Kolme muuttuvaa lineaaristen yhtälöiden järjestelmää: Ominaisuudet, komponentit
Kolme muuttuvaa lineaarista yhtälöjärjestelmää: Ominaisuudet, komponentit, ratkaisumenetelmät ja esimerkkiongelmat – Mitä tarkoitetaan kolmen muuttujan yhtälöjärjestelmällä? Tietoja Knowledge.co.id-sivustosta keskustelee siitä ja tietysti myös asioista, jotka ympäröivät sitä. Katsotaanpa alla olevan artikkelin keskustelua sen ymmärtämiseksi paremmin.
Sisällysluettelo
-
Kolme muuttuvaa lineaarista yhtälöjärjestelmää: Ominaisuudet, komponentit, ratkaisumenetelmät ja esimerkkiongelmat
- Kolmen muuttuvan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ominaisuudet
-
Kolmen muuttuvan lineaarisen yhtälöjärjestelmän komponentit
- Heimo
- Vaihteleva
- Kerroin
- Jatkuva
-
Menetelmä kolmen muuttujan lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi
- Yhdistetty tai sekoitettu menetelmä
- Esimerkki ongelmista
- Jaa tämä:
- Aiheeseen liittyvät julkaisut:
Kolme muuttuvaa lineaarista yhtälöjärjestelmää: Ominaisuudet, komponentit, ratkaisumenetelmät ja esimerkkiongelmat
Kolmen muuttujan yhtälöjärjestelmä tai yleisesti lyhennetty SPLTV on kokoelma lineaarisia yhtälöitä, joissa on kolme muuttujaa. Lineaariselle yhtälölle on tunnusomaista, että yhtälön muuttujan suurin voima on yksi. Lisäksi yhtälön yhdistävä merkki on tasa-arvo.
Arkkitehtuurissa on matemaattisia laskelmia rakennusten rakentamiseksi, joista yksi on lineaaristen yhtälöiden järjestelmä. Lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on hyödyllinen leikkauspisteen koordinaattien määrittämisessä. Tarkat koordinaatit ovat välttämättömiä luonnoksen mukaisen rakennuksen tuottamiseksi. Tässä artikkelissa keskustellaan kolmiulotteisesta lineaaristen yhtälöiden järjestelmästä (SPLTV).
Kolmen muuttujan lineaarinen yhtälöjärjestelmä on kaksimuuttujan lineaarisen yhtälöjärjestelmän (SPLDV) laajennettu muoto. Joka kolmimuuttujan lineaarinen yhtälöjärjestelmä koostuu kolmesta yhtälöstä, joista jokaisella on kolme muuttujaa (esim. X, y ja z).
Kolmen muuttujan lineaarinen yhtälöjärjestelmä koostuu useista lineaarisista yhtälöistä, joissa on kolme muuttujaa. Kolmen muuttujan lineaarisen yhtälön yleinen muoto on seuraava.
ax + by + cz = d
a, b, c ja d ovat reaalilukuja, mutta a, b ja c eivät voi olla kaikki 0. Yhtälöllä on monia ratkaisuja. Yksi ratkaisu voidaan saada ottamalla mikä tahansa arvo kahdesta muuttujasta kolmannen muuttujan arvon määrittämiseksi.
Kolmen muuttuvan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ominaisuudet
Yhtälöä kutsutaan lineaaristen yhtälöiden kolmen muuttujan järjestelmäksi, jos sillä on seuraavat ominaisuudet:
- Yhtälömerkkisuhteen (=) käyttö
- Sisältää kolme muuttujaa
- Kolmella muuttujalla on yhden aste (yhden voima)
Kolmen muuttuvan lineaarisen yhtälöjärjestelmän komponentit
Sisältää kolme komponenttia tai elementtiä, jotka liittyvät aina kolmen muuttujan lineaariseen yhtälöjärjestelmään.
Kolme komponenttia ovat: termit, muuttujat, kertoimet ja vakiot. Seuraava on selitys SPLTV: n jokaisesta komponentista.
Heimo
Termi on osa algebrallista muotoa, joka koostuu muuttujista, kertoimista ja vakioista. Jokainen termi erotetaan käyttämällä yhteenlasku- ja vähennysvälimerkkejä.
Esimerkki:
6x - y + 4z + 7 = 0, yhtälön ehdot ovat 6x, -y, 4z ja 7.
Vaihteleva
Muuttuja on muuttuja tai numeron korvike, joka yleensä merkitään käyttämällä kirjaimia kuten x, y ja z.
Esimerkki:
Yulisassa on 2 omenaa, 5 mangoa ja 6 appelsiinia. Jos kirjoitamme sen yhtälömuotoon, toimi seuraavasti:
Esimerkki: omena = x, mango = y ja oranssi = z, joten yhtälö on 2x + 5y + 6z.
Kerroin
Kerroin on luku, joka ilmaisee samanlaisten muuttujien lukumäärän.
Kertoimia kutsutaan myös numeroiksi muuttujan edessä, koska kertoimen yhtälön kirjoittaminen on muuttujan edessä
Esimerkki:
Gilangilla on 2 omenaa, 5 mangoa ja 6 appelsiinia. Jos kirjoitamme sen yhtälömuotoon, toimi seuraavasti:
Esimerkki: omena = x, mango = y ja oranssi = z, joten yhtälö on 2x + 5y + 6z.
Näistä yhtälöistä voidaan nähdä, että 2, 5 ja 6 ovat kertoimia, joissa 2 on x: n kerroin, 5 on y: n kerroin ja 6 on z: n kerroin.
Jatkuva
Vakio on luku, jota ei seuraa muuttuja, joten sillä on kiinteä tai vakioarvo muuttujan tai muuttujan arvosta riippumatta.
Esimerkki:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, yhtälöstä vakio on 7. Koska arvo 7 on kiinteä, eikä mikään muuttuja vaikuta siihen.
Menetelmä kolmen muuttujan lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi
Arvo (x, y, z) on ratkaisu, joka on asetettu kolmen muuttujan lineaariselle yhtälöjärjestelmälle, jos arvo (x, y, z) täyttää SPLTV: n kolme yhtälöä. SPLTV-ratkaisusarja voidaan määrittää kahdella tavalla, nimittäin korvausmenetelmällä ja eliminointimenetelmällä.
- Korvausmenetelmä
Korvausmenetelmä on menetelmä lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi korvaamalla yhden muuttujan arvo yhtälöstä toiseen. Tätä menetelmää suoritetaan, kunnes kaikki muuttuja-arvot saadaan kolmen muuttujan lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä.
Korvausmenetelmää on helpompi käyttää SPLTV: ssä, joka sisältää yhtälön, jonka kerroin on 0 tai 1. Seuraavat vaiheet ratkaistaan korvausmenetelmällä.
- Etsi yhtälö, jolla on yksinkertaisin muoto. Yksinkertaisimmassa muodossa olevien yhtälöiden kertoimet ovat 1 tai 0.
- Ilmaise yksi muuttujista kahden muun muuttujan avulla. Esimerkiksi muuttuja x ilmaistaan muuttujana y tai z.
- Korvaa toisessa vaiheessa saadut muuttujien arvot muihin SPLTV-yhtälöihin siten, että saadaan kahden muuttujan lineaaristen yhtälöiden järjestelmä (SPLDV).
- Määritä vaiheessa 3 saatu SPLDV-liuos.
- Määritä kaikkien tuntemattomien muuttujien arvo.
Kokeillaan seuraavia esimerkkikysymyksiä. Määritä ratkaisujoukko lineaaristen yhtälöiden kolmimuuttujajärjestelmälle alla.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Ensin voimme muuntaa yhtälön (1), z = -x - y - 6 yhtälöksi (4). Sitten voimme korvata yhtälön (4) yhtälöön (2) seuraavasti.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Sen jälkeen voimme korvata yhtälön (4) yhtälöön (3) seuraavasti.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Meillä on arvot x = -5 ja y = -3. Voimme kytkeä sen yhtälöön (4) saadaksesi z-arvon seuraavasti.
Lue myös:Kaava putken ilman pintaa laskemiseksi
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3-6
z = 2
Joten saamme ratkaisusarjan (x, y, z) = (-5, -3, 2)
- Eliminaatiomenetelmä
Eliminointimenetelmä on menetelmä lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi eliminoimalla yksi muuttujista kahdessa yhtälössä. Tätä menetelmää käytetään, kunnes yksi muuttuja on jäljellä.
Eliminaatiomenetelmää voidaan käyttää kaikissa kolmen muuttujan lineaaristen yhtälöiden järjestelmissä. Mutta tämä menetelmä vaatii pitkiä vaiheita, koska jokainen vaihe voi poistaa vain yhden muuttujan. SPLTV-ratkaisusarjan määrittämiseksi vaaditaan vähintään 3-kertainen eliminointimenetelmä. Tämä menetelmä on helpompi yhdistettynä korvausmenetelmään.
Eliminaatiomenetelmää käyttävät valmistumisvaiheet ovat seuraavat.
- Tarkkaile SPLTV: n kolmea yhtälöä. Jos on olemassa kaksi yhtälöä, joilla on sama kerroin samassa muuttujassa, vähennä tai lisää kaksi yhtälöä siten, että muuttujan kerroin on 0.
- Jos muuttujia, joilla on sama kerroin, ei ole, kerro molemmat yhtälöt luvulla, joka tekee molempien yhtälöiden muuttujien kertoimista samat. Vähennä tai lisää kaksi yhtälöä siten, että muuttujan kerroin on 0.
- Toista vaihe 2 muille yhtälöpareille. Tässä vaiheessa jätetyn muuttujan on oltava sama kuin vaiheessa 2 jätetty muuttuja.
- Saatuasi kaksi uutta yhtälöä edellisessä vaiheessa määritä kahdelle yhtälölle asetettu ratkaisu käyttämällä kahden muuttujan lineaarisen yhtälöjärjestelmän (SPLDV) ratkaisumenetelmää.
- Korvaa vaiheessa 4 saatujen kahden muuttujan arvot yhdessä SPLTV-yhtälöistä siten, että saadaan kolmannen muuttujan arvo.
Yritämme käyttää eliminointimenetelmää seuraavassa tehtävässä. Määritä SPLTV-ratkaisusarja!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2v + z = 20… (2)
X + 4 v + 2z = 15… (3)
SPLTV voidaan määrittää asetettu ratkaisu eliminoimalla muuttuja z. Lisää ensin yhtälöt (1) ja (2) saadaksesi:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8… (4)
Kerro sitten 2 yhtälössä (2) ja kerro 1 yhtälössä (1) saadaksesi:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 –
5x = 25
x = 5
Kun tiedät x: n arvon, korvaa se yhtälöllä (4) seuraavasti.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Korvaa x: n ja y: n arvot yhtälössä (2) seuraavasti.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
Joten SPLTV: lle (x, y, z) asetettu ratkaisu on (5, 3, -1).
Yhdistetty tai sekoitettu menetelmä
Ratkaisu yhdistelmä- tai sekamenetelmää käyttävälle lineaariselle yhtälöjärjestelmälle on ratkaisu yhdistämällä kaksi menetelmää kerralla.
Kyseiset menetelmät ovat eliminointimenetelmä ja korvausmenetelmä.
Tätä menetelmää voidaan käyttää käyttämällä ensin korvausmenetelmää tai ensin eliminoimalla.
Ja tällä kertaa yritämme yhdistettyä tai sekoitettua menetelmää kahdella tekniikalla, nimittäin:
Poista ensin ja käytä sitten korvausmenetelmää.
Korvaa ensin ja käytä sitten eliminointimenetelmää.
Prosessi on melkein sama kuin SPLTV-ratkaisussa, jossa käytetään eliminointimenetelmää ja korvausmenetelmää.
Jotta ymmärrät enemmän SPLTV: n ratkaisemisesta tällä yhdistelmällä tai seoksella, annamme tässä esimerkkejä kysymyksistä ja niiden keskustelusta.
Esimerkki ongelmista
Tehtävä 1.
Määritä alla oleva SPLTV-ratkaisu korvausmenetelmällä:
x - 2y + z = 6
3x + y - 2z = 4
7x - 6y - z = 10
Vastaus:
Ensimmäinen vaihe on määrittää yksinkertaisin yhtälö ensin.
Kolmesta yhtälöstä ensimmäinen yhtälö on yksinkertaisin. Esitä ensimmäisestä yhtälöstä lähtien muuttuja x y: n ja z: n funktiona seuraavasti:
x - 2y + z = 6
x = 2y - z + 6
Korvaa muuttuja tai muuttuja x toiseen yhtälöön
3x + y - 2z = 4
3 (2y - z + 6) + y - 2z = 4
6y - 3z + 18 + y - 2z = 4
7y - 5z + 18 = 4
7y - 5z = 4-18
7v - 5z = –14 …………… Yht. (1)
Korvaa muuttuja x kolmanteen yhtälöön
7x - 6y - z = 10
7 (2y - z + 6) - 6y - z = 10
14v - 7z + 42 - 6v - z = 10
8y - 8z + 42 = 10
8y - 8z = 10 - 42
8y - 8z = –32
y - z = –4 ……………… Yht. (2)
Yhtälöt (1) ja (2) muodostavat SPLDV y: n ja z:
7v - 5z = –14
y - z = –4
Sitten ratkaise yllä oleva SPLDV käyttämällä korvausmenetelmää. Valitse yksi yksinkertaisimmista yhtälöistä. Tässä tapauksessa toinen yhtälö on yksinkertaisin yhtälö.
Toisesta yhtälöstä saadaan:
y - z = –4
y = z - 4
Korvaa muuttuja y ensimmäiseen yhtälöön
7v - 5z = –14
7 (z - 4) - 5z = –14
7z - 28 - 5z = –14
2z = –14 + 28
2z = 14
z = 14/2
z = 7
Korvaa z = 7: n arvo johonkin SPLDV: stä, esimerkiksi y - z = –4, jotta saamme:
y - z = –4
y - 7 = –4
y = –4 + 7
y = 3
Korvaa sitten arvot y = 3 ja z = 7 johonkin SPLTV: stä, esimerkiksi x - 2y + z = 6, niin että saamme:
x - 2y + z = 6
x - 2 (3) + 7 = 6
x - 6 + 7 = 6
x + 1 = 6
x = 6 - 1
x = 5
Tällä tavalla saamme x = 5, y = 3 ja z = 7. Joten SPLTV-ongelmaan määritetty ratkaisu on {(5, 3, 7)}.
Sen varmistamiseksi, että saadut x: n, y: n ja z: n arvot ovat oikeita, voimme selvittää korvaamalla x: n, y: n ja z: n arvot kolmeen yllä olevaan SPLTV: ään. Muiden joukossa:
Yhtälö I:
x - 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
6 = 6 (tosi)
Yhtälö II:
3x + y - 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
Lue myös:Geometrinen sarja: Määritelmä, kaavat, ominaisuudet ja esimerkkiongelmat
4 = 4 (tosi)
Yhtälö III:
7x - 6y - z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
10 = 10 (tosi)
Yllä olevista tiedoista voidaan varmistaa, että saamamme x: n, y: n ja z: n arvot ovat oikeita ja täyttäneet kolmen kyseessä olevan muuttujan lineaarisen yhtälöjärjestelmän.
Kysymys 2.
Annetaan lineaaristen yhtälöiden järjestelmä:
(i) x -3y + z = 8
(ii) 2x = 3y-z = 1
(iii) 3x -2y -2z = 7
X + y + z: n arvo on
A.-1
B. 2
C. 3
D. 4
Keskustelu:
Yhtälöstä (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)
Yhtälön (iv) korvaaminen yhtälöön (ii):
2x + 3y - z = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6y - 2z + 16 + 3y - z = 1
9y - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. v)
Korvaa yhtälö (iv) yhtälöksi (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9v - 3z + 24 - 2v - 2z = 7
7y - 5z + 24 = 7
5z = 7v + 24-7
5z = 7v + 17…. vi)
Korvaa yhtälö (v) yhtälöksi (vi):
5z = 7 v + 17
5 (3 v + 5) = 7 v + 17
15 v + 25 = 7 v + 17
15 v - 7 v = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1 …. vii)
Korvaa y = - 1 arvo yhtälössä (vi) saadaksesi z: n arvon.
5z = 7 v + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (Viii)
Korvaa yhtälössä (i) y = - 1 ja z = 2 arvo saadaksesi x: n arvon.
x - 3y + z = 8
x - 3 (- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8-5 → x = 3
Saadaan kolmen yhtälöjärjestelmän mukaisen muuttujan arvot, nimittäin x = 3, y = - 1 ja z = 2.
Joten x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4 arvo.
Vastaus: D
Annettu lineaaristen yhtälöiden järjestelmä
(i) = x - 3y +
Keskustelu:
Yhtälöstä (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)
Yhtälön (iv) korvaaminen yhtälöön (ii):
2x + 3y - z = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6y - 2z + 16 + 3y - z = 1
9y - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. v)
Korvaa yhtälö (iv) yhtälöksi (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9v - 3z + 24 - 2v - 2z = 7
7y - 5z + 24 = 7
5z = 7v + 24-7
5z = 7v + 17…. vi)
Korvaa yhtälö (v) yhtälöksi (vi):
5z = 7 v + 17
5 (3 v + 5) = 7 v + 17
15 v + 25 = 7 v + 17
15 v - 7 v = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1…. vii)
Korvaa y = - 1 arvo yhtälössä (vi) saadaksesi z: n arvon.
5z = 7 v + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2… (viii)
Korvaa yhtälössä (i) y = - 1 ja z = 2 arvo saadaksesi x: n arvon.
x - 3y + z = 8
x - 3 (- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8-5 → x = 3
Saadaan kolmen yhtälöjärjestelmän mukaisen muuttujan arvot, nimittäin x = 3, y = - 1 ja z = 2.
Joten x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4 arvo.
Vastaus: D
Tehtävä 3.
Määritä alla oleva kolmen muuttujan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisusarja yhdistetyllä menetelmällä.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
Vastaus:
Korvausmenetelmä (SPLTV)
Ensimmäinen vaihe on määrittää yksinkertaisin yhtälö. Edellä olevista kolmesta yhtälöstä voimme nähdä, että kolmas yhtälö on yksinkertaisin yhtälö.
Ilmoita kolmannesta yhtälöstä muuttuja z y: n ja z: n funktiona seuraavasti:
x + y + 4z = 20
x = 20 - y - 4z ………… Yht. (1)
Korvaa sitten yhtälö (1) ensimmäiseen SPLTV: hen.
x + 3y + 2z = 16
(20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16
2y - 2z + 20 = 16
2y - 2z = 16-20
2y - 2z = –4
y - z = –2 …………. Pers. (2)
Korvaa sitten yhtälö (1) toiseen SPLTV: hen.
2x + 4y - 2z = 12
2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12
40 - 2v - 8z + 4v - 2z = 12
2y - 10z + 40 = 12
2y - 10z = 12-40
2y - 10z = –28 ………… Yht. (3)
Yhtälöstä (2) ja yhtälöstä (3) saadaan SPLDV y ja z seuraavasti:
y - z = –2
2y - 10z = –28
Eliminaatiomenetelmä (SPLDV)
Y: n eliminoimiseksi tai eliminoimiseksi, kerro ensimmäinen SPLDV kahdella siten, että kahden yhtälön y-kerroin on sama.
Seuraavaksi erotamme kaksi yhtälöä niin, että saamme z-arvon seuraavasti:
y - z = -2 | × 2 | → 2y - 2z = -4
2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
Z: n eliminoimiseksi kerro ensimmäinen SPLDV 10: llä siten, että molempien yhtälöiden z-kerroin on sama.
Sitten vähennämme molemmat yhtälöt niin, että saamme y-arvon seuraavasti:
y - z = -2 | × 10 | → 10v - 10z = -20
2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8y = 8
z = 1
Tähän pisteeseen saamme arvot y = 1 ja z = 3.
Viimeinen vaihe on määrittää x: n arvo. Tapa määrittää x: n arvo on syöttämällä y: n ja z: n arvot yhteen SPLTV: stä. Esimerkiksi x + 3y + 2z = 16, joten saamme:
x + 3y + 2z = 16
x + 3 (1) + 2 (3) = 16
x + 3 + 6 = 16
x + 9 = 16
x = 16 - 9
x = 7
Tällä tavalla saamme arvon x = 7, y = 1 ja z = 3 siten, että yllä olevan ongelman SPLTV-ratkaisujen joukko on {(7, 1, 3)}.
Se on arvostelu Tietoja Knowledge.co.id-sivustosta noinKolme muuttuvaa lineaarinen yhtälöjärjestelmä, Toivottavasti se voi lisätä oivallustasi ja tietämystäsi. Kiitos vierailustasi ja älä unohda lukea muita artikkeleita