Logaritmid: omadused, logaritmilised võrrandid, tingimused, mäed, probleemid

Logaritm on matemaatiline tehing, kus see toiming on eksponendi või astme pöördvõrdeline (või pöördvõrdeline) toiming. Selle logaritmilise valemi alus või põhiosa on tavaliselt tähe a kujul.

Või on mainitud ka seda, kas see logaritm on pöördvõrdeline või pöördvõrdeline kasutatavast astmest (eksponent) määrata baasarvu astendaja.

Inglise keeles nimetatakse logaritmi logaritm.

Nii et sisuliselt võime logaritme uurides leida arvu astme teadaoleva astendiga.

Logaritm

Kui olete teadnud, mis on logaritm, olete kohustatud tundma ka selle logaritmi üldist vormi.

Siin on logaritmi üldine vorm:

Logaritmi üldine vorm:

Kui aⁿ = x siis ^alogx = n

Teave:

a: on alus, millel on järgmised tingimused: a> 0 ja a 1.

x: on number, mida algoritm otsib (arv), tingimused on: x> 1

n: on logaritmi jõud.

Nüüd on aeg vaadata alltoodud näiteid, et ülaltoodud kirjeldust paremini mõista:

1. Kui 3² = 9, siis logaritmilisel kujul muutub see väärtuseks ³log 9 = 2
2. Kui 2³ = 8, siis logaritmilisel kujul muutub see väärtuseks ²log 8 = 3
3. Kui 5³ = 125, siis logaritmilisel kujul muutub see väärtuseks ⁵log 125 = 3

Kuidas sul läheb? Nüüd hakkan aru saama eks?

Nohtavaliselt siin, kogete ikka veel segadust, kui määrate, milline number on alus ja milline number.

Logaritm on matemaatiline tehing, kus on astendi või astme pöördvõrde.

Logaritmi põhivalem: b^c = a kirjutatakse järgmiselt ^blog a = c (b nimetatakse põhilogaritmiks).

Pole see?

Rahune poisid, võti, mida peate lihtsalt meeles pidama, on baasinumber see on alus, asub ülaosas enne logi märki. Ja numberauastme tulemus seda nimetatakse kui numerus, asub sõna "log" allosas. Lihtne eks?

Logaritmilised võrrandid

Logaritmiline võrranda on võrrand, milles muutuja on logaritmi alus.

Seda logaritmi saab määratleda ka matemaatilise tehinguna, mis on eksponendi või astme pöördvõrdeline (või pöördvõrdeline).

Näide Arv 

Siinkohal toome mõned näited logaritmilistest numbritest, sealhulgas järgmised:

Järgmisena on logaritmidel ka mõned omadused, mis Nõutud et saaksite aru, siin. Miks kohustuslik?

Selle põhjuseks on see, et neist omadustest saab hiljem teie võimalus logaritmiliste probleemide hõlpsalt töötamisel.

Logaritmide omadustest aru saamata ei saa te logaritmiprobleemidega töötada, sa tead!

Siis kõike kurat Millised on logaritmi omadused? Ole nüüd, pange tähele allolevaid ülevaateid.

Logaritmilised omadused

Järgmised on mõned logaritmide omadused, millest peate aru saama, sealhulgas:

Lisaks mõnele ülaltoodud omadusele on ka mõned logaritmiliste võrrandite omadused, sealhulgas:

Logaritmiliste võrrandite omadused

Logaritmilisel võrrandil on ka mõned erilised omadused, need omadused on järgmised:

1. Korrutamise logaritmilised omadused 

Korrutamise logaritmiline omadus on kahe teise logaritmi lisamise tulemus, milles kahe numbri väärtus on algse arvväärtuse tegur.

^apalgid lk. q = ^alog p + ^alog q

Selle ühe tunnuse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmiline korrutamine

Logaritmide korrutamine on logaritmi a omadus, mida saab korrutada logaritmiga b, kui logaritmi a arvuline väärtus on võrdne logaritmi b alusarvuga.

Korrutamise tulemuseks on uus logaritm, mille alusarv on võrdne logaritmiga a. Ja sellel on sama arvuline väärtus kui logaritmil b.

^alog b x ^blogc = ^alogi c

Selle ühe omaduse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1.

3. Jaotuse laad 

Jagamise logaritmiline omadus on kahe teise logaritmi lahutamise tulemus, kus kahe numbri väärtus on murdosa või algse logaritmi arvulise väärtuse jagamine.

^alogi p / q: ^alogi p - ^alog q

Selle ühe tunnuse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Pööratult võrreldavad tunnused

Pööratult proportsionaalse logaritmi omadus on omadus teiste logaritmidega, millel on baasinumbri väärtus ja number vahetatavad.

^alogb = 1 /^blogi a

Selle ühe omaduse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1.

5. Vastasmärk 

Vastupidise märgi logaritmiline omadus on omadus, millel on logaritm, mille number on alglogaritmi arvväärtuse pöördmurd.

^alog p / q = - ^alogi p / q

Selle ühe tunnuse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Volituste olemus 

Võimude logaritmiline omadus on omadus, mille arvväärtus on eksponent. Ja seda saab kasutada uue logaritmina, väljastades võimsuse kordnikule.

^alogi b^lk = lk. ^alogi b

Selle ühe tunnuse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Logaritmiliste põhinumbrite jõud 

Baasinumbri logaritmilise võimsuse võimsus on omadus, kus baasinumbri väärtus on a eksponent (võimsus), mida saab kasutada uue logaritmina, eemaldades numbri jõu eraldaja.

a^lklogb = 1 / p^alogi b

Selle ühe omaduse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmilised põhinumbrid, mis on võrreldavad numbriliste jõududega 

Baasinumbri omadus, mis on proportsionaalne numbri võimsusega, on omadus, mille arvuline väärtus on a baasnumbri väärtuse eksponent (võimsus), millel on sama tulemusväärtus kui numbri jõu väärtusel seda.

^alogi a^lk = lk

Selle ühe omaduse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0 ja a \ ne 1.

9. Koht 

Logaritmide võimsus on üks nende arvude omadustest, mille jõud on logaritmide kujul. Võimsuse väärtuse tulemus on väärtus, kus arv tuleb logaritmist.

a ^alog m = m

Selle ühe tunnuse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Logaritmilise baasi muutmine 

Selle logaritmi aluse muutmise olemuse võib jagada ka kahe logaritmi võrdluseks.

^lklog q = ^alogi p /^a log q

Selle ühe tunnuse jaoks on mitu tingimust, nimelt: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritmiline võrrandivalem

Ülaltoodud kirjelduse põhjal on logaritm matemaatiline tehing, mis on eksponendi või astme pöördvõrdeline väärtus.

Näide eksponentsiaalse vormi logaritmist liani vahel: a^b = c, kui see on väljendatud logaritmilises märkuses, see on ^alogc = b.

Avaldus on järgmine:

• a on põhi- või baasinumber.
• b on logaritmide tulemus või vahemik.
• c on logaritmi number või domeen.

Märkmetega:

Enne kui logaritmi valemi üle arutame, on teil vaja sellest aru saada, kui seda on kirjutatud ^alog b tähendab sama, mis log_a b.

Logaritmilise võrrandi valem on muu hulgas järgmine:

Logaritmiline võrrandivalem:

Kui meil on ^alogf (x) = ^alog g (x), siis f (x) = g (x).
Mõne tingimuse korral, näiteks: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmiline ebavõrdsus:

Kui meil on log f (x)> ^alog g (x), siis on meil kaks olekut, nimelt:

Esiteks, kui a> 0 tähendab: f (x)> g (x)
Teiseks, ajal 0

Näidisküsimused ja arutelu

Järgnevalt toome mõned näited küsimustest ja nende arutelu. Kuula tähelepanelikult, jah.

Näidisküsimused 1-3

1. ²palgid 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Kui see on teada ²log 8 = m ja ²log 7 = n, siis leidke väärtus ¹⁶palgid 14!

Vastus:

1. probleem.

Esimene samm, mida peame tegema, on kontroll baas.

Logaritmi kahel võrrandil on ilmselt sama baasväärtus, mis on 2.

Seetõttu saame tulemuse leidmiseks kasutada logaritmi teist omadust.

nii et ²palgid 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²palgid 32 = 5. Pidage meeles! Logaritmi eesmärk on leida jõud.

Mis siis 2 32-le? Vastus on keegi muu kui 5. Lihtne, kas pole?

2. küsimus.

Läheme edasi küsimuse nr 2 juurde.

Küsimuses nr 2 ei saa me seda kohe teha, sest kindlasti kogete segadust 8 astme väärtuse leidmisel, mille tulemuseks on 32. Siis kuidas?

Kui vaatleme probleemi lähemalt, on 8 2 astme tulemus³ ja ka 32, mis on 2 jõu tulemus⁵.

Seetõttu saame logaritmilise vormi muuta järgmiseks:

⁸log 32 = ²³logi 2

= 5/3 ²log 2 (kasutage atribuudi numbrit 6)

= 5/3(1) = 5/3

3. probleem.

Kuidas teil läheb? Kas olete juba hakanud põnevil olema?

Noh, küsimuse number 3 arutelul teeb see teid veelgi põnevamaks!

Peate teadma, et küsimusest nr 3 leiate mudeli sageli riiklikest eksamiküsimustest või ülikooli valikuküsimustest sa tead.

Esmapilgul tundub see üsna keeruline, jah, kuid kui te juba mõistate mõistet, on seda probleemi väga lihtne teha.

Kui leiate sellise probleemimudeli, saate selle väärtuse leida numbri 4 logaritmilise omaduse abil.

Niisiis, protsess on:

²log 8 = m ja ²log 7 = n, ¹⁶palgid 14?

¹⁶log 14 = ²logi 14 / ²log 16

Märge:

Millise baasi valimiseks võime vaadata otse numbrit, mis kuvatakse probleemis kõige sagedamini. Nii et me teame, et number 2 ilmub 2 korda, 8 nii palju kui üks kord ja 7 nii palju kui üks kord.

Kõige rohkem ilmuv arv pole keegi muu kui 2, seega valime aluseks 2. Sain aru?

= ²palgid (7 x 2) / ²palgid (8 x 2)

Siis, meie kirjeldage numbrit.

Proovime selle muuta juba probleemis olevaks vormiks. Mida sa silmas pead?

siin kutid, teadaoleval küsimusel ²log 8 ja ka ²palgid 7. Kuna arvud on nii 8 kui ka 7, jagame 14 7 × 2-ks ja 16 8 × 2-ks, nii et näeme lõpptulemust.

= ²log 7 + ²logi 2 / ²log 8 + ²log 2 (kasutage omaduse numbrit 2)

= n + 1 / m + 1

Teine näite küsimus.

Probleem 1. (EBTANAS '98)

On tuntud ³log 5 = x ja ³log 7 = y. Arvutage väärtus ³palgid 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Vastus:

³palgid 245 ^½ = ³palgid (5 x 49) ^½

³palgid 245 ^½ = ³palgid ((5) ^½ x (49) ^½)

³palgid 245 ^½ = ³palgid (5) ^½ + ³palgid (7²) ^½

³palgid 245 ^½ = ½( ³log 5 + ³palgid 7)

³palgid 245 ^½ = (x + y)

Niisiis, väärtus ³palgid 245 ^½ st (x + y).

2. küsimus. (UMPTN '97)

Kui b = a⁴, a ja b väärtused on positiivsed, siis väärtus ^alog b - ^blogi sisse ie…?

Vastus:

On teada, kas b = a⁴, siis saame selle arvutusse asendada:

^alog b - ^bloga = ^alogi a⁴ - a⁴ logi a

^alog b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^alogid a)

^alog b - ^bloga = 4 - 1/4

^alog b - ^bloga = 3^3/4

Niisiis, väärtus ^alog b - ^blogi küsimuse number 2 on 3^3/4.

3. probleem. (UMPTN '97)

Kui ^apalgid (1- ³log 1/27) = 2, siis arvutage a väärtus.

Vastus:

Kui me muudame väärtuse 2 logaritmiks, kus logaritmi alusarv on a, saab ^alogi a²= 2, siis saame:

^apalgid (1- ³log 1/27) = 2

^apalgid (1- ³palgid 1/27) = ^alogi a²

Kahe logaritmi arvväärtus võib olla võrrand, nimelt:

1- ³log 1/27 = a²

³palgid 3 - ³log 1/27 = a²

³palgid 3 - ³logi 3^(-3) = a²

³palgid 3/3^-3 = a²

³logi 3⁴ = a²

4 = a²

Seega saame väärtuse a = 2.

4. ülesanne.

Kui on teada, et 2log 8 = a ja 2log 4 = b. Seejärel arvutage 6log 14 väärtus

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Vastus:

2 log 8 jaoks = a

= (log 8 / log 2) = a
= log 8 = log 2

2 logi korral 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Niisiis, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + log log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Niisiis, ülaltoodud näiteülesande väärtus 6 log 14 on (1 + a) / (1 + b). (D)

5. küsimus.

(3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) väärtus on?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Vastus:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3 logi (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Seega on 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 väärtus 1. (B)

6. küsimus.

Arvutage väärtus allpool logaritmi ülesandes:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Vastus:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 väärtuseni 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2 logi 16 = 4

Niisiis on iga ülaltoodud logaritmülesande väärtus 5 ja 4.

7. küsimus.

Arvutage väärtus allpool logaritmi ülesandes:

1. 2 logi 5 x 5 logi 64
2. 2 palki 25 x 5 logi 3 x 3 logi 32

Vastus:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3 päevikut 2)
= 2 x 5 x (2 log 5) x (5 log 3) x (3 log 2)
= 10 x (2 log 2) = 10 x 1 = 10

Seega on ülaltoodud küsimuse väärtus 6 ja 10.

8. küsimus.

Arvutage log 25 + log 5 + log 80 väärtus on ...

Vastus:

log 25 + log 5 + log 80
= palk (25 x 5 x 80)
= palgid 10000
= log 104
= 4

9. ülesanne.

On teada, et log 3 = 0,332 ja log 2 = 0,225. Siis logi 18 küsimusest….

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Vastus:

Teatud:

• Logi 3 = 0,332
• Logi 2 = 0,225

Küsis:

• log 18 =….?

Vastus:

Palgid 18 = palgid 9. logi 2
Logi 18 = (logi 3. log 3). logi 2
Palgid 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Logi 18 = 0,664 + 0,225
Logi 18 = 0,889

Niisiis, log 18 väärtus ülaltoodud küsimuses on 0,889. (A)

10. küsimus.

Järgmiste eksponentide teisendamine logaritmilisse vormi:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Vastus:

* Muutke eksponendid logaritmilisse vormi järgmiselt:

Kui ba = c väärtus, siis ajaveebi c = a väärtus.

1.  24 = 16 → 2 logi 16 = 4
2.  58 = 675 → 5 logi 675 = 8
3.  27 = 48 → 2 logi 48 = 7

Seega lühike ülevaade, mille seekord saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.