Matemaatiliste funktsioonide piirid: trigonomeetria, lõpmatu, näiteülesanded

Piir matemaatikas on matemaatika valdkonna mõiste, mida tavaliselt kasutatakse funktsiooni omaduse kirjeldamiseks.

Kui argument läheneb lõpmatuse punktile või järjestuse olemusele, kui indeks läheneb lõpmatusele.

Piire kasutatakse tavaliselt arvutustes ja teistes matemaatilise analüüsi harudes, mida kasutatakse tuletiste ja laiendite leidmiseks.

Matemaatikas hakatakse piire uurima üldjuhul siis, kui sissejuhatus arvutusse.

Funktsiooni piirid

Kui f(x) on reaalne funktsioon ja c on reaalarv, siis on valem järgmine:

Siis võrdne f(x) saame teha nii, et selle väärtus oleks võimalikult lähedane L väärtuse loomisega x lähedal c.

Ülaltoodud näites on f(x) kui x läheneb c, see on L. Peame meeles pidama, kas eelmine lause kehtib, kuigi see kehtib f(c) ≠ L. Tegelikult on funktsioon sisse f(x) ei pea selles punktis uuesti määratlema c.

Siin on teine ​​näide, mis illustreerib seda omadust.

Näitena:

Millal x väärtuse 2 lähedal. Selles näites f(x) on punktis 2 selge määratlus ja väärtus on sama mis piirmäär, mis on 0,4:

Kui x mida lähemal 2-le, väärtus f(x) on lähedal 0,4, seega

Mis juhul f nimetatakse pidevaks kell x = c. Kuid sel juhul pole see alati nii.

Näitena:

Piir g(x) ajal x lähemale 2-le, mis on 0,4 (sama mis f(x), aga : g punktis katkendlik x = 2.

Või võib võtta näite, kus f(x) pole selles punktis määratletud x = c:

Selles näites omal ajal x lähedal 1, f(x) pole selles punktis määratletud x = 1 kuid piir jääb samaks kui 2, sest seda enam x siis lähedale 1-le f(x) läheneb 2-le:

Nii võime järeldada, et:

Siis x saab teha võimalikult lähedale 1, kui see pole täpselt sama mis 1, seega piirf (x)} f (x) on 2.

Piiri ametlik määratlus

Ametlik määratlus Piir määratletud kui f on punkti sisaldav avatud intervalliga määratletud funktsioon  (välja arvatud punkt ) sama hästi kui L on reaalarv. Nii et;

See tähendab, et igaühe jaoks saame> 0, mis sobib kõigile x kus 0 x - c | , siis see jõustub | f (x) - L | <

Funktsiooni piir lõpmatuses

Piiri mõiste millal x lähenedes lõpmatusele, on nii positiivne kui ka negatiivne mõiste, mis on seotud piiriga, kui x numbri lähedal.

See ei tähenda erinevust x lõpmatuseni muutub väikeseks, sest lõpmatus pole arv.

Pigem tähendab see seda x olla väga suur kuni lõpmatuseni või väga väike kuni negatiivse lõpmatuseni.

Vaatleme näiteks järgmist funktsiooni:

1. f(100) = 1.9802
2. f(1000) = 1.9980
3. f(10000) = 1.9998

St rohkem x suureneb, siis väärtus f(x) on lähedal 2-le. Ülaltoodud näites võime öelda, et:

Joonepiir

Mõelge järgmistele järjestustele: 1,79, 1,799, 1,7999 ...

Näeme, kas erinevad ülaltõstetud liftid lähenevad joonele 1.8, mis on joone piir.

Vormiliselt näiteks x₁, x₂,... on reaalarvude jada. Me ütleme reaalarvud (L) as piir selle rea ja kirjutage see järgmiselt:

mis tähendab: Iga reaalarvu> 0 korral on loomulik arv n nii kõige jaoks: n > n, |x_n − L| < ε.

Kõrval Intuitiivne mis tähendab, et kui lõpuks lähenevad jada kõik elemendid nii, nagu me tahame, siis absoluutväärtus |x_n − L| on vahemaa x ja ka L.

Kõigil järjestustel pole piire. Kui midagi, siis kutsume seda lähenev. Ja kui ei, siis seda nimetatakse lahknev.

Konvergentset jada saab näidata, et sellel on ainult üks piir.

Järjestuse piirid ja funktsioonide piirid on omavahel tihedalt seotud. Ühest küljest on järjestuse piiriks lihtsalt looduslike arvude suhtes määratletud funktsiooni piir lõpmatuseni.

Kuid teisest küljest funktsiooni piir f peal x, kui see on olemas, võrdub jada piiriga x_n = f(x + 1/n).

Algebraliste funktsioonide piirid

Algebralise funktsiooni piir on üks arvestuse ja analüüsi põhimõisteid, mis puudutab teatud sisendpunktile läheneva funktsiooni käitumist.

Funktsiooni kaardistav väljund f (x) iga sisendi jaoks x. Sellel funktsioonil on piir L sisendpunktis lk millal f (x) “Lähedal” L-le kui x lähedal lk.

Teisisõnu f (x) lähemale L Millal x ka läheneb suunas lk.

Veelgi enam, kui f rakendatakse igale sisendile piisav lähedal lk, tulemuseks on väljund, mis on (meelevaldselt) lähedal L.

Kas sa tead?
Kuigi kaudne arvutus areneb 17. ja 18. sajandil, on tänapäevane piirimõiste Uut funktsiooni arutas Bolzano 1817. aastal, kes tutvustas epsilon-delta tehnika põhitõdesid. Kuid tema töö pole tema eluajal teada. –sc: vikipeedia

Kui sisend on Sulge peal lk osutub väga erinevaks väljundiks, siis funktsioon f öeldakse, et tal pole piiri.

Piiri definitsiooni on ametlikult sõnastatud alates 19. sajandist.

Algebraliste funktsioonide piiride mõiste

Piiri saab defineerida kui piiri ületamist, mis on küll lähedal, kuid mida pole võimalik saavutada.

Matemaatilises keeles võib sellele tingimusele viidata piir.

Piir on matemaatiline mõiste, kus öeldakse, et miski on teatud arvu väärtuse lähedal või lähedal. Piirid võivad olla funktsiooni vormis, mille koodomeen on "peaaegu" või "lähedane" teatud loodusliku arvu väärtusele.

Miks peaks olema mingi piir? Sest piir väljendab funktsiooni, kui lähenetakse teatud piirile.

Miks peaksite sellele lähenema? Kuna funktsiooni ei ole teatud punktides tavaliselt määratletud.

Kuigi funktsiooni ei määratleta sageli teatud punktis, saab selle siiski teada millisele väärtusele läheneb funktsioon, kui lähenetakse teatud punktile, nimelt piir.

Matemaatilises keeles on piirid kirjutatud järgmiselt:

See tähendab, et kui x läheneb a-le, kuid x ei ole võrdne a-ga, läheneb f (x) L-le. Näeme x lähenemist a-le kahest küljest, nimelt vasakust ja ka paremast küljest või sõnaga vastasel juhul saab x läheneda vasakust ja paremast suunast, nii et see tekitab vasakpoolse piiri ja piiri eks.

Niisiis, ülaltoodud kirjeldusest saame järgmise valemi näite:

1 väärtuse lähedal olevate x väärtuste puhul:

Siin on graafiline pilt:

Vaadates ülaltoodud graafikat, saab selle jaotada:

• Kui x läheneb vasakule 1, siis f (x) väärtus läheneb 2-le
  
• Kui x läheneb paremale 1-le, siis f (x) väärtus läheneb 2-le
  
• Niisiis, kui x läheneb 1-le, siis läheneb f (x) väärtus 2-le
  

Teoreem või avaldus

Funktsioonil on piir, kui vasakul ja paremal on sama väärtus. Seega, kui vasak ja parem piir pole ühesugused, siis piirväärtust ei eksisteeri.

Definitsioon ja piirteoreem. Nagu eespool kirjeldatud, tähendab piir tavakeeles piiri.

Kui õpime matemaatikat, on mõned õpetajad, kes ütlevad, et piir on lähenemine.

Selle piiri tähendus ütleb, et funktsioon f (x) läheneb teatud väärtusele, kui x läheneb teatud väärtusele.

See lähendus on piiratud kahe väga väikese positiivse numbri vahel epsilon ja delta.

Nende kahe väikese positiivse arvu suhe võetakse kokku piirmääratluses.

Algebraliste funktsioonide piiride omadused

Kui n on positiivne täisarv, k pidev, f ja g on funktsioon, mille piir on c, siis kehtivad mõned järgmistest omadustest.

Algebraliste piiride lahendamise meetodite liigid

Algebraliste piiride lahendamiseks on mitu meetodit või viisi, sealhulgas:

• Asendusmeetod
• Faktooringmeetod
• Jagamise meetod nimetaja kõrgeima astmega
• Korrutamise meetod ühise teguriga

Siin selgitame meetodeid ükshaaval. Kuula tähelepanelikult, jah.

Algebralise funktsiooni piirväärtuse määramine

Algebralise funktsiooni piiri määramiseks on 2 tüüpi, sealhulgas:

Esimene vorm:

Ja teine ​​vorm on:

1. Asendusmeetod

Asendusmeetod asendab oma algebraliste funktsioonidega ainult muutujad, mis on teatud väärtuse lähedal.

Näitena:

Seega on algebralise piirifunktsiooni väärtus:

2. Faktooringmeetod

Faktooringmeetodit kasutatakse juhul, kui piirväärtust tekitavat asendusmeetodit või -meetodit ei ole võimalik määratleda.

Näitena:

Faktorimeetodit kasutatakse lugeja ja nimetaja ühise teguri määramiseks.

Teise piirvormi puhul on funktsioonipiiri piirväärtuse määramiseks mitu meetodit algebra on meetod või meetod jagaja nimetaja suurima võimsusega ja kordajaga tegur sõbrad.

3. Nimetaja kõrgeima jõu jagamise meetod

Näitena:

Määrake allpool oleva piiri algebralise funktsiooni piirväärtus:

Lugeja ja nimetaja võimsus on ülesandes 2, seega

nii et Algebralise funktsiooni piirväärtus on

Näidisküsimus 2.

Määrake allpool oleva piiri algebralise funktsiooni piirväärtus:

Lugeja ja nimetaja võimsus ülesandes on 3, seega

Niisiis, algebralise funktsiooni piiri väärtus on:

4. Liitfaktoritega korrutamise meetod

Seda meetodit kasutatakse juhul, kui asendusmeetod annab kohe irratsionaalse piirväärtuse.

Funktsioon korrutatakse selle ühise juurega, nii et piirvorm ei oleks irratsionaalne, nii et väärtuste otsest asendamist saab uuesti teha. x → c .

Näitena:

Lõputute algebraliste funktsioonide piirid

Algebraliste funktsioonide piirmäära kasutamisel on mõnikord ka x väärtus, mis läheneb lõpmatusele (∞).

Seega, kui funktsioon asendatakse, annab see ebakindla väärtuse.

Limiidi kasutamisel on mitu seadust või piiranguteoreemi, millele peate tähelepanu pöörama. Kui n on täisarv, on k konstant, funktsioon f ja funktsioon g on funktsioonid, mille piirväärtus on lähedal arvule c, siis:

Ja lõpmatu vormi algebralise funktsiooni piiri lahendamiseks on kaks meetodit, sealhulgas:

1. Jagage kõrgeima auastmega

Seda meetodit kasutatakse vormi piirfunktsioonis .

Seda meetodit saab teha jagades lugeja f (x) ja nimetaja g (x) muutujaga xⁿ suurim funktsioonides f (x) ja g (x) sisalduv võimsus. Ja siis võime selle asendada x → ∞.

Näitena:

2. Liitkujude korrutamine

Seda meetodit rakendatakse vormi piirfunktsioonile . Selle meetodi või meetodi saab lahendada liitvormi korrutamisega, nimelt:

Seejärel jätkake jagamist esimese meetodiga, nimelt jagades kõrgeima jõuga.

Näitena:

Järgmisena jagage lugeja ja nimetaja x suurima väärtuseni, mis on x¹:

Trigonomeetriliste funktsioonide piirid

Piire saab kasutada ka trigonomeetrilistes funktsioonides. Lahendus on sama mis algebraline piirfunktsioon. Järgmise selgituse mõistmiseks peate kõigepealt mõistma trigonomeetria mõistet.

Selle funktsiooni piiri trigonomeetrias saab lahendada siinuse, koosinuse ja puutuja vormi mõningate muudatuste tegemisega.

Trigonomeetriliste funktsioonide piires on kolm üldist vormi, sealhulgas:

1. Vorm

Selles vormis on trigonomeetrilise funktsiooni f (x) piir tulenev c väärtuse asendamisest trigonomeetriast x-ga.

Näitena:

Kui c = 0, on trigonomeetria piiride valem järgmine:

2. Vorm

Selles vormis saadakse piir kahe erineva trigonomeetria suhtest.

Kui need kaks trigonomeetriat asendatakse otseselt c väärtusega, saadakse sellest f (c) = 0 ja g (c) = 0.

Niisiis, trigonomeetrilise piiri väärtus muutub määramatuks arvuks . Lahendus on sama mis algebraline piirfunktsioon, nimelt faktooring.

Selle vormi näited on järgmised:

3. Vorm

Selles vormis saadakse piir trigonomeetriliste ja algebraliste funktsioonide võrdlemisel.

Kui see on otseselt asendatud, annab see määramatu arvu. Selles vormis tehakse seda tuletiste mõistega. Selle piiri põhivalem on:

Ülaltoodud põhivalemi põhjal saavad sellest edasi arendades järgmised valemid:

Probleemide näide ja arutelu

Määratlemata funktsiooniga töötamine piirab seeni

On aegu, kui x asendamine a-ga lim f (x) x → a muudab f (x) määratlemata väärtuseks või f (a) annab vormi 0/0, / ∞ või 0.∞.

Kui see on nii, siis on lahendus kujul f (x). Proovige lihtsustada, et piirväärtust saaks määrata.

Vormi limiit 0/0

Vorm 0/0 võib esineda:

Sellise vormiga kokku puutudes proovige funktsiooni näpistada, kuni leiame osa, mille saame üle kriipsutada.

Kui see on ruutvõrrandi vormis, võime proovida faktooringut või seostamise teel ja ärge unustage, et on reegel a²-b² = (a + b) (a-b).

Siinkohal toome näite:

/ ∞. Vorm

Piirvorm / ∞ toimub polünoomfunktsioonil järgmiselt:

Probleemide näide:

Proovige määrata allpool toodud piirväärtus:

Vastus:

Siin on kiire kokkuvõte vormi / ∞ matemaatilisest piirivalemist

• Kui m
• Kui m = n, siis L = a / p
• Kui m> n, siis L =

Piirvorm (∞-∞)

Vorm (∞-∞) ilmub sageli riigieksamite ajal.

Küsimuse vorm on väga erinevaid. Kuid lahendus pole kaugel lihtsustamisest. Siinkohal toome näiteid küsimustest, mille võtsime 2013. aasta riigieksamilt.

2013. aasta riiklikud eksamiküsimused.

Määra limiit

Kui sisestate x -> 1, on vormiks (∞-∞). Ja vormi -∞ eemaldamiseks peame vormi lihtsustama,

Kiire valem lahendab lõpmatuse piiri

Esimese lõpmatuspiiri lahendamise kiirvalemit saab kasutada lõpmatute piirülesannete moodustamiseks murru kujul.

Lõpmatuse piiri leidmiseks murdosa kujul peame arvestama ainult iga lugeja ja nimetaja suurima võimsusega.

Võimalik on 3 võimalust.

• Esiteks on lugeja suurim võimsus väiksem kui nimetaja kõrgeim aste.
• Teiseks, lugeja kõrgeim auaste on sama mis nimetaja kõrgeim auaste.
• Kolmandaks on lugeja kõrgeim aste kõrgem kui nimetaja kõrgeim auaste.

Lõputu piirväärtuse murdosa kolmandat valemit võib näha allpool toodud võrrandist.

Probleemide näide:

Piirväärtus: on …..

A. – ∞

B. – 5

C. 0

D. 5

E. ∞

Arutelu:

Lugeja kõrgeim auastme väärtus on 3 ja nimetaja kõrgeim auastme väärtus 2 (m> n). Niisiis, piirväärtus on.

Vastus: E

Seega seekord lühike ülevaade, mida saame edasi anda matemaatiliste piiride kohta. Loodetavasti saab ülaltoodud matemaatilise piiri ülevaadet kasutada õppematerjalina.