Dekarteesia koordinaadid: materjal, süsteem, näidisülesanded, arutelu

Dekartesiuse koordinaate nimetatakse sageli ka ruutkoordinaatideks. Dekarteesiakeelsest sõnast pärinev mõiste tähistab Prantsusmaalt pärit matemaatikut ja filosoofi Rene Descartes.

Ta oli ekspert, kellel oli suur roll algebra ja geomeetria ühendamisel.

Descartes'i avastuse tulemused, Cartesiuse koordinaadid, olid analüütilise geomeetria, arvutuse ja kartograafia arendamisel väga mõjusad.

Selle süsteemi kasutamise põhiidee algus töötati välja 1637. aastal kahes Descartes'i teose kirjutises.

Descartes'i meetodite diskursuses tutvustas ta uut ettepanekut objekti oleku või punkti asukoha näitamiseks pinnal.

Meetodi või meetodi puhul kasutatakse kahte telge, mis on üksteisega risti.

Järgmises teoses La Géométrie süvendab ta ka väljatöötatud kontseptsioone.

Seejärel tutvustati seda teistele koordinaatsüsteemidele, näiteks polaarkoordinaatide süsteemile.

Dekarteesia koordinaatide funktsioon

Matemaatikas kasutatakse iga punkti määramiseks ristkoordinaatide koordinaatide süsteemi kasutades kahte arvu, mida tavaliselt nimetatakse x-koordinaadiks ja ka punkti y-koordinaadiks.

X-koordinaati nimetatakse sageli abstsissiks, y-koordinaati aga sageli ordinaadiks.

Koordinaatide tõlgendamiseks on vaja kahte suunatud rida, mis on üksteisega risti [x-telg ja y-telg]. Nagu ka ühiku pikkus, mis on märgitud kahele teljele.

Vaadake hoolikalt allolevat pilti:

Ülaltoodud pildilt näeme, et on märgitud 4 punkti. Nende hulka kuuluvad: [-3,1], [2,3], [-1,5, -2,5] ja [0,0]. Punkti [0,0] nimetatakse ka alguseks.

Ülaltoodud pildilt näeme ka, et:

Kuna need kaks telge on üksteisega risti, jaguneb xy tasapind neljaks osaks, mida nimetatakse kvadranditeks. Seda on näha ülaltoodud joonisel, mida tähistavad punktid [-3,1], punktid [2,3], punktid [-1,5, -2,5].

Vastavalt kehtivale kokkuleppele on neli kvadrandiala järjestatud paremalt ülevalt [I kvadrandist], ringides vastupäeva.

I kvadrandis on mõlemad koordinaadid (x ja y) positiivsed.

II kvadrandis on x-koordinaat negatiivne ja y-koordinaat positiivne.

III kvadrandis on mõlemad koordinaadid negatiivsed.

Ka IV kvadrandis on x-koordinaat positiivne ja y-koordinaat negatiivne.

Punkt [2,3] asub I kvadrandis, punkt [-3,1] asub II ja punkt [-1,5, -2,5] asub III kvadrandis.

Või üldiselt sorteeritakse neli kvadrandiala alates paremast ülemisest osast [I kvadrandist], ringides vastupäeva.

I kvadrandis on nii [x kui ka y] koordinaadid positiivsed.

II kvadrandis on x-koordinaat negatiivne ja y-koordinaat positiivne.

III kvadrandis on mõlemad koordinaadid negatiivsed ja IV kvartalis x koordinaadid positiivsed ja y negatiivsed [vaata tagasi ülaltoodud pildile].

Dekarteesia koordinaatide süsteem kahes mõõtmes määratletakse tavaliselt kahe teljega, mis on üksteisega risti.

Kus kaks telge asuvad ühes tasapinnas, nimelt xy-tasapinnas. Horisontaalteljel on silt x, vertikaalteljel aga y.

Punkt, kus kaks telge kokku saavad, alguspunkt, märgitakse tavaliselt 0-ga.

Igal teljel on ka ühiku pikkus ja iga pikkus tähistatakse nii, et see moodustab omamoodi võre.

Konkreetse punkti kirjeldamiseks kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis kirjutatakse x väärtus [abstsis], millele järgneb y väärtus [ordinaat].

Nii on kasutatav vorming alati [x, y] ja järjekorda ei muudeta.

Dekartesi koordinaatide süsteemi saab kasutada ka kõrgemates mõõtmetes.

Näiteks: 3 [kolm] dimensiooni, kasutades kolme telge, nimelt x-telge, y-telge ja z-telge.

Kui kahes mõõtmes on sirge xy tasapinnal, siis kolmemõõtmelises koordinaatsüsteemis lisatakse veel üks telg, mis on sageli märgistatud z-ga.

Kui z-telg on risti x-teljega ja y-teljega [Teisisõnu, x-telg, y-telg ja z-telg on üksteisega risti või risti].

Karteesia eelised

Dekartesi koordinaatide süsteemi abil saab algebraliste võrrandite abil kirjeldada geomeetrilisi kujundeid, näiteks kõveraid.

Sellel kaasaegsel ajal on ristkoordinaatide koordinaadid laialdaselt kasutusel.

Järgnevalt on toodud mõned ristkülikukujuliste koordinaatide eelised, sealhulgas:

Esiteks:

Igapäevaelus leiame sageli põrandaplaane ja kaardipilte.

Kus on kaardi enda funktsioon, et meil oleks lihtsam asukohta või kohta või piirkonda leida.

Samamoodi, kui tahame kellelegi kirja saata. Kellegile kirja saatmisel peame teadma täielikku ja õiget sihtkoha aadressi.

Selle eesmärk on hõlbustada kirja enda kättetoimetamist.

Seega, kui lisame aadressi õigesti ja täielikult, saabub kiri kiiremini. Kaardil on ka laius- ja pikkuskraadid.

Teiseks:

Igapäevaelus on ristküliku koordinaattasand tingimata vajalik.

Üks neist on lennunduse küsimuses.

Piloot saab oma lennukiga lennata ilma üksteisega kokku põrkamata ja saab teada ka seda, kas lennuk on sihtkohta jõudnud.

Seda seetõttu, et õhusõiduk on varustatud keerukate tööriistadega, nagu radar tuvastamise tööriistana, kompass juhisena ja raadio sidevahendina.

Seetõttu peab piloot mõistma, kuidas lugeda ja määrata koha asukoht Dekartose koordinaattasandil.

Kolmas:

Sotsiaalteaduste tundides kohtame sageli provintsi kaarti või isegi riigi kaarti.

Linna, mäe, järve, lennujaama positsiooni võime mõelda kui positsiooni. Kaardi lugemise hõlbustamiseks on kaart varustatud horisontaalsete ja vertikaalsete juhtjoontega või laius- ja pikkuskraadidega.

Koordinaattasandi aluseks oleva joone tegemise alus.

Punktide määramine ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis

Ülalolevale tasapinnale viidatakse kui koordinaattasandile, mille moodustavad vertikaalne joon Y (Y-telg) ja horisontaaljoon X (X-telg).

Punkt lõikub sirge Y ja joone X vahel, mida nimetatakse koordinaatide keskpunktiks (punkt O).

Neid koordinaate nimetatakse ristkoordinaatide koordinaattasandiks. Nagu eespool selgitatud, kasutatakse arvupaarides väljendatud punkti asukoha määramiseks ristkülikukujulist koordinaattasandit.

Mõelge punktidele A, B, C ja D tasapinnas. Selle asukoha määramiseks alustage punktist O. Seejärel liigutage horisontaalselt paremale (X-telg), seejärel liikuge üles (Y-telg).

Punkti asukoht ristküliku koordinaattasandil on kirjutatud arvpaari (x, y) kujul, kus:

• x nimetatakse abstsissiks ja
• y-d nimetatakse ordinaadiks.

Koordinaattasandil:

• Punkt A on koordinaatidel (1,0), mis on kirjutatud kui A (1,0).
• Punkt B asub koordinaatides (2,4), mis on kirjutatud kui B (2,4).
• Punkt C asub koordinaatides (5,7), mis on kirjutatud kui C (5,7).
• Ja punkt D on koordinaatidel (6,4), mis on kirjutatud D-ga (6,4).

Dekartesi koordinaattasandil saame seda laiendada nii, nagu alloleval pildil:

Näitena:

• Punkti E koordinaadid on (2,2)
• Punkti F koordinaadid, nimelt (-2,1), saadakse horisontaalselt vasakule liikudes punktist O alustades kuni kaks ühikut, seejärel vertikaalselt ühe ühiku võrra ülespoole.
• Punkti G koordinaadid, nimelt (-3, -3), saadakse horisontaalselt vasakult punktist O alustades kuni kolm ühikut, seejärel vertikaalselt kolme ühiku võrra alla.

Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem.

Punkti A (9, 21) ordinaat on…

a. -9
b. 9
c. -21
d. 21

Vastus:

Üldiselt punkti kirjutamine = (abstsis, ordinaat). Ülalolevas probleemis näitab punkt A (9, 21), kas:

Abskis = 9

Ordinaat = 21

Õige vastus on D.

2. küsimus.

Arvestades punkte P (3, 2) ja Q (15, 13). Punkti Q ja P suhtelised koordinaadid on ...

a. (12, 11)
b. (12, 9)
c. (18, 11)
d. (18, 13)

Vastus:

Leiame punkti Q suhtelised koordinaadid punktist P lahutades:

a. Abscissa Q miinus abstsiss P

b. Q ordinaat miinus P ordinaat

Seega on Q suhtelised koordinaadid P suhtes:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

Niisiis, õige vastus on A.

3. probleem.

Punktid A (3, 2), B (0, 2) ja C (-5, 2) on punktid, mida ületab joon p. Kui sirg q on sirgega p paralleelne sirg, siis sirg q on ...

a. Paralleelselt x-teljega
b. Paralleelselt y-teljega
c. Risti x-teljega
d. Risti y-teljega

Vastus:

Ülaltoodud küsimustele vastamise hõlbustamiseks joonistame Dekartese tasapinnale:

Ülaltoodud joonisel on näha, et p-sirg on paralleelne X-teljega. Kuna q-joon on paralleelne joonega p, on q-joon paralleelne ka x-teljega.

Niisiis, õige vastus on A.

4. ülesanne.

On teada, et sirged p ja q on kaks sirget, mis ei ristu, kuigi neid on laiendatud lõpmatuseni.

Joonte p ja q positsioonid on ...

a. kallistama
b. Paralleelselt
c. Rist
d. Ristuvad

Vastus:

Kaks sirget, mis ei ristu, kuigi on pikendatud, on kaks paralleelset joont.

Niisiis, õige vastus on B.

5. küsimus.

Alloleva joonise põhjal võib öelda, et:

i) AB on paralleelne EF-ga.
(ii) BC ristub GC-ga
(iii) AD langeb kokku BC-ga.
(iv) EF lõikub GF-iga.

Eespool toodud väite põhjal on õige…
a. punktides i ja ii
b. (ii) ja (iii)
c. iii ja iv
d. punktid i ja iv

Vastus:

Vaadake ülaltoodud tala pilti:

a. AB on paralleelne EF-ga, siis (i) on tõene
b. BC ristub GC-ga punktis C, siis (ii) on vale
c. AD on paralleelne BC-ga, siis (iii) on vale
d. EF lõikub GF-ga punktis F, siis (iv) on tõene

Niisiis, õige vastus on D.

6. küsimus.

Suur

a. Refleks
b. Nüri
c. küünarnukid
d. Koonus

Vastus:

Nurk P on 113 kraadi, mis tähendab, et nurk P on nüri nurk.

Nürinurk on nurk, mis jääb vahemikku 90 kuni 180 kraadi.

Niisiis, õige vastus on B.

7. küsimus.

Nurgamõõt tunnikäpp, kui see näitab 03.00, on ...

a. 180°
b. 90°
c. 60°
d. 30°

Vastus:

Kell 03.00 osutab lühike käsi numbrile 3, pikk käsi aga numbrile 12, seetõttu on moodustunud nurk 90 kraadi.

Niisiis, õige vastus on B.

8. küsimus.

Vaata allolevat pilti!

Vastandnurkade paarid on ...

a. b. c. d.

Vastus:

Arutleme ükshaaval ülaltoodud võimalustest:

a. Variant A on vale, sest see peaks olema b. Variant B on vale, sest see peakski olema c. Valik C on õige, st. d. Variant D on vale, sest see peakski olema

Niisiis, õige vastus on C.

9. ülesanne.

Ülaltoodud joonisel on vastupidise sisenurga paarid ...

a. 2 ja 8
b. 4 ja 6
c. 3 ja 8
d. 1 ja 5

Vastus:

Arutleme ükshaaval ülaltoodud võimalustest:

a. 2 ja 8 on vastandlike sisenurkade paarid.
b. 4 ja 6 on vastandlike välisnurkade paarid.
c. 3 ja 8 on ühepoolse sisenurga paarid.
d. 1 ja 5 on vastandnurkade paarid.

Niisiis, õige vastus on A.

10. küsimus.

48 kraadise nurga täienduseks on ...

a. 42°
b. 52°
c. 68°
d. 138°

Vastus:

Täiendus = 90 - 48 = 42

Niisiis, õige vastus on A.

Loe ka: Numbrimuster

See on seekord lühike ülevaade ristkoordinaatide koordinaatidest, mida saame edastada. Loodetavasti saab ülaltoodud Dekartesiuse koordinaatide ülevaadet kasutada teie õppematerjalina.