√ Johdannaisten, tyyppien, kaavojen ja esimerkkiongelmien määrittely

August 15, 2023
SisäänLinkkikäytäntö Ottaa Yhteyttä

Keskustelua johdannaisista on tutkittava. Käyttämällä oppimaasi rajakäsitettä opit helposti seuraavan johdannaismateriaalin.

Määritelmä Johdannainen

Johdannainen on laskelma funktioarvojen muutoksista, jotka johtuvat syöttöarvojen (muuttujien) muutoksista.

Derivaatta voidaan kutsua myös differentiaaliksi ja funktion derivaatan määritysprosessia kutsutaan differentiaatioksi.

Tutkittua rajakäsitettä käyttäen derivaatta voidaan määritellä muodossa

derivaatta määritellään funktion arvon keskimääräisen muutoksen rajaksi muuttujaan x.

Seuraavassa selitetään esimerkki perinnön toteutuksesta.

Johtettu sovellus

Tässä on joitain johdettuja toteutuksia.

Derivaatta voidaan käyttää laskemaan käyrän tangentin gradientti.
Derivaatta voidaan käyttää määrittämään aikaväli, jonka aikana funktio kasvaa tai pienenee.
Johdannaisia voidaan käyttää funktion stationaarisen arvon määrittämiseen.
Johdannaisia voidaan soveltaa liikeyhtälöön liittyvien ongelmien ratkaisemisessa.
Johdannaisia voidaan käyttää maksimi-minimi-ongelmien ratkaisemiseen.

instagram viewer

Seuraavassa selitetään johdannaiskaava.

Johdannaiskaavat

Tässä on joitain peruskaavoja derivaatan määrittämiseksi.

f(x) = c, missä c on vakio

Tämän funktion derivaatta on f'(x) = 0.

f(x) = x

Tämän funktion derivaatta on f'(x) = 1.

f(x) = axⁿ

Tämän funktion derivaatta on f'(x) = anx^n-1

Funktion lisäys: h(x) = f(x) + g(x)

Tämän funktion derivaatta on h'(x) = f'(x) + g'(x).

Vähennysfunktio: h (x) = f (x) – g (x)

Tämän funktion derivaatta on h'(x) = f'(x) – g'(x)

Jatkuva kertominen funktiolla (kf)(x).

Tämän funktion derivaatta on k. f'(x).

Seuraavassa selitämme derivaattafunktion.

Toiminnon johtaminen

Oletetaan, että on funktio f (x) = axⁿ. Tämän funktion derivaatta on f'(x) = anx^n-1.

Esimerkkejä ovat:

f(x) = 3x³

funktion derivaatta ts

f'(x) = 3 (3) x^{3 – 1} = 9x².

Toinen esimerkki on esimerkiksi g (x) = -5y^-3.

Tämän funktion derivaatta on g'(y) = -5 (-3) y^{-3 – 1} = 15v^-4.

Seuraavassa selitetään algebrallisten funktioiden derivaatta.

Algebrallisten funktioiden johdannainen

Tässä osiossa käsittelevä algebrallisten funktioiden derivaatat sisältää kertolaskumuodossa olevat derivaatat ja algebrallisten funktioiden jakauman derivaatat.

Algebrallisen funktion derivaatta kertolaskumuodossa on seuraava.

Oletetaan funktioiden kertolasku: h (x) = u (x). v(x).

Tämän funktion derivaatta on h'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x).

Tiedot:

h(x): funktio kertolaskumuodossa.
h'(x): kertolaskumuotofunktion derivaatta
u(x), v(x): funktiot muuttujalla x
u'(x), v'(x): funktioiden johdannainen muuttujalla x

Algebrallisen funktion derivaatta jakomuodossa on:

Oletetaan, että on olemassa kertolasku: h (x) = u (x)/v (x). Tämän funktion derivaatta on

h'(x) = (u'(x). v(x) – u(x). v'(x))/v²(x).

Tiedot:

h(x): funktio kertolaskumuodossa.
h'(x): kertolaskumuotofunktion derivaatta
u(x), v(x): funktiot muuttujalla x
u'(x), v'(x): funktioiden johdannainen muuttujalla x

Seuraavassa selitetään juurijohdannaisia.

Juurijohdannaiset

Oletetaan, että on olemassa seuraavanlainen juurifunktio

Tämän funktion derivaatan määrittämiseksi muutamme sen ensin eksponentiaaliseksi funktioksi. Funktion eksponentiaalinen muoto on f (x) = x^a/b.

Tämän funktion derivaatta on f'(x) = a/b. x^{(a/b) – 1}.

Entä jos funktio näyttää tältä?

Yllä olevan funktion derivaatan määrittämiseksi se on ensin muutettava eksponentiaaliseen muotoon.

f(x) = g(x)^z/b

Tämän funktion derivaatta on f'(x) = a/b. g(x)^{(a/b) – 1}. g'(x).

Seuraavassa selitetään osittaisia johdannaisia.

Osittainen johdannainen

Mikä on osittainen johdannainen? Osittaisderivaata on derivaatta useiden muuttujien funktiosta suhteessa muuttujaan, kun taas muut muuttujat säilyvät.

Oletetaan, että on funktio: f (x, y) = 2xy, funktion osaderivaata muuttujan x suhteen on f_x'(x, y) = 2v.

Muuttujan y osittaisderivaata on f_y'(x, y) = -6xy.

Seuraavassa selitetään implisiittiset johdannaiset.

Implisiittinen johdannainen

Implisiittinen derivaatta määritetään funktion sisältämien muuttujien perusteella.

Funktio, jossa on muuttuja x, sen derivaatta: x d/dx.

Funktio, jossa on muuttuja y, sen derivaatta: y d/dy. dy/dx.

Funktio, jossa on muuttujat x ja y, derivaatta: xy d/dx + xy d/dy. dy/dx.

Toinen esimerkki on, että on olemassa funktio g (x, y) = -3xy²

Ymmärtääksesi johdannaisia paremmin, yritä tehdä seuraavat kysymykset ja tarkista sitten vastauksesi alla olevan osan keskustelun avulla.

Esimerkkejä johdannaiskysymyksistä

1. Etsi seuraavan funktion derivaatta.

f(x) = 8
g(x) = 3x + 5
h(x) = 6x³
k(x) = 3x^5/3
m(x) = (3x² + 3)⁴

Keskustelu

f'(x) = 0
g'(x) = 3
h'(x) = 6 (3) x^{3 – 1}= 18x²
k'(x) = 3 (5/3) x^{(5/3) – 1} = 5x^2/3
m'(x) = 4. (3x² + 3)^{4 – 1}. 6x = 24x. (3x² + 3)³
2. Etsi seuraavan funktion derivaatta.
f(x) = (3x + 2). (2x² – 1)

Keskustelu

Esimerkiksi: u (x) = 3x + 2 ja v (x) = 2x² – 1

f'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x)

f'(x) = 3. (2x² – 1) + (3x + 2). (4x)

f'(x) = 6x² – 3 + 12x² + 8x = 18x² +8x – 3

3. Annettu järjestyksen 2 funktio alla

Määritä f (0) + 3f'(1) arvo

Keskustelu

Voit tehdä tämän ongelman syöttämällä funktioon arvon 0.

Saat perässäsi f(0) arvon. Voimme työstää osamääräfunktion derivaatta käyttämällä mitä tahansa johdetuista ominaisuuksista.

Kaavan käyttämiseksi voimme käyttää esimerkkiä ja sen johdannaisia kuten alla.

U = x2 + 3; U' = 2x

V = 2x + 1; V' = 2

Sitten voimme syöttää tämän esimerkin edelliseen johdannaiskaavaan ja voimme syöttää suoraan f'x (1).

Joten tulos f (0) + 3f'(1) = 3 + 3 (0) = 3

4. Etsi derivaatta f (x) = (x² + 2x + 3) (3x + 2)

Keskustelu

Kuten edellisessä tehtävässä, johdannaisongelman käsittelemiseksi kertolaskumuodossa voimme käyttää johdetun ominaisuuden kaavaa ja esimerkkiä funktiossa alla.

F'(x) = u'v + uv'

U = x² +2x +3; U' = 2x + 3

V = 3x + 2; V' = 3

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x² + 2x + 3) (3)

F'(x) = 6x²+13x +6 +3x²+6x+9

F'(x) = 9x² +19x +15

Lopullinen muoto F'(x) on siis 9x² +19x +15

5. Jos on f (x) = (2x-1)²(x+2). Mikä on f'x: n arvo (2)
Keskustelu
Tehdäksemme tämän ongelman voimme käyttää funktion f'(x) = u'v + v'u derivatiivista ominaisuutta lopputuloksen saamiseksi. Joten voimme tehdä eron uudelleen.

F'(x) = u'v + uv'

U= (2x-1)² = 4x²– 4x + 1; U' = 8x - 4

V = x + 2; V' = 1

F'(x) = u'v + uv'

F'(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x²– 4x + 1)(1); voimme syöttää arvon 2 kuten tehtävässä

F'(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)²– 4(2) + 1)(1))

F'(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))

F'(2) = 96 + 9 = 105

Joten F'(2):n lopullinen arvo on 105

6. Etsi käyrän y= -2x tangentti² + 6x + 7, joka on kohtisuorassa suoraa x – 2y +13 = 0 vastaan

Keskustelu

Tehtävässä todetaan, että on 2 suoraa, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, joten voidaan olettaa, että kahdella suoralla on tietty kaltevuus. Voimme määrittää m: n arvon₁ ja M₂ molemmilta linjoilta.

m₁on suoran y= -2x kaltevuus² +6x+7. m: n arvon löytämiseksi₁, voidaan tehdä johtamalla funktio y= -2x² +6x+7.

m₁= y'(x) = -4x + 6

m₂on x: n kaltevuus – 2y +13. m: n arvon löytämiseksi₂, meidän on muutettava funktio funktioksi y.

x – 2v +13 = 0

x + 13 = 2v

y = 0,5x + 6,5

m₂= y'(x) = 0,5

Koska nämä kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, m: n arvo₁x m₂= -1.

m₁x m₂= -1

(-4x + 6)0,5 = -1

-2x + 3 = -1

-2x = -4

X = 2

Yhdistämme sen yhtälöön m₁niin, että m: n arvo saadaan₁ = -2. Kun x: n arvo on löydetty, syötetään se arvo y-funktioon niin, että saamme arvon y = 11.

Tangenttiviivan muodostamiseen käytetään kaavaa (y-y₁) = m₁(x-x₁).

(y – 11) = -2 (x – 2)

K – 11 = -2x +4

Y = -2x + 15

Tangentti on y+2x-15 = 0

7. Siellä on kanttaton laatikko, jossa on neliömäinen pohja, jonka pinta-ala on 512 cm². Mikä on reunan pituus, jotta tilavuudella on maksimiarvo
Keskustelu
Tässä kysymyksessä selitetään, että laatikossa ei ole kantta. Siten laatikko koostuu 4 sivusta ja 1 alustasta. Oletetaan, että pohjan sivu on s ja sivun korkeus on t. Voimme kirjoittaa laatikkoyhtälön kuten alla.

512 = pohjan pinta-ala + laatikon 4 sivua

512 = s.s + 4.s.t
512 = s² + 4
512 – s² = 4

Kun saamme t, voimme löytää laatikon tilavuuden

V = s³ = s². t

Maksimitilavuuden saamiseksi voimme johtaa yllä olevan tilavuusyhtälön

V'(s) = 0

S² = 170,67 cm²

S = 13,07 cm

Näin ollen maksimitilavuuden vaatima pituus s on 13,07 cm.

Johdannainen on laskelma funktioarvojen muutoksista, jotka johtuvat syöttöarvojen (muuttujien) muutoksista.

Johdannaisia on monenlaisia, nimittäin algebrallisia derivaattoja, juuriderivaataita, osittaisderivaataita, implisiittisiä derivaattoja ja muita.

Siinä keskustelua perinnöstä. Toivottavasti se voi auttaa sinua oppimaan johdannaisista. Kiitos.

Sisällysluettelo

Suositus:

Voimassaolo on: Merkitys ja luotettavuus, tyyppi,… Kelvollisuus on: Määritelmä ja luotettavuus, tyypit, periaatteet, laskentatapa - Tässä katsauksessa selitämme validiteetin ja luotettavuuden. Joka sisältää ymmärryksen asiantuntijoista, tyypeistä, validiteettiperiaatteista…
Kahden muuttujan lineaarisen epäyhtälön järjestelmä Kahden muuttuvan lineaarisen epätasa-arvon järjestelmä - Ymmärrätkö, mistä kahden muuttuvan epätasa-arvon järjestelmässä on kyse? Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id keskustelee kahden muuttujan epäyhtälöjärjestelmästä sekä asioista, jotka...
Pythagoras: Historia, lausekaavat ja esimerkkitehtävät Pythagoras: Historia, lausekaavat ja esimerkkiongelmat - Kuka on Pythagoras lauseineen? Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee kaavoilla ja esimerkeillä, mitä Pythagoras on kysymys. Anna meidän…
√ Yhden muuttujan lineaarisen yhtälön (PLSV) määritelmä ja esimerkkejä… Yhden muuttujan lineaarisen yhtälön (PLSV) määritelmä ja esimerkkiongelmat - Tässä keskustelussa selitämme yhden muuttujan lineaarisen yhtälön. Joka sisältää lineaarisen yhtälön käsitteen ymmärtämisen yksi muuttuja ja...
Absoluuttisen arvon yhtälö: Selitys ja esimerkkiongelmat Absoluuttinen arvoyhtälöt: Selitys- ja esimerkkitehtävät - Mitkä ovat itseisarvoyhtälöiden ominaisuudet?, Päällä Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee tästä ja tietysti myös muista asioista peitti sen. Katsotaan…
Keskihajontakaava: Määritelmä ja esimerkkiongelmat Keskihajonnan kaava: Määritelmä ja esimerkkikysymykset - Mitä keskihajonnalla tarkoitetaan ja miten laskea kaavalla? Tässä tapauksessa SeputihKnowledge.co.id käsittelee keskihajonnan kera…
√ Tasoituspisteen määritelmä, kaavat, komponentit, laskentatapa… Tasoituspisteen määritelmä, kaavat, komponentit, laskentatapa ja esimerkit - Tässä keskustelussa selitämme tasoituspisteen. Joka sisältää kirjoittamisen, kaavoja, komponentteja, laskentatavan ja esimerkkejä...
Neliöyhtälöt: määritelmä, tyypit, ominaisuudet, kaavat ja… Neliöyhtälöt: Määritelmä, tyypit, ominaisuudet, kaavat ja esimerkkitehtävät - Mitä ovat toisen asteen yhtälöt ja kaavat juuri? Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä, mikä on toisen asteen yhtälö, juurikaava Ja…
Indonesian tähtitieteen aseman ja sen vaikutuksen ymmärtäminen… Indonesian tähtitieteellisten asemien ja niiden vaikutusten ymmärtäminen (täydellinen) - Tähtitieteellinen asema on ollut olemassa ammoisista ajoista lähtien. Siitä on pitkä aika, kun merimiehet, kuljettajat, lentäjät tai oman alueensa sijaintiin liittyvät työt määrittävät sen…
Esimerkkejä litteistä muodoista: litteiden muotojen tyypit, ominaisuudet ja kaavat Esimerkkejä litteistä muodoista: litteiden muotojen tyypit, ominaisuudet ja kaavat – mitkä ovat esimerkkejä litteistä muodoista?
Ystävyyden novellit: määritelmä, kirjoitusvinkkejä ja esimerkkejä Ystävyysnovellit: määritelmä, kirjoitusvinkkejä ja esimerkkejä – millaisia ovat ystävyysnovellit? Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id pohtii, onko se lyhyt tarina ystävyydestä ja muuta siihen liittyvää. Katsotaan yhdessä…
√ Sähkövirran määritelmä, kaavat, esimerkkejä virran voimakkuusongelmista… Sähkövirran voimakkuuden määritelmä, kaavat, esimerkkejä sähkövirran voimakkuusongelmista - Tässä keskustelussa selitämme sähkövirran voimakkuutta. Joka sisältää vahvan sähkövirran määritelmän, vahvan virran kaavan…
Geometriasarja: Määritelmä, kaavat, ominaisuudet ja esimerkkitehtävät Geometriasarja: Määritelmä, kaavat, ominaisuudet ja esimerkkitehtävät - Mikä on geometrinen sarja?
Tilastot: määritelmä, laajuus ja kaava Tilastot: määritelmä, laajuus ja kaavat - Mitä tilastoilla tarkoitetaan Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id käsittelee tilastoja ja sen kaavoja. Katsotaanpa keskustelua yhdessä artikkelissa...
Tasaisesti muuttuva ympyräliike: määritelmä, suuruus… Tasaisesti muuttuva ympyräliike: määritelmä, fyysinen määrä, kaavat ja esimerkkejä ongelmista – mitä liike on Pyöreät muutokset säännöllisesti ja esimerkkejä? Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä ja tietysti noin...
Sharia-kirjanpito: ymmärtäminen asiantuntijoiden mukaan, perus… Syari'ah-kirjanpito: Asiantuntijoiden ymmärtäminen, oikeusperusta, ominaisuudet, tarkoitus, periaatteet, ominaisuudet ja Edut - Mitä on sharia-kirjanpito ja sen edut? keskustele asiasta ja...
√ Pisteiden, viivojen ja tasojen määrittely (koko keskustelu) Pisteiden, suorien ja tasojen määrittely (täysi keskustelu) - Tässä tilaisuudessa keskustelemme artikkeleista pisteistä, suorista ja tasoista. Tietysti sanoilla piste, viiva ja taso on...
Kuutio: elementit, ominaisuudet, tilavuus- ja pinta-alakaavat ja… Kuutiot: elementit, ominaisuudet, tilavuus- ja pinta-alakaavat ja esimerkkejä ongelmista - tilavuuden laskeminen ja kuution pinta-ala? Ja…
Sosiaalinen aritmetiikka: kokonaisarvo, teoriat ja kaavat ja… Sosiaalinen aritmetiikka: kokonaisarvo, teoria ja kaavat ja esimerkkiongelmat - Oletko ymmärtänyt mitä tarkoittaa sosiaalinen aritmetiikka? keskustella…
Hitausmomentti: määritelmä, tekijät, muotoyhtälöt… Hitausmomentti: määritelmä, tekijät, yhtälöt objektien muodoissa ja esimerkkitehtävät - mitä tarkoitetaan hitausmomentin kanssa?, tällä kertaa Se, joka koskee tietämystä.co.id: tä, keskustelee siitä ja tietysti asiaa…
√ Vertailun määritelmä: lajit, kaavat, esimerkkiongelmat… Vertailun määritelmä Matematiikassa vertailua voidaan kutsua myös suhteeksi. Mikä sitten on vertailu tai suhde? Vertailu (suhde) on tekniikka tai tapa vertailla kahta määrää. Kirjoittaminen…
Pystysuuntainen liike alaspäin: määritelmä, ominaisuudet, fyysiset määrät,… Pystysuuntainen liike alaspäin: määritelmä, ominaisuudet, fyysiset määrät, kaavat ja esimerkkiongelmat - tässä tapauksessa Knowledge.co.id: n ympärillä keskustellaan vertikaalisesta alaspäinliikkeestä, kaavoista ja tietysti muista asioista Myös…
Kolmen muuttujan lineaariyhtälöjärjestelmä: Ominaisuudet, komponentit,… Kolmen muuttuvan lineaarisen yhtälön järjestelmä: ominaisuudet, komponentit, ratkaisumenetelmät ja esimerkkitehtävät – mitä Mitä tarkoitat kolmen muuttujan yhtälöjärjestelmällä? keskustella siitä...
Sulkapallopeli: historia, tekniikat, säännöt, keinot… Sulkapallopeli: historia, tekniikat, säännöt, tilat ja infrastruktuuri - Tässä tilaisuudessa Knowledge.co.id: stä keskustellaan sulkapallopelistä ja tietysti myös muista asioista peitti sen. Katsotaan…
Kaava sylinterin tilavuuden löytämiseksi Kaava sylinterin tilavuuden löytämiseksi - Kuinka laskea lieriömäisen muodon tilavuus?, Tällä kertaa aiheesta know.co.id keskustelee siitä ja tietysti myös muista asioista peitti sen. Katsotaan yhdessä…
Koostumusfunktiot: kaavat, ominaisuudet ja esimerkkitehtävät Sävellysfunktiot: kaavat, ominaisuudet ja esimerkkitehtävät - Mitä tarkoitetaan sommittelufunktioilla? Tällä kertaa Knowledge.co.id keskustelee koostumuksen toiminnasta ja muista asioista peitti sen. Antaa…
Vuokaavio: Asiantuntijoiden ymmärtäminen, tarkoitus, toiminnot,… Vuokaavio: Asiantuntijoiden ymmärtäminen, tarkoitus, toiminnot, tyypit ja symbolit – mitä tarkoitetaan vuokaavio?, Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä ja tietysti myös muista asioista peitti sen. Antaa…
Kaaren pituuskaava: Esimerkkejä ongelmista ja ratkaisuista Kaaren pituuskaava: Esimerkkejä ongelmista ja ratkaisuista - Kuinka mitata ympyränkaaren pituus kaavalla? Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id käsittelee kaaren pituuskaavaa ja esimerkkejä ongelmista. Katsotaanpa keskustelua yhdessä...
Kassavirtakaava: Liiketoiminnan määritelmä, tyypit ja merkitys 2023 aroundknowledge.co.id – Pienyrityksen omistajan on tiedettävä keskeinen kaava seuratakseen saapuvaa ja lähtevää kassavirtaa. Tämä kassavirtakaava auttaa sinua saamaan tarpeeksi rahaa...
Tietokonelaitteistot: miten se toimii, tyypit, esimerkit ja… Tietokonelaitteistot: miten se toimii, tyypit, esimerkit ja toiminnot - Nykypäivän tietokoneistettu aikakaudella tunnemme tietokoneet ja niiden laitteet ehdottomasti. Jotkut eivät kuitenkaan ehkä tiedä...