Üks muutuv lineaarne ebavõrdsus

Üks muutuv lineaarne ebavõrdsus Üks muutuja lineaarne ebavõrdsus on avatud lause, millel on ainult üks muutuja ja esimene aste ning mis sisaldab suhet ( > või < ).

Näiteks vaadake mõnda järgmist lauset:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Mõnes ülaltoodud lauses kasutatakse sidekriipse, näiteks , > või <. Mis näitab, et lause on ebavõrdsus.

Igal neist ebavõrdsustest on ainult üks muutuja, nimelt x, a ja n. Seda ebavõrdsust nimetatakse ühe muutujaga ebavõrdsuseks. Ülalnimetatud ebavõrdsuse muutujat (muutujat) ühe astme võimsuseks või nimetatakse ka esimeseks astmeks, nimetatakse lineaarseks ebavõrdsuseks.

Üks muutuv lineaarne ebavõrdsus on avatud lause, millel on ainult üks muutuja ja aste üks ning on seos ( või £).

Muutuja PtLSV üldist vormi saab väljendada järgmiselt:

ax + b <0, ax + b> 0 või ax + b > 0 või kirves + b < 0, a-ga < 0, a ja b on reaalarvud.

Allpool on mõned näited PtLSV-st, kasutades muutujat x, sealhulgas:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Ühe muutuva lineaarse ebavõrdsuse omadused

Sarnaselt ühe muutujaga lineaarvõrrandile saab ühe muutujaga lineaarse ebavõrdsuse lahenduse leida asendusmeetodi abil.

Kuid saate seda teha ka lahutades, liites, korrutades või jagades ebavõrdsuse mõlemad pooled sama arvuga.

Ebavõrdsus matemaatikas on lause või matemaatiline väide, mis näitab kahe või enama objekti suuruse võrdlust.

Nagu A

Ebavõrdsus A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 kõigi x korral
4. A x C> B x C, kui C <0 kõigi x korral
5. A / C 0 kõigi x korral
6. A / C> B / C, kui C <0 kõigi x korral

Peate arvestama, et mõned ülaltoodud omadused kehtivad ka sümbolile ">"või"<”.

Näited PtLSV-küsimustest ja nende lahendamisest

Allpool toome näite probleemist ja selle lahendamise viisist ning vastuse ühe muutujaga lineaarse ebavõrdsuse probleemile. Siin on täielik ülevaade.

1. Üks muutuja lineaarse ebavõrdsuse liitmine ja lahutamine (PtLSV)

Pange tähele allolevat ebavõrdsust:

x + 3 <8, kus x on muutuja täisarvust.

Poolt:

x = 1, seega 1 + 3 <8, vastab tõele
x = 2, seega 2 + 3 <8, vastab tõele
x = 3, seega 3 + 3 <8, vastab tõele
x = 4, seega 4 + 3 <8, on vale

Asendades x 1,2-le ja 3-le, nii et ebavõrdsus x + 3 <8 on tõene, nimetatakse ebavõrdsuse lahendiks.

2. Ühe muutuva lineaarse ebavõrdsuse (PtLSV) korrutamine või jagamine

Heitke pilk järgmistele ebavõrdsustele:

Looduslike x arvude korral, mis on väiksemad kui 10, on lahendus x = 7, x = 8 või x = 9

Ülaltoodud kirjelduse põhjal võime järeldada, et:

 "Iga ebavõrdsus jääb samaväärseks, kusjuures ebavõrdsuse märk ei muutu, kuigi mõlemad pooled korrutatakse sama positiivse arvuga"

Probleemide näide:

Mõelge nüüd järgmistele ebavõrdsustele:

a. –X> - 5, kus x on naturaalne arv väiksem kui 8. Vastava x asendaja on x = 1, x = 2, x = 3 või x = 4.

Teine võimalus ülaltoodud ebavõrdsuse probleemi lahendamiseks on mõlema poole korrutamine sama negatiivse arvuga.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (mõlemad pooled korrutatakse –1-ga ja ebavõrdsuse märk jääb alles)

x> 5

Lahendus on x = 6 või x = 7.

* –X> –5

–1 (–x)

x <5

Lahus on x = 1, x = 2, x = 3 või x = 4.

Selle lahenduse põhjal selgub, et sama lahendusega ebavõrdsus on järgmine:

–X> –5 ja –1 (–x)

nii, –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, kus x on naturaalne arv väiksem kui 4. Sobiv asendaja x on x = 2 või x = 3. Niisiis, lahendus on x = 2 või x = 3.

Ülaltoodud selgituse põhjal võime järeldada, et:

"Ebavõrdsus, kui mõlemad pooled korrutatakse sama negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk"

Näide:

3. Loo kohta 

Küsimus 1.

Kahe numbri summa ei ületa 120. Kui teine ​​number on 10-st suurem kui esimene number, siis määrake esimese numbri piirväärtus.

Vastus:

Ülaltoodud probleemist näeme, et on kaks tundmatut kogust. See on esimene number ja ka teine ​​number.

Järgnevalt teeme need kaks suurust muutujana.

Näitena:

Esimesele numbrile helistame x, samal ajal 

Helistame teisele numbrile y.

Sellest probleemist teame ka, et teine ​​number on "10 rohkem kui esimene number", seega kehtib järgmine seos:

y = x + 10

Ülesandes on teada ka see, et kahe numbri summa on "mitte rohkem" kui 120.

Lause "enam pole" näitab, et ebavõrdsus on väiksem kui võrdne (≤). Niisiis, probleemile sobiv ebavõrdsuse vorm on see, et ebavõrdsus on väiksem kui võrdne.

Seejärel konstrueerime ebavõrdsuse nii:

⇒ x + y ≤ 120

Kuna y = x + 10, muutub ebavõrdsus järgmiseks:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

nii et esimese numbri piirväärtus ei ületa 55.

2. loo küsimus.

Traadist valmistatud raami raami mudel, mille pikkus (x + 5) cm, laius (x – 2) cm ja kõrgus x cm.

• Määrake vajaliku traadi pikkuse võrrandi matemaatiline mudel x-is.
• Kui kasutatud traadi pikkus ei ületa 132 cm, siis määrake tala maksimaalse väärtuse suurus.

Vastus:

Et meil oleks ülaltoodud probleemist lihtsam aru saada, kaaluge allpool oleva ploki illustratsiooni:

• Määrake ülaltoodud probleemi matemaatiline mudel.

Näiteks tähistab K tala raami valmistamiseks vajaliku traadi kogupikkust, seejärel on vajatraadi kogu pikkus kõigi servade summa.

Niisiis, K pikkus on järgmine.

K = 4p (pikkus) + 4l (laius) + 4t (kõrgus)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Niisiis saame traadi kogupikkuse jaoks loo ülesande number 2 matemaatilise mudeli, mis on K = 12x + 12.

• Määrake ülaltoodud probleemist ploki maksimaalne suurus.

Traadi pikkus ei tohi ületada 132 cm pikkust, seega võime ebavõrdsuse mudeli kirjutada järgmiselt:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Seejärel lahendame ühe muutuja lineaarse ebavõrdsuse järgmise lahenduse abil:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Lahusest x ≤ 10, siis on x maksimaalne väärtus 10. Seega on tala pikkuse, laiuse ja kõrguse suurus järgmine:

Pikkus = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Laius = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Kõrgus = x ⇔ 10 cm

Seega saame ploki maksimumi (15 × 8 × 10) cm.

Jutuküsimused 3.

Kahe numbri summa on väiksem kui 80. Teine number on kolm korda esimene number.

Määrake kahe numbri piirid.

Vastus:

Oletame, et nimetame esimest numbrit x-ks, siis teine ​​number on võrdne 3x-ga.

Nende kahe arvu summa on väiksem kui 80. Seetõttu on matemaatiline mudel järgmine:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Selle matemaatilise mudeli lahendus on 4x <80 ⇔ x <20.

Seetõttu ei tohi esimese numbri piir ületada 20, samas kui teise numbri piirarv ei ületa 60.

Jutuküsimused 4.

Ristkülikukujulise laua pinna pikkus on 16 x cm ja laius 10 x cm.

Kui pindala ei ole väiksem kui 40 dm2, seejärel määrake lauapinna minimaalne suurus.

Vastus:

Lauapinna pikkus on:

• (p) = 16x
• laius (l) = 10 x
• pindala = L.

Ristküliku ala matemaatiline mudel on järgmine:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

Probleemi põhjal öeldakse, et pindala ei ole väiksem kui 40 dm2 = 4000 cm2 nii et võime ebavõrdsuse kirjutada järgmiselt:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Seejärel lahendame ebavõrdsuse järgmise lahendusega:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Sest suurus ei saa olla negatiivne, siis x = 5 cm minimaalne väärtus, nii et saame:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Seega on lauapinna minimaalne suurus (80 × 50) cm.

Jutuküsimused 5.

Jalgratas sõidab teel võrrandiga s (t) = t2– 10t + 39.

Kui x on meetrites ja t sekundites, määrake jalgratta ajavahemik vähemalt 15 meetrit.

Vastus:

Jalgratas võib läbida vähemalt 15 meetri pikkuse vahemaa, mis tähendab s (t) ≥ 15.

Niisiis, matemaatiline mudel on t2– 10t + 39 ≥ 15. Saame selle mudeli lahendada järgmiselt:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 või t ≥ 6

Seega on jalgratta vähemalt 15-meetrise vahemaa läbimise ajavahemik t ≤ 4 sekundit või t ≥ 6 sekundit.

Jutuküsimused 6.

Hr Irvanil on kastiauto, mis veab kaupa, kandevõimega kuni 500 kg.

Pak Irvani kaal on 60 kg ja ta veab kaubakaste, mille iga kast kaalub 20 kg. Siis:

• Määrake maksimaalne kastide arv, mida hr Irvan saab ühes veos transportida!
• Kui härra Irvan kavatseb vedada 115 linna, siis vähemalt mitu korda saab kaste kõiki transportida?

Vastus:

Probleemist saame mitu matemaatilist mudelit järgmiselt:

1. Näiteks tähistab x linnade arvu, mida auto saab ühes suunas transportida.
2. Iga karp kaalub 20 kg, seega x karp kaalub 20x kg.
3. Kogumass ühes suunas on kasti kaal pluss Irvani kaal, mis on 20x + 60.
4. Auto kandevõime pole suurem kui, siis kasutame märki "≤”.
5. Kandevõime ei ületa 500 kg, nii et sättest (3) saame järgmise ebavõrdsuse mudeli =
   20x + 60 ≤ 500

• Määrab maksimaalse karpide arvu, mida saab ühe korraga transportida.

Ruutude arvu määramine on sama mis x väärtuse määramine, nimelt lahendades alltoodud ebavõrdsused:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Sellest lahendist saame x suurima väärtuse, mis on 22. Seega mahutab kastiauto iga kord maksimaalselt 22 kasti.