Järjestused ja sarjad: aritmeetika, geomeetria, näiteülesanded, arutelu

Aritmeetilised jadad ja matemaatika jadad on jadade ja arvude jadade tüübid kus järgmine number on eelmise numbri liitmine erineva numbriga teatud.

Näiteks 3, 5, 7, 9, 11, 13,... Seda aritmeetilist järjestust saab väljendada ka järgmise valemi abil:

a, a + b, a + 2b, a + 3b,…. Järjestuste ja seeriate kohta lisateabe saamiseks vaadake järgmist arutelu.

Aritmeetiline rida

Liinide määratlus

Järjestus on hulga liikmete jada, mis põhineb kindlal reeglil.

Komplekti igas liikmes sorteeritakse esimese, teise ja nii järjestuses või tingimustes.

Järjestuse või järjestuse n-nda termini väljendamiseks võime seda tähistada sümboliga: U_n .

Järjestust võib tõlgendada ka loodusarvude funktsioonina või funktsioonina, mille domeeniks on loodusarvude hulk. nii et U_n = f (n)

Näidisprobleemid:

Näiteks: U_n = (2n + 1), siis on rea neljas termin U₄ = (2(4) + 1) = 9.

Järjestus on komplekt, mille liikmed on loomulike arvude järgi kaardistamise tulemus.

Rida on järgmine:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• 2, 5, 8, 11, 14, 17
• 13, 11, 9, 7, 5, 3
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
• 2, 4, 8, 16, 32, 64

Aritmeetiliste ridade mõistmine

Aritmeetiline rida on rida, kus iga termini väärtus saadakse eelmisest terminist, lisades või lahutades arvu b.

Kõrvalolevate terminite väärtuste erinevus on alati sama, nimelt b.

Siis:

U_n - U (_n-1) = b

Näiteks read 1, 3, 5, 7, 9 on aritmeetilised read väärtustega:

b = (9-7) = (7-5) = (5-3) = (3-1) = 2

Aritmeetilise jada n-nda termini väärtuse väljaselgitamiseks saame selle teada, teades k-nda termini väärtust ja külgnevate terminite (b) erinevust.

Valem on järgmine:

U_n = U_k + (n - k) b

Kui teada on esimese termini U väärtus_k = a ja terminite (b) vahe, siis väärtus k = 1 ja ka väärtus U_n = on

U_n = a + (n - 1) b

Aritmeetilise järjestuse keskmine hõim

Kui on aritmeetiline jada, millel on paaritu arv (n) termineid, on esimene termin a ja ka viimane termin U_n siis keskmises perspektiivis U_t rida on järgmine.

U_t = 1/2 (a + U_n)
kus t = 1/2 (n + 1)

Aritmeetilise jada n-nda termini valem
U_n = a + (n - 1) b 
Teave:
U_{n =} n-s hõim
a = esimene termin
b = erinev
n = palju termineid

Aritmeetiliste järjestuste lisamised

Kui kahe termini vahele on sisestatud aritmeetiline jada, siis moodustub uus aritmeetiline järjestus. Siis muutub erinevus aritmeetilises järjestuses pärast k termini sisestamist.

Erinevus sellest aritmeetilisest järjestusest pärast k termini sisestamist on järgmine.

b '= b / (k + 1) 

Teave:

b '= aritmeetiline järjestusevahe pärast k mõistete sisestamist
k = sisestatud terminite arv

Paljud aritmeetilise jada terminid, mis on sisestatud k mõistega, muutuvad ka järgmiselt.

n '= n + (n - 1) k 

Teave:

n '= on uue aritmeetilise jada terminite arv.
n = on vana aritmeetilise jada terminite arv.

Aritmeetiline progressioon

Seeria määratlus

Rida on jada liikmete summa.
Näitesari:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
• 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
• 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3

Aritmeetika seeria määratlus

Aritmeetiline progressioon on aritmeetilise jada tingimuste summa. Esimeste terminite summa aritmeetilise jada n-nda astmeni saab arvutada järgmiselt:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_(n-1)

või kui =

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) +…. + (a + (n - 2) b) + (a + (n - 1) b)

Kui on teada ainult see, et a väärtus on esimene ja selle n-s termin, siis on aritmeetilise rea väärtus:

S_n = n / 2 (a + U_n)

Selle võrrandi saab ümber pöörata, et leida n-nda termini väärtus:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_(n-1)

S_(n-1) = U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_(n-1)

S_n - S_(n-1) = U_n

Nii saame lõpliku valemi järgmiselt:

U_n = S_n - S_(n-1)

Aritmeetiline seeria on aritmeetilise jada terminite summa. Esimese n termini aritmeetilist seeriat tähistatakse tähega S_n ja sellel on järgmine valem.
S_n = n / 2 (a + u_n) 
või
S_n = n / 2 (2a + (n - 1) b) 
Teave:
S_{n =} esimese n termini summa
a = esimene termin
U_{n =} n. ametiaeg või viimane ametiaeg
b = erinev
n = palju termineid

Geomeetria

Geomeetriline jada on järjestus, milles kahe järjestikuse termini võrdlus on alati konstantne.

Nimetatakse kahe järjestikuse mõiste võrdlust suhe, mida tavaliselt tähistatakse tähe kasutamisega r.

Geomeetria suhte üldvalem, nimelt:

Valem n-nda termini jaoks geomeetrilises järjestuses

U_n = ar^{n - 1}

Teave:

U_n on n-s ametiaeg.
a on esimene termin.
r on suhe.
n on terminite arv.

Geomeetrilise järjestuse keskne tähtaeg

Kui geomeetrilises järjestuses on paaritu arv (n) mõistet, on esimene termin a ja viimane termin U_n siis keskmises perspektiivis U_t rida on järgmine.

Geomeetrilise jada keskmise termini valem:

Geomeetriliste järjestuste lisamised

Kui kahe geomeetrilise jada vahele on sisestatud k mõistet, moodustatakse uus geomeetriline jada, nii et geomeetriliste järjestuste suhe pärast k terminite sisestamist muutub.

Geomeetrilise järjestuse suhe pärast k termini sisestamist on järgmine:

Teave:

r 'on geomeetriliste järjestuste suhe pärast k terminite sisestamist.
k on sisestatud terminite arv.

Paljud geomeetrilise järjestuse terminid, mis on sisestatud k-ga, muutuvad ka allolevaga sarnaseks:

n '= n + (n - 1) k 

Teave:

n 'on uue geomeetrilise jada terminite arv.
n on vana geomeetrilise jada terminite arv.

Geomeetria seeria

Geomeetriline seeria on geomeetrilise rea tingimuste summa. Esimese n termini geomeetrilist seeriat tähistatakse S-tähega_n ja sellel on järgmine valem:

Teave:

S_n on esimese n termini summa.
a on esimene termin.
r on suhe.
n on terminite arv.

Lõpmatu geomeetriline seeria

Geomeetrilist järjestust suhtega -1 kuni 1 nimetatakse jadaks lähenev geomeetria.

Konvergentsete geomeetriliste jadade ja lõpmatult paljude terminite geomeetrilise rea saame arvutada järgmise valemi abil:

Teave:

a on esimene termin.
r on suhe tingimusega -1

Järjestuste ja seeriate suhe

• U_n = S_n - S_{n - 1}
• Aritmeetilise jada erinevuse saame aritmeetilise rea teisest tuletisest.

Näidisküsimused ning järjestuste ja seeriate arutelu

Aritmeetilised järjestused ja seeriad

1. probleem. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Aritmeetilises järjestuses on paaritu arv termineid. Kui esimene tähtaeg on 4 või viimane tähtaeg on 20, siis keskmine tähtaeg on ...

a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Vastus:

a = 4
Un = 20
Ut = a + Un2 = 20 + 42 = 12

Vastus: a

2. küsimus. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Aritmeetilises järjestuses on seitse mõistet. Kui esimene termin ja erinevus on 2. Arvestage keskmine tähtaeg?

a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Vastus:

a = 2
b = 2
n = 7
Ut = a + (n-1) b2 Ut = a + (n-1) b2 = 2 + (7-1) 22 = 8

3. probleem. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Järjestuse 15. termin: 2, 5, 8, 11, 14,… on…

a.41
b.44
c.45
d.47

Vastus:

Ülaltoodud järjestus on aritmeetiline jada, kuna sellel on ka väga püsiv erinevus.

• Esimene termin on = a = U1 = 2
• Erinevus on = b = U2 - U1 = 5–2 on 3

15. ametiaeg = U15
Un = a + (n - 1) b
U15 = 2 + (15 - 1) 3
= 2 + 14. 3
= 2 + 42
= 44

5. küsimus. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Numbrite jada 45. termin: 3, 7, 11, 15, 19,… on…

a.-179
b.-173
umbes 173
d.179

Vastus:

Ülaltoodud järjestus on aritmeetiline jada, sest paljudel on sama erinevus.

• Esimene termin = a = 3
• Erinevus = b = U2 - U1 = 7–3 on 4

Un = a + (n - 1) b
U45 = 3 + (45 - 1) 4
= 3 + 44. 4
= 3 + 176
= 179

6. küsimus. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Järjestuse 50. termin: 20, 17, 14, 11, 8,… on…

a.-167
b.-127
c.127
d.167

Vastus:

Ülaltoodud järjestus on aritmeetiline jada, sest paljudel on sama erinevus.

• Esimene termin on = a = 20
• Erinevus on = b = U2 - U1 = 17-20 on -3

Un = a + (n - 1) b
U50 = 20 + (50-1) -3
= 20 + 49. (-3)
= 20 + (-147)
= -127

7. küsimus. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Aritmeetilise järjestuse 94, 90, 86, 82,… n-nda termini valem on…

a. Un = 90 + 4n
b. Un = 94 + 4n
c. Un = 94 - 4n
d. Un = 98 - 4n

Vastus:

• Esimene termin on = a = 94
• Erinevus on = b = 90 - 94 on -4

n-s ametiaeg on:
Un = a + (n-1) b
= 94 + (n-1) -4
= 94 + (-4n) + 4
= 94 + 4-4n
= 98 - 4n

8. küsimus. Aritmeetilised järjestused ja seeriad

Samuti on teada, et aritmeetiline seeria 17, 20, 23, 26,... Seeria esimese 30 termini summa on…

a. 1.815
b. 2.520
c. 2.310
d. 2.550

Vastus:

• esimene termin on = a = 17
• Erinevus on = b = U2-U1 = 20-17 on 3
• Esimese 30 termini summa on = S30

Sn = n / 2 (2a + (n-1) b)
S30 = 30/2 (2,17 + (30-1) 3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815

9. ülesanne.

On teada, et aritmeetiline jada valemiga Sn = 2n ^ 2 + 3n. Aritmeetiliste seeriate erinevus on ...

a. 3
b. 4
c. 5
d. 9

Vastus:

Leiame erinevuse, lahutades 2 termini (S2) arvu 1 termini (S1) arvuga, nii et:

Sn = 2n ^ 2 + 3n
S2 = 2,2 ^ 2 + 3,2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14

Sn = 2n ^ 2 + 3n
S1 = 2,1 ^ 2 + 3,1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5

erinevus = b = S2-S1
= 14 – 5
= 9

10. küsimus.

Antud aritmeetiline jada. Järjestuse esimene termin on 25 või üheteistkümnes termin 55.

Järjestuse 45. tähtaeg on…

a. 157
b. 163
c. 169
d. 179

Vastus:

U1 = a = 25

U11 = 55
a + (11-1) b = 55
25 + 10b = 55
10b = 55-25
10b = 30
b = 30/10
b = 3

Seejärel palutakse meil leida U-45, et:
Un = a + (n-1) b
U45 = 25 + (45-1) 3
= 25 + 44.3
= 25 + 132
= 157

Vastus: a.

Geomeetrilised järjestused ja seeriad

1. probleem. Geomeetrilised järjestused ja seeriad

Arvestades geomeetrilist järjestust, kust leida termin Un.

Leidke kümnes termin Un järjestusest 1/8, 1/4, 1/2,…. seda!

Vastus:

On tuntud:

• = r = 1/4: 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (suhe)
• a = 1/8

Lahendus:

• Un = arn - 1
• Un = 1/8. 2 (10 – 1) = 1/8. 29 = 2 – 3. 29 = 26 = 64

nii et 10. Un-mõiste on = 64 

2. küsimus.

On teada, et amööb jaguneb 2-ks iga 6 minuti järel, mis on amööbide arv ühe tunni pärast, kui esialgu on ainult 2 amööbi.

Loe amööbi arvu jaoks Un-termin!

Vastus:

On tuntud:

• a = 2
• r = 2
• n = (1 tund / 6 minutit) + 1 = 11

Lahendus:

• Un = arn - 1
• Un = 2. 2 11 – 1 = 210 = 1024 amööbi tükki

nii et ülaltoodud amööbi otsimiseks on un hõim = 1024 amööbi tükki

3. probleem.

Antud geomeetriline jada termini Un leidmiseks.

Leidke seitsmes termin Un järjestustest 3, 6, 2,…. seda!

Vastus:

On tuntud:

• a = 3
• r = 2

Lahendus:

• Un = ar^(n-1)
• Un = 3,2^(7-1)
• U7 = 3,2^(7-1)
• U7 = 192

nii et 17. Un-mõiste on = 192 

4. ülesanne.

Antud geomeetriline jada termini Un leidmiseks.

Leidke seitsmes termin Un järjestusest 48, 24, 12,…. seda!

Vastus:

On tuntud:

• a = 48
• r = 1/2

Lahendus:

• Un = ar^n-1
• Un = 48. (1/2)^n-1
• Un = 48. (1/2)^n-1
• Un = 48. (2^-1)^1-n
• Un = 3,16. (2)^1-n
• U7 = 3,2⁴ (2)^1-n
• U7 = 3.2^5-n

nii et 7. Un termin on = 3.2^5-n

5. küsimus.

Mõiste Un leidmiseks on geomeetriline järjestus.

Loendage seitsmes termin Un järjestustest 44, 24, 12,…. seda!

Vastus:

On tuntud:

• a = 44
• r = 1/2

Lahendus:

• Un = ar^n-1
• Un = 44. (1/2)^n-1
• Un = 44. (1/2)^n-1
• Un = 44. (2^-1)^1-n
• Un = 3,8. (2)^1-n
• U7 = 3,2³ (2)^1-n
• U7 = 3.2^4-n

nii et 7. Un termin on = 3.2^4-n

6. küsimus.

Antud geomeetriline jada termini Un leidmiseks.

Leidke seitsmes termin Un järjestusest 42, 24, 12,…. seda!

Vastus:

On tuntud:

• a = 42
• r = 1/2

Lahendus:

• Un = ar^n-1
• Un = 42. (1/2)^n-1
• Un = 42. (1/2)^n-1
• Un = 42. (2^-1)^1-n
• Un = 3,4. (2)^1-n
• U7 = 3,2² (2)^1-n
• U7 = 3.2^3-n

nii et 7. Un termin on = 3.2^3-n

7. küsimus.

Antud geomeetriline jada termini Un leidmiseks.

Leidke seitsmes termin Un järjestusest 58, 24, 12,…. seda!

Vastus:

On tuntud:

• a = 48
• r = 1/2

Lahendus:

• Un = ar^n-1
• Un = 58. (1/2)^n-1
• Un = 58. (1/2)^n-1
• Un = 58. (2^-1)^1-n
• Un = 4,16. (2)^1-n
• U7 = 4,2⁴ (2)^1-n
• U7 = 4.2^5-n

nii et 7. Un termin on = 4.2^5-n

8. küsimus.

Geomeetrilises seerias on teada, et U1 = 6 ja U5 = 486. Kui suur on suhe?

Vastus:

U1 = 6
U5 = 486
n = 5

Un = U1 × r^n-1
U5 = 6 × r^5-1
486 = 6 × r⁴

r⁴  = 486/6
= 81

r = ±
r = 3 või -3

Seega on seeria suhe 3 või -3.

9. ülesanne.

Geomeetrilises seerias on teada, et U3 = 81 ja U6 = 3. Siis loe seeriaid!

Vastus:

U3 = 81, siis U1 × r2 = 81
U6 = 3, siis U1 × r⁵  = 3
U6 / U3 = (U1 × r⁵ ) / (U1 × r²) = 3/81

r = 1/27
r = ruutjuur (1/27)
r = 1/3

U1 × r² = 81
U1 × (1/3) ² = 81
U1 × 1/9 = 81

U1 = 81: 1/9
U1 = 81 × 9
U1 = 729

Seega on seeria 729 + 243 + 81 + 27 +…

10. küsimus.

Geomeetrilise rea esimene termin on 2 ja suhe 3. Kui seeria keskmine tähtaeg on 54, siis määrake:

a. sarja viimane ametiaeg.

b. seerias olevate terminite arv.

Vastus:

a. U1 = 2
Ut = 54
r = 3

Ut = (U1 × Un)
54 = (2 × Un)
54² = 2 × Un

2 916 = 2Üh
Un = 2,916 / 2
Un = 1,458

Niisiis, seeria viimane termin (Un) on 1458.

b. Un = U1 × r^n-1
1.458 = 2 × (3)^n-1
(3)^n-1 = 1.458/2
(3)^n-1 = 729
(3)^n-1 = 3⁶
n-1 = 6
n = 7

Seega on seerias terminite arv 7.

See on lühike ülevaade ridadest ja seeriatest, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.