Algebraliste funktsioonide tuletised: põhituletised, valemid, ülesanded, arutelu

Algebralise funktsiooni tuletis on eelmise funktsiooni teine ​​funktsioon, näiteks funktsioonist f saab f ', millel on ebaregulaarne väärtus.

Põhimõtteliselt kasutatakse derivaatide mõistet meie igapäevaelus sageli.

Olgu selleks matemaatika või muud teadused.

Tuletise enda funktsioon, mida me sageli teame, on kõvera või funktsiooni ja kiiruse puutuja arvutamine.

Vähe sellest, seda derivaatide mõistet kasutatakse sageli ka organismide kasvukiiruse (bioloogia), marginaalse kasumi (majandus), traadi tiheduse (füüsika) ja eraldumiskiiruse (keemia) leidmiseks.

Kõigil neil funktsioonidel on põhimõtteliselt sama mõiste, nimelt tuletiste mõiste. Lisateabe saamiseks ole nüüd heitke hea pilk allpool olevatele arvustustele:

Definitsioon 

Tuletise määratlus

Tuletis või tuntud ka kui tuletis on mõõt, kuidas funktsioon muutub, kui sisendi väärtus muutub.

Üldiselt ütleb tuletis, kuidas üks kogus muutub teise koguse muutumise tagajärjel.

Näiteks: objekti asukoha tuletis, mis seejärel aja suhtes liigub, on objekti hetkekiirus.

Tuletise leidmise protsessi nimetatakse eristamine. Ja tuletise vastastikust nimetatakse kui Laskumisvastane.

Põhiteoreem või arvestuslause väidab, et antivastane on sama mis integratsioon.

Tuletised ja integraalid on arvutuse kaks olulist funktsiooni.

• (x-s) "
• (sin x) '= cos x
• (cos x) '= -sin x
• (tan x) = sekund² x
• y 'on esimese tuletise sümbol.
• y "on teise tuletise sümbol.
• y ”” on kolmanda tuletise sümbol.

Muud sümbolid peale sümbolite y 'ja y "on

Tuletisfunktsiooni määratlus

Algebralised funktsioonide tuletisvalemid

1. Võimsusfunktsiooni tuletisvalem

Funktsiooni tuletis on astme vormis, selle tuletisel saab kasutada valemit: järgnevalt:

Niisiis, võimsusfunktsiooni tuletise valem on:

2. Funktsiooni korrutise tuletise valem

Funktsioonide u (x) ja v (x) korrutamisel saadud tuletisfunktsiooni f (x) valem on järgmine:

Niisiis, funktsiooni tuletise valem on:

f '(x) = u'v + uv'

3. Jagamisfunktsiooni tuletise valem

Niisiis, funktsiooni tuletise valem on:

4. Funktsiooni pangkat võimsuse tuletisvalem

Pidage meeles, kui f (x) = xⁿseetõttu:

Niisiis, funktsiooni tuletise valem on:

f '(x) = nu (n - 1). sa '

4. Trigonomeetrilised tuletisvalemid

Tuletise definitsiooni põhjal võime saada mitu trigonomeetrilist tuletisvalemit, nimelt järgmiselt: (vastavalt x ja u funktsioonidega v), sealhulgas: y '=

1. y = sin x → y '= cos x
2. y = cos x → y '= -sin x
3. y = tan x → y ’= sek² x
4. y = võrevoodi x → y ’= -csc² x
5. y = sek x → y '
6. y = csc x → y ’= csc × võrevoodi x
7. y = pattⁿ xy '= n patt^n-1 × cos x
8. y = cosⁿ x → y '= -n cos^n-1 × patt x
9. y = sin u → y '= u' cos u
10. y = cos u → y '= u' sin u
11. y = tan u → y ’= ui sek² u
12. y = võrevoodi u → y '= -u' csc² u
13. y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
14. y = csc u → y ’= u’ csc u võrevoodi u
15. y = pattⁿ u → y '= n.u' patt^n-1 cos u
16. y = cosⁿ u → y '= -n.u' cos^n-1 . patt u

Algebraliste funktsioonide tuletised

Tuletise määratlus

Funktsiooni f (x) tuletis x suhtes on defineeritud järgmiselt:

tingimusel, et piir on olemas.

Tuletatud märge

Funktsiooni y = f (x) esimese tuletise x-il saab kirjutada järgmiselt:

• y '= f'x lagrange
• leibniz
• D_xy = D_x[f (x)] ⇒ euler

Ülaltoodud määratluse põhjal võime tuletada mõned tuletisvalemid järgmiselt:

1. f (x) = k f '(x) = 0
2. f (x) = k x f '(x) = k
3. f (x) = xⁿ f '(x) = nx^n-1
4. f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
5. f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Juure või murdosa sisaldava funktsiooni tuletise leidmiseks on esimene samm, mille peame muutma funktsiooni eksponentideks.

Siin on muu hulgas sageli kasutatavate juurte ja eksponentide mõned omadused:

• x^m. xⁿ = x^{m + n}
• x^m/ xⁿ = x^{M N}
• 1 / xⁿ = x^-n
• x = x^1/2
• ⁿxm = x^{M N}

Näide:

1. probleem.

Leidke f (x) = x√x tuletis

Vastus:

f (x) = x√x = x. x^1/2 = x^3/2

f (x) = x^3/2 →

2. küsimus.

Määrake tuletis

Vastus:

Kahe funktsiooni korrutamine ja jagamine

Oletame, et y = uv, siis saab y tuletise väljendada järgmiselt:

y '= u'v + uv'

Oletame, et y = u / v, siis saab y tuletise väljendada järgmiselt:

Probleemide näide.

1. probleem.

Tuletis f (x) = (2x + 3) (x² + 2) nimelt:

Vastus:

Näiteks:

u = 2x + 3 u '= 2
v = x² + 2 v '= 2x

f '(x) = u' v + u v '
f '(x) = 2 (x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4

Kettreegel

Kui y = f (u), kus u on funktsioon, mille saab tuletada x-il, siis saab y tuletise x suhtes väljendada kujul:

Ülaltoodud ahelareegli mõistest siis y = uⁿ, saavad:

Üldiselt võib öelda järgmiselt:

Kui f (x) = [u (x)]ⁿ kus u (x) on funktsioon, mille saab tuletada x-il, siis:

f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)

Probleemide näide.

1. probleem.

Leidke f (x) = (2x + 1) tuletis⁴

Vastus:

Näiteks:

u (x) = 2x + 1 u '(x) = 2
n = 4
f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)
f '(x) = 4 (2x + 1)^4-1 . 2
f '(x) = 8 (2x + 1)³ 

2. küsimus.

Leidke y = (x² 3x)⁷

Vastus:

y '= 7 (x² 3x)^7-1 . (2x 3)
y '= (14x21). (x² 3x)⁶

Harjutage küsimusi ja arutelu

1. probleem.

Leidke funktsiooni tuletis f(x) = 2x(x4 – 5).

Vastus:

Oletame, et kui u(x) = 2x ja v(x) = x4–5, siis:

u‘ (x) = 2 ja v‘ (x) siis = 4x3

Sel viisil saadakse kirjeldus ja tulemused:

f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

2. küsimus. Algebraliste funktsioonide tuletisülesanded

Esimese funktsiooni tuletis see on …

Vastus:

See probleem on vormi y = au funktsioonⁿ mida saab arutada ja lahendada valemi y '= n abil. a. u^n-1. Siis:

Nii et tuletis on:

3. probleem. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Määrake esimene tuletis:

Vastus:

Eespool toodud probleemi lahendamiseks võime kasutada segavalemit, nimelt:

ja saab kasutada ka valemit y '= n. sa oled pattu^n-1 u. cos u

nii:

4. ülesanne.

Tuletis f (x) = (x - 1)²(2x + 3) on…

Vastus:

Näiteks:

u = (x 1)² u '= 2x2
v = 2x + 3 v '= 2

f '(x) = u'v + uv'
f ’(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2 (x² 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f '(x) = 6x² 2x 4
f ’(x) = (x 1) (6x + 4) või
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

5. küsimus.

Kui f (x) = x² - (1 / x) + 1, siis f '(x) =... .

A. x - x²
B. x + x²
C. 2x - x^-2 + 1
D. 2x - x² – 1
E. 2x + x^-2

Vastus:

f (x) = x² - (1 / x) + 1

= x² - x^-1 + 1

f '(x) = 2x - (- 1) x^-1-1

= 2x + x^-2

Vastus: E

Seega lühike ülevaade algebraliste funktsioonide tuletistest, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.