Sirgvõrrandid: materjalid, graafikud, valemid, ülesanded, arutelu

Sirge võrrand väljendab võrrandit, mis teisendab sirge võrrandiks.

Materjalülevaated, mida selle lehe kaudu arutatakse, on gradiendid, sirgete võrrandite valemid ja ka sirgete võrrandite määramise meetodid või viisid.

Viimases osas toome näite küsimuste otsimisest selle materjali kohta, mis on varustatud aruteluga, et suurendada sirgvõrrandite mõistmist.

Sirgvõrrandi tunnusjoon või tunnus on see, et muutujal on ühe suurim võimsus.

Enne sirgjoone võrrandi määramiseks selle materjali uurimist peaksite kõigepealt lugema sirge võrrandi joonistamise kohta.

Sest see materjal aitab teil mõista sirgvõrrandite materjali.

Sirge on lõpmatu arv kõrvuti asetsevaid punkte. Sirgjoont saab väljendada sirgvõrrandite erinevates vormides, sirgjoont saab väljendada rohkem kui ühes võrrandis.

Sirge võrrandi väljendamise näited hõlmavad järgmist:

• y = mx
• y = -mx
• y = a
• x = a
• kirves + poolt = ab
• kirves - poolt = -ab
• ja teised.

Allpool on toodud sirgete erinevad vormid ning sirge võrrandi väljendamise viisid. Vaadake hoolikalt allolevat pilti:

Pers. Üldvorm

Sirge tähendus on väljendatud võrrandis y = mx + c, kus m on gradient, x on muutuvja c on pidev.

Alustame sirgjoonvõrrandite ülevaadet gradientide määratlemise ja määratlemisega. Siin on rohkem teavet.

Sirgvõrrandi määratlus

Nagu me eespool mainisime, väljendab sirgjoone võrrand võrrandit, mis teisendab sirge võrrandiks. nii et

Tähendus Sirge võrrand on võrrand, et kui me joonistame selle ristkülikukujulisse koordinaattasandisse, moodustab see sirge.

Ja mida sirge all mõeldakse, on punktide kogum, mis on paralleelsed.

Gradient

Kuid enne, kui valemist rohkem teada saame. Kõigepealt peame teadma 1 komponenti, mida ei saa sirgjoone võrrandist lahutada. Jep, üks vorm, nimelt gradient.

Gradient on y-komponendi ja x-komponendi suhe, mida nimetatakse ka joone kalle. Gradiendi sümbol on täht m.

Gradienti saab määratleda ka väärtusena, mis väljendab joone kallet. Üldiselt väljendatakse sirgvõrrandi gradiendi väärtust suhtega Δy / Δx.

Pange tähele alloleval pildil gradiendi määratlemise viisi.

Dekartese tasapinnas sirgjoone gradiendi määramise viisi võib mõjutada ka joone nõlva suund.

Lisateavet joone gradiendi määramise kohta leiate allpool toodud arutelust.

1. Võrrandi ax + gradient + c = 0 võrra

M = komponent X / komponent Y

2. Keskpunkti (0, 0) ja punkti (a, b) läbiv gradient

m = b / a

3. Gradiend läbi punkti (x₁, y₁ ) ja (x₂, y₂ )

m = y₁ - jah₂ / x₁ - x₂ või m = y₂ - jah₁ / x₂ - x₁

4. Joonte gradiendid on paralleelsed (/ /)

m = sama või kui seda sümboliseeritakse kui m₁ = m₂

5. Joone gradient on üksteisega risti (vastupidine ja vastupidine)

m = -1 või m₁ x m₂ = -1

Asukoht 2 joone vahel

Sirgjoone võrrandi kahe joone vahelise positsiooni saab jagada kahte tüüpi, sealhulgas paralleelsed ja risti.

Mõlemal positsioonil on sirge võrrand, mis on omavahel seotud.

Niisiis, kui on teada 1 sirgjoone võrrand, siis on teada selle sirgjoonega paralleelne või risti olev sirge.

Siis sirgjoone võrrandil on gradientseose tingimus. Gradientide nõuded ja ka pilt sirgjoonte vahelisest asendist antakse allpool toodud ülevaates. Kuula tähelepanelikult ok ..

1. Paralleelsed jooned

Paralleeljooned on kaks joont, mis kunagi ei ristu. Nendel kahel paralleelsel joonel on sama kalle.

On teada, et sirge kalle g = m_g ja sirge gradient h = m_h. Niisiis, joone 2 võrrandi gradientide vahelist suhet saab väljendada järgmises võrrandis:

m_g = m_h

2. Risti jooned

Seos on ka kahe risti sirge gradiendil.

Kahe joone suhe on märgitud juhul, kui teise joone gradient on vastupidine esimese joone gradienti pöördele.

Või teisisõnu võib öelda ka siis, kui 2 gradiendi korrutamise tulemus on -1.

Näiteks esimese rea gradiendil on väärtus m₁ = 2 siis on teise rea gradiendi väärtus m₂ = -1/2.

Selgemaks mõistmiseks näete allpool toodud arutelu:

On teada, et sirge kalle g = m_g ja ka sirge h = m gradient_h. Niisiis, suhe kahe võrrandi gradienti vahel on väljendatud järgmises võrrandis:

m_g x m_h = -1

Sirge võrrand

Me võime teada sirge võrrandi valemi ja ka väikese arvutuse kaudu.

Gümnaasiumiastmes esitatakse kahte tüüpi sirgjoonelisi võrrandiküsimusi.

Esimene tüüp on probleem tuntud gradiendiga ja ka ristmikuga.

Vahepeal on teise tüübi puhul võrrand, kus on teada kaks ristumiskohta.

Järgnevalt käsitletakse joone võrrandi leidmise valemit.

On kaks valemit, mida saame kasutada sirgjoone võrrandi määramiseks. Valemi kasutamine sõltub sellest, mis on probleemis teada.

Vaadake kahte ülevaadet järgmises ülevaates:

1. Punkti A (x₁.y₁)

y Y₁ = m (x - x₁)

2. Punkti A (x₁.y₁) ja B (x₂.y₂)

y Y₁ / y₂ . y₁ = y - x₁ / x₂ . x₁

Sirge võrrandi valem

1. Üldise vormi sirgvõrrand (y = mx).

Selle keskpunkti (0, 0) läbiv võrrand, mille kalle on m.

Näitena:

Leidke sirge võrrand, mis läbib keskpunkti (0, 0) ja mille kalle on ka 2

Vastus:

y = mx

y = 2 x

2. Paralleelpunkti läbiva sirgjoone võrrand (y = mx + c).

Sirge, mis on / / y = mx ja mille kalle on m, võrrand.

Selle punkti (0, c) läbiva joone võrrand, mille kalle on m. (0, c) on y-lõikepunkt.

3. Selle sirgjoone võrrand (x₁ , y₁ ) Ja gradient m.

Võrrand on järgmine:

y Y₁ = m (x - x₁ )

4. 2 punkti läbiva sirge võrrand on (x₁ , y₁ ) ja (x₂ , y₂ ).

y Y₁ / y₂ - jah₁ = x - x₁ / x₂ - x₁

Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem.

Leidke sirgjoone võrrand, mis läbib sirgete ristmikku võrranditega 3x + 2y - 12 ja 5x + 2y = 16 ja on paralleelne sirgega 2x + y = 4, nimelt?

Vastus:

3x + 2y = 12

5x + 2a = 16
_________ –
- 2x = -4
x = -4 / -2 = 2

3x + 2y = 12

3 x 2 + 2y = 12

6 + 2a = 12

2y = 6

y = 6/2 = 3

Lõikepunkt (2, 3) // 2x + y = 4

m₁ = -a / b = -2 / 1 = -2

m₁ = m₂ = -2

y Y₁ = m₂ (x - x₁ )

y - 3 = -2 (x - 2)

y - 3 = -2x + 4

2x + y - 3 + 4 = 0

2x + y + 1 = 0

2. küsimus.

Läbi sirge (−1, 2) sirgega 4y = 3x + 5 risti olev võrrand on….
A. 4x - 3y + 10 = 0
B. 4x - 3y - 10 = 0
C. 3x + 4a - 5 = 0
D. 3x + 4a + 5 = 0

Vastus:

Leidke sirge 4y = –3x + 5 gradient:

4y = -3x + 5

y = -3 / 4x + 5/4

siis on sirge gradient m = - 3/4

Sirge on sirgvõrrandiga risti, kui selle kalle vastab:

m₁ x m₂ = -1

-3/4 x m₂ = – 1

m₂ = – 1 / -3/4

m₂ = 4/3

Järgmisena leiame sirge võrrandi gradiendiga m₂ = 3/4, mis läbib punkti (-1, 2)

y Y₁ = m₂ (x - x₁ )

y - 2 = 4/3 (x - (-1))

y - 2 = 4/3 (x + 1)

3 (y - 2) = 4 (x + 1)

3a - 6 = 4x + 4

- 4x + 3y - 10 = 0

4x - 3y + 10 = 0

Niisiis, õige vastus on A.

3. probleem. Matemaatika ÜRO küsimused 2013. ja 2008. aastaks

Punkti (–3, 5) läbiva ja sirgega 3x - 2y = 4 risti oleva sirge võrrand on….

A. 2x + 3a - 9 = 0
B. 2x - 3y - 9 = 0
C. 3x + 2a + 19 = 0
D. 3x - 2y - 1 = 0

Vastus:

Leidke sirge gradient 3x - 2y = 4:

3x - 2y = 4

2y = 3x - 4

y = 3 / 2x - 2

Niisiis on joone gradient m₁ = 3/2

Sirge on sirgvõrrandiga risti, kui selle kalle vastab:

m₁ x m₂ = -1

3/2 x m₂ = -1

m₂ = -1/ 3/2

m₂ = -2/3

Järgmisena leiame sirge võrrandi gradiendiga m₂ = -2/3, mis läbib punkti (-3, 5)

y Y₁ = m₂ (x - x₁ )

y - 5 = -2/3 (x - (-3))

y - 5 = -2/3 (x + 3)

3 (y - 5) = -2 (x + 3)

3y - 15 = -2x - 6

2x + 3a - 15 + 6 = 0

2x + 3a - 9 = 0

Niisiis, õige vastus on A.

4. ülesanne. 2009 matemaatika ÜRO küsimused

Järgmiste ridade võrrandite hulgas:

(I) 2y = 8x + 20
(II) 6y = 12x + 18
(III) 3y = 12x + 15
(IV) 3y = 6x + 15

mille graafikud on üksteisega paralleelsed ...

A. (I) ja (II)
B. (I) ja (III)
C. (III) ja (IV)
D. (II) ja (IV)

Vastus:

Graaf on üksteisega paralleelne, kui sellel on sama gradientväärtus, see tähendab:

2y = 8x + 20 → m = 8/2 = 4

6y = 12x + 18 → m = 12/6 = 2

3y = 12x + 15 → m = 12/3 = 4

3y = 6x + 15 → m = -6/3 = -2

Seega esinevad sirgete (I) ja (III) võrrandites paralleelsed graafikud.

Niisiis, õige vastus on B.

5. küsimus. Matemaatika ÜRO küsimus 2008

Punkti A (–2, –3) läbiva sirgjoone võrrand, mis on sirgjoonega y = 2 / 3x + 9 risti, on….

A. 2x + 3a + 13 = 0
B. 3x + 2a + 12 = 0
C. 2x + 3a - 5 = 0
D. 3x - 2y = 0

Vastus:

Sirge y = 2 / 3x + 9 gradiendi leidmine:

m₁ = 2 / 3x

Sirge on sirgvõrrandiga risti, kui selle kalle vastab:

m₁ x m₂ = -1

2/3 x m₂ = -1

m₂ = -1/ 2/3

m₂ = -3/2

Järgmisena leiame sirge võrrandi gradiendiga m₂ = -3/2, mis läbib punkti (-2, -3)

y Y₁ = m₂ (x - x₁ )

y - (-3) = -3/2 (x - (-2))

y + 3 = -3/2 (x + 2)

2 (y + 3) = -3 (x + 2)

2a + 6 = -3x - 6

2a + 3x + 6 + 6 = 0

2a + 3x + 12 = 0

3x + 2a + 12 = 0

Niisiis, õige vastus on B.

6. küsimus.

Punkti (-2,5) läbiva sirgega 2x + 3y + 6 = 0 paralleelse sirge võrrand on…

a. 2x + 3y-4 = 0

b. 2x-2y + 16 = 0

c. 3a + 2x-11 = 0

d. 3y-2x-19 = 0

Vastus:

2x + 3y + 6 = 0 paralleelse sirge võrrand tähendab, et sirge gradient on sama. Seega määrame kõigepealt gradiendi järgmise meetodi abil:

2x + 3a + 6 = 0

3y = -2x - 6

y = -2/3 x - 2

Seega on näha, et gradient = -2/3

Niisiis on joone üldvõrrand y = -2 / 3x + c

Kuna sirge läbib või läbib punkti (-2,5), võime c väärtuse saamiseks võrrandis selle punkti asendada. Nii toimige järgmiselt.

y = -2 / 3x + c

5 = -2/3 (-2) + c

5 = 4/3 + c

c = 5 - 4/3

c = 15/3 - 4/3

c = 11/3

Niisiis, joone võrrand on:

y = -2 / 3x + c

y = -2/3 x + 11/3

3y = -2x + 11

3a + 2x - 11 = 0

Niisiis, õige vastus on C.

7. küsimus.

On teada, et sirgjoone võrrand, mis läbib punkti P (k, 4) ja on risti sirgega x + 2y + 1 = 0, st y = m (x + 1), seega on k väärtus ….

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Vastus:

x + 2y + 1 = 0

2y = -x - 1

y = -1/2 x - 1/2

Seega võime teada gradienti (m) = -1/2

Kuna need kaks joont on risti, siis

m-1/2 = -m / 2 = -1

-m = -2

m = 2

Või lihtsal viisil, kui see on risti, siis sirge gradient on vastupidine ja vastupidi. Kuna m sirgelt x + 2y + 1 = 0, mis on -1/2, on vastand ja vastand 2.

Seetõttu on joone y = m (x + 1) võrrand y = 2 (x + 1)

sirge y = 2 (x + 1) läbib punkti (k, 4) nii, et:

y = 2 (x + 1)

4 = 2 (k + 1)

4 = 2k + 2

2k = 4-2

2k = 2

k = 1

Niisiis, õige vastus on A.

8. küsimus.

Antud sirge g: x-3y + 5 = 0. Punkti (-2.11) läbiva ja sirge g võrrandiga risti oleva sirge võrrand on ...

a. -3x + 5c. 3x-5

b. -3x-5

c. 3x-5

d. 3x + 5

Vastus:

x-3y + 5 = 0

-3y = -x - 5

y = 1/3 x + 5/3

m1 = 1/3

Kuna see on risti, siis:

1/3. m2 = -1 m2 = -3

Või lihtsalt m2 on vastupidine ja ka m1 vastand.

Punkti (-2.11) läbiva joone võrrand on -3:

y-b = m (x-a)

y-11 = m2 (x - (- 2))

y-11 = -3 (x + 2)

y-11 = -3x -6

y = -3x - 6 +11

y = -3x +5

Niisiis, õige vastus on A.

9. ülesanne. (ÜRO 2010)

Joone gradient võrrandiga 3x-5y + 15 on….

a. 5/3

b. 3/5

c. -3/5

d. -5/3

Vastus:

Liini gradient võrrandiga 3x-5y + 15 = 0 on:

3x-5y + 15 = 0

- 5y = -3x - 15

5y = 3x + 15

y = 3/5 x + 3

Gradient (m) = 3/5

Niisiis, õige vastus on B.

10. küsimus.

Võrrandi 4y = 2x + 3 gradient on ...

A. m = 2
B. m = 1
C. m =
D. m = -½

Vastus:

Liinivõrrandi kujul y = mx + c on sirge gradient m (arv x taga).

Seetõttu peame kõigepealt muutma probleemi võrrandi kuju järgmise meetodi abil:

4y = 2x + 3
y = (2/4) x + 3/4
y = x + 3/4

Seega võime teada, et gradient on:

y = x + 3/4
m =

Niisiis, õige vastus on C.

11. küsimus.

Järgmisest neljast sirgvõrrandist, mille gradient on 2, nimelt ...

A. y = 4x + 8
B. 4x + 2a - 5 = 0
C. 3y = 6x + 16
D. y + 2x = 6

Vastus:

Vaatame ülaltoodud probleemi nr 11 kõigi joonevõrrandivalikute gradienti:

A. y = 4x + 8 → m = 4
B. 4x + 2y - 5 = 0 → 2y = -4x + 5 → m = -4/2 = -2
C. 3y = 6x + 16 → y = 2x + 16/3 → m = 2
D. y + 2x = 6 → y = -2x + 6 → m = -2

Niisiis, sirge, mille gradient on 2, võrrand on 3y = 6x + 16.

Seega lühike ülevaade, mille seekord saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.