Ruutvõrrandid: definitsioon, valemid, näiteülesanded. Arutelu

Matemaatikas Ruutvõrrand on muutuja võrrand, mille suurim võimsus on kaks.

Või ka keegi ütles, kui See ruutvõrrand on polünoomvõrrand (palju termineid), mille järjestus (võimsus) on kaks.

Millised on selle ruutvõrrandi lahendamise vormid ja viisid? Tutvuge täieliku kirjeldusega allpool.

Ruutvõrranditele viidatakse sageli ka paraboolne võrrand. Sest kui ruutvõrrandi kuju on kujutatud xy-koordinaadipildis, moodustab see paraboolgraafiku.

Ruutvõrrandi saame kirjutada x-is järgmisel üldisel kujul:

Ruutvõrrandi üldvorm

y = kirves² + bx + c

Koos a, b, c R ja a 0

Teave:

• x on muutuja.
• a on x ruudu koefitsient²
• b on x lineaarne koefitsient.
• c on konstant.

Võrrandi lahendit või lahendit nimetatakse ruutvõrrandi juurteks.

Samal ajal on ruudu enda mõistes arvu x ruutjuur võrdne arvuga r nii, et r2 = x või teisisõnu arv r, mille ruutu ruutu (arvu enda korrutis) väärtus on võrdne x.

Ruutvõrrand

Ülaltoodud kirjelduse põhjal on näha, et koefitsientide a, b ja c väärtused määravad ruutvõrrandi funktsiooni paraboolse kuju xy-koordinaatides.

Ruutvõrrand on võrrand, mille muutuja suurim võimsus on 2.
Ruutvõrrandi üldvorm on kirjutatud:
kirves² + bx + c = 0, a ≠ 0 ja R elemendid a, b, c

Teave:

x on ruutvõrrandi muutuja

a on koefitsient x²

b on koefitsient x

c on konstant

Siin on täielik ülevaade.

• Koefitsient a otsib nõgusat või kumerustparaboolne kõver.

Kui väärtus a> 0, avaneb parabool, kui a <0, siis parabool alla. Vaadake allolevat pilti:

• Koefitsient b leiab parabooli x-top positsiooni

Koefitsient b parabla tipu või moodustatud kõvera sümmeetriatelje x asukoha määramisel on x = –b / 2a. Vaadake allolevat pilti:

• Koefitsient c leiab paraboolse funktsiooni lõikepunkti y-teljega

Vaadake allolevat pilti:

Ruutvõrrandite juurte liigid

Ruutvõrrandi erinevate juurte väljaselgitamiseks võime selle teada saada ka valemi abil D = b2 - 4ac.

Kui D väärtus moodustub, siis võime hõlpsasti leida erinevad juured.

Järgnevalt on toodud mõned ruutvõrrandite tüübid üldiselt, sealhulgas:

1. Pärisjuur (D 0):

»Tõelised juured erinevad, kui need on teada = D> 0

Näitena:

Määrake allpool oleva võrrandi juure tüüp:

• x2 + 4x + 2 = 0!

Vastus:

Võrrandist = x2 + 4x + 2 = 0 saame teada:

On tuntud :

• a = 1
• b = 4
• c = 2

Lahendus:

• D = b2 - 4ac
• D = 42 - 4 (1) (2)
• D = 16 - 8
• D = 8 (D> 8, siis on juur ka pärisjuur, kuid erinev)

»Reaaljuured on võrdsed x1 = x2, kui on teada, et D = 0

Näitena:

Tõestage, et järgmisel võrrandil on kaks tegelikku juurt:

• 2 × 2 + 4x + 2 = 0

Vastus:

Nendest võrranditest, nimelt: = 2 × 2 + 4x + 2 = 0, siis

On tuntud:

• a = 2
• b = 4
• c = 2

Lahendus:

• D = b2 - 4ac
• D = 42 - 4 (2) (2)
• D = 16-16
• D = 0 (D = 0, tõestatud, kui juured on tõelised ja kaksikud)

2. Kujuteldav / ebareaalne juur (D <0)

Näitena:

Määrake allpool oleva võrrandi juure tüüp:

• x2 + 2x + 4 = 0!

Vastus:

Võrrandist, nimelt: = x2 + 2x + 4 = 0, siis

On tuntud:

• a = 1
• b = 2
• c = 4

Lahendus:

• D = b2 - 4ac
• D = 22 - 4 (1) (4)
• D = 4-16
• D = -12 (D <0, seega juured pole tegelikud juured)

3. Ratsionaalne juur ( D = k² )

Näitena:

Määrake allpool oleva võrrandi juure tüüp:

• x² + 4x + 3 = 0

Vastus:

Nendest võrranditest, nimelt: = x² + 4x + 3 = 0, siis

On tuntud:

• a = 1
• b = 4
• c = 3

Lahendus:

• D = b² - 4ac
• D = 4² – 4(1)(3)
• D = 16 - 12
• D = 4 = 2² = k²(Kuna D =k²= 4, seega on võrrandi juur ratsionaalne juur)

Ruutvõrrandi juurte omadused

Ruutvõrranditel on ka mitut tüüpi, siin on mõned tüübid ja nende omadused, vaadake täielikku ülevaadet allpool:

Ruutvõrrandi juured määratakse diskrimineeriva väärtusega (D = b² - 4ac), kus see eristab ruutvõrrandite juurte tüüpe kolmeks, sealhulgas:

1. Kui D> 0, Seega on ruutvõrrandil kaks erinevat tegelikku juurt.

• • Kui D on täiuslik ruut, siis on mõlemad juured ratsionaalsed.
  • Kui D ei ole täiuslik ruut, siis on mõlemad juured irratsionaalsed.

1. Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset juurt (kaksikjuurt), see on reaalne ja ühtlasi ratsionaalne.
2. Kui D siis ruutvõrrandil pole tegelikke juuri või mõlemad juured pole reaalsed (kujuteldavad).

Muu hulgas tõeliste juurte laienemise vorm:

1. Mõlemad positiivsed juured

Mõlemad juured on positiivsed, kui:

• D 0

x₁ + x₂ > 0

x₁ x₂ > 0

2. Mõlemad negatiivsed juured

Mõlemad juured on negatiivsed, kui:

• D 0

x₁ + x₂ < 0

x₁ x₂ > 0

3. Kaks juurt on erinevad märgid

Mõlemal juurel on erinevad märgid, kui:

• D> 0

x₁ x₂ < 0

4. Sama märgi mõlemad juured

Mõlemad juured on võrdsed, kui:

• D 0

x₁ x₂ > 0

5. Kaks juurt üksteise vastas

Need kaks juurt on vastandlikud, kui:

• D> 0

x₁ + x₂ = 0 (b = 0)

x₁ x₂ < 0

6. Kaks juurt on teineteise vastas

Need kaks juurt on üksteisest pöördvõrdelised, kui:

• D> 0

x₁ + x₂ = 1 (c = a)

Ruutvõrrandi juurte leidmine 

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurte leidmiseks kolm võimalust või meetodit. Muuhulgas nimelt: faktoriseerimise, täiuslike ruutude ja abc valemi abil.

Järgnev on selgitus ruutvõrrandi juurte leidmise igale viisile.

1. Faktoorimine

Faktoorimine ehk faktooring on meetod või viis ruutvõrrandi juurte leidmiseks, leides väärtuse, mis korrutatuna annab teise väärtuse.

Juurte erineva jaotusega ruutvõrrandeid on kolme vormi, sealhulgas:

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks kaaluge allpool toodud näiteid:

Lahendage järgmine ruutvõrrand 5x faktoriseerimismeetodi abil²+ 13x + 6 = 0!

Vastus:

5x² + 13x = 6 = 0

5x² + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3

x = -3/5 või x = -2

Niisiis, lahendi komplekt HP = (-3/5, -2)

2. Täiuslik väljak

Kõiki ruutvõrrandeid ei saa faktoriseerimismeetodi abil leida.

Ruutvõrrandite lahendamiseks täiuslike ruutude täitmisega on ka muid meetodeid või viise.

Täiusliku ruutvõrrandi vorm on võrrandi vorm, milles saadakse ratsionaalne arv.

Ruutvõrrandi lahendamisel ruutarvu täitmisel kasutatakse tavaliselt järgmist valemit:

(x + p)² = x² + 2px + lk²

Seejärel teisendage see võrrandi vormiks (x + p)² = q

Lahendus:

(x + p)² = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Täiusliku ruudukujulise vormi ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks kaaluge allpool toodud näiteid:

x² + 6x + 5 = 0

Vastus:

x² + 6x +5 = 0

Muuda väärtuseks x² + 6x = -5

Lisage vasakule ja ka paremale küljele üks number, nii et see muutuks täiuslikuks ruuduks.

Selle arvu liitmine võetakse poolte x koefitsientide arvudest või pooled 6 ruudust, nimelt 3²=9.

Seejärel lisage vasakul ja paremal küljel number 9, nii et võrrand muutub:

x² + 6x + 9 = -5 + 9

x² + 6x + 9 = 4

(x + 3)² = 4

(x + 3) = 4

x = 3 ± 2

• Kui x + 3 = 2

x = 2-3

x = -1

• Kui x + 3 = -2

x = -2-3

x = -5

Nii et lõplik väärtus on x = -1 või x = -5

3. Ruutvalem ehk ABC-valem

Lisaks faktoriseerimismeetodi kasutamisele ja täiusliku ruudu täitmisega saab ruutvõrrandeid lahendada ka ruutvalemiga või üldtuntud kui abc valem.

Valem või valem

Ruutvõrrandi ax + bx + c = 0 juurte väärtused lahendatakse abc valemi abil järgmiselt:

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks kaaluge allpool toodud näiteid:

x² + 4x - 12 = 0

Vastus:

x² + 4x - 12 = 0

a = 1, b = 4, c = -12

Koostage uus ruutvõrrand

Koosta võrrand, kui juured on teada

Kui ruutvõrrandi juured on x₁ samuti x₂ Siis saab ruutvõrrandi väljendada kujul:

(x-x₁) (x- x₂)=0

Näitena:

Leidke ruutvõrrand, kus juured on -2 ja 3.

Vastus:

x₁ = -2 ja x₂=3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x²-3x + 2x-6 = 0
x²-x-6 = 0

Koostage ruutvõrrand, kui teate juurte summat ja korrutist.

Kui teame ruutvõrrandit, mille juured on x₁ja x₂ samuti tuntud (x₁₊ x₂) ja (x_1.x₂), siis saab ruutvõrrandi moodustada järgmiselt:

x²- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

Näitena:

Leidke ruutvõrrand, mille juured on 3 ja ka -1/2!

Vastus:

x₁= 3 ja x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

Seega on ruutvõrrand järgmine:

x²- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

x²- 5/2 x - 3/2 = 0 (mõlemad küljed korrutatakse 2-ga)

2x²-5x-3 = 0

Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem. Ruutvõrrandi üldvorm

Kui võrrandi x üldvorm² - 4 = 3 (x - 2) on kirves² + bx + c = 0, siis on a, b ja c väärtused….
A. 1, -3, 2
B. 1, -2, 3
C. 1, 3, -2
D. 1, -3, -10

Vastus:

A, b ja c väärtuse määramiseks peame kõigepealt muutma küsimuse vormi üldiseks.

Kuidas:

x² - 4 = 3 (x - 2)
x² - 4 = 3x - 6
x² - 4 - 3x + 6 = 0
x² - 3x + 2 = 0
a = 1, b = -3 ja c = 2

Vastus: A

2. küsimus. Ruutvõrrandi juured

Kui ruutvõrrandi x üks juurtest² - 4x + c = 0, mis on 2, siis võrrandi rahuldava c väärtus on….

A. c = 2
B. c = 4
C. c = -4
D. c = -6

Vastus:

Esimene samm, mille peame tegema, on võrrandi x = 2 asendamine nii, et:

x² - 4x + c = 0
⇒ 2² - 4 (2) + c = 0
4 - 8 + c = 0
-4 + c = 0
c = 4

Vastus: B

3. probleem.Ruutvõrrandi juurte määramine

Kui ruutvõrrandi x üks juurtest² + 2x + c = 0, mis on 3, siis on teised juured….

A. x = 5
B. x = 3
C. x = -5
D. x = -15

Vastus:

Esimene samm, mida peame tegema, on c = väärtuse leidmiseks asendada väärtus x = 3:

x² + 2x + c = 0
⇒ 3² + 2 (3) + c = 0
9 + 6 + c = 0
15 + c = 0
c = -15

Teine samm, mida peame tegema, on asendada c väärtus nii, et võrrandist saaks:

x² + 2x + c = 0
x² + 2x - 15 = 0

Seejärel määrake faktoori abil root väärtus:

(x + 5) (x - 3) = 0
x = -5 või x = 3

Vastus: C

4. ülesanne. Ruutvõrrandite komplekt

Võrrandi lahendhulk: x² + 5x + 6 = 0, st…

A. {-2, -3}
B. {-2, 3}
C. {-3, 2}
D. {3, 4}

Vastus:

Kasutades faktoorimismeetodit, siis:

x² + 5x + 6 = 0
(x + 2) (x + 3) = 0
x = -2 või x = -3
HP = {-2, -3}

Vastus: A

5. küsimus. Ruutvõrrandi juurte summa

Kui võrrandi x juured² - 3x - 10 = 0 on x₁ ja x₂, siis x tulemus₁ + x₂ koos …

A. x₁ + x₂ = 3
B. x₁ + x₂ = 4
C. x₁ + x₂ = 5
D. x₁ + x₂ = 7

Vastus:

Kasutades faktoorimismeetodit, siis:

x² - 3x - 10 = 0
(x + 2) (x - 5) = 0
x₁ = -2 või x₂ = 5

Juurte arv on:

x₁ + x₂ = -2 + 5
x₁ + x₂ = 3

Kiire meetodi abil, nimelt:

Alates x-st² - 3x - 10 = 0
Bro: a = 1, b = -3, c = -10

Juurte arv on:

x₁ + x₂ = -b / a
x₁ + x₂ = -(-3)/1
x₁ + x₂ = 3

Vastus: A

6. küsimus. Ruutvõrrandi teiste juurte leidmine

3x võrrandi üks juurtest² - 2x + c = 0 on 2, teised juured on….

A. -4/5
B. -4/3
C. 3/4
D. 4/3

Vastus:

Esimene samm, mida peame tegema, on x = 2 väärtuse asendamine võrrandiga:

3x² - 2x + c = 0
⇒ 3(2)² - 2 (2) + c = 0
3,4 - 4 + c = 0
12 - 4 + c = 0
8 + c = 0
c = -8

Teine samm, mida peame tegema, on c väärtuste asendamine nii, et võrrandist saaks:

3x² - 2x + c = 0
3x² - 2x + (-8) = 0
3x² - 2x - 8 = 0

Faktooringmeetodi kasutamine:

3x² - 2x - 8 = 0
(3x + 4) (x - 2) = 0
x = -4/3 või x = 2

Niisiis, teine ​​juur on -4/3.

Vastus: B

7. küsimus. Ruutvõrrandi koefitsiendi väärtuse määramine

Kui võrrandi x juured² + bx + c = 0, st -1 ja 3, siis võrrandi rahuldava b väärtus on…

A. b = 4
B. b = 2
C. b = -1
D. b = -2

Vastus:

Esimene samm, mida peame tegema, on asendada väärtus x = -1 võrrandiga:

x² + bx + c = 0
⇒ (-1)² + b (-1) + c = 0
1 - b + c = 0
-b + c = -1
c = b - 1…. (1)

Teine samm, mille peame tegema, on x = 3 väärtuse asendamine võrrandiga:

x² + bx + c = 0
⇒ (3)² + b (3) + c = 0
9 + 3b + c = 0
3b + c = -9…. (2)

Seejärel asendage võrrand (1) võrrandiks (2) nii, et:
3b + c = -9
3b + (b - 1) = -9
4b - 1 = -9
4b = -9 + 1
4b = -8
b = -2

Vastus: D

8. küsimus. Täiuslike ruutude komplekteerimine 

Täiuslik ruutvorm võrrandist x² - 6x - 7 = 0, st…

A. (x + 3)² = 16
B. (x - 3)² = 16
C. (x - 4)² = 16
D. (x - 5)² = 25

Vastus:

Esimene samm on kirve kuju muutmisega täiusliku ruudu moodustamine² + bx + c = 0 saab

x² + b / kirves = -c / a.

Täiuslik ruudukujuline vorm on:

x² - 6x - 7 = 0
x² - 6 / 1x = 7/1
x² - 6x = 7

Teine on see, et kõik küljed liidetakse kokku sama arvuga, nii et:
x² - 6x + (3)² = 7 + (3)²
x² - 6x + 9 = 7 + 9
(x - 3)² = 16

Vastus: B

9. ülesanne. Ruutvõrrandi juuretüübi määramine

Võrrandi x juurte tüübid² - 4x + 4 = 0, st…

A. Päris kaksikud
B. Päris erinev
C. Kujuteldav
D. Päris vastupidine märk

Vastus:

Lähteväärtuse põhjal kasutame faktoorimismeetodit, nimelt:

x² - 4x + 4 = 0
(x - 2) (x - 2) = 0
x = 2 või x = 2

Mis tähendab, et juured on tõelised kaksikud.

Teine meetod on:

Vaadake üle diskrimineeriv väärtus ja seejärel:

D = b² - 4ac
D = (-4)² – 4(1)(4)
D = 16-16
D = 0

D = 0 korral on juured tõelised kaksikud.

Vastus: A

10. küsimus.Ruutvõrrandite koostamine

Ruutvõrrand, mille juured on -2 ja 3, on ...

A. x² - 2x - 6 = 0
B. x² - x + 6 = 0
C. x² - x - 6 = 0
D. x² + x - 6 = 0

Vastus:

Ruutvõrrand on:

(x - x₁) (x - x₂) = 0
(x - (-2)) (x - 3) = 0
(x + 2) (x - 3) = 0
x² - 3x + 2x - 6 = 0
x² - x - 6 = 0

Vastus: C

Seega lühiülevaade ruutvõrrandist, mille saame edastada. Loodetavasti saab ülaltoodud ruutvõrrandite ülevaadet kasutada õppematerjalina.