Matemaatilised tuletised: materjalid, algebra, trigonomeetria, tuletiste rakendus

Nagu me eespool mainisime, on funktsiooni derivaat või see, mida nimetatakse ka diferentsiaaliks, muu funktsioon kui eelmine funktsioon.

Näiteks funktsioonist f saab f ', millel on ebaregulaarne väärtus.

Samal ajal mõeldi tuletiste kontseptsiooni kui arvestusliku aine põhiosa Inglise matemaatik ja füüsik nimega Sir Isaac Newton (1642 - 1727). Ja saksa matemaatiku nimega Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Tuletisi või diferentsiaale kasutatakse erinevate geomeetria ja mehaanika valdkonnas tekkinud probleemide lahendamise vahendina.

Universaalsete või terviklike funktsiooniderivaatide mõistet kasutatakse laialdaselt erinevates teadusvaldkondades.

Nimetage seda majanduse valdkonnas: seda kasutatakse vormi, kogukulu või kogutulu arvutamiseks.

Bioloogia valdkonnas: kasutatakse organismide kasvukiiruse arvutamiseks.

Füüsikas: kasutatakse traadi tiheduse arvutamiseks.

Keemias: kasutatakse eraldumiskiiruse arvutamiseks.

Nagu ka geograafia ja sotsioloogia valdkonnas: mida kasutatakse rahvastiku kasvu määra ja palju muu arvutamiseks.

2. Reeglid matemaatilise funktsiooni tuletise määramiseks

Saame tuletise määrata ilma piirprotsessita.

Selleks kavandatakse teoreem või väide operatsiooni põhituletise, tuletise kohta kahe funktsiooni algebra, kompositsioonifunktsioonide tuletiste ahelreegel ja ka funktsioonide tuletised tagurpidi.

Lisateabe saamiseks vaadake järgmist arutelu:

1. Matemaatika põhituletised

Mõned reeglid tuletisfunktsioonis, teiste hulgas:

1. f (x), saab f '(x) = 0
2. Kui f (x) = x, siis f '(x) = 1
3. Võimsuseeskiri kehtib juhul, kui f (x) = xⁿ, siis f '(x) = n X ^{n - 1}
4. Püsivate korrutiste reegel kehtib juhul, kui (kf) (x) = k. f '(x)
5. Ahelareegel kehtib juhul, kui (f o g) (x) = f '(g (x)). g '(x))

2. Kahe funktsiooni summa, vahe, korrutis ja jagatis tuletis

Näiteks funktsioonid f ja g on intervallil I diferentseeritavad, siis funktsioonid f + g, f - g, fg, f / g, (g (x) 0 I-l) on I-l eristatavad järgmiste reeglitega:

1. (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x)
2. (f - g) '(x) = f' (x) - g '(x)
3. (fg) '(x) = f' (x) g (x) + g '(x) f (x)
4. ((f) / g) '(x) = (g (x) f' (x) - f (x) g '(x)) / ((g (x)²)

3. Pöördfunktsiooni tuletis

(f^-1) (y) = 1 / (f '(x)) või dy / dx 1 / (dx / dy)

3. Funktsiooni tuletise põhivalem

Mõned tuletisfunktsioonis eksisteerivad reeglid hõlmavad järgmist:

1. f (x), saab f '(x) = 0
2. Kui f (x) = x, siis f '(x) = 1
3. Võimsuseeskiri kehtib juhul, kui f (x) = xⁿ, siis f '(x) = n X ^{n - 1}
4. Püsivate korrutiste reegel kehtib juhul, kui (kf) (x) = k. f '(x)
5. Ahelareegel kehtib juhul, kui (f o g) (x) = f '(g (x)). g '(x))

Funktsiooni tuletise põhivalem on teie jaoks väga oluline meeles pidada.

Kuna te kasutate seda valemit probleemide lahendamiseks algebraliste funktsioonide tuletisest.

4. Algebraline funktsiooni tuletisvalem

Järgmised on valemid algebraliste funktsioonide tuletamiseks, sealhulgas:

1. Võimsusfunktsiooni tuletisvalem

Funktsiooni tuletis on astme vormis, selle tuletisel saab kasutada valemit: järgnevalt:

Niisiis, võimsusfunktsiooni tuletise valem on:

2. Funktsiooni korrutise tuletise valem

Funktsioonide u (x) ja v (x) korrutamisel saadud tuletisfunktsiooni f (x) valem on järgmine:

Niisiis, funktsiooni tuletise valem on:

f '(x) = u'v + uv'

3. Jagamisfunktsiooni tuletise valem

Niisiis, funktsiooni tuletise valem on:

4. Funktsiooni pangkat võimsuse tuletisvalem

Pidage meeles, kui f (x) = xⁿseetõttu:

Niisiis, funktsiooni tuletise valem on:

f '(x) = nu (n - 1). sa '

5. Algebraliste funktsioonide tuletised

Tuletise määratlus

Funktsiooni f (x) tuletis x suhtes on defineeritud järgmiselt:

tingimusel, et piir on olemas.

Tuletatud märge

Funktsiooni y = f (x) esimese tuletise x-il saab kirjutada järgmiselt:

• y '= f'x lagrange
• leibniz
• D_xy = D_x[f (x)] ⇒ euler

Ülaltoodud definitsioonist võime tuletada mõned tuletisvalemid järgmiselt:

1. f (x) = k f '(x) = 0
2. f (x) = k x f '(x) = k
3. f (x) = xⁿ f '(x) = nx^n-1
4. f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
5. f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Juure või murdosa sisaldava funktsiooni tuletise leidmiseks on esimene samm, mille peame muutma funktsiooni eksponentideks.

Siin on muu hulgas sageli kasutatavate juurte ja eksponentide mõned omadused:

• x^m. xⁿ = x^{m + n}
• x^m/ xⁿ = x^{M N}
• 1 / xⁿ = x^-n
• x = x^1/2
• ⁿxm = x^{M N}

Näide:

1. probleem.

Leidke f (x) = x√x tuletis

Vastus:

f (x) = x√x = x. x^1/2 = x^3/2

f (x) = x^3/2 →

2. küsimus.

Määrake tuletis

Vastus:

4. Kahe funktsiooni korrutamine ja jagamine

Oletame, et y = uv, siis saab y tuletise väljendada järgmiselt:

y '= u'v + uv'

Oletame, et y = u / v, siis saab y tuletise väljendada järgmiselt:

Probleemide näide.

1. probleem.

Tuletis f (x) = (2x + 3) (x² + 2) nimelt:

Vastus:

Näiteks:

u = 2x + 3 u '= 2
v = x² + 2 v '= 2x

f '(x) = u' v + u v '
f '(x) = 2 (x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4

5. Kettreegel

Kui y = f (u), kus u on funktsioon, mille saab tuletada x-il, siis saab y tuletise x suhtes väljendada kujul:

Ülaltoodud ahelareegli mõistest siis y = uⁿ, saavad:

Üldiselt võib öelda järgmiselt:

Kui f (x) = [u (x)]ⁿ kus u (x) on funktsioon, mille saab tuletada x-il, siis:

f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)

Probleemide näide.

1. probleem.

Leidke f (x) = (2x + 1) tuletis⁴

Vastus:

Näiteks:

u (x) = 2x + 1 u '(x) = 2
n = 4
f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)
f '(x) = 4 (2x + 1)^4-1 . 2
f '(x) = 8 (2x + 1)³ 

2. küsimus.

Leidke y = (x² 3x)⁷

Vastus:

y '= 7 (x² 3x)^7-1 . (2x 3)
y '= (14x21). (x² 3x)⁶

6. Trigonomeetrilised tuletised

Tuletise definitsiooni põhjal võime saada mitu trigonomeetrilist tuletisvalemit, nimelt järgmiselt: (vastavalt x ja u funktsioonidega v), sealhulgas: y '=

1. y = sin x → y '= cos x
2. y = cos x → y '= -sin x
3. y = tan x → y ’= sek² x
4. y = võrevoodi x → y ’= -csc² x
5. y = sek x → y '
6. y = csc x → y ’= csc × võrevoodi x
7. y = pattⁿ xy '= n patt^n-1 × cos x
8. y = cosⁿ x → y '= -n cos^n-1 × patt x
9. y = sin u → y '= u' cos u
10. y = cos u → y '= u' sin u
11. y = tan u → y ’= ui sek² u
12. y = võrevoodi u → y ’= -u’ csc² u
13. y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
14. y = csc u → y ’= u’ csc u võrevoodi u
15. y = pattⁿ u → y '= n.u' patt^n-1 cos u
16. y = cosⁿ u → y '= -n.u' cos^n-1 . patt u

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

1. d / dx (sin x) = cos x
2. d / dx (cos x) = - sin x
3. d / dx (tan x) = sekund² x
4. d / dx (võrevoodi x) = - csc² x
5. d / dx (sec x) = sec x tan x
6. d / dx (csc x) = -csc x võrevoodi x

7. Tuletatud rakendused

1. Tangendi gradiendi määramine kõverale

Puutuja (m) gradient kõveras y = f (x) sõnastatakse järgmiselt:

m = y '= f' (x)

Kõvera y = f (x) puutuja võrrand puutepunktis (x₁.y₁) saab sõnastada järgmiselt:

y - y = m (x - x₁) → m = f '(x₁)

2. Üles ja alla funktsioonide intervalli määramine

• Intervallifunktsiooni tingimus suureneb → f '(x)> 0.
• Tingimused kahaneva funktsiooni intervalli jaoks → f '(x) <0.

3. Määrake funktsiooni statsionaarne väärtus ja tüüp

Kui funktsioon y = f (x) on pidev ja diferentseeritav punktis x = a ja ka f '(x) = 0, on funktsiooni statistiline väärtus punktis x = a.

Funktsiooni statsionaarse väärtuse tüüp y = f (x) võib olla minimaalse tagastusväärtuse, maksimaalse tagastusväärtuse või pöörde väärtuse kujul.

Seda tüüpi statsionaarset väärtust võime leida funktsiooni teise tuletise abil.

• Maksimaalne väärtus → f '(x) = 0 ja → f ”(x) <0.

Kui f '(x) = 0 ja f '(x) <0, siis f '(x₁) on funktsiooni maksimaalne tagastusväärtus y = f (x) samuti täpp (x₁ f (x)) on kõvera maksimaalne pöördepunkt y = f (x).

• Minimaalne väärtus → f '(x) = 0 ja → f ”(x) > 0.

Kui f '(x) = 0 ja → f '(x) > 0, siis f (x₁) on funktsiooni minimaalne tagastusväärtus y = f (x) samuti täpp (x₁ f (x)) on kõvera minimaalne pöördepunkt y = f (x).

• Pöörduväärtus → f '(x) = 0 ja → f ”(x) = 0.

Kui f '(x) = 0 ja f ”(x) = 0, siis f '(x₁) on funktsiooni käändeväärtus y = f (x) samuti täpp (x₁ f (x)) on kõvera pöördepunkt y = f (x).

4. Lahendage määramata vormi 0/0 või / ∞ piirülesanded

Kui on määramata vormi 0/0 või / ∞ piir, siis saab lahuseks kasutada derivaate, nimelt tuletatakse vastavalt f (x) ja g (x).

Kui esimese tuletisega on toodetud kindel vorm, siis on lahendus just selles vormis.

Kui aga esimese tuletise abil saadakse ikkagi määramata kuju, siis vähendatakse iga f (x) ja ka f (x) uuesti, kuni saadakse kindel kuju.

Seda lahendamismeetodit tuntakse kui L'Hopitali ettepanek.

5. Määrake kiiruse ja kiirenduse valem

Kui on teada objekti valemi või võrrand objekti liikumiseks aja funktsioonina, nimelt s = f (t), siis võib leida kiiruse ja kiiruse valemi, nimelt:

• Kiirusvalem → v = s '= f' (t)
• Kiirenduse valem → a = s ’= f” (t)

8. Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem.

Leidke funktsiooni tuletis f(x) = 2x(x4 – 5).

Vastus:

Oletame, et kui u(x) = 2x ja v(x) = x4–5, siis:

u‘ (x) = 2 ja v‘ (x) siis = 4x3

Sel viisil saadakse kirjeldus ja tulemused:

f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

2. küsimus. Algebralise funktsiooni tuletisülesanded

Esimese funktsiooni tuletis see on …

Vastus:

See probleem on vormi y = au funktsiooniprobleemⁿ mida saab arutada ja lahendada valemi y '= n abil. a. u^n-1. Siis:

Nii et tuletis on:

3. probleem. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Määrake esimene tuletis:

Vastus:

Eespool toodud probleemi lahendamiseks võime kasutada segavalemit, nimelt:

ja saab kasutada ka valemit y '= n. sa oled pattu^n-1 u. cos u

nii:

4. ülesanne.

Tuletis f (x) = (x - 1)²(2x + 3) on…

Vastus:

Näiteks:

u = (x 1)² u '= 2x2
v = 2x + 3 v '= 2

f '(x) = u'v + uv'
f ’(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2 (x² 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f '(x) = 6x² 2x 4
f '(x) = (x 1) (6x + 4) või
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

5. küsimus.

Kui f (x) = x² - (1 / x) + 1, siis f '(x) =... .

A. x - x²
B. x + x²
C. 2x - x^-2 + 1
D. 2x - x² – 1
E. 2x + x^-2

Vastus:

f (x) = x² - (1 / x) + 1

= x² - x^-1 + 1

f '(x) = 2x - (- 1) x^-1-1

= 2x + x^-2

Vastus: E

6. küsimus. Tuletatud rakendused

Arvutage maksimaalne väärtus f (x) = x - 6x + 9x vahemikus -1 x 3.

Vastus:

Tuletame meelde, et funktsiooni f (x) maksimaalse väärtuse tingimus on f '(x) = 0 ja → f ”(x) <0, nii et;

f_maxkui f '(x) = 0

3x² - 12x + 9 = 0
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1) (x - 3) = 0
ja x = 1 ja x = 3

f_max = f (1) = 1³ – 6. 1² + 9. 1
f_max = 4

Niisiis, ülaltoodud küsimuse maksimaalne väärtus on 4 (neli).

Seega lühike ülevaade matemaatilistest tuletistest, mis sisaldavad algebraliste funktsioonide, trigonomeetria ja tuletisrakenduste tuletisi, mida saame edasi anda.

Loodetavasti saab ülaltoodud matemaatiliste tuletiste ülevaadet kasutada õppematerjalina.