Ruutfunktsioonid: funktsioonid, valemid, paraboolgraafikud, ülesanded

Ruutfunktsioon, tuntud ka kui polünoomfunktsioon, on kõrgeima astendajaga 2 funktsioon.

Üldiselt on ruutfunktsiooni üldine vorm f (x) = kirves²+ bx + c või y = kirves²+ bx + c.

Funktsioon on alati seotud funktsiooni graafikuga. Samamoodi ruutfunktsiooniga.

Ruutfunktsiooni graafikul on parabooli kuju. Ruutfunktsiooni graafiku joonistamiseks on vaja määrata koordinaattelgedega ristumispunkt ja ka äärmuslikud punktid.

Mis puutub muudesse äärmuslike punktide tähistustesse, nimelt tipppunkti või maksimum- või miinimumpunkti. Ja nüüd arutame igaüht sellest punktist. Vaadake järgmist arutelu.

Ristumine koordinaatteljega

X-teljega lõikepunkt saadakse ruutfunktsioonis x-muutuja väärtuse määramisega. Kui muutuja y väärtus on võrdne nulliga, saadakse lõikepunkt (x.)₁, 0) ja (x₂,0).

mis x₁ ja x₂ on ruutvõrrandi juured.

Kuid peate meeles pidama, et ruutvõrrandi erinevad juured sõltuvad diskrimineerijast.

Kui diskrimineerija on võrdne nulliga, saadakse ainult üks juur ja see tähendab, et X-teljega on ainult üks lõikepunkt.

Kui diskrimineeriv väärtus on väiksem kui null, pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, mis tähendab, et sellel pole ristmikku X-teljega.

Lõikepunkt Y-teljega saadakse ruutfunktsioonis y väärtuse leidmisel, kui muutuja x väärtus on võrdne nulliga, nii et saadakse punkt (0, y).₁).

Äärmuslik punkt

Ruutfunktsiooni äärmuspunkt on koordinaat, kus abstsiss on sümmeetriatelje väärtus ja ordinaat on äärmusväärtus.

Ristfunktsiooni y = kirje koordinaatide paarid äärmuslikest punktidest²+ bx + c on selline.

D on diskrimineeriv

D = b²-4ac

Nagu me eespool mainisime,

on sümmeetriatelg ja on ruutfunktsiooni äärmuslik väärtus.

Ruutfunktsioonide äärmuspunktide valemi tõestamine

Äärmusliku punkti saame esimese tuletise mõistest.

Ruutfunktsiooni äärmuspunkt y = ax² + bx + c saadakse selle kõigepealt langetades, siis on tuletise tulemus võrdne nulliga, y '= 0, nii et saate järgmise vormi:

Siin on juhised ruutfunktsiooni y = ax graafiku joonistamiseks²+ bx + c

1. Määrake ristumiskoht koordinaattelgedega.
   • X-teljega lõikepunkt, kui y = 0.
     (ükski ruutfunktsioonide korral, mille D <0).
   • Lõikepunkt Y-teljega, kui x = 0.
2. Määrake äärmuslik punkt, st

Probleemide näide:

Lahkame koos ruutfunktsiooni f (x) = x²-6x + 8

X-teljega lõikepunkt

Pidage meeles, et lõikepunkt X-teljega saadakse, kui väärtus y = 0, siis sellest saadakse ruutvõrrandi x vorm²-6x + 8 = 0.

Selle tagamiseks, et ülaltoodud ruutvõrrandil oleksid juured, on esimene samm kõigepealt kindlaks teha diskrimineeriv.

D = b²-4ac = (- 6)²-4(1)(8)=36-32=4

Kuna diskrimineerija on 4 (positiivne), peab ruutvõrrandil olema kaks erinevat tegelikku juurt.

See tähendab, et ülal oleval ruutfunktsioonil on kaks lõikepunkti X-teljega. X-teljega lõikepunkt saadakse ruutvõrrandi juurtest.

x²-6x + 8 = 0
(x-2) (x-4) = 0
x = 2 või x = 4

Seega on X-teljega lõikepunktid (2,0) ja (4,0)

Ristumine Y-teljega

Lõikepunkt Y-teljega saadakse, kui väärtus x = 0.
y = x²-6x + 8
y = 0²-6(0)+8=8

Niisiis, Y-teljega lõikepunkt on (0,8)

Äärmuslik punkt

Ruutfunktsiooni äärmuspunkt f (x) = ax²+ bx + c s.t.

See tähendab, et ruutfunktsiooni jaoks f (x) = x²-6x + 8 äärmist punkti on järgmised:

Sümmeetriatelg on x = 3 ja äärmuslik väärtus -1.

X-teljega lõikepunkti, Y-teljega lõikepunkti ja ka äärmuspunktide teabe põhjal saame joonistada ruutfunktsiooni graafiku.

Etapid pärast X-teljega lõikepunkti, Y-teljega lõikepunkti ja ka äärmuspunkti saamist. Seejärel joonistage punktid ristkoordinaatides ja ühendage need seejärel sujuva kõveraga.

Ülalolevas näiteülesandes on ruutfunktsioon f (x) = x²-6x + 8 ristub X-teljega (2.0) ja (4,0), lõikub Y-teljega (0.8) ja äärmuspunktiga (3, -1).

Nende punktide pilt ristkülikukujulistes koordinaatides on allpool toodud joonisel.

Seejärel ühendage punktid sujuva kõveraga, nii et saadakse ruutfunktsioonikõver f (x) = x.²-6x + 8 järgmiselt:

Paraboolse kõvera omadused

1. Põhineb koefitsiendil "ɑ"

A väärtus on graafi avamise suuna määrava funktsioonina.

• Kui a> 0, avaneb parabool ülespoole, kui pöördepunkt on minimaalne, nii et sellel on minimaalne väärtus.
• Kui a <0, avaneb parabool allapoole, kui pöördepunkt on maksimaalne, nii et sellel on maksimaalne väärtus.

2. Põhineb koefitsiendil "b"

B väärtusel on funktsioon determinandina, et määrata sümmeetriatelje asukoht graafikul.

• Sama märgiga (a> 0, b> 0) või (a <0, b <0) a ja b korral on sümmeetriatelg y-teljest vasakul.
• Erinevate märkidega (a <0, b> 0) või (a> 0, b <0) a ja b korral on sümmeetriatelg teljest y paremal.

3. Põhineb koefitsiendil "c"

C-väärtusel on funktsioon y-teljega lõikepunkti määrajana.

• Kui c> 0, lõikub parabooli graafik positiivsel y-teljel.
• Kui c <0, lõikub parabooli graafik negatiivse y-teljega.

4. Põhineb D = b² - 4ac (diskrimineeriv)

• Kui D> 0, on ruutvõrrandil kaks erinevat tegelikku juurt.
  Parabool ristub x-teljega kahes punktis. Et D oleks täiuslik ruut, on mõlemad juured ratsionaalsed, samas kui D pole täiuslik ruut, seega on mõlemad juured irratsionaalsed.
• Kui D = 0, on ruutvõrrandil kaks võrdset juurt (kaksikjuurt), see on reaalne ja on ka ratsionaalne. Parabool puutub kokku x-teljega.
• Kui D <0, pole ruutvõrrandil tegelikke juuri või mõlemad juured pole reaalsed (kujuteldavad). Parabool ei ristu ega puuduta x-telge.
  • D <0, a> 0 korral on parabool alati x-telje kohal või seda nimetatakse tavaliselt positiivseks kindlaks.
  • D <0, <0 korral jääb parabool alati x-telje alla või nimetatakse seda tavaliselt negatiivseks kindlaks.

Ruutfunktsiooni koostamine

1. Kui see lõikub x-teljel punktis (x₁, 0) ja (x₂, 0), siis kehtib järgmine valem: y = ƒ (x) = (x - x₁) (x - x₂).
2. Kui tipp (x_lk, y_lk), siis kehtib järgmine valem: y = ƒ (x) = (x - x_lk)² + y_lk.
3. Kui puutub x-teljele punktis (x₁, 0) siis kehtib järgmine valem: y = ƒ (x) = (x - x₁)²

Liinisuhe parabooliga

Põhineb D = b² - 4ac, joone asukoht paraboolil on jagatud kolme liiki, sealhulgas:

1. D> 0 tähendab, et joon lõikub parabooliga kahes punktis.
2. D = 0 tähendab, et joon lõikub parabooliga ühes punktis (lõikub)
3. D <0 tähendab, et joon ei ristu ega puuduta parabooli.

Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem:

Kui funktsioon f (x) = px²- (p + 1) x-6 saavutab x = -1 suurima väärtuse, seejärel määrake p väärtus.

Vastus:

x = -1 on sümmeetriatelg, valem on -b / 2a.

Tähendus: -b / 2a = -1
- (- (p + 1)) / 2 (p) = - 1
p + 1 = -2 p
3p = -1
p = -1 / 3

2. probleem:

Määrake ruutfunktsiooni jaoks äärmuslik punkt ja ka lõikepunkt X-teljega
f (x) = x²-20x + 75.

Vastus:
Valemi äärmuslik punkt:

X-teljega lõikepunkt, kui ruutfunktsiooni y = x korral on y = 0²-20x + 75 äärmuslikku punkti:

X-teljega lõikepunkt

x²-20x + 75 = 0
(x-5) (x-15) = 0
x = 5 või x = 15, nii et lõikepunktid on (5,0) ja (15,0)

3. ülesanne:
Ruutfunktsiooni y = x graafiku pöördepunkti koordinaadid²+ 4x-6 on…

Vastus:

Valemi pöördkoordinaadid on:

4. ülesanne:

On teada, et f (x) = -x² + 5x + c, kui piigi ordinaat on 6, on c väärtus ...

Vastus:

Tipu ordinaat, valem: -D / 4a
-(5²-4 (-1) c) / 4 (-1) = 6
- (25 + 4c) / - 4 = 6
- (25 + 4c) = - 24
25 + 4c = 24
4c = -1
c = -1 / 4

Järgmisena toome näite küsimusest SNMPTN ja ka ÜRO Ruutfunktsioonide osas vaadake allolevat arutelu hästi:

1. probleem. (MADAS SNMPTN 2012)

Kui allolev pilt on graafi ruutfunktsioonist f tipuga (-2,0) ja läbi punkti (0, -4), on f (-5) väärtus…

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

Vastus:

On teada, et tipp (x_lk, y_lk) = (-2,0), läbides punkti (x, y) = (0, -4)

Kui tipp on teada, on sobiv valem:

y = f (x) = a (x-x_lk )² + y_lk

A väärtuse leidmiseks toimige järgmiselt.

y = f (x) = a (x-x_lk)² + y_lk
y = a (x + 2)² + 0
-4 = a (0 + 2)² + 0
-4 = 4a
a = -1

Nii saate:
f (x) = - (x + 2)², kusjuures f (-5)
f (-5) = - (- 5 + 2)² = -9

Niisiis, vastus on: C

2. küsimus. (MatDas SBMPTN 2013)

Kui ruutfunktsiooni graafik f (x) = ax² + bx + c on tipp (8,4) ja lõikub negatiivse x-teljega siis ...

1. a> 0, b> 0 ja c> 0
2. a <0, b <0 ja c> 0
3. a <0, b> 0 ja c <0
4. a> 0, b> 0 ja c <0
5. a <0, b> 0 ja c> 0

Vastus:

On teada, et tipp on (8,4), nii et graafik avaneb allapoole, seejärel:

a <0
x_lk = -b / 2a = 8, kuna a <0 → b> 0
D = b² - 4ac, x-telje lõikamise tingimus on negatiivne D> 0, kuna b> 0 ja a <0, siis:
b² - 4ac> 0
(+) - 4 (-) c> 0
c> 0

Nii et vastus on: E

3. probleem. (Loodusmatemaatika SBMPTN 2014)

On teada, et parabool on sirge x = -2 suhtes sümmeetriline ja parabooli puutuja on joonega 4x + y = 4 paralleelses punktis (0,1). Parabooli tipp on ...

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

Vastus:

Olgu parabooli võrrandiks y = ax² + bx + c parabool sirgele x sümmeetriline_lk = -2, siis määrake x_lk = -b / 2a = -2 → b = 4

joon 4x + y = 4 → m_g = -4
Kuna see on paralleelne siis m_parabool = m_rida = -4
m_parabool = y
2ax + b = -4 läbi punkti (0,1)
2a (0) + b = -4
b = -4

X määramiseks_lk ja y_lk:
b = 4a
-4 = 4a
a = -1

Paraboolvõrrand y = kirves² + bx + c on: h järgmiselt
y = -x² - 4x + c punkti (0,1) kaudu
1 = -0² - 4 (0) + c
c = 1

Siis saab selle arvutada y = -x² - 4x + 1
x_lk = -b / 2a = - (- 4) / 2 (-1) = -2 ja y_lk = -(-2)² – 4(-2) +1= 5

Parabooli tipp on (-2,5)

Nii et vastus on: E

4. ülesanne. (ÜRO 2008)

Punkte A (1,0), B (3,0) ja C (0, -6) läbiva ruutfunktsiooni graafiku võrrand on…

1. y = 2x² + 8x - 6
2. y = -2x² + 8x - 6
3. y = 2x² - 8x + 6
4. y = -2x² - 8x - 6
5. y = -x²+ 4x - 6

Vastus:

Punkti C (0, -6) jaoks → x = 0, y = - 6

Punktide A (1,0) ja B (3,0) jaoks → x₁ = 1, x₂ = 3

Siis on valemiks y = a (x - x₁) (x - x₂)

y = a (x - 1) (x - 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
- 6 = 3a
a = - 2

Määrake ruutfunktsioon, kuidas:

y = a (x - x₁) (x - x₂)
y = - 2 (x - 1) (x - 3)
y = - 2 (x² - 4x + 3)
y = - 2x² + 8x - 6

Nii et vastus on: B

5. küsimus. (ÜRO 2007)

Vaata pilte!

Joonisel oleva ruutfunktsiooni graafiku võrrand on ...