Koonuseviilud: ring, parabool, ellips, hüperbool, näiteülesanded

Koonus matemaatikas on kõigi punktide asukoht, mis moodustavad kahemõõtmelise kõvera. Milline kõver on moodustatud koonuse ristumisega tasapinnaga.

Koonilisi sektsioone on 4 tüüpi või tüüpi, sealhulgas: ring, parabool, ellips ja hüperbool.

Koonuseviilude liigid

Ring

Ring on punktide koht või asukoht, millel on ühes punktis sama kaugus.

• Seda konkreetset punkti nimetatakse Keskus ring
• Sama kaugust nimetatakse ka raadius või raadius (r)

Ringi pindala = .r² (r = raadius)

Proovi pilt:

Alloleval ringil on keskpunkt (0, 0) ja raadius 2, arvestage allolevat pilti:

Parabool

Parabool on punktide asukoht, mis asuvad punktist ja kindlast joonest võrdsel kaugusel.

• Seda punkti nimetatakse fookus või fookuspunkt (F)
• Seda konkreetset rida nimetatakse directrix ehk suunajoon
• Nimetatakse sirget, mis läbib F ja on risti suunajoonega sümmeetriatelg parabool
• Parabooli ja sümmeetriatelje lõikepunkti nimetatakse tipp parabool
instagram viewer
• Lühimat F-i läbivat akordi nimetatakse Latus Rectum → kus on sümmeetriateljega risti.

Proovi pilt:

Järgmine horisontaalne parabool tipu (0,0), fookuse (1, 0) ja suunaga x = –1 kaaluge allolevat pilti:

Allpool on vertikaalne parabool tipu (0,0), fookuse (0, 1) ja y-suunaga = –1, võtke arvesse järgmist pilti:

Ellipse

1. Ellips on punktide koht või asukoht, kus kahe kindla punkti kauguste summa on fikseeritud.

• Kauguste summa on = 2a (horisontaalse ellipsi korral) või 2b (vertikaalse ellipsi korral).
• Neid kahte fikseeritud punkti nimetatakse fookus (F) → kaugus F vahel₁ ja F₂ on 2c.

2. Ellips on kõigi punktide asukoht, kus punkti ja fikseeritud sirge vahelise kauguse suhe = e (ekstsentrilisus), kus 0

• Seda punkti nimetatakse fookus (F)ja joon on suuna joon.
• Mõlemat fookust läbivat ja ellipsit lõikavat joone segmenti nimetatakse peamine telg.
• Keskus ellips on keskpunkt F₁ ja ka F₂
• Nimetatakse joont, mis läbib keskpunkti, on põhiteljega risti ja ristub ellipsiga kõrvaltelg.

Ellipse pindala = .a.b (a = horisontaalne pikkus; b = vertikaalne pikkus)

Proovi pilt:

Allpool paiknev horisontaalne ellips keskpunktiga (0, 0), tippudega (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fookusega (3, 0), (- 3, 0) ) ja suuna x = ± 25/3 korral võtke arvesse järgmist pilti:

Allpool paiknev vertikaalne ellips keskpunktidega (0, 0), tippudega (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fookusega (0.√2), ( 0, –√2) ja y suund = ± 2√2 / 3, vaadake allolevat pilti:

hüperbool

1. Hüperbool on punktide koht või asukoht, millel on kindel erinevus 2 kindla punkti kauguses.

• Vahemaa erinevus on = 2a (horisontaalsete ellipside korral) või 2b (vertikaalsete ellipside puhul).
• Neid kahte fikseeritud punkti nimetatakse fookus (F) → kaugus F vahel₁ ja F₂ on 2c.

2. Hüperbool on kõigi punktide asukoht, kus punkti ja fikseeritud sirge vaheline suhe = e, kus e> 1.

• Nendele konkreetsetele punktidele viidatakse kui fookus (F₁ ja F₂)
• Punktidest F läbiv joon₁ ja ka F₂ sellele viidatakse kui põiktelg (peatelg) / tegelik telg
• Keskpunkt F₁ ja F₂ sellele viidatakse kui hüperbooli keskus (P)
• Nimetatakse sirget, mis läbib P ja on ristisuunas teljega konjugaattelg (liittelg) / kujuteldav telg
• Hüperbooli lõikepunkte ja ka põiki telge nimetatakse hüperbooli tipp
• Fookust läbiv joon, mis on reaalteljega risti ja ristub hüperbooliga ka 2 punktis → kahte punkti ühendav joon on = Latus Rectum

Proovi pilt:

Allpool asetseval horisontaalsel hüperboolil on keskpunkt (0, 0), tipp (2, 0), (–2, 0), fookus (√6, 0), (–√6, 0) ja asümptoot y = ± 2 x, pöörake tähelepanu allolevale pildile:

Allpool asetseval vertikaalsel hüperboolil on keskpunkt (0, 0), tipp (√2, 0), (–√2, 0), fookus (0, 6), (0, -, 6) ja asümptoot y = ± 2 x, pöörake tähelepanu allolevale pildile:

Võrrand

Siin on koonusekujulises jaotises olevad võrrandid, vaadake hoolikalt, jah ..

Mõelge järgmistele näpunäidetele, et hõlbustada ülaltoodud võrrandi mõistmist.

Ülaltoodud koonusekujuliste võrrandite eristamise viis on:

• Võrrandis Ring: koefitsient x² ja ka y² sama
• Võrrandis Parabool: ainult üks ruutudest (x² ainult või y² ainult)
• Võrrandis Ellipse: koefitsient x² samuti y² sama märk (nii positiivne kui ka negatiivne)
• Võrrandis hüperbool: koefitsient x² ja ka y² erinevad märgid (üks positiivne, teine ​​negatiivne)

Näitena:

• 3x²+ 3y² + 6x + y = 5 → Ringvõrrand
• 3x² + 3y + 6x = 5 → Paraboolne võrrand
• 3x²+ y² + 6x + y = 5 → elliptiline võrrand
• 3x²– 3y² + 6x + y = 5 → hüperbooli võrrand

Punkti asukoht koonuseviilu suhtes

Koonuselõigul oleva punkti asukoha määramiseks või leidmiseks võime kasutada mitut meetodit, näiteks järgmist:

1. Tehke või muutke koonusekujulise võrrandi parempoolne külg = 0 =
2. Sisestage punkti koordinaadid allpool olevasse võrrandisse:
   • Kui vasakpoolse tulemuse tulemus on <0 →, asub punkt koonusekujulises sektsioonis.
   • Kui vasaku külje tulemus = 0 → punkt asub täpselt koonuse ristumiskohas.
   • Kui parempoolse külje tulemus> 0 → punkt asub väljaspool koonuslõiget.

Näitena:

Leidke punkti (5, –1) asukoht ellipsil järgmise võrrandiga: 3x² + y² + 6x + y = 5?

Vastus:

3x² + y² + 6x + y - 5 = 0

Vasak pool:
3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100

→ 100> 0, nii et punkt (5, –1) asub väljaspool ellipsi.

Koonuse viilu joon

Koonuselõigul joone asukoha leidmisel või määramisel võime kasutada mitut meetodit, nagu näiteks allpool:

1. Teeme sirgvõrrandiks võrrandi x =… või y =…
2. Asendades sirge võrrandi koonuselõike võrrandisse, saadakse ruutvõrrand.
3. Ruutvõrrandi (D) väärtuse leidmine (Pidage meeles! D = b² - 4.a.c)
   • Kui D <0 → sirge asub koonusjao välisküljel.
   • Kui D = 0 → sirge puutub koonusjoonega 1 punktis.
   • Kui D> 0 → sirgub sirge koonuselõik 2 punktiga.

Näitena:

Leidke paraboolilt joone x + 2y = 4 asukoht järgmise võrrandiga: 3x² + 3a + 6x = 5.

Vastus:

Rida: x = 4 - 2a

3 (4–2 aastat)² + 3a + 6 (4-2a) - 5 = 0
3 (16 - 16a + 4a²) + 3a + 24 - 12a - 5 = 0
48 - 48a + 12a² + 3a + 24-12a - 5 = 0
12a² - 57a + 67 = 0

D = b² - 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33

Kuna D> 0, siis lõikub paraboliga sirge x + 2y = 4.

Tangentjoone võrrand

sel juhul m alaline asukoht gradient.

Puutuja võrrand punktis (x₁, y₁)

Selle puutuja võrrandi lahendamisel või leidmisel kasutage alati õiglast jaotussüsteemi, mis on;

(…)² Saab (…). (…)

(…) Saab (…) + (…)

Ühes õiglase jagatuse võrrandi (…) punktist sisestatakse teadaolevate punktide koordinaadid, järgmine on selgitus:

1. Kui punkt asub koonuse ristumiskohas, tekitab see puutujajoone võrrandi.
2. Kui punkt asub koonusjao välisküljel, saadakse sellest polaarjoone võrrand.

Järgmisena lõigake polaarjoon koonilise kiiluga, et saada 2 lõikepunkti.

Alles seejärel sisestage kaks ristumiskohta õiglase jagatuse võrrandisse, et saada puutujajoone 2 võrrandit.

Ülaltoodud kirjelduse lihtsustamiseks kaaluge järgmisi näiteid:

Probleemide näide:

1. probleem.

Leidke ringi x puutuja võrrand² + y² + 4x = 13 punktis (2, 1)!

Vastus:

(2, 1) on ringil (2² + 1² + 4.2 = 13)

Võrdsus õiglaseks:

x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9

Sisestage (2, 1) kui x₁ ja y₁:

2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9

4x + y - 5 = 0 → on puutuja sirgvõrrand.

5. küsimus.

Paraboolil on tipp (0, 0) ja fookuskoordinaat (0,2). Parabooli võrrand on ...

Vastus:

Kuna fookuse koordinaadid asuvad tipu kohal, avaneb parabool ülespoole, nii et üldine vorm on x² = 4py.

fookuse (0, p) koordinaadid p = 2-ga, nii et võrrand on:

x² = 8a

6. küsimus.

Paraboolil on otseliikvõrrand x = 7 ja sellel on tipp (0, 0). Parabooli võrrand on ...

Vastus:

Kuna otsejoon on tipust paremal, avaneb parabool vasakule, nii et võrrandi üldine vorm on y² = -4px.

Directrixi võrrand x = p, kus p = 7, nii et paraboolvõrrand saab:

y² = -28x

Seega lühike ülevaade koonuseviiludest, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.