Matemaattinen induktio: periaatteet, sarjan todistaminen, jaollisuus, yhtälöt ja esimerkkitehtävät

August 13, 2023
SisäänLinkkikäytäntö Ottaa Yhteyttä

Matemaattinen induktio: periaatteet, sarjan todistaminen, jaollisuus, yhtälöt ja esimerkkitehtävät – Mitä matemaattinen induktio on? Tässä tilaisuudessa Tietoja osoitteesta know.co.id keskustellaan Kasti Ballista ja sitä ympäröivistä asioista. Katsotaanpa alla olevan artikkelin keskustelua ymmärtääksemme sitä paremmin.

Matemaattinen induktio: periaatteet, sarjan todistaminen, jaollisuus, yhtälöt ja esimerkkitehtävät

Matemaattinen induktio on deduktiivisen todistuksen menetelmä, jota käytetään todistamaan matemaattisia väitteitä, jotka liittyvät järjestyksessä järjestettyihin lukujoukkoon.

Nämä luvut ovat esimerkiksi luonnollisia lukuja tai ei-tyhjiä lukujen osajoukkoja Matemaattista induktiota käytetään vain tarkistamaan tai todistamaan väitteen totuus tai kaava. Ja matemaattinen induktio ei ole kaavojen johtamiseen. Matemaattista induktiota ei voida käyttää kaavojen johtamiseen tai löytämiseen.

Seuraavassa on joitain esimerkkejä matemaattisista väitteistä, jotka voidaan todistaa todeksi matemaattisella induktiolla:

instagram viewer

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), n on luonnollinen luku
P(n): 6ⁿ + 4 on jaollinen 5:llä n luonnolliselle luvulle.
P(n): 4n < 2ⁿ, jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 4

Matemaattisen induktion periaatteiden laajentaminen

Esimerkiksi P(n) on lauseke, joka riippuu n: stä. P(n) on tosi jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ m, jos se täyttää seuraavat kaksi ehtoa:

P(m) on tosi, mikä tarkoittaa, että jos n = m, niin P(n) on tosi
Jokaiselle luonnolliselle luvulle k ≥ m, jos P(k) on tosi, niin P(k + 1) on myös tosi.

Osoittaakseen, että P(1) on tosi, riittää, että P(n) korvataan arvolla n = 1.

Jos P(n) esitetään yhtälömuodossa, se tarkoittaa, että vasemman puolen on oltava yhtä suuri kuin oikea puoli kohdassa n = 1, ja sitten päätellään, että P(1) on tosi.

Voimme käyttää samaa menetelmää osoittamaan, että P(m) on tosi.

Palatakseni yllä olevaan dominotapaukseen, jotta domino (k + 1) putoaisi, aikaisimman domino k: n on pudottava.

Ja sitten seuraa implikaatio "jos domino k putoaa, domino (k + 1) putoaa" voi tapahtua.

Joten, jotta voidaan näyttää implikaatio "jos P(k) on tosi, niin P(k + 1) on tosi", ensimmäinen askel on olettaa, että P(k) on tosi.

Sitten näitä oletuksia tarkasteltaessa osoitetaan, että myös P(k + 1) on totta.

Tätä prosessia, jossa oletetaan, että P(k) on totta, kutsutaan induktiohypoteesiksi.

Osoittaaksemme, että P(k + 1) on tosi, voimme aloittaa hypoteesista. Eli oletuksesta, että P(k) on tosi, tai johtopäätöksestä, eli itse P(k + 1):stä.

Matemaattisen induktion todistus voidaan tehdä seuraavassa järjestyksessä:

Alkuvaihe: Näytä P(1) on tosi.
Induktioaskel: Oletetaan, että P(k) on totta mille tahansa k luonnolliselle luvulle, ja osoita sitten, että myös P(k+ 1) on tosi tämän oletuksen perusteella.
Johtopäätös: P(n) on tosi jokaiselle luonnolliselle luvulle n.

Todiste sarjasta

Ennen kuin aloitat sarjan testauksen, sarjassa on useita asioita, jotka on harkittava huolellisesti. Muiden joukossa:

Jos

P(n): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_n = S_n, niin
P(1): u₁ = S₁
P(k): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_k = S_k
P(k + 1): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_k +u_k+1 = S_k+1

Esimerkki 1:

Todista, että 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Vastaus:
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)

Osoitetaan, että P(n) on tosi jokaiselle n ∈ N

Alkuvaihe:

Näyttää, että P(1) on tosi
2 = 1(1 + 1)

Joten se saadaan, P(1) on tosi

Induktiovaihe:

Olkoon P(k) tosi, nimittäin:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Osoittaa, että P(k + 1) on myös tosi, eli:
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Yllä olevista oletuksista sitten:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1)

Lisää molemmat puolet kirjaimella u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Joten P(k + 1) on totta

Matemaattisen induktion periaatteella todistetaan, että P(n) on tosi jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Esimerkki 2:

Todista se 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² oikein, jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Vastaus:
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Sitten se osoittaa, että P(n) on tosi jokaiselle n ∈ N

Alkuvaihe:
Näyttää, että P(1) on totta
1 = 1²

Joten P(1) on totta

Induktiovaihe:
Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k², k ∈ N

Tämä osoittaa, että P(k + 1) on myös totta, nimittäin:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Yllä olevista oletuksista sitten:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²

Lisää molemmat puolet kirjaimella u_k+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² +2k+1
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Joten P(k + 1) on myös totta

Matemaattisen induktion periaatteella todistetaan, että P(n) on tosi jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Todiste jakautumisesta

Lause "a on jaollinen b: llä" on synonyymi:

monikerta b
b tekijä a
b jaa a

Jos p on jaollinen a: lla ja q on jaollinen a: lla, niin (p + q) on myös jaollinen a: lla.

Esimerkiksi 4 on jaollinen 2:lla ja 6 on jaollinen 2:lla, silloin (4 + 6) on myös jaollinen 2:lla

Esimerkki 1:

Todista 6ⁿ + 4 on jaollinen viidellä jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Vastaus:

P(n): 6ⁿ +4 on jaollinen 5:llä

Osoitetaan, että P(n) on tosi jokaiselle n ∈ N.

Alkuvaihe:

Näyttää, että P(1) on totta
6¹ + 4 = 10 on jaollinen 5:llä

Joten P(1) on totta

Induktiovaihe:

Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:
6^k + 4 on jaollinen luvulla 5, k ∈ N

Tämä osoittaa, että P(k + 1) on myös totta, nimittäin:
6^k+1 +4 on jaollinen 5:llä.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Syy 5 (6^k) on jaollinen 5:llä ja 6:lla^k + 4 on jaollinen 5:llä, joten 5(6^k) + 6^k + 4 on myös jaollinen 5:llä.

Joten P(k + 1) on totta.

Matemaattisen induktion periaatteen perusteella on todistettu, että 6ⁿ + 4 on jaollinen viidellä jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, kun löytyy kokonaisluku m, joten a = bm on voimassa.

Esimerkiksi "10 on jaollinen 5:llä" on totta, koska on olemassa kokonaislukuja m = 2 eli 10 = 5.2.

Siksi lause "10 on jaollinen 5:llä" voidaan kirjoittaa muodossa "10 = 5m, m kokonaislukua"

Yllä olevan konseptin perusteella jakotodistus voidaan ratkaista myös seuraavalla menetelmällä.

Esimerkki 2:

Todista n³ + 2n on jaollinen 3:lla jokaiselle n luonnolliselle luvulle

Vastaus:

P(n): n³ + 2n = 3m, m ∈ ZZ

Todistetaan, että P(n) on tosi jokaiselle n ∈ NN

Alkuvaihe:

Näytetään, että P(1) on tosi
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Joten P(1) on totta

Induktiovaihe:

Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:
k³ + 2k = 3m, k ∈ NN

Tämä osoittaa, että P(k + 1) on myös totta, nimittäin:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +2k) + (3k² +3k+3)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = 3 (m + k² + k + 1)

Koska m on kokonaisluku ja k luonnollinen luku, niin (m + k² + k + 1) on kokonaisluku.

Esimerkiksi p = (m + k² + k + 1), joten:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, jossa p ∈ ZZ

Joten P(k + 1) on totta

Edellä olevan matemaattisen induktion käsitteen perusteella on todistettu, että n³ + 2n on jaollinen 3:lla jokaiselle n luonnolliselle luvulle.

Todiste eriarvoisuudesta

Seuraavassa on joitain usein käytettyjä epätasa-arvojen ominaisuuksia, mukaan lukien:

1. transitiivinen luonne
a > b > c ⇒ a > c tai
a < b < c ⇒ a < c

2. a < b ja c > 0 ⇒ ac < bc tai
a > b ja c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c tai
a > b ⇒ a + c > b + c

Ennen kuin siirrymme esimerkkikysymyksiin, on hyvä idea harjoitella yllä olevien ominaisuuksien käyttöä näyttämään implikaatio "jos P(k) on tosi, niin P(k + 1) on myös tosi".

Esimerkki

P(k): 4k < 2^k
P(k + 1): 4 (k + 1) < 2^k+1

Jos oletetaan, että P(k) on tosi kun k ≥ 5, niin osoita, että myös P(k + 1) on tosi!

Muista, että tavoitteemme on näyttää, joten:
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k (KOHDE)

Voimme aloittaa yllä olevan epäyhtälön vasemmalta puolelta:
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^k + 4 (koska 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k + 2^k (koska 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

Transitiivisen luonteen perusteella voimme päätellä, että 4(k + 1) < 2^k+1

Miksi 4k voi muuttua 2:ksi^k ?

Koska ominaisuuden 3 mukaan saamme lisätä epäyhtälön molemmat puolet samalla luvulla.

Koska se ei muuta epätasa-arvon totuusarvoa. Koska 4k <2^k tosi, mikä johtaa 4k + 4 < 2^k +4 on myös totta.

Mistä tiedämme, että 4 on vaihdettava 2:ksi^k ?

Tarkkaile tavoitteita.

Väliaikainen tulos, jonka saamme, on 2^k + 4, kun tavoitteemme on 2^k + 2^k.

Jos k ≥ 5, sitten 4 < 4k ja 4k < 2^k se on totta, joten 4 < 2^k on myös totta (transitiivinen ominaisuus). Tämä johtaa 2^k + 4 < 2^k + 2^k tosi (ominaisuus 3).

Matemaattinen induktio: periaatteet, sarjan todistaminen, jaollisuus, yhtälöt ja esimerkkitehtävät

Esimerkki ongelmat

Ongelma 1

Todista, että jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 4 ja pätee
3n <2ⁿ

Vastaus:

P(n): 3n < 2ⁿ

Osoitetaan, että P(n) pätee n ≥ 4, n ∈ NN

Osoittaa, että P(4) on tosi
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

Joten P(4) on totta

Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:
3k <2^k, k ≥ 4

Tämä osoittaa, että P(k + 1) on myös totta, nimittäin:
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^k + 3 (koska 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k + 2^k (koska 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Joten P(k + 1) on myös totta.

Matemaattisen induktion käsitteen perusteella on todistettu, että P(n) pätee jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 4.

Ongelma 2

Todista se $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Keskustelu:

Vaihe 1

$1^3 \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 \frac{2^2}{4}$

1 1 (todistettu)

Vaihe 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Vaihe 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1) ^2 + (k + 1)^3$ (molemmat kentät lisätty .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3 (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2) (k + 2) )$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {todistettu).

Ongelma 3

Todista, että jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 2 ja pätee 3ⁿ > 1 + 2n

Vastaus:

P(n): 3ⁿ > 1 + 2n

Osoitetaan, että P(n) pätee n ≥ 2, n ∈ NN

Osoittaa, että P(2) on totta, nimittäin:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Joten P(1) on totta

Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:
3^k > 1 + 2k, k ≥ 2

Tulee selville, että P(k + 1) on myös tosi, eli
3^k+1 > 1 + 2(k + 1)

3^k+1 = 3(3^k)
3^k+1 > 3(1 + 2k) (koska 3^k >1+2k)
3^k+1 = 3 + 6k
3^k+1 > 3 + 2k (koska 6k > 2k)
3^k+1 = 1 + 2k + 2
3^k+1 = 1 + 2(k + 1)

Joten P(k + 1) on myös totta

Matemaattisen induktion käsitteen perusteella on todistettu, että P(n) pätee jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 2.

Todista se

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Keskustelu:

Vaihe 1

$\frac{1}{2} 2 - \frac{(1)+2}{2^1} 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{2}$ (todistettu)

Vaihe 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Vaihe 3 (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Todistettu:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (molemmat puolet kerrottuina $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^k muutettu 2:ksi^k+1)

$2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$ (todistettu)

Ongelma 4

Osoita, että jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 5 se pätee 2n − 3 < 2^n-2

Vastaus:

P(n): 2n − 3 < 2^n-2

Osoitetaan, että P(n) pätee n ≥ 5, n ∈ NN

Näytetään, että P(5) on tosi
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

Joten P(1) on totta

Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:
2k − 3 < 2^k-2, k ≥ 5

Tämä osoittaa, että P(k + 1) on myös totta, nimittäin:
2(k + 1) − 3 < 2^k+1-2

2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2
2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2 (koska 2k − 3 < 2^k-2)
2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2^k-2 (koska 2 < 2k − 3 < 2^k-2)
2(k + 1) − 3 = 2(2^k-2)
2(k + 1) − 3 = 2^k+1-2

Joten P(k + 1) on myös totta

Matemaattisen induktion käsitteen perusteella on todistettu, että P(n) pätee jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 5.

Ongelma 5:

Todista, että jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 4 ja pidä (n + 1)! > 3ⁿ

Vastaus:

P(n): (n + 1)! > 3ⁿ

Osoitetaan, että P(n) pätee n ≥ 4, n ∈ NN

Näyttää, että P(4) on totta
(4 + 1)! > 3⁴
vasen puoli: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
oikea puoli: 3⁴ = 81

Joten P(1) on totta

Kuvittele, että P(k) on totta, nimittäin:

(k+1)! > 3^k, k ≥ 4

Osoitetaan, että P(k + 1) on myös tosi, eli
(k + 1 + 1)! > 3^k+1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3^k) (koska (k + 1)! > 3^k)
(k + 1 + 1)! > 3(3^k) (koska k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3^k+1

Joten P(k + 1) on myös totta.

Matemaattisen induktion käsitteen perusteella on todistettu, että P(n) pätee jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 4.

Näin ollen arvostelu alkaen Tietoja osoitteesta know.co.id noin Matemaattinen induktio , toivottavasti voi lisätä ymmärrystäsi ja tietämystäsi. Kiitos vierailustasi ja älä unohda lukea muita artikkeleita

Sisällysluettelo

Suositus:

Selittävän tekstin kielelliset elementit: ominaisuudet, rakenne, tyypit,… Selittävän tekstin kielelliset elementit: määritelmä, ominaisuudet, rakenne, tyypit ja esimerkit - mikä on selittävä teksti Seputarknowledge.co.id keskustelee tässä yhteydessä siitä, mikä on selittävä teksti ja elementti…
Absoluuttisen arvon yhtälö: Selitys ja esimerkkiongelmat Absoluuttinen arvoyhtälöt: Selitys- ja esimerkkitehtävät - Mitkä ovat itseisarvoyhtälöiden ominaisuudet?, Päällä Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee tästä ja tietysti myös muista asioista peitti sen. Katsotaan…
Sharia-kirjanpito: ymmärtäminen asiantuntijoiden mukaan, perus… Syari'ah-kirjanpito: Asiantuntijoiden ymmärtäminen, oikeusperusta, ominaisuudet, tarkoitus, periaatteet, ominaisuudet ja Edut - Mitä on sharia-kirjanpito ja sen edut? keskustele asiasta ja...
Usko Qadaan ja Qadariin: ymmärrystä, todisteita, viisautta ja… Usko Qadaan ja Qadariin: määritelmä, ehdotus, viisaus ja niiden tehtävät - Mitä tarkoittaa usko Qadaan ja Qadariin?
Välimerkit: määritelmä, funktiot, tyypit ja esimerkit Välimerkit: määritelmä, funktiot, tyypit ja esimerkit - Tässä keskustelussa selitämme välimerkkejä. Joka sisältää merkityksen, toiminnon, tyypit ja esimerkit välimerkkien käytöstä…
12 jalkapallon määritelmää asiantuntijoiden mukaan 12 jalkapallon määritelmää asiantuntijoiden mukaan - Tässä tilaisuudessa keskustelemme jalkapalloa koskevasta materiaalista. Jalkapallo on eniten pelattu urheilupeli kaikkialla…
Esimerkki kulttuuritaiteen kysymyksistä luokan 10 (X) SMA/MA/SMK lukukauden 1… Esimerkkejä luokan 10 (X) kulttuuritaiteen kysymyksistä SMA/MA/SMK lukukausien 1 ja 2 (2019 ja 2020) - Tässä yhteydessä Seputarknowledge.co.id keskustelee monivalintakysymyksistä luokan 10 kulttuuritaiteen kysymyksistä ja esseistä…
Ohutsuolen toiminta: määritelmä, rakenne, osat, entsyymit ja… Ohutsuolen toiminnot: määritelmä, rakenne, osat, entsyymit ja selitys - mitkä ovat ohutsuolen toiminnot?, Tällä kertaa Around the Knowledge.co.id keskustelee siitä, mukaan lukien rakenne, entsyymit ja tietysti asiat muut jotka…
Ympäristöpuhe: määritelmä, tarkoitus, ominaisuudet ja… Ympäristöpuhe: määritelmä, tarkoitus, ominaisuudet ja esimerkit - Miten ympäristöpuheen teksti on rakennettu? mikä on hyvää ja oikein?, Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä ja tietysti asioista Mikä…
Hitausmomentti: määritelmä, tekijät, muotoyhtälöt… Hitausmomentti: määritelmä, tekijät, yhtälöt objektien muodoissa ja esimerkkitehtävät - mitä tarkoitetaan hitausmomentin kanssa?, tällä kertaa Se, joka koskee tietämystä.co.id: tä, keskustelee siitä ja tietysti asiaa…
√ Koripallopelitekniikat ja -säännöt (täydellinen) Koripallopelitekniikat ja -säännöt (täydellinen) - Tässä yhteydessä keskustelemme koripallopeleistä. Mikä tässä keskustelussa selittää kuinka koripallopeli alkaa...
Manipulatiiviset liikkeet ovat: Esimerkkejä ja selityksiä Manipulatiiviset liikkeet ovat: Esimerkkejä ja selityksiä - Mitä manipulatiiviset liikkeet tarkoittavat? Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä ja tietysti myös sitä käsittelevistä asioista. Antaa…
Optiset instrumentit: määritelmä, toiminnot, tyypit ja osat Optiset instrumentit: määritelmä, toiminnot, tyypit ja osat - Mitä ovat optiset laitteet ja mitkä ovat niiden tyypit? Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä ja tietysti muista asioista, jotka...
Markkinoinnin johtamistehtävät: tärkeitä vaiheita ja tekijöitä… Markkinoinnin johtamisen tehtävät: Keskeiset johtamisen vaiheet ja tekijät - Mitä ovat markkinoinnin johtamisen tehtävät? Tällä kertaa Knowledge.co.id pohtii markkinoinnin johtamisen tehtäviä ja muita tekijöitä...
√ Johdannaisten, tyyppien, kaavojen ja esimerkkiongelmien määrittely Keskustelua johdannaisista on tutkittava. Käyttämällä oppimaasi rajakäsitettä opit helposti seuraavan johdannaismateriaalin. Johdannaisen määritelmä Johdannainen on laskelma muutoksista…
Jalkapallomateriaali: määritelmä, edut, tavoitteet, tekniikat,… Jalkapallomateriaali: määritelmä, edut, maalit, tekniikat, jalkapallosäännöt – Tietenkin me kaikki tiedämme mitä jalkapallo on, eikö niin? Jalkapallo on urheilulaji, joka on erittäin suosittu ja…
Grafiikka: määritelmä, historia, tyypit, ominaisuudet, vertailu… Graafinen taide: määritelmä, historia, tyypit, ominaisuudet, vertailut ja esimerkit graafisista taiteista - Hei kaverit, tiedätkö graafisen taiteen? Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä, mitä taide on…
Novellin teksti: määritelmä, ominaisuudet, rakenne, elementit ja esimerkit Novelliteksti: määritelmä, ominaisuudet, rakenne, elementit ja esimerkit – mikä on novellikeksti? Anna meidän…
Esimerkki fyysisen kasvatuksen kysymyksistä luokan 11 (XI) SMA/MA/SMK lukukauden 1 ja 2 Esimerkkejä liikuntakysymyksistä luokan 11 (XI) SMA/MA/SMK lukukauden 1 ja 2 (2019 ja 2020) aikana – Seputarknowledge.co.id käsittelee esimerkkejä luokan 11 monivalintakysymyksistä ja esseistä. ...
Oppimismenetelmien määritelmä: ominaisuudet, tarkoitus, tyypit ja… Oppimismenetelmien määritelmä: ominaisuudet, tarkoitus, tyypit ja keskustelu – mitä menetelmällä tarkoitetaan Opitaanko?, Seputarknowledge.co.id keskustelee tällä kertaa siitä ja tietysti muista asioista Myös…
Numerokuvioita: Numerokavioiden määritelmä ja tyypit Numerokuvioita: Numerokavioiden määritelmä ja tyypit - Mikä on numeromalli? Tässä yhteydessä haluamme käydä läpi mitä numeromallit ja niiden tyypit tarkoittavat ja...
Selittävän tekstin tarkoitus: Määritelmä, rakenne, ominaisuudet, säännöt,… Selittävän tekstin tarkoitus: Määritelmä, rakenne, ominaisuudet, säännöt, esimerkit - Tässä keskustelussa selitämme selittävää tekstiä. Joka sisältää selittävän tekstin ymmärtämisen, selittävän tekstin tarkoituksen, tekstin rakenteen...
Jalkapallon historia tulee Indonesiaan Indonesian jalkapallon historia – Urheilupelit ovat erittäin mielenkiintoisia pelata ja katsella. Tämä urheilupeli tekee kehosta terveen ja tekee kehosta…
Kenttätennis: historia, tekniikat, lyöntityypit, ominaisuudet… Kenttätennis: historia, tekniikat, lyöntityypit, ottelun ominaisuudet ja järjestelmät - mikä on tennislaji Tuomio? Mikä…
Roomalaiset numerot: historia, perusnumerot, kirjoittaminen, kaavat… Roomalaiset numerot: historia, perusnumerot, kirjoittaminen, kaavat ja haitat - tiedätkö mitä ne ovat Roomalaiset numerot ja miten niitä luetaan? kattaa…
√ Yhden muuttujan lineaarisen epäyhtälön (PtLSV) määritelmä… Yhden muuttujan lineaarisen epäyhtälön (PtLSV) määritelmä, ominaisuudet, esimerkkejä ongelmista ja kuinka se ratkaistaan - Tässä keskustelussa selitämme yhden muuttujan lineaarista epäyhtälöä. Johon sisältyy lineaarisen epätasa-arvon käsite…
Tausta on: määritelmä, sisältö, luominen ja… Tausta on: Määritelmä, sisältö, valmistusohjeet ja esimerkit - mitä tarkoitetaan tausta?, Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id keskustelee siitä ja tietysti muista asioista Mikä…
Operaatiot kokonaislukujen laskemiseen ja esimerkit (keskustelu… Operaatiot kokonaislukujen laskemiseen ja täydelliset esimerkit - Meidän on tiedettävä, että kokonaisluvut sisältää useita aritmeettisia operaatioita, mukaan lukien yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja sijoitus. Toiminnot kokonaislukujen laskemiseen ja…
√ Aritmeettisen sarjan kaavat, sekvenssit, lomakkeet, esimerkkitehtävät ja… Aritmeettisen sarjan kaavat, sekvenssit, lomakkeet, esimerkkejä kysymyksistä ja vastauksista - Tässä yhteydessä Tiedon ympärillä keskustelemme aritmeettisista sarjoista. Joka tässä keskustelussa selittää monenlaisia kysymyksiä, jotka liittyvät…
Näyttelyn tarkoitus: Määritelmä, toiminnot, edut, tyypit, elementit… Näyttelyn tarkoitus: Määritelmä, toiminnot, edut, tyypit, elementit ja näyttelyn periaatteet - Mitä näyttelyllä tai näyttelyllä tarkoitetaan? Tällä kertaa Seputarknowledge.co.id pohtii mitä näyttely on ja mitä…