Jooned ja nurgad: klassi 7 materjalid, probleemid ja arutelu

Jooned ja nurgad on üks matemaatika materjalidest, mida õpime noorema keskkooli 7. klassis. Noh, seekord õpime erinevaid joonte ja nurkadega seotud asju.

Alustades kahe joone suhetest, nurkade tüüpidest, nurkade omadustest ja ka nurkade jaoks kasutatavatest ühikutest.

Lugege hoolikalt läbi järgmised ülevaated.

Rida

Joon on punktide paigutus (võib olla lõpmatu), mis asuvad üksteise kõrval ja on pikisuunas reas kahes suunas (parem / vasak, üles / alla).

Kahe joone asend

Paralleeljoon

Kaks paralleelset joont see tähendab, et kui sirge on tasapinnas ega jõua iialgi lõpmatuseni, ei jõua see kunagi kokku ega lõiku.

Paralleelsete joonte sümbol on (//)

Kaks sirget on paralleelsed, kui need kaks sirget asuvad samas tasapinnas või nende pikendused ei ristu kunagi.

Mis puutub muu hulgas paralleelsete joonte omadustesse:

• Punkti läbimine väljaspool joont saab teha täpselt ühe sirgega paralleelse joone.
instagram viewer
• Kui on sirge, mis lõikab ühte kahest paralleelsest joonest, ristub see sirge ka teise sirgega.
• Kui üks joon on paralleelne teise joonega, siis on need kaks joont ka üksteisega paralleelsed

Ristuvad jooned

Kahte joont nimetatakse ristuvaks, kui kahel sirgel on lõikepunkt või mida tavaliselt nimetatakse ühiseks punktiks.

rea kattumine

Väidetavalt langevad kaks joont kokku, kui neil on vähemalt kaks ristumiskohta.

Näiteks: tunniosuti, kui see näitab kella 12. Siis langevad kaks kellaosutit üksteisega kokku.

Piire ületama

Võib öelda, et kaks joont ristuvad üksteisega, kui need kaks sirget pole paralleelsed ega asu samas tasapinnas.

Ülaltoodud joonte erinevate asukohtade mõistmiseks vaadake allolevat pilti:

Nurk

Nurk on midagi, mis moodustub kahe kiirte või kahe sirgjoone kohtumisest.

See nurk on ala, mille moodustab kiir, mis on pööratud kiire põhjas. Nurki tähistatakse sümboliga “∠”.

Nurga määratlus

Matemaatikas võib nurka defineerida kui pinda, mis moodustub kahe kiirte olemasolul, mille alguspunktid on omavahel seotud või langevad kokku.

Nurk Geomeetrias on see joonelõigu pöörlemise mõõt ühest alguspunktist teise.

Lisaks saab tavalise kahemõõtmelise kuju korral nurka defineerida ka kui kahe ristuva sirgjoonelise lõigu vahelist ruumi. -sc: vikipeedia

Osad nurga all

Nurkadel on kolm olulist osa, sealhulgas:

Nurga jalg

See on kiirte joon, millest moodustub nurk.

Nurgapunkt

See on kiirte joone alguspunkt või ristmik.

Nurgapiirkond

Nurga kahe jala vaheline ala või ruum.

Lisateabe saamiseks vaadake järgmist pilti:

Nurkade tüübid

Nurga suuruse väljendamiseks kasutame kraadi (°), minutit (’) ja ka sekundit („), kus:

Positsioon kaks rida

Siin on muu hulgas kahe rea positsioonid:

• Kaks või enam sirget on paralleelsed, kui nad asuvad samas tasapinnas ja ei jõua iialgi kokku, kui joont pikendatakse lõpmatuseni piiratud.
• Kaks sirget ristuvad, kui nad asuvad samas tasapinnas ja neil on üks lõikepunkt.
• Väidetavalt langevad kaks joont kokku, kui sirge on sirge, nii et nähtav on ainult üks sirge.
• Väidetavalt lõikuvad kaks sirget, kui need ei asu samas tasapinnas ega pikene.

Nurkade suhe

Ruutnurk

Kui on kaks nurka, mis langevad kokku ja moodustavad täisnurga, siis üks nurk on teiste nurkade jaoks täiendav nurk, nii et neid kahte nurka nimetatakse täiendavateks nurkadeks (täiend).

Siin on pilt nurga all oleva nurga jaoks:

Kahe täiendava nurga summa on 90 °. Üks nurk on teise nurga täiend.

Sirge nurk

Kui on kaks nurka, mis langevad üksteisega kokku ja moodustavad sirge nurga, on üks nurk teise nurga jaoks täiendav nurk. Nii et neid kahte nurka võib nimetada täiendavateks nurkadeks.

Siin on pilt sirgete nurkade kohta:

Kahe täiendava nurga summa on 180 °. Üks nurk on teise nurga täiend.

Nurkade suhe, kui kaks joont on paralleelsed

Lõigatud teise joone järgi

Vaadake korralikult allolevat pilti:

Vastassuunaline nurk (sama suur)

See on nurk, millel on sama positsioon ja sama suurus. Ülaloleval pildil on vastupidised nurgad:

A = E
B = F
C = G
D = H

Vastupidised sisenurgad (sama suurusega)

Kas nurk on sees ja selle asukoht on üksteise vastas. Ülaloleval pildil on vastupidised sisenurgad:

C = E
D = F

Vastupidised välisnurgad (sama suurusega)

Kas nurk asub väljaspool ja on üksteise vastas, näiteks:

A = G
B = H

Vastand- ja vastasnurgad

• Kui kaks paralleelset joont lõigatakse teise sirgega, moodustatakse neli vastassuunaliste nurkade paari, mis on võrdse suurusega.
• Kui kaks joont lõigatakse teise joone abil, siis moodustuvad vastupidiste välisnurkade mõõtmed ühesugused.
• Kui kaks paralleelset joont lõigatakse teise sirgega, siis moodustuvad vastupidised sisenurgad sama suured.
• Kui kaks paralleelset joont lõigatakse teise sirgega, on sisenurkade summa 180 °.

Sisemine nurk

See on nurk, mis asub seestpoolt ja selle asukoht asub samal küljel. Kui need kokku liita, moodustavad samal küljel olevad nurgad 180 ° nurga. Näitena:

D + E = 180 °
C + F = 180 °

Ühepoolne välimine nurk

Kas nurk on väljaspool ja selle asukoht asub samal küljel. Kui need kokku liita, moodustavad samal küljel olevad nurgad 180 ° nurga. Näitena:

B + G = 180 °
A + H = 180 °

Vastasnurgad (sama suurusega)

Kas nurk, mille asukohad on üksteisega vastupidised, on ülaltoodud pildil vastupidised nurgad:

A = C
B = D
E = G
F = H

Vastandnurkade paar tekib siis, kui kaks joont ristuvad nii, et kaks Nurkasid, mis on ristumispunkti vastas, nimetatakse vastupidisteks nurkadeks.
Kaks vastandnurka on võrdsed.

Nurgaühik

Kraadides tähistab 1 kraadi nurka, mida pööratakse 1/360 pöörde võrra. Mis tähendab 1 ° = 1/360 pööret.

Kraadidest (°) väiksema nurga määramiseks võime kasutada sümboleid minut (’) ja teine ​​(”).

Pöörake tähelepanelikult allpool olevate kraadide, minutite ja sekundite suhet:

1 kraad (1 °) = 60 minutit (60 ′)

1 minut (1 ') = 1/60 °

1 minut (1 ′) = 60 sekundit (60 ”)

1 kraad (1 °) = 3600 sekundit (3600 ”)

1 sekund (1 ”) = 1/3600 °

Nurga mõõt radiaanides

1 ° = p / 180 radiaani

või

1 radiaan = 180 ° / lk

Kui väärtus p = 3,14159 nii:

1 ° = p / 180 radiaani = 3,14159 / 180 = 0,017453

või

1 radiaan = 180 ° / p = 180 ° / 3,14159 = 57,296 °

Näidisküsimused ja arutelu

Siin anname mõned joonte ja nurkadega seotud küsimused, sealhulgas:

1. probleem.

Kolm joont k, l ja m järjestuses, nagu allpool näidatud.

Sirge k on sirgega l paralleelne ja sirge m lõikub sirgeid k ja l.

Niisiis, määrake:

a) vastupidised nurgad
b) vastupidised nurgad
c) vastupidised nurgad sisse
d) väliselt vastupidised nurgad
e) sisenurgad ühel küljel
f) ühepoolsed välisnurgad
g) sirged nurgad

Vastus:

a) vastupidised nurgad on:

A1 koos B1-ga
A4 koos B4-ga
A2 koos B2-ga
B3 koos B3-ga

b) vastupidised nurgad on:

A1 koos A3-ga
A2 koos A4-ga
B1 koos B3-ga
B2 koos B4-ga

c) siseruumide vastasnurgad (vastassuunas), nimelt:

A3 koos B1-ga
A4 koos B2-ga

d) välised vastupidised nurgad on:

A2 koos B4-ga
A1 koos B3-ga

e) sisenurgad on:

A3 koos B2-ga
A4 koos B1-ga

f) ühepoolsed välised nurgad, nimelt:

A2 koos B3-ga
A1 koos B4-ga

g) sirged nurgad on:

A1 koos A2-ga
A1 koos A4-ga
A2 koos A3-ga
A3 koos A4-ga
B1 koos B2-ga
B1 koos B4-ga
B2 koos B3-ga
B3 koos B4-ga

2. küsimus.

Arvestades kolme joont, nimelt k, l ja m ning keskkonnas asuvaid nurki. k ja l on paralleelsed, sirge m lõikub sirgeid k ja l.

Kui P = 125 °, siis määrake selle ümber ülejäänud seitse nurka!

Vastus:

R = P = 125 ° (kuna R on P-ga vastupidine)
T = P = 125 ° (kuna T vastab P-le)
V = R = 125 ° (kuna V on R-le vastupidine) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (kuna Q on P sirgendaja)
S = Q = 55 ° (kuna S on Q vastas)
U = Q = 55 ° (kuna U on Q suhtes)
W = U = 55 ° (kuna W on U-ga vastupidine)

3. probleem.

Vaadake allolevat pilti, kui EF on paralleelne DG-ga ja kolmnurk ABC on võrdhaarne kolmnurk, mille nurga C mõõt on 40 °.

Seejärel täpsustage:

a) nurga DBE suurus
b) Nurga BEF mõõt
c) Nurk CAG

Vastus:

a) nurga DBE suurus

Esimene samm on kõigepealt leida nurga ABC mõõt. ABC on võrdhaarne kolmnurk, nii et ABC suurus = BAC. Kolm nurka kolmnurk, kui summeerime, on 180 °, siis ABC = (180 40): 2 = 70 °, seega on BAC ka 70 ° ∠DBE = ABC = 70 °, kuna need on vastupidised tagasi.

b) Nurga BEF mõõt

BEF = ABC = 70 °, kuna need on vastupidised, või BEF = DBE = 70 °, kuna nad on vastupidised.

c) Nurk CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 °, sest CAG ja BAC on sirged.

4. ülesanne. (ÜRO 2012/2013. Pakett 54)

Vaata allolevat pilti!

Nurga sirgendaja SQR suurus on ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Vastus:

Tähelepanu ** see küsimus on üks trikkidest, paljud arvavad, kui küsimus esitatakse SQR, kuigi küsiti PQS-i.

Sellele küsimusele vastamiseks peate kõigepealt otsima x väärtust.

Sel juhul ∠PQS ja ∠SQR on täiendav nurk, seega:

∠PQS + ∠SQR = 180 °(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 °9x ° + 9 = 180 °9x ° = 171 °x ° = 19 °

Sirgendaja ∠SQR = PQSSirgendaja ∠SQR = (5x) °Sirgendaja ∠SQR = (5.19)°Sirgendaja ∠SQR = 95° (Vastus C)

5. küsimus. (ÜRO 2009/2010 pakett 10)

Vaadake järgmist pilti:

Nurga numbri 1 mõõt on 95 ° ja nurga 2 mõõt 110 °. Nurga number 3 mõõt on ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Vastus:

∠1 = ∠5 = 95 ° (vastupidised sisenurgad)2 + 6 = 180 ° (üksteisega joondatud)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Vastus B)

6. küsimus. (ÜRO 2010/2011 pakett 15)

Vaadake allolevat pilti:

Suur ∠BCA on….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Vastus:

ABC + CBD = 180 ° (otsene)ABC + 112 ° = 180 °ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180 °BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180 °BCA = 70 ° (Vastus A)

7. küsimus. (ÜRO 2010/2011 pakett 15)

Vaadake allolevat pilti:

Suur ∠P3 on….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Vastus:

P2 = 74° (vastupidised välisnurgad)P2 + P3 = 180 ° (otsekohene)74 ° + P3 = 180 °P3 = 106 ° (Vastus C)

8. küsimus. (ÜRO 2012/2013. Pakett 1)

Vaadake allolevat pilti:

Nurga sirgendaja KLN mõõt on ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Vastus:

Sellele küsimusele vastamiseks on esimene samm, mille peate leidma, x väärtus.

Selles küsimuses ∠KLN ja ∠MLN on täiendav nurk, seega:

∠KLN + ∠MLN = 180 °(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 °5x ° + 25 ° = 180 °5x ° = 155 °x ° = 31 °

Sirgendaja ∠KLN = MLNSirgendaja ∠KLN = (2x + 10) °Sirgendaja ∠KLN = (2.31 + 10)°Sirgendaja ∠KLN = 72° (Vastus B)

9. ülesanne. (ÜRO 2012/2013. Pakett 2)

Vaadake allolevat pilti:

Suur õngitseja ∠SQR on….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Vastus:

Tähelepanu ** see küsimus on ka lõksu küsimus, nii et paljud inimesed arvavad, et see küsimus on küsitav SQR, kuigi küsiti PQS-i.

Sellele küsimusele vastamiseks on esimene samm, mille peate leidma, x väärtus.

Selles küsimuses ∠SQR ja ∠PQS on täisnurk, seega:

∠SQR + ∠PQS = 90 °(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 °9x ° + 9 ° = 90 °9x ° = 81 °x ° = 9 °

Nurk ∠SQR = PQSNurk ∠SQR = (6x + 4) °Nurk ∠SQR = (6.9 + 4)°Nurk ∠SQR = 58° (Vastus D)

10. küsimus. (ÜRO 2012/2013. Pakett 5)

Vaadake allolevat pilti:

Suur sirgendaja ∠AOC on….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Vastus:

Küsimusele nr 10 vastamiseks peate kõigepealt leidma x väärtuse.

Selles küsimuses ∠AOC ja ∠BOC on täiendav nurk, seega:

∠AOC + ∠BOC = 180 °(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 °12x ° - 12 ° = 180 °12x ° = 192 °x ° = 16 °

Sirgendaja ∠AOC = BOCSirgendaja ∠AOC = (4x + 8) °Sirgendaja ∠AOC = (4.16 + 8)°Sirgendaja ∠AOC = 72° (Vastus B)

See on seekord lühike ülevaade joontest ja nurkadest, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud joonte ja nurkade ülevaadet kasutada õppematerjalina.