Ebavõrdsus: arvude intervall, kindel, 6 ebavõrdsuse tüüpi, probleem

Kas teate, mis on lineaarne ebavõrdsus? Ebavõrdsus on a avatud lause, mis väljendab suhet kahe asja vahel, millel pole midagi ühist või mis pole võrdsed, ja kasutab erinevaid märke, näiteks:

• (väiksem või võrdne
  
• > (rohkem kui)
  
• (suurem või võrdne) 

Kui esineb ebavõrdsus x

Kui esineb matemaatiline ebavõrdsus xa, siis rahuldava x väärtus on suurem kui a ja numbrireal värvitakse järgmiselt:

Sisukord

Lineaarse ebavõrdsuse omadused

1. Ebavõrdsuse märk ei muutu, kui lisate või lahutate teatud arvu või matemaatilise avaldisega ebavõrdsuse.

Kui a> b, siis:

a + c> b + c; a-c> b-c

Kui

a + c

Näitena:

x + 6> 8 x + 6-6> 8-6 x> 2

2. Ebavõrdsuse märk ei muutu, kui korrutate või jagate POSITIIVSE arvuga bilangaaniga

Kui a> b ja c> 0, siis:

ac> bc ja a / c> b / c

Näitena:

4x12.

Kui jagate mõlemad küljed numbriga 4 (positiivne), siis:

4x / 4 12/4 x 3

3. Ebavõrdsuse märk pöördub, kui see korrutatakse või jagatakse NEGATIIVSE arvuga.

Kui a> b ja c <0, siis:

ac

Paljud teist loevad, kes võivad olla unustanud märgi ümberpööramise vajalikkuse.

Nagu järgmine näide:

-3x 9 ebavõrdsuse lahendamiseks peate kõigepealt jagama mõlemad parem- ja vasakpoolsed punktid -3-ga.

Või teisisõnu korrutatakse mõlemal küljel -1/3-ga. Kuna korrutatuna negatiivse arvuga, muutub kohustuslik märk vastupidiseks.

-3x 9 -3x / -3 9 / -3 x -3 (jälgige suunamärki)

4. Eksponendi (võimu) ebavõrdsus

Matemaatilise ebavõrdsuse jõus on midagi ainulaadset, kus ebavõrdsuse märk pöördub sõltuvalt paaritu või paarisarvust.

Kui a> b> 0, siis:
a² > b² > 0
a³ > b³ > 0
a⁴ > b⁴ > 0
a⁵ > b⁵ > 0
nii edasi. Üldiselt an> bn; a on loomulik arv

Kui a a² > b² > 0
a³ 3 < 0
a⁴ > b⁴ > 0
a⁵ 5 < 0
nii edasi. Üldiselt aⁿ > bⁿ, kui n on paaris ja aⁿ n kui n on paaritu

Näitena:

x 2 > (-2)² (märk muutub, kui n on ühtlane, jääb see alati a-ksⁿ > bⁿ) ja loogika ütleb, et kui x on väiksem kui -2 (-3, -4, -5 ja nii edasi), peab see olema x² tagastab alati rohkem kui 4, -3² = 9; -4² = 16 ja nii edasi.

Kokkuvõte ebavõrdsuse omadustest:

1. Kui a ja b on reaalarvud, siis a> b või a = b või a
2. Kui a> b ja b> c, siis a> c
3. Kui a> b, siis a + c
4. Kui a> b ja c> 0, siis ac> bc ja a / c> b / c
5. Kui a> b ja c <0, siis ac
6. Kui m on paaris ja a> b, siis:
   • a^– > b^–, a> 0 ja ka b> 0 korral
   • a^– –, a <0 ja ka b <0 korral
7. Kui n on paaritu ja a> b, siis aⁿ > bⁿ
8. Kui a> b, siis:
   • 1 / a> 1 / b nii a kui ka b jaoks on võrdsed.
   • 1 / a <1 / b a ja b korral on erinevate märkidega.

Numbrivahemik

Numbrivahemik on ebavõrdsuse lahendamise viis, sealhulgas järgmine tabel:

Kindel

Kindel tüüp

1. Positiivne Kindel

Positiivse kindla vorm on:

kirves² + bx + c = 0

Seda nimetatakse positiivseks kindlaks, kui a> 0 ja D <0. Kui ebavõrdsuse kirves² + bx + c> 0 on positiivses kindlas olekus, seega on lahendus kõik x R.

2. Negatiivne Kindel

Negatiivse kindla vorm on:

kirves² + bx + c = 0

Seda nimetatakse negatiivseks määratuks, kui a = a <0 ja D <0. Kui ebavõrdsuse kirves² + bx + c <0 negatiivses kindlas olekus, siis on lahendus kõik x R.

Kindlad omadused

1. Positiivse kindla f (x) ja suvalise g (x) korral kehtivad järgmised tingimused:

1. • f (x) g (x)> 0 → g (x)> 0
   • f (x) g (x) <0 → g (x) <0
   • f (x) / g (x)> 0 → g (x)> 0
   • f (x) / g (x) <0 → g (x) <0

2. Negatiivse kindla f (x) ja suvalise g (x) korral kehtivad järgmised tingimused:

• • f (x) g (x)> 0 → g (x) <0
  • f (x) g (x) <0 → g (x)> 0
  • f (x) / g (x)> 0 → g (x) <0
  • f (x) / g (x) <0 → g (x)> 0

Ebavõrdsuse tüüp

Siinkohal toome välja mõned ebavõrdsuse tüübid, vaatame neid hästi.

1. Lineaarne ebavõrdsus

Lineaarne ebavõrdsus on ebavõrdsus, milles üks või mõlemad pooled sisaldavad lineaarset vormi kujul x.

Ja siin anname ühe muutuja ja kahe muutuja ebavõrdsuse, sealhulgas:

• Üks muutuv lineaarne ebavõrdsus (PtLSV)

Üks muutuv lineaarne ebavõrdsus Üks muutuja lineaarne ebavõrdsus on avatud lause, millel on ainult üks muutuja ja esimene aste ning mis sisaldab suhet ( > või < ).

Näiteks vaadake mõnda järgmist lauset:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Mõnes ülaltoodud lauses kasutatakse sidekriipse, näiteks , > või <. Mis näitab, et lause on ebavõrdsus.

Igal neist ebavõrdsustest on ainult üks muutuja, nimelt x, a ja n. Seda ebavõrdsust nimetatakse ühe muutujaga ebavõrdsuseks. Ülalmainitud ebavõrdsuse muutujat (muutujat) ühe astme võimsuseks või nimetatakse ka esimeseks astmeks, nimetatakse lineaarseks ebavõrdsuseks.

Üks muutuv lineaarne ebavõrdsus on avatud lause, millel on ainult üks muutuja ja ühe aste ning on seos ( või £).

Muutuja PtLSV üldist vormi saab väljendada järgmiselt:

ax + b <0, ax + b> 0 või ax + b > 0 või kirves + b < 0, a-ga < 0, a ja b on reaalarvud.

Allpool on mõned näited PtLSV-st, kasutades muutujat x, sealhulgas:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Ühe muutuva lineaarse ebavõrdsuse omadused

Sarnaselt ühe muutujaga lineaarvõrrandile saab ühe muutujaga lineaarse ebavõrdsuse lahenduse leida asendusmeetodi abil.

Kuid saate seda teha ka lahutades, liites, korrutades või jagades ebavõrdsuse mõlemad pooled sama arvuga.

Ebavõrdsus matemaatikas on lause või matemaatiline väide, mis näitab kahe või enama objekti suuruse võrdlust.

Nagu A

Ebavõrdsus A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 kõigi x korral
4. A x C> B x C, kui C <0 kõigi x korral
5. A / C 0 kõigi x korral
6. A / C> B / C, kui C <0 kõigi x korral

Peate arvestama, et mõned ülaltoodud omadused kehtivad ka sümbolile ">"või"<”.

Näited PtLSV-küsimustest ja nende lahendamisest

Allpool toome näite probleemist ja selle lahendamise viisist ning ka vastuse ühe muutujaga lineaarse ebavõrdsuse probleemile. Siin on täielik ülevaade.

1. Üks muutuja lineaarse ebavõrdsuse liitmine ja lahutamine (PtLSV)

Pange tähele allolevat ebavõrdsust:

x + 3 <8, kus x on muutuja täisarvust.

Poolt:

x = 1, seega 1 + 3 <8, vastab tõele
x = 2, seega 2 + 3 <8, vastab tõele
x = 3, seega 3 + 3 <8, on tõsi
x = 4, seega 4 + 3 <8, on vale

Asendades x 1,2-le ja 3-le, nii et ebavõrdsus x + 3 <8 on tõene, nimetatakse ebavõrdsuse lahendiks.

2. Ühe muutuva lineaarse ebavõrdsuse (PtLSV) korrutamine või jagamine

Heitke pilk järgmistele ebavõrdsustele:

Looduslike x arvude korral, mis on väiksemad kui 10, on lahendus x = 7, x = 8 või x = 9

Ülaltoodud kirjelduse põhjal võime järeldada, et:

 "Iga ebavõrdsus jääb samaväärseks, kusjuures ebavõrdsuse märk ei muutu, kuigi mõlemad pooled korrutatakse sama positiivse arvuga"

Probleemide näide:

Mõelge nüüd järgmistele ebavõrdsustele:

a. –X> - 5, kus x on naturaalne arv väiksem kui 8. Vastava x asendaja on x = 1, x = 2, x = 3 või x = 4.

Teine võimalus ülaltoodud ebavõrdsuse probleemi lahendamiseks on mõlema poole korrutamine sama negatiivse arvuga.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (mõlemad pooled korrutatakse –1-ga ja ebavõrdsuse märk jääb alles)

x> 5

Lahendus on x = 6 või x = 7.

* –X> –5

–1 (–x)

x <5

Lahus on x = 1, x = 2, x = 3 või x = 4.

Selle lahenduse põhjal selgub, et sama lahendusega ebavõrdsus on:

–X> –5 ja –1 (–x)

nii, –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, kus x on naturaalne arv väiksem kui 4. Sobiv asendaja x on x = 2 või x = 3. Niisiis, lahendus on x = 2 või x = 3.

Ülaltoodud selgituse põhjal võime järeldada, et:

"Ebavõrdsus, kui mõlemad pooled korrutatakse sama negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk"

Näide:

3. Loo kohta 

Küsimus 1.

Kahe numbri summa ei ületa 120. Kui teine ​​number on 10-st suurem kui esimene number, siis määrake esimese numbri piirväärtus.

Vastus:

Ülaltoodud probleemist näeme, et on kaks tundmatut kogust. See on esimene number ja ka teine ​​number.

Järgnevalt teeme need kaks suurust muutujana.

Näitena:

Esimesele numbrile helistame x 

Helistame teisele numbrile y.

Sellest probleemist teame ka, et teine ​​number on "10 rohkem kui esimene number", siis kehtib järgmine seos:

y = x + 10

Ülesandes on teada ka see, et kahe numbri summa on "mitte rohkem" kui 120.

Lause "enam mitte" näitab, et ebavõrdsus on väiksem kui võrdne (≤). Niisiis, probleemile sobiv ebavõrdsuse vorm on see, et ebavõrdsus on väiksem kui võrdne.

Seejärel konstrueerime ebavõrdsuse nii:

⇒ x + y ≤ 120

Kuna y = x + 10, muutub ebavõrdsus järgmiseks:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

nii et esimese numbri piirväärtus ei ületa 55.

2. loo küsimus.

Traadist valmistatud raami raami mudel, mille pikkus (x + 5) cm, laius (x – 2) cm ja kõrgus x cm.

• Määrake vajaliku traadi pikkuse võrrandi matemaatiline mudel x-is.
• Kui kasutatud traadi pikkus ei ületa 132 cm, siis määrake tala maksimaalse väärtuse suurus.

Vastus:

Et meil oleks ülaltoodud probleemist lihtsam aru saada, kaaluge allpool oleva ploki illustratsiooni:

• Määrake ülal oleva probleemi matemaatiline mudel.

Näiteks tähistab K tala raami valmistamiseks vajaliku traadi kogupikkust, seejärel on vajatraadi kogu pikkus kõigi servade summa.

Niisiis, K pikkus on järgmine.

K = 4p (pikkus) + 4l (laius) + 4t (kõrgus)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Niisiis saame traadi kogupikkuse jaoks loo ülesande number 2 matemaatilise mudeli, mis on K = 12x + 12.

• Määrake ülaltoodud probleemist ploki maksimaalne suurus.

Traadi pikkus ei tohi ületada 132 cm pikkust, seega võime ebavõrdsuse mudeli kirjutada järgmiselt:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Seejärel lahendame ühe muutuja lineaarse ebavõrdsuse järgmise lahenduse abil:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Lahusest x ≤ 10, siis on x maksimaalne väärtus 10. Seega on tala pikkuse, laiuse ja kõrguse suurus järgmine:

Pikkus = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Laius = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Kõrgus = x ⇔ 10 cm

Seega saame ploki maksimumi (15 × 8 × 10) cm.

Jutuküsimused 3.

Kahe numbri summa on väiksem kui 80. Teine number on kolm korda esimene number.

Määrake kahe numbri piirid.

Vastus:

Oletame, et nimetame esimest numbrit x-ks, siis teine ​​number on võrdne 3x-ga.

Nende kahe arvu summa on väiksem kui 80. Seetõttu on matemaatiline mudel järgmine:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Selle matemaatilise mudeli lahendus on 4x <80 ⇔ x <20.

Seetõttu ei tohi esimese numbri piir ületada 20, samas kui teise numbri piirarv ei ületa 60.

Jutuküsimused 4.

Ristkülikukujulise laua pinna pikkus on 16 x cm ja laius 10 x cm.

Kui pindala ei ole väiksem kui 40 dm2, seejärel määrake lauapinna minimaalne suurus.

Vastus:

Lauapinna pikkus on:

• (p) = 16x
• laius (l) = 10 x
• pindala = L.

Ristküliku ala matemaatiline mudel on järgmine:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

Probleemi põhjal öeldakse, et pindala ei ole väiksem kui 40 dm2 = 4000 cm2 nii et võime ebavõrdsuse kirjutada järgmiselt:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Seejärel lahendame ebavõrdsuse järgmise lahendusega:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Sest suurus ei saa olla negatiivne, siis x = 5 cm minimaalne väärtus, nii et saame:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Seega on lauapinna minimaalne suurus (80 × 50) cm.

Jutuküsimused 5.

Jalgratas sõidab teel võrrandiga s (t) = t2– 10t + 39.

Kui x on meetrites ja t sekundites, määrake jalgratta ajavahemik vähemalt 15 meetrit.

Vastus:

Jalgratas võib läbida vähemalt 15 meetri pikkuse vahemaa, mis tähendab s (t) ≥ 15.

Niisiis, matemaatiline mudel on t2– 10t + 39 ≥ 15. Saame selle mudeli lahendada järgmiselt:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 või t ≥ 6

Seega on jalgratta vähemalt 15-meetrise vahemaa läbimise ajavahemik t ≤ 4 sekundit või t ≥ 6 sekundit.

Jutuküsimused 6.

Hr Irvanil on kastiauto, mis veab kaupa, kandevõimega kuni 500 kg.

Pak Irvani kaal on 60 kg ja ta veab kaubakaste, mille iga kast kaalub 20 kg. Siis:

• Määrake maksimaalne kastide arv, mida hr Irvan saab ühes veos transportida!
• Kui härra Irvan kavatseb vedada 115 linna, siis vähemalt mitu korda saab kaste kõiki transportida?

Vastus:

Probleemist saame mitu matemaatilist mudelit järgmiselt:

1. Näiteks tähistab x linnade arvu, mida auto saab ühes suunas transportida.
2. Iga karp kaalub 20 kg, seega x karp kaalub 20x kg.
3. Kogumass ühes suunas on kasti kaal pluss Irvani kaal, mis on 20x + 60.
4. Auto kandevõime pole suurem kui, siis kasutame märki "≤”.
5. Kandevõime ei ületa 500 kg, nii et sättest (3) saame järgmise ebavõrdsuse mudeli =
   20x + 60 ≤ 500

• Määrab maksimaalse karpide arvu, mida saab ühe korraga transportida.

Ruutude arvu määramine on sama mis x väärtuse määramine, nimelt lahendades alltoodud ebavõrdsused:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Sellest lahendist saame x suurima väärtuse, mis on 22. Seega mahutab kastiauto iga kord maksimaalselt 22 kasti.

Teave:

• ** on ebavõrdsuse märk nagu ( > või 
• a, b, c, d, e, f on reaalarvud a-ga, d-ga ≠ 0.

Nüüd õpime ole nüüd kuidas seda lahendada. Nõnda on kvadraatilise ebavõrdsuse lahendamisel mõned olulised punktid. Nende hulgas on järgmised:

a. Kõigepealt koguge kõik terminid ühte segmenti, näiteks vasakule küljele. Noh, nii et sel viisil pole termineid või paremal pool, ehk null.

b. Järgmisena lahendage ruutvorm, kasutades vormitegurite meetodit, et leida rahuldav väärtus.
Miks? Seda tehakse selleks, et saaksite ebavõrdsusmärki hõlpsamalt võrdusmärgiks võtta.

c. Hulga lahendi kuju saame väärtuste kuvamisega numbrireal. See väärtus on intervalli piiraja, millest hiljem saab lahendi komplekt.

3. Kõrge auastmega ebavõrdsus

Järgmine on suur võimu ebavõrdsus.

Siinne kõrge auaste ei ole sõjaväe auaste sa tead jah nagu major, kapten, leitnant ja kindral.

Pigem kõrge aste ebavõrdsus on ebavõrdsus kraadidega, mis on suuremad kui kaks.

Mis puutub vormi "pistik" Nende hulgas paremal ja vasakul küljel sama mis aastal lineaarne ebavõrdsus ja ruutvõrratus.

Nende hulgas on: vähem kui (<), rohkem kui (>) ja rohkem kui (>).

Siin on suure võimu ebavõrdsuse üldine vorm:

Järgnevad on kõrge astme ebavõrdsuse lahendamise etapid, sealhulgas:

a. Nagu ka teisejärgulise ebavõrdsuse korral, peame kõik mõisted ühele poole viima. Näiteks liigutame seda vasakul küljel, nii et paremale küljele ei jääks termineid ega nulli.

b. Kujundamine faktoriks madalama astmega kujuks. Sest madalama astmega vorm aitab lahendust väärtuse leidmisel.

c. Seejärel paigutatakse teadaolevad väärtused numbrireale. Sarnaselt numbrirea kujule üldiselt peame igas piirkonnas märgi leidma või määrama.

4. Murtud ebavõrdsus

Murtud ebavõrdsus see on peaaegu sama mis murrud reaalarvudes.

Neid kahte eristab just see, kus Lugeja ja nimetaja täidetakse polünoomfunktsiooniga. Ka üldine vorm on endiselt sama mis eelmine ebavõrdsus, mis koosnes: vähem kui (<), rohkem kui (>) ja rohkem kui (>).

Järgnev on murdarvulise ebavõrdsuse üldine vorm:

Murdarvulise ebavõrdsuse lahendamisel on järgmised sammud, sealhulgas:

a. Liigutage kõik terminid ühte segmenti. Näiteks vasakul küljel ei jää paremale küljele termineid ega nulli.

Teie jaoks on oluline seda meeles pidada kutid, on meil rangelt keelatud nimetajat ja ka lugejaid ristpoolt korrutada.

Miks see on keelatud? Kuna tundmatu väärtus on väga võimalik, et saaksime ebavõrdsuse vormi muuta, kui teeme ristuvad ajad.

b. Tehke algebralisi toiminguid lihtsa vormi saamiseks, alles seejärel tehke faktooring x väärtuse saamiseks.

c. Viimane samm on korraldada x väärtus numbrireaks.

Nagu suure võimu ebavõrdsuse korral. Kõigepealt peame igal alal märgi käsitsi määrama.

Võttes piirkonnas x väärtuse ja testides seda siis ebavõrdsuste kujul.

5. Juurvormi ebavõrdsus

Uurime ruutjuurte juurevormide ebavõrdsust kutid. Selles juurvormi ebavõrdsuses on kaks võimalikku juhtumit. Nende hulgas on:

Järgmised sammud on ebavõrdsuse lahendamine juurte kujul, sealhulgas:

Näitejuhul A Saame seda teha kahel viisil:

1. Mõlemal küljel ruut.

2. Juurtingimuste kontrollimine, kus tagame, et ruutjuure funktsioon peab olema positiivne või võrdne nulliga, samuti teisel küljel asuvad konstandid.

Järgmine, edasi B juhtumi näide peaaegu sama mis näitejuhtumi A puhul, nimelt tehes:

1. Mõlemal küljel ruut.

2. Juurtingimuste kontrollimine, kus tagame, kas ruutjuure sees olev funktsioon peab olema positiivne või võrdne nulliga.

6. Absoluutne ebavõrdsus

Täpsemalt absoluutne ebavõrdsus, siis peame meeles pidama absoluutse ebavõrdsuse reeglit, mis on oluline samm absoluutse ebavõrdsuse probleemide lahendamisel.

Järgnevad sammud absoluutse ebavõrdsuse lahendamisel, sealhulgas:

|f (x)| < a siis juhtub -a

|f (x)| > siis rakendage f (x) või f (x)> a

|f (x)| = a siis kehtiv f (x) = ± a, nii et f (x) = a või f (x) = -a koos a R ja a> 0.

See on lühike ülevaade ebavõrdsusest, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.