Hitausmomentti: Määritelmä, käsitteet, kaavat, esimerkit ja taulukot

Hitausmateriaalin hetki

Opettaessaan fysiikkaa lukiossa (SMU) ja valmistelevalla tasolla opiskelijat valittavat usein siitä kiinteiden esineiden, kuten tankojen, sylinterien, ohuiden pallojen (pingispallopallot) ja kiinteiden pallojen hitausmomenttia on vaikea selittää kalkki. Ei ole kirjallisuutta, joka johtaisi kaikki nämä hitaushetket kokonaan.

Halliday Resnickin fysiikan kaltaiset oppikirjat⁽¹⁾, Physics kirjoittanut: R. Serway⁽²⁾ vähentää joidenkin esineiden hitausmomenttia integraaleilla, kun taas lukiolaiset tai Valmistelutason opiskelijat eivät ole oikeastaan ​​perehtyneitä integraalien ja ero. Waldemar Gorzkowski⁽³⁾ koskaan laskettu hitausmomenttikaava ohuille palloille ja onteloille palloille, mutta ei kolmioille, nelikulmioille ja kuusikulmioille.

---

Tässä artikkelissa me johdamme hitausmomentin kaava käyttämättä laskentaa esineille, jotka alkavat tangoista, kolmioista, nelikulmioista, kuusikulmioista, sylintereistä, ohuista palloista ja kiinteistä palloista, joiden tulokset on kirjoitettu taulukkoon 1. Tämä artikkeli on jaettu seitsemään lukuun, jokaisessa luvussa käsitellään kaavan johtamista jokaiselle yllä olevalle kohteelle.

Sitten miten vastata alla oleviin kysymyksiin:

• Selitä, mitä hitaushetkellä tarkoitetaan?
• Mitä tarkoitetaan inertialla?

Katsokaa vain alla olevan materiaalin koko keskustelua:

---

Hitausmomentin määritelmä on

Newtonin ensimmäinen laki sanoo "Liikkeessä olevalla esineellä on taipumus liikkua ja levossa olevalla esineellä on taipumus pysyä levossa". Hyvin, Inertia on kohteen taipumus ylläpitää tilaa (pysyä paikallaan tai liikkua). Hitaus tunnetaan myös kohteen hitaus. Siksi Newtonin ensimmäinen laki tunnetaan myös nimellä inertian laki tai inertian laki. Esimerkiksi esineillä, joita on vaikea siirtää, sanotaan olevan suuri hitaus. Aina kiertotilassa olevan maan sanotaan olevan pyörimisinertia.

Tyylin hetki tai hetki on varren voiman ja hetken tulo. Niin hitausmomenttiOn mittaa kohteen taipumusta tai inertiaa kiertää akselillaan.

Kohteen hitausmomentin suuruuteen vaikuttavat useat tekijät, kuten:

• esine massa
• Esineiden muoto (geometria)
• Aseta pyörimisakseli
• Etäisyys kohteen pyörimisakseliin (momenttivarsi).

---

Taulukko I: Eri kappaleiden hitausmomentit pyörivät akselin ympäri massakeskipisteen läpi. Esine Hitausmomentti Tiedot varsi Minäsm = £ ml2 l = tangon pituus Tasasivuinen kolmio J 1 2. Minäpm = - ma pm 12 a = kolmion sivun pituus Säännöllinen nelikulmainen Minäpm = 6 ma2 a = nelikulmion sivupituus Säännöllinen kuusikulmio Minä 5 2 Minäpm = - ma pm 12 a = kuusikulmion sivun pituus Kiinteä sylinteri Ipm =1 Herra2 pm2 R = sylinterin säde. Ohut pallo 2 2 Ipm = 3 mR2 R = pallon säde Kiinteä pallo Ipm = 3 mR2 R = pallon säde

---

• Hiukkasten hitausmomentti

Ennen kuin keskustellaan jäykkien kappaleiden hitausmomentista, ensin tutki hiukkasen hitausmomenttia. tässä tapauksessa älä ajattele hiukkasta hyvin pienenä esineenä. Sanahiukkaselle ei itse asiassa ole asetettu kokorajoitusta. Joten termin hiukkanen tarkoituksena on vain helpottaa keskustelua liikkeestä, jossa kohteen sijainti kuvataan pisteen sijainniksi. Tätä hiukkaskonseptia käytämme keskustellessamme kohteiden liikkumisesta kinematiikan (suora liike, parabolinen liike, kiertoliike) ja dynamiikan (Newtonin lait) aiheista. Joten esineitä pidetään hiukkasina.

---

Hiukkaskonsepti eroaa jäykästä runkokonseptista. Esimerkiksi suorassa liikkeessä ja parabolisessa liikkeessä ajatellaan esineitä hiukkasina, koska kun ne liikkuvat, kohteen kaikilla osilla on sama nopeus (ts. Lineaarinen nopeus). Esimerkiksi auton liikkuessa auton etu- ja takaosalla on sama nopeus. Joten voimme ajatella autoja hiukkasina tai pisteinä.

---

Kun esine suorittaa pyörimisliikettä, kohteen kunkin osan lineaarinen nopeus on erilainen. Kohteen osa, joka on lähellä pyörimisakselia, liikkuu hitaammin (lineaarinen nopeus on pieni), kun taas reunalla oleva kohteen osa liikkuu nopeammin (lineaarinen nopeus on suurempi). Joten emme voi ajatella esinettä hiukkasena, koska kohteen kunkin osan lineaarinen nopeus on erilainen, kun se pyörii. Esineen kaikkien osien kulmanopeus on sama. Tämä on selitetty Rotational Kinematics -lehdessä.

---

Joten tässä yhteydessä tarkastelemme ensin pyörivää liikettä suorittavan hiukkasen hitausmomenttia. Sen on tarkoitus auttaa meitä ymmärtämään hitaushetken käsite. Keskusteltuamme hitausmomentin hiukkasmomentista tutustumme jäykän rungon hitausmomenttiin. Jäykät esineet ovat eri muotoisia ja kokoisia. Joten auttaaksemme meitä ymmärtämään esineiden, joilla on erilainen muoto ja koko, hitausmomentti, ymmärrämme ensin hiukkasen hitaushetken. Jokaisen kohteen voidaan kuitenkin ajatella koostuvan hiukkasista.

Tarkastellaan nyt hiukkasia, joka suorittaa pyörimisliikkeen. Voi käyttää vain kuvia

Kuva Hiukkanen, joka vaatii pyörimisliikettä

Esimerkiksi massan m hiukkaselle annetaan voima F niin, että se pyörii O-akselin ympäri. Hiukkanen on etäisyys r pyörimisakselista. Aluksi hiukkanen on levossa (nopeus = 0). Voiman F kohdistamisen jälkeen hiukkanen liikkuu tietyllä lineaarisella nopeudella. Aluksi hiukkanen on levossa, sitten liikkuu

lineaarinen nopeuden muutos) voiman kohdistamisen jälkeen. Tässä tapauksessa esine kokee tangentiaalisen kiihtyvyyden. Tangentiaalikiihtyvyys = hiukkasen lineaarinen kiihtyvyys sen pyöriessä.

---

Voimme ilmaista voiman (F), massan (m) ja tangentiaalisen kiihtyvyyden (at) välisen suhteen Newtonin toisen lain yhtälön avulla:

F = ma_rusketus

Koska hiukkanen on pyörimisliikkeessä, sillä on oltava kulmakiihtyvyys. Tangentiaalisen kiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden suhde ilmaistaan ​​yhtälöllä:

a_rusketus = r.α

Nyt liitämme tangentin yllä olevaan yhtälöön:

F = ma_rusketus → a_rusketus = rα

F = Herraα

Kerro vasen ja oikea puoli r: llä:

rF = r(Herraα )

rF = Herra 2

Kiinnitä huomiota vasemmalle puolelle. rF = momentti voimalle, jonka suunta on kohtisuorassa akseliin nähden (verrattuna yllä olevaan kuvaan). Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

τ = (Herra ² )α

Herra² on massan m hiukkasen hitausmomentti, joka kiertää etäisyyttä r pyörimisakselista. Tämä yhtälö ilmaisee myös vääntömomentin, hitausmomentin ja pyörimisliikettä suorittavien hiukkasten kulmakiihtyvyyden välisen suhteen. Viileä termi, tämä on Newtonin toinen lain yhtälö pyörivälle hiukkaselle.

Joten hiukkasen hitausmomentti on hiukkasen massan (m) tulo neliön kohtisuora etäisyyss pyörimisakselilta hiukkaselle (r²). Vertaa yksinkertaisuuden vuoksi yllä olevaan kuvaan. Matemaattisesti hiukkasen hitausmomentti muotoillaan seuraavasti:

Minä = Herra ²

Kuvaus: I = hitausmomentti

m = hiukkasen massa

r = hiukkasen etäisyys pyörimisakselista

---

• Jäykän rungon Bendan hitausmomentti

Yleensä minkä tahansa jäykän rungon hitausmomentti voidaan ilmaista seuraavasti:

Voimme ajatella jäykän rungon koostuvan monista hiukkasista, jotka ovat hajallaan koko kehossa. Jokaisella hiukkasella on massa ja tietysti etäisyys r pyörimisakselista. joten minkä tahansa objektin hitausmomentti on kunkin objektin muodostavan hiukkasen kokonaishitausmomenttien summa.

Tämä on vain yleinen yhtälö. Jäykän rungon hitausmomentin määrittämiseksi meidän on kuitenkin otettava huomioon jäykkä runko sen pyöriessä. Vaikka kahden objektin muoto ja koko ovat samat, jos molemmat kohteet pyörivät eri akseleilla, myös hitausmomentit ovat erilaiset.

---

Taulukko jäykkien kappaleiden hitausmomenteista:

Missä taulukossa: I = Hitausmomentti

L = objektin pituus

M = kohteen massa

---

• Kiinteiden aineiden Bendan hitausmomentti

Kiinteät esineet kuvataan massatiheysfunktiolla (r)

---

• Kiinteän tangon hitausmomentti

Oletetaan sauva massa m ja pitkä l pyörivät akselin ympäri massakeskipisteen läpi (kuva 1). Tässä sauvassa on kaksi muuttujaa, nimittäin tangon massa ja pituus. Jos tarkastellaan tämän tangon hitausmomenttia (ipm) riippuu näistä kahdesta muuttujasta, niin dimensioanalyysin avulla voimme saada tuon hitausmomentin sauva on verrannollinen sauvan massaan ja verrannollinen tangon pituuden neliöön, tai matemaattisesti se voidaan kirjoitettu:

---

Tasasivuisen kiinteän kolmion hitausmomentti

Oletetaan tasasivuinen kiinteä kolmio, jonka sivupituus on a ja massa m käännetty vasten

akseli massakeskipisteen A läpi.

---

Kiinteän nelikulmion hitausmomentti

Oletetaan, että kiinteää nelikulmaista sivupituudella a ja m m pyöritetään massakeskipisteen A ympäri (kuva 4).

Kuva. 4. Nelikulmainen kiertää akselin ympäri, joka kulkee massakeskipisteen A läpi.

Kuten edellisessä laskelmassa, nelikulmion hitausmomentti akselin ympäri sen massakeskipisteen läpi kirjoitetaan (mitoitusanalyysin avulla):

Minä_pm = ^cma² (neliö) (14)

tässä c on vakio, m on nelikulmion massa ja a on nelikulmion sivu.

Seuraavaksi on jaettava tämä nelikulmainen neljään suorakulmaiseen kappaleeseen, joiden sivupituus Ga ja kunkin suorakulmion massa G m (kuva 5)

Kuva. 5. Nelikulmainen, joka on jaettu neljään yhtä suureen osaan.

Yhtälön (14) avulla voidaan kirjoittaa suorakulmion kunkin osan hitausmomentti akselin ympäri oman massakeskipisteen läpi:

---

Kuusikulmion hitausmomentti

Oletetaan kiinteä kuusikulmio, jonka sivupituus on a ja massa m pyöritettiin massakeskipisteen A ympäri (kuva 6).

---

 Sylinterin hitausmomentti

Sylinterimäinen hitausmomentti voidaan laskea laskemalla suorakulmaisen kohteen hitausmomentti n ota sitten raja n lähellä ääretöntä. Tai käyttämällä seuraavaa menetelmää.

Oletetaan, että kiinteä sylinteri on säde R. Tämä sylinterimäinen hitausmomentti (mitoitusanalyysin avulla) voidaan kirjoittaa

---

Ohut pallon hitausmomentti

Ajatus tämän kaavan johtamisesta on saatu Waldemar Gorzkowskilta⁽⁵⁾_. Katsomme massojen lukumäärän kokonaismassaksi m, tasaisesti jakautunut ohuelle säteelle R. Oletetaan, että pallon massan keskipiste on koordinaattien keskellä ja että palloa pyöritetään z-akselin ympäri. Oletetaan massa m_i on koordinaateilla (x_i, y_i, z_i). Hitausmomentin määritelmästä hetken suuruus

Tämän massan hitaus z-akselin ympäri on Minä_i = m_i (x_i² + y_i² ). Jos massa m_i tasaisesti jakautunut koko pallon pinnalle, niin pallon inertiamomentti on,

Minä = ∑ mi ri

2

= ∑mi ( xi2 + yi2 )

(27)

---

Kiinteä pallohitausmomentti

Oletetaan kiinteä pallo, jonka säde on R. Tämä pallomainen hitausmomentti (ulottuvuusanalyysin avulla) voidaan kirjoittaa

Minä pm= cmR2

(32)

---

• Rinnakkaisakselin lause

---

Hitausmomentin soveltaminen

• Hitausmomentti jäähiihtäjissä

Hitausmomentti on esine, jolla esine säilyttää sijaintinsa pyörimisliikkeestä. Hitausmomentti on kohteen vastuksen / inertian mitta pyörimisliikkeen muutoksille. Hitausmomentti riippuu kohteen massan jakautumisesta kohteen pyörimisakseliin. Koska jään vääntömomentti on pieni, hiihtäjän kulmamomentti on lähes vakio. Kun hän vetää kätensä sisäänpäin kohti kehoaan, hänen ruumiinsa hitausmomentti pystysuoran akselin ympäri ruumiinsa läpi pienenee. Koska kulmamomentin L = Iω on pysyttävä vakiona, kun I pienenee, kulmanopeus kasvaa; eli se pyörii nopeammin.

---

• Hitausmomentin soveltaminen koneen elementteihin

Hitausmomentin käyttö moottorielementteihin, joita kutsutaan vauhtipyöriksi polttomoottoreissa (esim. Dieselmoottorit, nelitahtimoottorit). Tämän tyyppiset koneet muuntavat pääasiassa translaatiopohjaisen järjestelmän (männässä) mekaanisen energian pyörimisjärjestelmäksi, joka välitetään ajoneuvon pyörälle. Esimerkiksi 4-Takt-moottorissa tätä hitausmomenttia (vauhtipyöräelementissä) tarvitaan varaamaan osa sen mekaanisesta energiasta moottorin työn vaiheiden suorittamiseksi prosessissa:

- imu,
- Pakkaus ja
- Hävittäminen.

---

Vaikka paisuntavaihe on varsinainen männän työvaihe, nimittäin palamisprosessi. Kuvailemme sitä energian ruiskutusvaiheeksi. Tässä laajennusprosessissa energia muuttuu hiilivetymateriaalin (BBM) kemiallisesta energiasta männän translaatiomekaaniseksi energiaksi, joka voidaan muotoiltu delta (W) = delta (PV), sitten käyttämällä kampiakselia, joka lähetetään pyörimisen muodossa kaikkiin osiin kone. Pieni osa sen energiasta varastoidaan vauhtipyörälle, ja suurinta osaa siitä käytetään vääntömomentin ohjaimena tämän koneen tarkoituksen mukaan sovelluksessa.

Ajoneuvoille akseleille, jos työstökoneille, kyllä ​​hihnapyörien tai hammaspyörien akseleille ja niin edelleen.

---

• Hitausmomentin soveltaminen leukamurskaimessa

Itse leukamurskainta käytetään laajalti kaivosteollisuudessa, metalliteollisuudessa, rakentamisessa, moottoriteiden rakentamisessa, rautateiden rakentamisessa ja kemianteollisuudessa.
Leukamurskaimen koneen toimintaperiaate.

Leukamurskain toimii luottaen moottorin tehoon. Moottoripyörän kautta epäkeskoakselia ohjataan kolmion muotoisella hihnalla ja urapyörällä, jotta leukalevy liikkuu rytmissä. Siksi murskausontelossa oleva materiaali, joka koostuu leukalevystä, liikkuvasta leukalevystä ja sivusuojalevystä, voidaan murskata ja tyhjentää poistoaukon kautta.

---

Hitausmomentin kaava

Yllä olevassa kuvassa on pistemäinen hiukkasen massa (m) kiertää akselinsa ympäri (sb) sormilla R. Hiukkasten massojen tulo (m) jossa hiukkasen ja pyörimisakselin välisen etäisyyden neliö (säde) tuottaa hitausmomentin.

Joten kohteen, jonka massalla on kiertopiste tunnetulla akselilla, hitausmomentin (I) suuruus voidaan muotoilla seuraavasti:

I = m. R2

Minä= hitausmomentti (kg m2)

m= hiukkasen tai esineen massa (kg)

R= kohteen massan hiukkasten tai elementtien välinen etäisyys pyörimisakselin ympäri (m)

Kiinteille esineille, joiden geometria ei ole yksinkertainen / monimutkainen, hitausmomentin suuruus lasketaan kohteen massan jakautumana kerrottuna pyörimisakselin etäisyydellä. Kansainvälisen standardin (SI) mitat ovat kg.m2. Katso lisätietoja seuraavasta kuvasta.

Useista hiukkasista koostuvien esineiden hitausmomentti on kunkin hiukkasen kaikkien hitausmomenttien summa. Samoin, jos esineellä on monimutkainen muoto tai se koostuu eri muodoista, niin Hitausmomentin suuruus on kunkin sen osan hitausmomenttien summa, joka on muotoiltu seurata.

Kohteilla, joilla on säännöllinen muoto ja jotka pyörivät tietyn akselin ympäri, on tietty hitausmomenttikaava seuraavan taulukon mukaisesti:

---

Esimerkkejä inertian hetkistä jokapäiväisessä elämässä

Oletko koskaan ratsastanut moottoripyörällä suurella nopeudella ja sitten jarruttanut yhtäkkiä? No, kun ajamasi moottoripyörä menee nopeasti, jarruttaa yhtäkkiä, sitten tuolloin moottoripyörällä on taipumus ylläpitää liikettään.

Koskeeko tämä suuntaus myös levossa olevia esineitä? Otetaan esimerkiksi, laita HVS-paperiarkki pöydälle ja aseta pyyhekumi HVS-paperin päälle. Vedä HVS-paperi nopeasti ulos. Mitä tapahtui? pyyhekumi pysyy pöydällä. Tämä tarkoittaa, että esineiden luonteella on taipumus ylläpitää paikallaan olevaa tilaa.

---

Esimerkkejä hitausmomenteista ja kaavojen käsittelystä

Esimerkkikysymys 1

Katso alla oleva kuva!

Kysymys

Yllä olevassa kuvassa on neljä hiukkasia, jotka on yhdistetty merkityksettömän massan sauvalla. Hiukkasilla on erilainen paino, ja hiukkasten etäisyys toisistaan ​​on R. Määritä hiukkasjärjestelmän hitausmomentti, jos:

• Järjestelmää kierretään akselin A ympäri
• Järjestelmää kierretään akselin B ympäri

Keskustelu

Koska järjestelmä koostuu neljästä hiukkasesta, joilla on erilainen paino, järjestelmän hitausmomentti on kunkin hiukkasen summa akselinsa ympäri.

• Jos järjestelmää kierretään akselin A ympäri

Tunnetaan kysymyksestä:

m1 = m ja R1 = 0
m2 = 2m ja R2 = R
m3 = 3m ja R3 = 2R
m4 = 4m ja R4 = 3R

Joten hanki:

• Jos järjestelmää käännetään akselin B ympäri

Tunnetaan kysymyksestä:

m1 = m ja R1 = 0
m2 = 2m ja R2 = R
m3 = 3m ja R3 = 2R
m4 = 4m ja R4 = 3R

Sitten

Esimerkkikysymys 2

Yllä olevassa kuvassa on kartion muotoinen kiinteä esine, joka on kiinnitetty sylinterin toiseen päähän ja pyöritetty pyörimisakselilla sylinterin keskellä. Määritä kohteen hitausmomentti, jos sylinterin massa on yhtä suuri kuin kartion massa, joka on 2 kg, sylinterin pituus on 0,8 metriä ja sylinterin säde on 0,1 metriä.

Keskustelu

Edellä olevassa laskutoimituksen yksinkertaistamistehtävässä kunkin geometriaobjektin hitausmomentti lasketaan erikseen.

Tunnetaan kysymyksestä

ms = 2 kg ja Rs = 0,1 m;
m2 = 2 kg ja Rk = 0,1 m;

Joten kohteen hitausmomentti on

---

• Johtopäätös

Hiukkasen hitausmomentti on hiukkasen massan (m) ja neliön tulo kohtisuora etäisyyss pyörimisakselilta hiukkaselle (r²). Minkä tahansa kohteen hitausmomentti on kunkin objektin muodostavan hiukkasen kokonaishitausmomenttien summa. Tämä on vain yleinen yhtälö, mutta jäykän rungon hitausmomentin määrittämiseksi meidän on otettava huomioon jäykkä runko sen pyöriessä. Vaikka kahden objektin muoto ja koko ovat samat, jos molemmat kohteet pyörivät eri akseleilla, myös hitausmomentit ovat erilaiset.

---

Kiinteän kohteen hitausmomentti kuvataan massatiheysfunktiolla (r), alue jaetaan pieniksi elementeiksi ja kukin alue kerrotaan momenttivarren neliöllä.

• Ehdotus

Ehdotuksia lukijoille, nimittäin lukijat voivat hyödyntää tämän paperin sisältämiä tietoja, tämä artikkeli on myös edelleen laajalti saatavilla puutteita, joten lukijat voivat lisätä mitä tahansa tähän artikkeliin mahdollisesti sisältyvää, jotta puutteet voidaan korjata täytetty.

Se on artikkeli Hitausmomentti: täydellinen määritelmä, käsitteet, kaavat ja esimerkit toivottavasti siitä voi olla hyötyä.

---

Lue myös

• Fysiikan voiman täydellinen määritelmä
• Ilmanpaineen määritelmä, kaavat, mittauslaitteet ja esimerkkiongelmat