Lõik kahest ringist: materjal, igapäevased rakendused, probleemid, arutelu

Kahe ringi ristumiskoht on üks matemaatika erialamaterjalidest, mida õpitakse tavaliselt 11. klassi tasandil.

Nende kahe ringi ristmikul on ka teine ​​nimi, nimelt kahe ringi ristumiskoht. Sest ring ise on sama tähendusega kui ring.

Lisateavet kahe ringi ristumiskoha kohta vaadake allpool toodud arvustusi.

Sisukord

Kahe ringi ristumiskoha omaduste rakendamine

Enne kui saame kahe ringi / ringi ristumiskoha kohta lisateavet, ole nüüd meenutame allpool mõningaid asju.

ringi määratlus, Ring on punktide kogum, millel on teatud punktist sama kaugus.

Ringi asukoht

Kui M1M2 on kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus ja r1 ja r2 on kahe ringi raadiused, siis:

Kutsutakse kahte ringi ristuvadKui ringi kahe keskme vaheline kaugus on
M1M2

Lõik kahest ristuvast ringist

Neid kahte ringi nimetatakse väline kontakt Kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2 = r1 + r2.

Kutsutakse kahte ringi ristuvad aastalKui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2 = | r1 - r2 |

instagram viewer
Kahe ringjoone ristmik, mis puutuvad sisse

Kutsutakse kahte ringi ärge puudutage üksteist Kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2> r1 + r2.

Kutsutakse kahte ringi ei ristu aastalkui ringi kahe keskme vaheline kaugus on null (M1M2 = 0 -> M1 = M2) ja r2> r1.

Aga sa pead teadma Samuti võib kahe ringi kohta öelda, et nad on sisemiselt puutujad, kui üks ring asub teise sees, M1 M2 ja r2> r1.

Kahe puutuja ringi ristumiskoht

Ühise puutujajoone pikkus on joone segmendi pikkus, mille moodustavad ringi puutuja punktid sisemisele ühisele puutujale.

"Ringi ühise puutuja pikkuse ruut on võrdne kahe ringi keskpunktide vahelise kauguse ruuduga, millest on lahutatud raadiuste pikkuste summa ruut."

Sisemise sõpruskonna tangentsjoone ruut

Kahe ringi raadiusega r1 ja r2 r1> r2 välise ühise puutuja pikkus ja ka kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus d see on:

välimine ühine puutuja kahele ringile

"Kahe ringi välise ühise puutuja pikkuse ruut on võrdne kahe ringi keskpunktide vahelise kauguse ruuduga, millest lahutatakse raadiusevahe ruut."

Lõik kahest välimisest ringist

Kahe ringi raadiusega r1 ja r2 ühise puutuja pikkus ja kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus d see on:

Ühise puutujajoone pikkus
Loe ka: Suhe

Kahe ringi viil

Kui M1M2 on ringi kahe keskme vaheline kaugus ning r1 ja r2 on kahe ringi raadiused, siis:

1. Ristuvad

Väidetavalt ristuvad kaks ringi, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2

Lõik kahest ristuvast ringist

2. ühenduses

Väidetavalt on kaks ringi üksteist väliselt puutuvad, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2 = r1 + r2.
Väidetavalt on kaks ringi üksteise suhtes puutuja, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2 = | r1 - r2 |

Kahe ringjoone ristmik, mis puutuvad sisse

3. Puuduta

Väidetavalt ei puutu kaks ringi üksteist väliselt kokku, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2> r1 + r2.

Kaks ringi nimetatakse sisemiselt puutujaks, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on null (M1M2 = 0 -> M1 = M2) ja r2> r1.

Aga sa pead teadma Samuti võib kahe ringi kohta öelda, et nad on sisemiselt puutujad, kui üks ring asub teise sees, M1 M2 ja r2> r1.

Kahe puutuja ringi ristumiskoht

Aastal joonestajate puutujajoone pikkus on joone segmendi pikkus, mille moodustavad ringi puutujad ja joonestajate puutuja joon sees.

"Ringjoone puutujajoone pikkuse ruut on võrdne kahe ringi keskpunktide vahelise kauguse ruuduga, millest on lahutatud raadiuste pikkuste summa ruut."

Sisemise sõpruskonna tangentsjoone ruut

Kahe ringi, mille raadius on r1 ja r2, r1> r2, välimise joonise puutujajoone pikkus ja ka ringide d keskpunktide vaheline kaugus on:

välimine ühine puutuja kahele ringile

"Puutujajoone pikkuse ruut kahele ringile võrdub kahe ringi keskpunktide vahelise kauguse ruuduga, millest lahutatakse raadiusevahe ruut."

Lõik kahest välimisest ringist

Graafiku puutuja pikkus kahes ringis, mille raadius on r1 ja r2, ning ka ringide d keskpunktide vaheline kaugus on:

Ühise puutujajoone pikkus

Ülaltoodud kirjelduse mõistmise hõlbustamiseks kaaluge mõningaid küsimuste näiteid ja allpool toodud arutelu:

Probleemide näide.

1. probleem.

Kaks jalgratta ratast, mille kahe telje vahe on 78 cm. Esimese ratta raadius on 50 cm, teise ratta pikkus on 20 cm.

Mõlemas ketiga kinnitatud rattas. Arvutage ratta külge kinnitamata keti pikkus!

Vastus:

Eespool on probleemiks välise ühise puutuja mõiste rakendamine kahele ringile.

vastus küsimusele 1

Seega on jalgratta ratta külge kinnitamata keti pikkus 8 cm.

2. küsimus.

Seal on 8 toru, mis on paigutatud alloleval pildil näidatud viisil. Seejärel seotakse toru köiega.

Kui toru raadius on 14 cm, siis arvutage torude sidumiseks kasutatud lühima köie pikkus!

kahe ringküsimuse ristumiskoht

Vastus:

On tuntud:

  • Kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus on = ringi läbimõõt = 28 cm
  • Silindri nurkades olevate stringide pikkuste summa on = ringi ümbermõõt = d = 88 cm

Seega on toru sidumiseks kasutatud lühima köie pikkus:

(8 x 28 cm) + 88 cm = 312 cm

3. probleem.

Lennukil on kaks ringi, millel on sama keskpunkt. Suure ringi raadius on neli korda väiksema ringi raadius.

Kui kahe ringi vaheline pindala on 8 pindalaühikut, leidke väikese ringi pindala!

Vastus:

Näiteks suure ringi raadius on = R ja väikese ringi raadius = r, siis saame:

R = 4r

Seetõttu:

Pindala = Suur - väike
8 = R2 - r2
8 = (4 / r - r2
8 = 16πr2 - r2
8 = 15πr2
r2 = 8/15
Väike = 8/15

Niisiis, väikese ringi pindala on 8/15 pindalaühikut.

Loe ka: Korterelamu (kombineeritud)

4. ülesanne.

Pak Gilang ehitab vankriraami, nagu alloleval pildil.

viil kahest materiaalsest ringist

Vankri ühel küljel on trapetsikujuline laud, mis ühendab käru kahte ratast.

Kui suur ratta raadius on r1 = 13 cm, väike ratta raadius on r2 = 6 cm, kaugus ratta L1 ja ratta L2 keskpunktist on M1M2 = 25cm. Seejärel arvutage kahte ratast ühendava plaadi pindala!

Vastus:

Esimene samm on esmalt arvutada välise ühise puutuja joone PQ pikkus. Mingis mõttes:

välise ühise puutuja PQ pikkus

PM1M2Q-trapetsi pindala on järgmine:

Pindala = paralleelsete külgede arv x kõrgus / 2
Pindala ((13 + 6) x 24/2)
Pindala = 19 × 24/2
Pindala = 228 cm2

Niisiis, kahte ratast ühendava laua pindala on 228 cm2

IDL-i kontseptsioonide rakendamine igapäevaelu probleemides

Seinakellad, autorehvid ja mündid on mõned näited objektidest, millel on ümmargune põhikuju.

Eelmises peatükis olete nii paraboolkõveratest, ellipsitest kui hüperboladest koosneva koonusjaotuse kohta nii palju kui ka teada.

Kuid selle erinevates erivormides saame ka koonusjaotises ringi.

Koonusekujulises osas moodustub ring seetõttu, et tasapinnas viilutab see ühe koonuse kõiki osi ja on koonuse teljega risti.

viilu kahe ringi kontseptsioon

Tuletame meelde ringi tähendust. Nagu eespool selgitatud, on ring punktide kogum, mis on antud punktist võrdsel kaugusel.

Vähe sellest, muidugi olete ka kahe ringi seisukoha teemat uurinud. Teema mälu värskendamiseks ole nüüd vaata allpool materjali ülevaadet.

1. Kahe ringi asend

Näiteks on M1M2 kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus ning r1 ja r2 on kahe ringi raadiused, seejärel:

Väidetavalt ristuvad kaks ringi, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus onM1M2

Lõik kahest ristuvast ringist

Väidetavalt on kaks ringi üksteist väliselt puutuvad, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2 = r1 + r2.

Väidetavalt on kaks ringi üksteise suhtes puutuja, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2 = | r1 - r2 |

Kahe ringjoone ristmik, mis puutuvad sisse

Väidetavalt ei puutu kaks ringi üksteist väliselt kokku, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on M1M2> r1 + r2.

Kaks ringi nimetatakse sisemiselt puutujaks, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on null (M1M2 = 0 -> M1 = M2) ja r2> r1.

Aga sa pead teadma Samuti võib kahe ringi kohta öelda, et nad on sisemiselt puutujad, kui üks ring asub teise sees, M1 M2 ja r2> r1.

Kahe puutuja ringi ristumiskoht

Kahe ringi raadiusega r1 ja r2 r1> r2 välise ühise puutuja pikkus ja ka kahe ringi d keskpunktide vaheline kaugus on:

väljaspool liitu

Graafiku puutuja pikkus kahes ringis, mille raadius on r1 ja r2, ning ka ringide d keskpunktide vaheline kaugus on:

sisemine osadus

Näidisküsimused ja arutelu

Selle mõistmise hõlbustamiseks pakume siin mõned näited küsimustest ja nende arutelu teile kõigile.

1. probleem.

Arvestades allpool oleva ringi võrrandit:

  • L1: x2 + y2 + 8x + 6a - 56 = 0 
  • L2: x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0 

Näidake, kas need kaks ringi ristuvad!

Vastus:

Kahe ringi ristumise tingimus on see, kui ringi kahe keskme vaheline kaugus on väiksem kui ringi kahe raadiuse summa.

Näitena:

M1M2 on kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus, kus r1 ja r2 on kahe ringi raadiused, seejärel M1M2

L1: x2 + y2 + 8x + 6a - 56 = 0

Sellel on keskus M1 (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (8), -1/2 (6)) = (-4, -3) ja;

küsimus 1

L2: x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0

Sellel on keskus M2 (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (-8), -1/2 (-6)) = (4,3) ja;

jah

M1M2 on kaugus (-4, -3) kuni (4,3).

vastus 1. küsimusele

Kuna r1 + r2 = 9 + 7 = 16 ja ka M1M2 = 10, siis M1M2

Seega osutuvad kaks ringi ristuvaks.

2. küsimus.

Tea ringi võrrandit

  • L1: x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0 
  • L2: x2 + y2 - 12x + 20a + 55 = 0 

Tõesta, et ringid on väliselt puutujad!

Vastus:

Kahe ringi välise puutujate tingimus on M1M2 = r1 + r2.

L1: x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0

Sellel on keskus M1 (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (6), -1/2 (-4)) = (-3, 2) ja;

küsimused

L2: x2 + y2 - 12x + 20a + 55 = 0

Sellel on keskus M2 (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (-12), -1/2 (20)) = (6, -10) ja;

r2

M1M2 on kaugus (-3, 2) kuni (6, -10). nii:

vastus küsimusele 2

Kuna r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2, siis on tõestatud, et need kaks ringi puutuvad kokku väljaspool.

3. probleem.

Tea ringi võrrandit

  • L1: x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 
  • L2: x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 

Tõesta, et need kaks ringi ei ristu!

Vastus:

L1: x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0

Sellel on keskus M1 (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (20), -1/2 (-12)) = (-10, 6) ja;

r1

L2: x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0

Sellel on keskus M2 (-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (-4), -1/2 (-2)) = (2,1) ja;

vastus küsimusele 2

Ristumatuteks nimetatakse kahte tüüpi ringe, nimelt:

  1. kaks ringi ei ristu M1M2> r1 + r2 
  2. kaks ringi ei ristu (ringi kahe keskme (M1M2) keskpunkt või kaugus on null M1 = M2 ja r1> r2 mitte kontsentriline).

Nüüd tõestame kahe ringi keskpunkti näitamaks, et need kaks ringi ei ristu väljaspool ega ristuvad üksteisega.

Esimese ringi keskpunkt teisel ringil.

Asenduskeskus (-10,6) ringil L2: x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0

Tingimus, et punkt asub ringi sees, on K <0.

Sest

K = (-10) 2 + 62 - 4 (-10) - 2 (6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153> 0 

Seega asub esimese ringi keskpunkt väljaspool teist ringi. Teise ringi keskpunkt asub esimesel ringil.

Ringi L1 asenduskeskus (2,1): x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0

Punkti tingimus asub ringi sees on K <0.

Sest,

K = 22 + 12 + 20 (2) - 12 (1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103> 0 

Seega asub esimese ringi keskpunkt väljaspool esimest ringi.

aastani, võime järeldada, kui need kaks ringi ei lange üksteist, siis tõestame ka seda, et need kaks ringi ei ristu teineteisega väljaspool.

Tingimused, et kaks ringi ei ristuks, on: M1M2> r1 + r2

M1M2 on kaugus (-10,6) kuni (2,1).

3

Sest,

M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12

Niisiis, M1M2> r1 + r2

Seega on tõestatud, et need kaks ringi ei ristu üksteisega väliselt.

4. ülesanne.

On teada, et ringi L1 raadius on r1 = 13cm ja L2 raadius on r2 = 6cm.

Kui kahe ringi keskpunktide vaheline kaugus on M1M2 = 25cm. Seejärel arvutage kahe ringi välise ühise puutuja pikkus!

viil kahest materiaalsest ringist

Vastus:

On tuntud:

  • r1 = 13cm
  • r2 = 6cm
  • M1M2 = 25cm

Küsis:

  • välise ühise puutuja PQ pikkus

Lahendus:

4. küsimus

aastani, on kahe ringi välise ühise puutuja pikkus 24 cm.

Loe ka: Polünoom

See on lühike ülevaade kahe ringi viilu kohta, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.