Algebrallisten funktioiden johdannaiset: kaavat, sovellukset, merkinnät, Pe

July 06, 2021
SisäänSekalaista

Funktion pangkat tehojohdannaiskaava

Muista jos f (x) = x ^ n , sitten:

$f '(x) = \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {dx ^ n} {dx} = nx ^ n-1$

Koska f (x) = (u (x)) ^ n = u ^ n , sitten:

$f '(x) = \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {du ^ n} {dx} \ cdot \ frac {du} {du}$

Tai

$f '(x) = \ frac {du ^ n} {du} \ cdot \ frac {du} {dx} = nu ^ {n-1} \ cdot u'$

Joten funktion johdannaisen kaava on:

$f '(x) = nu ^ (n-1) \ cdot u'$

Trigonometriset johdannaiskaavat

Johdannaisen määritelmän perusteella voimme saada useita trigonometrisiä derivaattokaavoja, nimittäin seuraavat: (x: n funktioilla u ja v), mukaan lukien: y '=

y = sin x → y '= cos x
y = cos x → y '= -sin x
y = tan x → y ’= s²x
y = pinnasänky x → y ’= -csc²x
y = sek x → y '
y = csc x → y ’= csc × pinnasänky x
y = syntiⁿxy '= n synti^n-1× cos x
y = cosⁿx → y '= -n cos^n-1× syn x
y = sin u → y '= u' cos u
y = cos u → y '= u' sin u
y = tan u → y ’= ui sek²u
y = pinnasänky u → y ’= -u’ csc²u
y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
y = csc u → y ’= u’ csc u pinnasänky u
y = syntiⁿu → y '= n.u' synti^n-1cos u
y = cosⁿ u → y '= -n.u' cos^n-1. sin u

Johdannaissovellukset

Määritä käyrän tangentin gradientti

Tangenttiviivan (m) gradientti käyrällä y = f (x) muotoillaan seuraavasti:

Käyrän tangentin yhtälö y = f (x) tangentiaalipisteessä (x_1, y_1) muotoiltu seuraavasti:

$y - y_1 = m (x - x_1) \ oikeassa reunassa m = f '(x_1)$

Määritä nousevan ja laskevan funktion aikaväli

instagram viewer
- Intervallitoiminnon ehto kasvaa $\ rightarrow f '(x)> 0$
- Edellytykset laskevalle toimintavälille $\ rightarrow f '(x) <0$
Määritä funktion kiinteä arvo ja sen tyyppi

Jos funktio y = f (x) on jatkuva ja erilainen kohdassa x = a ja f '(x) = 0, funktion tilastollinen arvo on x = a. Funktion kiinteän arvon tyyppi y = f (x) voi olla pienin palautusarvo, suurin palautusarvo tai käännetty arvo. Tämän tyyppinen kiinteä arvo voidaan määrittää käyttämällä funktion toista johdannaista.

- Suurin arvo $\ oikeanpuoleinen f '(x) = 0$ ja $\ rightarrow f "(x) <0$

Jos f '(x_1) = 0 ja f '(x_1) <0 sitten on funktion y = f (x) ja pisteen suurin paluuarvo (x_1 f (x)) on käyrän suurin kääntymispiste y = f (x).

- Vähimmäisarvo $\ oikeanpuoleinen f '(x) = 0$ ja

Jos f '(x_1) = 0 ja f '(x_1)> 0 sitten f (x_1) on funktion pienin paluuarvo ja piste (x_1f (x)) on käyrän pienin kääntymispiste y = f (x).

- Käännä arvo $\ oikeanpuoleinen f '(x) = 0$ ja

Jos f '(x_1) = 0 ja f '' (x_1 = 0) sitten f (x_1) on funktion y = f (x) ja pisteen taivutusarvo (x_1f (x)) on käyrän taivutuspiste y = f (x).

Ratkaise määrittelemättömät rajaongelmat $\ frac {0} {0}$ tai $\ frac {\ infty} {\ infty}$

Jos $\ lim \ limits_ {x \ a} \ frac {f (x)} {g (x)}$ on määrittelemättömän muodon raja $\ frac {0} {0}$ tai $\ frac {\ infty} {\ infty}$ , niin liuoksessa voidaan käyttää johdannaisia, nimittäin johdetaan f (x) ja g (x).

$\ lim \ limits_ {x \ a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim \ limits_ {x \ a} \ frac {f '(x)} {g' (x) } = \ frac {f '(a)} {g' (a)}$

Jos ensimmäisellä johdannaisella on tuotettu tietty muoto, niin kyseinen muoto on ratkaisu. Jos kuitenkin ensimmäinen johdannainen tuottaa edelleen määrittelemättömän muodon, niin f (x) ja f (x) pienenevät edelleen, kunnes saadaan tietty muoto. Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan L'hopitalin lauseeksi.

Määritä nopeuden ja kiihtyvyyden kaava

Jos kaava tai yhtälö kohteen liikkeen sijainnille ajan funktiona on tiedossa, nimittäin s = f (t), niin nopeuden ja nopeuden kaava voidaan määrittää, nimittäin:

- Nopeuskaava $\ oikeanpuoleinen v = s '= f' (t)$
- Kiihtyvyyskaava $\ oikealle a = s$

Johdannaismerkintä

Funktion f (x) derivaatti x: n suhteen määritetään seuraavasti:

edellyttäen, että raja on olemassa.

Ensimmäisen funktion y = f (x) johdannainen x: lle voidaan kirjoittaa seuraavasti:

y '= f'x lagrange
leibniz
D._xy = D_x[f (x)] ⇒ euleri

Edellä olevasta määritelmästä voimme johtaa joitain johdannaiskaavoja seuraavasti:

f (x) = k f '(x) = 0
f (x) = k x f '(x) = k
f (x) = xⁿ f '(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

jossa k = vakio

Harkitse seuraavia esimerkkejä:

f (x) = 5 f '(x) = 0
f (x) = 2x f '(x) = 2
f (x) = x² f '(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ y '= 2. 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ + x² 2x y '= 8x³ + 2x 2

Lue myös:Kartiokaavat, ominaisuudet, ominaisuudet, elementit ja esimerkit

Juuren tai murtoluvun sisältävän funktion johdannaisen löytämiseksi ensimmäinen vaihe, joka meidän on tehtävä, on muuntaa funktio eksponenteiksi.

Tässä on joitain usein käytettyjen juurien ja eksponenttien ominaisuuksia, mukaan lukien:

x^m. xⁿ = x^{m + n}
x^m/ xⁿ = x^{M N}
1 / xⁿ = x^-n
x = x^1/2
ⁿxm = x^{M N}

Esimerkki:

Tehtävä 1.

Etsi f (x) = x√x: n johdannainen

Vastaus:

f (x) = x√x = x. x^1/2= x^3/2

f (x) = x^3/2 →

Kysymys 2.

Määritä johdannainen

Vastaus:

Algebrallisten funktioiden johdannaiset: kaavat, sovellukset, merkinnät, kertolasku, kahden funktion jako ja esimerkkiongelmat

Kahden toiminnon kertominen ja jakaminen

Oletetaan, että y = uv, y: n johdannainen voidaan ilmaista seuraavasti:

y '= u'v + uv'

Oletetaan, että y = u / v, niin y: n johdannainen voidaan ilmaista seuraavasti:

Esimerkki ongelmista.

Tehtävä 1.

Johdannainen f (x) = (2x + 3) (x² + 2) nimittäin:

Vastaus:

Esimerkiksi:

u = 2x + 3 u '= 2
v = x² + 2 v '= 2x

f '(x) = u' v + u v '
f '(x) = 2 (x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4

Ketjusääntö

Jos y = f (u), jossa u on funktio, joka voidaan johtaa x: n suhteen, niin y: n johdannainen x: n suhteen voidaan ilmaista muodossa: dydx=dydu×dudx

Yllä olevasta ketjusäännön käsitteestä sitten y = uⁿ, saavat: dydx=d(un)du×dudx

y′=nun−1.u′

Yleensä se voidaan sanoa seuraavasti:

Jos f (x) = [u (x)]ⁿ missä u (x) on funktio, joka voidaan johtaa x: n suhteen, niin: f′(x)=n[u(x)]n−1.u′(x)

Yllä olevasta ketjusäännön käsitteestä sitten y = uⁿ, saavat:

Yleensä se voidaan sanoa seuraavasti:

Jos f (x) = [u (x)]ⁿ missä u (x) on funktio, joka voidaan johtaa x: stä, niin:

f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)

Esimerkki ongelmista.Tehtävä 1.

Etsi johdannainen f (x) = (2x + 1)⁴

Vastaus:

Esimerkiksi:

u (x) = 2x + 1 u '(x) = 2
n = 4
f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)
f '(x) = 4 (2x + 1)^4-1. 2
f '(x) = 8 (2x + 1)³

Kysymys 2.

Etsi johdannainen y = (x²3x)⁷

Vastaus:

y '= 7 (x²3x)^7-1. (2x 3)
y '= (14x21). (x²3x)⁶

Esimerkkikysymykset ja keskustelu

Tehtävä 1

Ensimmäinen johdannainen $f (x) = 4 \ sqrt {2x ^ 3 - 1}$ On

Keskustelu 1:

Tämä ongelma on muodon y = funktio au ^ n joka voidaan ratkaista kaavan avulla $y '= n \ cdot a \ cdot u ^ {n-1} \ cdot u'$ . Sitten:

$f (x) = 4 \ sqrt {2x ^ 3-1} = 4 (2x ^ 3-1) ^ {\ frac {1} {2}}$

Joten johdannainen:

$f '(x) = \ frac {1} {2} \ cdot 4 (2x ^ 3-1) ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdot 6x ^ 2$

$= 2 (2x ^ 3-1) \ cdot 6x ^ 2$

$= 12x ^ 2 (2x ^ 3-1) ^ {- \ frac {1} {2}}$

$= \ frac {12x ^ 2} {(2x ^ 3-1) ^ {\ frac {1} {2}}}$

$= \ frac {12 ^ 2} {\ sqrt {2x ^ 3-1}}$

Tehtävä 2

Etsi ensimmäinen johdannainen

$f (x) = \ frac {6} {\ sqrt [3] {\ sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}$

Keskustelu 2:

Voit ratkaista tämän ongelman käyttämällä sekakaavaa: $f '(x) = \ frac {u'v-uv'} {v ^ 2}$ ja myös $y '= n \ cdot u' \ sin ^ {n-1} u \ cdot \ cos u$ . niin:

$f (x) = \ frac {6} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}$

$f (x) = \ frac {6} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {1} {2}}}$

$f '(x) = \ frac {0 - 6 \ cdot 3 \ cdot \ frac {1} {3} (\ sin (3x - \ frac {\ pi} {5})) ^ {- \ frac {2} {3}} \ cdot \ cos (3x - \ frac {\ pi} {5})} {(\ sin (3x - \ frac {\ pi} {5})) ^ \ frac {2} {3}}$

$f '(x) = \ frac {-6 (sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {- \ frac {2} {3}}. cos (3x- \ frac {\ pi} {5})} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {2} {3}}}. \ frac {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {1} {3}}} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ { - \ frac {1} {3}}}$

$f '(x) = \ frac {-6 (sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {- 1} cos (3x- \ frac {\ pi} {5})} {\ sqrt [3] {syn (3x- \ frac {\ pi} {5}})}$

$f '(x) = \ frac {-6cot (3x- \ frac {\ pi} {5})} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}$

Tehtävä 3

Määritä enimmäisarvo f (x) = x ^ 3 - 6x ^ 2 + 9x välillä -1 x 3.

Keskustelu 3:

Muista, että funktion f (x) enimmäisarvo on f '(x) = 0 ja f "(x) <0 sitten:

$f_ {max}$ jos

ja x_1 = 1 ja x_2 = 3

$f_ {max} = f (1) = 1 ^ 3 - 6,1 ^ 2 + 9,1$

$f_ {max} = 4$

Tehtävä 4.

Johdannainen f (x) = (x - 1)²(2x + 3) on…

Vastaus:

Esimerkiksi:

u = (x 1)² u '= 2x 2
v = 2x + 3 v '= 2

f '(x) = u'v + uv'
f ’(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2 (x² 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f '(x) = 6x² 2x 4
f '(x) = (x 1) (6x + 4) tai
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

Kysymys 5.

Jos f (x) = x² - (1 / x) + 1, niin f '(x) =... .

A. x - x²
B. x + x²
C. 2x - x^-2 + 1
D. 2x - x² – 1
E. 2x + x^-2

Vastaus:

f (x) = x² - (1 / x) + 1

= x² - x^-1 + 1

f '(x) = 2x - (- 1) x^-1-1

= 2x + x^-2

Vastaus: E

Se on arvostelu Tietoja Knowledge.co.id-sivustosta noin Algebrallisten funktioiden johdannaiset, Toivottavasti se voi lisätä oivallustasi ja tietämystäsi. Kiitos vierailustasi ja älä unohda lukea muita artikkeleita

Algebrallisten funktioiden johdannaiset: kaavat, sovellukset, merkinnät, Pe

Funktion pangkat tehojohdannaiskaava

Trigonometriset johdannaiskaavat

Johdannaissovellukset

Määritä käyrän tangentin gradientti

Määritä nousevan ja laskevan funktion aikaväli

Määritä funktion kiinteä arvo ja sen tyyppi

Ratkaise määrittelemättömät rajaongelmat tai

Määritä nopeuden ja kiihtyvyyden kaava

Johdannaismerkintä

Kahden toiminnon kertominen ja jakaminen

Ketjusääntö

Esimerkkikysymykset ja keskustelu

Ratkaise määrittelemättömät rajaongelmat $\ frac {0} {0}$ tai $\ frac {\ infty} {\ infty}$