koordinaatiksi ja myös pisteen y-koordinaatiksi.

X-koordinaatista käytetään usein nimitystä abscissa, kun taas y-koordinaatista usein kutsutaan ordinaattia.

Koordinaattien tulkitsemiseksi tarvitaan kaksi suunnattua viivaa, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden [x-akseli ja y-akseli]. Sekä yksikön pituus, johon tehdään merkinnät molemmille akseleille.

Katso huolellisesti alla olevaa kuvaa:

Yllä olevasta kuvasta voimme nähdä, että on merkitty 4 pistettä. Näitä ovat: [-3,1], [2,3], [-1,5, -2,5] ja [0,0]. Pistettä [0,0] kutsutaan myös alkuperäksi.

Yllä olevasta kuvasta näemme myös, että:

Koska nämä kaksi akselia ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, xy-taso jaetaan neljään osaan, joita kutsutaan kvadranteiksi. Tämä näkyy yllä olevassa kuvassa, joka on merkitty pisteillä [-3,1], pisteillä [2,3], pisteillä [-1,5, -2,5].

Sovellettavan käytännön mukaan neljä kvadranttialaa järjestetään oikeasta yläkulmasta [kvadrantti I] kiertäen vastapäivään.

Neljänneksessä I molemmat koordinaatit (x ja y) ovat positiivisia.

Neljänneksessä II x-koordinaatti on negatiivinen ja y-koordinaatti on positiivinen.

Neljänneksessä III molemmat koordinaatit ovat negatiivisia.

Myös kvadrantissa IV x-koordinaatti on positiivinen ja y-koordinaatti negatiivinen.

Piste [2,3] on kvadrantissa I, piste [-3,1] on kvadrantissa II ja kohta [-1,5, -2,5] on kvadrantissa III.

Tai yleensä neljä kvadranttialaa lajitellaan ylhäältä oikealta [kvadrandi I] kiertäen vastapäivään.

Neljänneksessä I sekä [x että y] -koordinaatit ovat positiivisia.

Neljänneksessä II x-koordinaatti on negatiivinen ja y-koordinaatti on positiivinen.

Neljänneksessä III molemmat koordinaatit ovat negatiivisia, ja neljänneksessä IV x-koordinaatit ovat positiivisia ja y negatiivisia [katso taaksepäin yllä olevaa kuvaa].

Karteesisten koordinaattien järjestelmä kahdessa ulottuvuudessa määritetään yleensä käyttämällä kahta akselia, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa.

Jos kaksi akselia sijaitsevat yhdessä tasossa, nimittäin xy-tasossa. Vaaka-akseli on merkitty x: llä, kun taas pystyakseli on merkitty y: llä.

Piste, jossa kaksi akselia kohtaavat, alkuperä, merkitään yleensä 0: lla.

Jokaisella akselilla on myös yksikköpituus, ja jokainen pituus merkitään siten, että se muodostaa eräänlaisen ruudukon.

Tietyn pisteen kuvaamiseksi kaksiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä kirjoitetaan x: n arvo [abscis], jota seuraa y: n [ordinate] arvo.

Tällä tavalla käytetty muoto on aina [x, y] eikä järjestystä muuteta.

Karteesista koordinaatistoa voidaan käyttää myös suuremmissa mitoissa.

Esimerkiksi: 3 [kolme] ulottuvuutta käyttäen kolmea akselia, nimittäin x-akselia, y-akselia ja z-akselia.

Jos viiva on kahdessa ulottuvuudessa xy-tasolla, kolmiulotteisessa koordinaatistossa lisätään toinen akseli, joka on usein merkitty z: llä.

Jos z-akseli on kohtisuorassa x-akseliin ja y-akseliin [Toisin sanoen x-akseli, y-akseli ja z-akseli ovat kohtisuorassa tai kohtisuorassa toisiinsa nähden].

Kartesian edut

Karteesisen koordinaatiston avulla geometriset muodot, kuten käyrät, voidaan kuvata algebrallisilla yhtälöillä.

Tänä nykyaikana suorakulmaisia ​​koordinaatteja on käytetty laajalti.

Seuraavassa on joitain suorakulmaisten koordinaattien etuja, mukaan lukien:

Ensimmäinen:

Jokapäiväisessä elämässä löydämme usein pohjapiirroksia ja karttakuvia.

Missä kartan tehtävä on helpottaa sijainnin tai paikan tai alueen löytämistä.

Samoin kun haluamme lähettää kirjeen jollekulle. Lähetettäessä kirjettä jollekin meidän on tiedettävä täydellinen ja oikea kohdeosoite.

Tämän on tarkoitus helpottaa itse kirjeen toimittamista.

Joten, jos sisällytämme osoitteen oikein ja kokonaan, kirje saapuu nopeammin. Kartalla on myös leveys- ja pituusaste.

Toinen:

Jokapäiväisessä elämässä suorakulmainen koordinaattitaso on ehdottoman välttämätön.

Yksi niistä koskee ilmailua.

Lentäjä voi lentää lentokoneellaan törmäämättä toisiinsa ja voi myös tietää, onko kone saapunut määränpäähän.

Tämä johtuu siitä, että lentokone on varustettu hienostuneilla työkaluilla, kuten tutka havaintotyökaluna, kompassi oppaana ja radio viestintävälineenä.

Siksi lentäjän on ymmärrettävä, kuinka luetaan ja määritetään paikan sijainti suorakulmaisessa koordinaattitasossa.

Kolmas:

Yhteiskuntatieteellisillä oppitunneilla kohtaamme usein maakunnan kartan tai jopa maan kartan.

Kaupungin, vuoren, järven, lentokentän sijainti voidaan ajatella asemaksi. Kartanlukeman helpottamiseksi kartta on varustettu vaaka- ja pystysuuntaisilla viivoilla tai leveys- ja pituusasteilla.

Perusta koordinaattitason perustan olevan suoran tekemiselle.

Pisteen määrittäminen suorakulmaisessa koordinaatistossa

Yllä olevaa tasoa kutsutaan koordinaattitasoksi, jonka muodostavat pystysuora viiva Y (Y-akseli) ja vaakasuora viiva X (X-akseli).

Piste leikkaa linjan Y ja linjan X, jota kutsutaan koordinaattien keskipisteeksi (piste O).

Nämä koordinaatit tunnetaan suorakulmaisena koordinaattitasona. Kuten edellä selitettiin, suorakulmaista koordinaattitasoa käytetään määrittämään numeropareina ilmaistun pisteen sijainti.

Tarkastellaan pisteitä A, B, C ja D tasossa. Määritä sen sijainti aloittamalla pisteestä O. Siirrä sitten vaakasuunnassa oikealle (X-akseli) ja sitten ylöspäin (Y-akseli).

Pisteen sijainti suorakulmaisella koordinaattitasolla kirjoitetaan lukuparin (x, y) muodossa, jossa:

• x: ää kutsutaan absissiksi ja
• y: tä kutsutaan ordinaatiksi.

Koordinaattitasossa:

• Piste A on koordinaateissa (1,0), kirjoitettuna A: ksi (1,0).
• Piste B on koordinaateilla (2,4), kirjoitettuna nimellä B (2,4).
• Piste C on koordinaateilla (5,7), kirjoitettuna nimellä C (5,7).
• Ja piste D on koordinaateissa (6,4), jotka on kirjoitettu D: n (6,4) kanssa.

Karteesisen koordinaattitasossa voimme laajentaa sitä vastaavaksi kuin alla olevassa kuvassa:

Esimerkiksi:

• Pisteen E koordinaatit ovat (2,2)
• Pisteen F koordinaatit, nimittäin (-2,1), saadaan siirtymällä vaakasuunnassa vasemmalle pisteestä O alkaen niin paljon kuin kaksi yksikköä sitten pystysuunnassa ylöspäin yhdellä yksiköllä.
• Pisteen G koordinaatit, nimittäin (-3, -3), saadaan siirtymällä vaakasuunnassa vasemmalle pisteestä O alkaen jopa kolme yksikköä ja sitten pystysuunnassa kolme yksikköä alaspäin.

Esimerkkikysymykset ja keskustelu

Tehtävä 1.

Pisteen A (9, 21) ordinaatti on…

a. -9
b. 9
c. -21
d. 21

Vastaus:

Yleensä pisteen kirjoittaminen = (paise, ordinaatti). Yllä olevassa tehtävässä kohta A (9, 21) osoittaa, jos:

Abscis = 9

Järjestä = 21

Oikea vastaus on D.

Kysymys 2.

Annetaan pisteet P (3, 2) ja Q (15, 13). Pisteen Q ja P suhteelliset koordinaatit ovat ...

a. (12, 11)
b. (12, 9)
c. (18, 11)
d. (18, 13)

Vastaus:

Voimme löytää pisteen Q suhteelliset koordinaatit pisteeseen P vähentämällä:

a. Abscissa Q miinus abscissa P

b. Q-ordinaatti miinus P-ordinaatti

Siten Q: n suhteelliset koordinaatit P: n suhteen ovat:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

Joten oikea vastaus on A.

Tehtävä 3.

Pisteet A (3, 2), B (0, 2) ja C (-5, 2) ovat viivan p ylittämät pisteet. Jos viiva q on linjan p kanssa yhdensuuntainen, niin viiva q on ...

a. X-akselin suuntainen
b. Y-akselin suuntainen
c. Kohtisuorassa x-akseliin
d. Y-akseliin nähden kohtisuorassa

Vastaus:

Jotta voimme helpottaa vastaamista yllä oleviin kysymyksiin, piirretään karteesinen taso:

Yllä olevasta kuvasta voidaan nähdä, että p-viiva on yhdensuuntainen X-akselin kanssa. Koska q-viiva on yhdensuuntainen p-viivan kanssa, q-viiva on myös yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Joten oikea vastaus on A.

Tehtävä 4.

Tiedetään, että viivat p ja q ovat kaksi suoraa viivaa, jotka eivät leikkaa toisiaan, vaikka niitä on jatkettu äärettömyyteen.

Linjojen p ja q sijainnit ovat ...

a. värjötellä
b. Rinnakkainen
c. Ylittää
d. Risteä

Vastaus:

Kaksi viivaa, jotka eivät leikkaa, vaikka ne olisivatkin pidennettyjä, ovat kaksi yhdensuuntaista viivaa.

Joten oikea vastaus on B.

Kysymys 5.

Alla olevan kuvan perusteella voidaan todeta, että:

(i) AB on yhdensuuntainen EF: n kanssa.
(ii) BC risteää GC: n kanssa
(iii) AD laskee samanaikaisesti BC: n kanssa.
(iv) EF leikkaa GF: n.

Yllä olevasta lausunnosta oikea on…
a. (i) ja (ii)
b. (ii) ja (iii)
c. (iii) ja (iv)
d. (i) ja (iv)

Vastaus:

Katso yllä olevaa palkin kuvaa:

a. AB on yhdensuuntainen EF: n kanssa, niin (i) on totta
b. BC leikkaa GC: n pisteessä C, sitten (ii) on väärä
c. AD on yhdensuuntainen BC: n kanssa, sitten (iii) on väärä
d. EF leikkaa GF: n pisteessä F, sitten (iv) on totta

Joten oikea vastaus on D.

Kysymys 6.

Iso

a. Refleksi
b. Tylsä
c. kyynärpäät
d. Taper

Vastaus:

Kulma P on 113 astetta, mikä tarkoittaa, että kulma P on tylsä ​​kulma.

Tyhmä kulma on kulma, joka on alueella 90-180 astetta.

Joten oikea vastaus on B.

Kysymys 7.

Tunnin osoittimen kulman mitta, kun se näyttää 03.00, on ...

a. 180°
b. 90°
c. 60°
d. 30°

Vastaus:

Klo 03.00 lyhyt käsi osoittaa numeroon 3, kun taas pitkä käsi osoittaa numeroon 12, joten muodostettu kulma on 90 astetta.

Joten oikea vastaus on B.

Kysymys 8.

Katso alla olevaa kuvaa!

Vastakulmaparit ovat ...

a. b. c. d.

Vastaus:

Keskustellaan yksi kerrallaan yllä olevista vaihtoehdoista:

a. Vaihtoehto A on väärä, koska sen pitäisi olla b. Vaihtoehto B on väärä, koska sen pitäisi olla c. Vaihtoehto C on oikea, ts. d. Vaihtoehto D on väärä, koska sen pitäisi olla

Joten oikea vastaus on C.

Tehtävä 9.

Yllä olevan kuvan vastakkaisten sisäkulmaparit ovat ...

a. 2 ja 8
b. 4 ja 6
c. 3 ja 8
d. 1 ja 5

Vastaus:

Keskustellaan yksi kerrallaan yllä olevista vaihtoehdoista:

a. Kuviot 2 ja 8 ovat pareittain vastakkaisia ​​sisäkulmia.
b. Kuviot 4 ja 6 ovat pareittain vastakkaisia ​​ulkokulmia.
c. Kuviot 3 ja 8 ovat pareja yksipuolisia sisäkulmia.
d. 1 ja 5 ovat pareittain vastakkaisia ​​kulmia.

Joten oikea vastaus on A.

Kysymys 10.

48 asteen kulman täydennys on ...

a. 42°
b. 52°
c. 68°
d. 138°

Vastaus:

Täydennys = 90-48 = 42

Joten oikea vastaus on A.

Lue myös: Numerokuvio

Tämä on tällä kertaa lyhyt katsaus Cartesian-koordinaateista, jotka voimme välittää. Toivottavasti yllä olevaa suorakulmaisten koordinaattien tarkistusta voidaan käyttää oppimateriaalina.