Lineaarvõrrandite süsteem: üks, kaks, kolm muutujat, materjal, näiteülesanded

Sarnaselt algebralistele võrranditele on ka lineaarvõrrandite süsteem matemaatikas aritmeetiline süsteem, mida saab graafil kirjeldada sirgjoonte kujul.

Lineaarvõrrandite süsteemil on ka teine ​​nimi, nimelt sirgete võrrandisüsteem. Lisateavet lineaarvõrrandisüsteemi kohta lugege hoolikalt järgmises ülevaates.

Lineaarvõrrandite süsteem

Nagu eespool selgitatud, on lineaarvõrrandid peaaegu samad kui algebralistes võrrandites.

Kui see lineaarvõrrand on matemaatika valdkonna aritmeetiline süsteem, mida saab kirjeldada sirgjoonelise vormi abil graafilisel pildil.

Ja seda lineaarvõrrandite süsteemi nimetatakse ka sirgvõrrandite süsteemiks.

Kuid enne, kui õpime, kuidas meetod või viis lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks.

Seega peame kõigepealt mõistma avatud lausete määratlust ja võrrandite määratlust ning ka lineaarvõrrandite süsteemi ennast.

Seega, kui lahendame lineaarvõrrandeid, ei tunne me segadust.

1. Avatud lause

Avatud lause on lause, millel on muutuja või mis sisaldab muutujat.

2. Võrrand

Võrrand on avatud lause, mis mainib suhet, mis on võrdne (=).

3. Lineaarvõrrand

Lineaarvõrrandi võrrand ise on võrrand, milles iga termin sisaldab konstanti, mille muutuja on üks või üks kraad.

Lisaks sellele võrrandile saame seda kirjeldada ka Dekartese koordinaatsüsteemi graafilise pildi abil.

Ja võrrand on ikka tõsi või EKWICALENT (<=>), nii et vasak ja parem külg liidetakse või lahutatakse sama arvuga.

Lineaarvõrrandi valem

Lineaarvõrrandite üldvalem on:

y = mx + b

Lineaarvõrrandi vormi näiteks:

y = -x + 5

y = -05x + 2

Graafilises vormis olevate lineaarvõrrandite näited:

Noh, Ülaltoodud näite põhjal võime selle järeldada m või gradient on = 0,5. Ja b Punane joon või tuntud ka kui y-lõikepunkt on = 2.

Lineaarvõrrandite süsteem võib koosneda ühest muutujast, kahest või enamast muutujast.

Selles artiklis käsitleme ühe, teise ja kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteeme. Siin on täiendav selgitus.

Ühe muutuva lineaarvõrrandiga süsteem (SPLSV)

Ühe muutujaga lineaarne võrrandisüsteem on matemaatiline mõiste juhtumite lahendamisel igapäevaelus, millel on ainult üks muutuja.

Üks muutuv lineaarvõrrand (SPLSV) on avatud laused, mis on ühendatud võrdusmärgiga (=) ja millel on ainult üks muutuja ühe võimsuse jaoks.

Ühe muutujaga lineaarvõrrandi üldine vorm on:

kirves + b = 0

Kirjeldus: kus a ja b on nullist erinevad täisarvud.

Kuidas SPLSV-d lahendada

Ühe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise etapid:

1. Esimene samm on olemasolevate toimingute lihtsustamine. See kehtib ka faktooringu toimingute kohta (sulgudes).
2. Kombineerige muutujaid sisaldavad mõisted ühele küljele.
3. Kui võrrand sisaldab liitmisoperatsiooni, tuleb mõlemat poolt opereerida sama suurusega lahutamisoperatsiooniga. Vastupidi.
4. Kui võrrand sisaldab korrutamistehet, siis peame mõlemad pooled töötama jagamistoimingu abil sama suurusega, mitte nulliga. Vastupidi.
5. Enne korrutamis- või jagamistoimingute tegemist pange kõigepealt liitmis- või lahutamistoimingud.

Näide SPLSV-küsimustest

1. probleem.

Gilang ostis 5 koomiksit ja ühe pliiatsi koguhinnaga 52 000.

Seejärel küsis koolis olnud Gilangi sõber, kui palju üks koomiksiraamat maksab. Ühe koomiksi hinda Gilang siiski ei tea.

Ja Gilang mäletab vaid ühe pliiatsi hinda, milleks on 2000. Kuidas saab siis Gilang teada ühe koomiksi hinna? Siin on selgitus:

Esimene samm kõik, mida peate tegema, on kõigepealt määrake muutujad.

Küsis, kui palju ühe koomiksi hind on.

Niisiis sümboliseerime x ühe koomiksi hinnana. Siis see on kirjuta see matemaatika lausesse.

"Gilang ostis 5 koomiksit ja ühe pliiatsi koguhinnaga 52 000, ühe pliiatsi hinnaks 2000". 5x + 2000 = 52 000.

Pärast seda saate kohe Lahendage see mitme sammuga. Üks muutuja Lineaarvõrrand.

Kuid tema ülaltoodud juhul esimene ja teine ​​samm kas me saame ignoreerida sa tead, Miks?

Kuna selles näites on võrrand lihtsas vormis, pole ühtegi osa, mida tuleb arvestada (sulge pole).

Vähe sellest, selles võrrandis ei ole muutujad ka erinevatel külgedel, ainult ühes segmendis.

Kui leiate aga võrrandi, millel on sulgud ja muutujad asuvad erinevatel külgedel. Siis peate tegema esimese ja teise sammu, jah.

Kolmas samm, peate nägema, kas võrrand sisaldab liitmis- või lahutamisoperatsioone.

Noh, selles näites on juurdekasvutoiming. Niisiis, peate tegema lahutamisprotsessi.

Teete seda, tehes lahutamistoimingu, mille väärtus on mõlemal pool eelmise lisaväärtusega võrdne.

Mis tähendab, et näites ülesande number 1 lahutame mõlemad pooled ainult 2000. aastaks.

Neljas samm, vaadake uuesti võrrandi toimimist.

Võrrandis on korrutamisoperatsioon, seega peame tegema jagamistoimingu mõlemalt poolt.

Seejärel jagame toote sama väärtusega, jah!

Näite ülesandes nr 1 saame mõlemad pooled jagada 5-ga.

Lõpuks saame muutuja ise see selleks, on kirjutatud, et x on võrdne 10 000-ga.

Niisiis, me juba teame vastust, nimelt on ühe koomiksi hind 10 000.

Peate tähelepanu pöörama ja meeles pidama kutid, Me peame kõigepealt lisage või lahutage toimingud (nii saame muutuja leida) Seejärel jätkake korrutamist või jagamist.

2. küsimus.

Zaidan ja Laras on vennad. Täna tähistab Laras oma 6. sünnipäeva. Praegu on Zaidan Larasest 10 aastat vanem. Kui vana on Zaidan praegu?

Eeltoodud juhtumile vastamiseks võime kasutada ühe muutujaga lineaarvõrrandi põhimõtet.

Arutelu!

Pange tähele, et Zaidan on 10 aastat vanem kui tema õde Laras. Laras on praegu 6-aastane.

Oletame, et Ziadani praegune vanus on x aastat, nii et saame tulemuse:

On tuntud:

X = Zaidani praegune vanus
X - 10 = barreli praegune vanus
6 = Larase praegune vanus usia

Niisiis, lahendus on järgmine:

X - 10 = 6 (mõlemale küljele lisatakse 10)
X - 10 + 10 = 6 + 10
X = 16

Seega on Zaidani praegune vanus 16 aastat.

Enne käsitleme peatükis Kaks muutuva lineaarvõrrandisüsteemi (SPLDV) ja kolme muutuva lineaarvõrrandisüsteemi (SPLTV). Kõigepealt peate teadma alammaterjali mõningate seotud komponentide kohta. Muu hulgas on:

1. Hõim

See termin on algebralise vormi osa, mis koosneb muutujatest, koefitsientidest ja konstantidest. Iga termin eraldatakse liitmise ja lahutamise kirjavahemärkide abil.

Näide:

6x – y + 4z + 7 = 0, siis termin–Võrrandi tingimused on 6x, -y, 4z ja 7.

2. Muutuv

Muutuja on muutuja või numbri asendaja, mida tavaliselt tähistatakse selliste tähtede nagu x, y ja z kasutamisega.

Näide:

Yulisal on 2 õuna, 5 mangot ja 6 apelsini. Kui kirjutame selle võrrandivormi, siis:

Näide: õun = x, mango = y ja oranž = z, nii et võrrand on 2x + 5y + 6z.

3. Koefitsient

Koefitsient on arv, mis väljendab paljude sarnaste muutujate arvu.

Koefitsiente nimetatakse ka muutuja ees numbriteks, sest koefitsiendi võrrandi kirjutamine on muutuja ees

Näide:

Gilangil on 2 õuna, 5 mangot ja 6 apelsini. Kui kirjutame selle võrrandivormi, siis:

Näide: õun = x, mango = y ja oranž = z, nii et võrrand on 2x + 5y + 6z.

Nendest võrranditest võib näha, et 2, 5 ja 6 on koefitsiendid, kus 2 on x, 5 on y ja 6 on z.

4. Pidev

Konstant on arv, millele muutuja ei järgne, seega on sellel fikseeritud või konstantne väärtus olenemata muutuja või muutuja väärtusest.

Näide:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, võrrandist on konstant 7. Kuna väärtus 7 on fikseeritud ja seda ei mõjuta ükski muutuja.

Pärast ülaltoodud komponentide tundmist läheme otse järgmise arutelu juurde. Kuula tähelepanelikult, jah.

Kahe muutuva lineaarvõrrandiga süsteem (SPLDV)

Kaks muutuva lineaarvõrrandisüsteemi ehk seda, mida me tavaliselt nimetame SPLDV-ks, on kaks lineaarvõrrandit kahest muutujast, millel on omavahel seos ja millel on üks lahendus.

Kahemuutuja lineaarvõrrandisüsteemi üldine vorm on:kirves + poolt = c
px + qy = d

Teave:

• x ja y nimetatakse muutujateks
• a, b, p ja q nimetatakse koefitsientideks
• c ja r nimetatakse konstantideks

SPLDV kasutatakse tavaliselt matemaatika kasutamist nõudvate igapäevaste probleemide lahendamiseks.

Näiteks kui soovite määrata eseme hinna, otsige müügikasumit, et määrata objekti suurus.

SPLDV-ga seotud probleemide lahendamiseks on teatud toimingud, sealhulgas:

1. Iga probleemi suuruse asendamine muutujaga (tavaliselt tähistatud tähe või sümboliga).
2. Koostage probleemi matemaatiline mudel. Seejärel sõnastatakse see matemaatiline mudel ja see järgib SPLDV üldist vormi.
3. Probleemimudelist lahenduse otsimine, kasutades SPLDV lahendusmeetodit.

Tee Lahendus SPLDV

1. Eliminatsioonimeetod

Elimineerimismeetodit kasutatakse kahemuutuja lineaarvõrrandisüsteemi lahusekomplekti määramiseks.

Carangan on see, et kõrvaldab või kõrvaldab võrrandisüsteemist ühe muutuja.

Kui muutuja deklareeritakse x ja y-ga, peame muutuja x määramiseks kõigepealt muutuja y kõrvaldama ja vastupidi.

Püüdke märgata, et kui ühe muutuja koefitsient on sama, siis võime ühe neist muutujatest kõrvaldada või kõrvaldada.

Lisateabe saamiseks pakume allpool näiteid probleemidest:

Näide:

Elimineerimismeetodi abil määrake võrrandisüsteemi 2x + 3y = 6 ja x - y = 3 lahendus!

Lahendus:

2x + 3y = 6 ja x-y = 3

Esimene samm, mille peame tegema, on y muutuja kõrvaldamine.

Y muutuja välistamiseks peab y koefitsient olema sama, seega on võrrand: 2x + 3y = 6 korda 1 ja võrrand

x - y = 3 korda 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x - y = 3 × 3 3x - 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3

Teine samm, mille peame tegema, on muutuja x kõrvaldamine.

Sarnaselt esimeses etapis peavad muutuja x kõrvaldamiseks x-i koefitsiendid olema samad, nii et võrrand, mille saame, on 2x + 3y = 6 korda 1 ja
x - y = 3 korda 2.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x - y = 3 × 2 2x - 2y = 6
5a = 0
y = 0/5
y = 0

Niisiis, lahendite komplekt on {(3,0)}.

2. Asendusmeetod

Asendusmeetod on meetod kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks asendusmeetodi abil.

Mida me kasutame, mainides kõigepealt ühe muutuja võrrandi teiseks muutujaks.

Seejärel asenda (asenda) muutuja teise võrrandiga.

Näide:

Leidke asendusmeetodi abil järgmistele võrranditele 2x + 3y = 6 ja x - y = 3 lahendus.

Lahendus:

Võrrand x - y = 3 on samaväärne x = y + 3-ga.

Asendades võrrandi x = y + 3 võrrandisse 2x + 3y = 6, saame järgmised andmed:

2x + 3y = 6
ó 2 (y + 3) + 3y = 6
ó 2a + 6 + 3a = 6
o 5y + 6 = 6
5a + 6-6 = 6-6
o 5y = 0

y = 0

Siis x väärtuse saamiseks asendage y väärtus võrrandiga x = y + 3, nii et saame:
x = y + 3
ó x = 0 + 3
ó x = 3

Niisiis, lahendite komplekt on {(3,0)}

3. Kombineeritud meetod

Kombineeritud meetod on viis kahe muutuja lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks kombineeritud meetodiga. Kus ühendame elimineerimise ja asendamise meetodid.

Näide:

Kasutades ülaltoodud kombineeritud meetodit, määrake võrrandisüsteemi 2x - 5y = 2 ja x + 5y = 6 lahendite komplekt!

Lahendus:

Esimene samm, mida peame tegema, on kõrvaldamismeetodi rakendamine, nii et saame:

2x - 5y = 2 × 1 2x - 5y = 2
x + 5y = 6 × 2 2x + 10y = 12
-15y = -10
y = (-10) / (- 15)
y = 2/3

Siis, asendades y väärtuse võrrandiga x + 5y = 6, saame:
x + 5y = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó x + 10/15 = 6
ó x = 6 - 10/15
ó x = 22/3

Niisiis, lahendite komplekt on {(2 2 / 3,2 / 3)}

4.Graafiline meetod

SPLDV lahendus, kasutades graafilist meetodit, tehakse kahe lineaarvõrrandit tähistava kahe joone ristumiskoha koordinaatide määramisega.

Enne selle graafikameetodi kasutamist peate siiski õppima, kuidas kõigepealt joonistada joon lineaarvõrrandisse.

Siin on mõned sammud SPLDV lahendamiseks kõrvaldamismeetodi abil:

1. Joonistage joon, mis tähistab Dekartese tasandi kahte võrrandit.
2.  Määrake kahe graafi lõikepunkt.
3. Lahendus on punkt (x, y).

SPLDV probleemid:

• Esimene võrrand: 2x + 3y = 8
• Teine võrrand: 3x + y = 5

SPLDV lahendus graafilise meetodi abil.

Samm 1: joonista mõlemad graafikud

Määrake kahe võrrandi x- ja y-telje lõikepunkt.

Kahe võrrandi kujutamine Dekartese tasapinnas.

2. samm: leidke kahe graafi lõikepunkt.

3. samm: lahendus on (x, y)

Pildi põhjal näeme, et lõikepunkt on x = 1 ja y = 2

Siis on lahuse pindala (1, 2).

Näide SPLDV küsimustest

1. probleem.

Poeg tahab köit hüpata. Näiteks on Poja kasutatud köie pikkus 70 cm Poja kõrgusest lühem.

Et köis ei jääks Poja kehasse kinni, peab vähemalt kasutatava köie pikkus olema kaks korda pikem kui eelmine suurus.

Niisiis, kui uuesti mõõta, on trossi kahekordse pikkuse suurus 30 cm pikem kui Poja kõrgus.

Määratlege milline on kasutatud köie pikkus ja poja kõrgus! Ja määratlema kui kaua trossi kasutatakse, et see Poja kehasse kinni ei jääks!

Vastus:

• Esimene samm, mida saame teha, on asendada kõik probleemis sisalduvad kogused muutujatega. Siinkohal võtame näiteks:
  x = köie pikkus (cm) ja y = kõrgus (cm)

• Koostage probleemi matemaatiline mudel.

Trossi pikkus on 70 cm lühem kui Kumamoni kõrgus → x = y - 70 või -x + y = 70

Kaks korda pikem köis on 30 cm pikem kui Kumamoni kõrgus → 2x = 30 + y või 2x - y = 30

Niisiis, ülaltoodud probleemi matemaatiline mudel on:

1. I võrrand: -x + y = 70
2. II võrrand: 2x - y = 30

Kuni siin saate aru eks? Noh, Pärast seda määrame x ja y väärtused nelja SPLDV lahusemeetodi abil. Kuula tähelepanelikult, jah.

1. Graafiku meetod

Niisiis, saame kahe sirge lõikepunkti, nimelt (x, y) = (100,170).

Varem oleme võrrelnud köie pikkust muutujaga x ja Poja kõrgust muutujaga y.

Niisiis, seda saab kindlaks teha siin milline on köie pikkus ja ka poja kõrgus. Yups! Vastus on köie pikkusele 100 cm ja poisi kõrgusele 170 cm.

See on lihtne? Graafiku meetod seda tavaliselt kasulik, kui võrrandi koefitsiendid ja konstandid pole täisarvud, seega oleks parem, kui see oleks joonistatud, et oleks lihtsam leida väärtusi x ja y.

2. Eliminatsioonimeetod

On tuntud:

1. I võrrand: -x + y = 70
2. II võrrand: 2x - y = 30

X väärtuse leidmiseks võrdsustage koefitsient y

-x + y = 70

2x - y = 30

Kuna kahe võrrandi y-koefitsient on sama, saame selle lahendada otse, kasutades y-väärtuse eemaldamiseks liitmisoperatsiooni.

-x + y = 70

2x - y = 30
________ +
x = 100

Y väärtuse leidmiseks võrdsustage x koefitsient

-x + y = 70 | x2 |

2x - y = 30 | x1 |

Kui kahe võrrandi koefitsient x on sama, korrutage võrrand I 2-ga ja korrutage võrrand II 1-ga.

Seejärel lahendage x-väärtuse kõrvaldamiseks liitmisoperatsiooni abil.

-2x + 2y = 140

2x - y = 30
_________ +
y = 170

3. Asendusmeetod

On tuntud:

1. I võrrand: -x + y = 70
2. II võrrand: 2x - y = 30

X väärtuse leidmiseks leidke kõigepealt y väärtus.

Võrrandist I: -x + y = 70 → y = 70 + x

Seejärel asendage y väärtus võrrandiga II:

2x - y = 30

→ 2x- (70 + x) = 30

→ 2x-70-x = 30

→ x-70 = 30

→ x = 100

Pärast seda asendage x väärtus võrrandiga y = 70 + x

y = 70 + x

→ y = 70 + 100

→ y = 170

Asendusmeetodi põhjal saame väärtused x = 100 ja y = 170. Nii võime teada, et Poja kõrgus on 170 cm ja köis, mida Poeg hüppenööri mängimiseks kasutab, 100 cm pikk.

4. Kombineeritud meetod

On tuntud:

1. I võrrand: -x + y = 70
2. II võrrand: 2x - y = 30

Näiteks leiame kõigepealt x väärtuse, kasutades elimineerimismeetodit. Nii et x väärtuse määramiseks võrdsustage y koefitsient.

-x + y = 70

2x - y = 30

Kuna mõlema võrrandi y-koefitsient on juba olemas, saab selle otseselt lahendada, kasutades y-väärtuse eemaldamiseks liitmisoperatsiooni.

x + y = 70

2x - y = 30
________ +
x = 100

Pärast x väärtuse saamist asendage x väärtus ühte võrrandist, et saada y väärtus.

Näiteks asendades x väärtuse I võrrandiga, siis:

-x + y = 70

→ 100 + y = 70

→ y = 70 + 100

→ y = 170

Kombineeritud meetodi põhjal saadakse väärtused x = 100 ja y = 170. Nii võime teada, et köie pikkus on 100 cm ja ringi kõrgus on 170 cm.

Peate teadma, kas kombineeritud meetod See on enimkasutatav meetod SPLDV masalah-probleemide lahendamiseks.

Seejärel saame teada, kui kaua köit on vaja, et Putra saaks hüppenööri mängida, ilma et ta keha vahele jääks.

Kui loete ülaltoodud näiteid uuesti läbi, siis võime teada, et vähemalt köis peab olema kaks korda kauem eelmisest suurusest (2x).

Niisiis, me võime juba teada, et köie pikkus, mis on vajalik selleks, et see Poja kehasse kinni ei jääks, on 2x = 2 (100) = 200 cm.

Kuigi see näeb välja pikk ja keeruline, on see, kui teete rohkem harjutusküsimusi, miks. Hoida vaimu.

2. küsimus. (ÜRO 2015)

Puuris on 13 kitse ja kana. Kui looma jalgade arv on 32 2kor, on kitsede ja kanade arv vastavalt….

A. 3 ja 10

B. 4 ja 9

C. 5 ja 8

D. 10 ja 3

Vastus:

Näiteks:

Kits = x ja kana = y

Kitsejalgade arv = 4 ja kanajalgade arv = 2

Küsiti: kitsede ja kanade arv =…?

Matemaatilised mudelid:
x + y = 13 …… (1)
4x + 2a = 32 …… (2)

Elimineerides võrrandid (1) ja (2), saame:
x + y = 13 | x4 | 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2a = 32 -
2y = 20
y = 20/2
y = 10
Asendage y = 10 väärtus ühte võrrandist:
x + y = 13
x + 10 = 13
x = 13-10
x = 3

Niisiis, kitsede arv = 3 ja kanade arv = 10.

(Vastus: A)

Kolme muutuva lineaarvõrrandiga süsteem (SPLTV)

Lineaarvõrrandite kolm muutuvat süsteemi on kahemuutuja lineaarvõrrandisüsteemi (SPLDV) laiendatud vorm. Mis koosneb kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemist kolmest võrrandist, millest kummalgi on kolm muutujat (nt x, y ja z).

Seega saab lineaarvõrrandite kolmemuutuja süsteemi üldise vormi x, y ja z kirjutada järgmiselt:

Tähtedega a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k ja l või a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3ja D3 on reaalarvud.

Teave:

• a, e, mina, a1, a2, a3 = koefitsient x
• b, f, j, b1, b2, b3 = y koefitsient
• c, g, k, c1, c2, c3 = koefitsient z
• d, h, i, d1, d2, d3 = konstantne
• x, y, z = muutuja või muutuja

Iseloomulik–Ckadestavad SPLTV-d

Võrrandit nimetatakse kolme muutujaga lineaarvõrrandite süsteemiks, kui sellel on järgmised omadused:

• Võrdusmärgi seose (=) kasutamine
• Sellel on kolm muutujat
• Kolmel muutujal on üks aste (ühe võimsuseni)

SPLTV nõuetele on üks lahendus

Kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemil on täpselt lahendus või lahendite komplekt, kui see suudab täita järgmised tingimused:

Neid on rohkem kui üks või on kolme sarnase muutuja lineaarvõrrandit.

Näide:

• x + y + z = 5
• x + 2y + 3z = 6
• 2x + 4y + 5z = 9

Kolme muutujaga lineaarvõrrandid, mis moodustavad kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi, ei ole samad kolme muutujaga lineaarvõrrandid.

Näide:

• 2x − 3y + z = −5
• 2x + z − 3a + 5 = 0
• 4x – 6a + 2z = −10

Kolm ülaltoodud võrrandit on samade kolme muutuja lineaarvõrrandite süsteem, nii et neil pole täpselt ühte lahendite kogumit.

Kuidas SPLTV arveldada

Kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi üldise kuju saab kirjutada järgmiselt:

Kui x = x väärtus0, y = y0ja z = z0, kirjutatud järjestatud paaridena (x0, y0, z0), vastab ülaltoodud SPLTV-le, siis peab kehtima järgmine suhe.

Sellisel juhul on (x0, y0, z0) nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahendiks ja lahenduskomplekt kirjutatud kujul {(x0, y0, z0)}.

Näiteks SPLTV olemasolu allpool:

• 2x + y + z = 12
• x + 2a – z = 3
• 3x – y + z = 11

Ülaloleval SPLTV-l on lahendus (3, 2, 4) koos lahenduste komplektiga, nimelt {(2, 3, 4)}.

Tõestamaks tõde, et (3, 2, 4) on SPLTV lahendus, asendage x = 3, y = 2 ja z = 4 väärtused võrrandiga 2x + y + z = 12, x + 2a– z = 3 ja 3x – y + z = 11, nii et saame:

⇔ 2 (3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, tõsi

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3, tõsi

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11, õige

Kolme muutujaga lineaarvõrrandite süsteemi (SPLTV) lahendust või lahendite kogumit saab otsida mitme meetodi või meetodi abil, sealhulgas:

• Asendusmeetod
• Eliminatsioonimeetod
• Kombineeritud või segatud meetod
• Määrav meetod
• Maatriksi pöördmeetod

Siinkohal anname ülevaate meetodist asendamine, eliminatsioon ja kombinatsioon peal kolme muutujaga lineaarvõrrandite süsteem (SPLTV)

1. Asendusmeetod

SPLTV asendusmeetodiga täiendamiseks kasutatakse järgmisi samme, sealhulgas:

1. etapp:

Valige lihtsaim võrrand, seejärel väljendage x funktsioonina y ja z või y funktsioonina x ja z või z funktsioonina x ja y.

2. etapp:

Asendage esimeses etapis saadud x, y või z ülejäänud kahesse võrrandisse. Nii et saame kahe muutuja lineaarvõrrandite süsteem (SPLDV).

3. etapp:

Täitke olemasolev SPLDV teises etapis.

Selleks, et saaksite rohkem aru, kuidas SPLTV-d lahendada asendusmeetodi abil, toome siin mõned näited küsimustest ja nende arutelu.

1. probleem.

Määrake allpool määratud SPLTV lahus asendusmeetodi abil:

x – 2y + z = 6

3x + y – 2z = 4

7x – 6a – z = 10

Vastus:

Esimene samm on kõigepealt kindlaks määrata kõige lihtsam võrrand.

Kolmest võrrandist on esimene võrrand kõige lihtsam. Esimesest võrrandist märkige muutuja x funktsioonina y ja z järgmiselt:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2a – z + 6

Asendage muutuja või muutuja x teise võrrandisse

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3 (2a – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6a – 3z + 18 + a – 2z = 4

⇒ 7a – 5z + 18 = 4

⇒ 7a – 5z = 4 – 18

⇒ 7a – 5z = –14 …………… Press. (1)

Asendage muutuja x kolmandasse võrrandisse

⇒ 7x – 6a – z = 10

⇒ 7 (2a – z + 6) – 6a – z = 10

⇒ 14a – 7z + 42 – 6a – z = 10

⇒ 8a – 8z + 42 = 10

⇒ 8a – 8z = 10 – 42

⇒ 8a – 8z = –32

⇒ y – z = –4 …………………… Eq. (2)

Võrrandid 1 ja 2 moodustavad SPLDV y ja z:

7a – 5z = –14

y – z = –4

Seejärel lahendage ülaltoodud SPLDV asendusmeetodi abil. Valige üks lihtsamaid võrrandeid. Sel juhul on teine ​​võrrand kõige lihtsam võrrand.

Teisest võrrandist saame:

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

Asendage muutuja y esimesse võrrandisse

⇒ 7a – 5z = –14

⇒ 7 (z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2

⇒ z = 7

Asendage z = 7 väärtus ühte SPLDV-st, näiteks y – z = –4, nii et saame:

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

Seejärel asendage y = 3 ja z = 7 väärtused ühte SPLTV-st, näiteks x – 2y + z = 6, nii et saame:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

Nii saame x = 5, y = 3 ja z = 7. Nii et SPLTV-probleemile seatud lahendus on {(5, 3, 7)}.

Saadud x, y ja z väärtuste õigsuse tagamiseks saame teada, asendades x, y ja z väärtused ülaltoodud kolme SPLTV-ga. Teiste hulgas:

I võrrand:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (tõene)

II võrrand:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (tõene)

III võrrand:

⇒ 7x – 6a – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (tõene)

Ülaltoodud andmete põhjal võib veenduda, et saadud x, y ja z väärtused on õiged ja on täitnud kolme kõnealuse muutuja lineaarvõrrandisüsteemi.