Numbrite võimsus: tüübid, omadused, loendustoimingud, probleemid, lahendused

Võib-olla on keegi teist materjali kohta teada saanud number koht. Või äkki pole te kunagi astmelisest numbrist kuulnud. Siin on rohkem teavet.

Selle auastenumbri materjalil on palju eeliseid või kasutusviise, mis on eriti teadlaste jaoks väga olulised.

Toitenumbrite kohta lisateabe saamiseks vaadake järgmist arutelu.

Auastme number

Jõunumbrid on numbrid, mis on kasulikud kirjutamise lihtsustamiseks ja samade korrutusteguritega arvu mainimiseks.

Näiteks: 3x3x3x3x3 =… või 7x7x7x7x =… jne.

Erinevate arvude korrutamist ülaltoodud teguritega nimetatakse tavaliselt korduv korrutamine.

Kujutage ette, kui arv korrutatakse väga suure arvuga, siis kogeme ka kirjutamisel raskusi.

See pole keegi muu, kuna korrutises on ühe numbri jaoks nii palju numbreid.

Iga korduva korrutise saame lühidalt üles kirjutada, kasutades eksponentidele numbrimärgistust.

Näitena:

3 x 3 x 3 x 3 x 3 Saame selle numbri uuesti kokku võtta, kasutades numbrit võimsuse järgi 3⁵

8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 ja võime selle numbri uuesti kokku võtta, et saada arvuks 8¹⁰

Kuidas seda lugeda:

3⁵: Kümme 5-ni

 8¹⁰: Kaheksa võimsust 10

Ülaltoodud võimsus on kasulik korduvate tegurite arvu määramiseks.

Võimudega arvude valem on:

aⁿ=a×a×a×a... nii palju kui n korda

Numbrivõimude tüübid

Kõige sagedamini arutatakse mitut tüüpi eksponente.

Muuhulgas: positiivne jõud (+), negatiivne (-) ja null (0).

Järgnevalt anname selgituse iga tüübi kohta. Heitke hea ülevaade allolevatest arvustustest.

1. Positiivse võimsuse arv

Positiivne eksponent on arv, millel on positiivne astendaja või astendaja.

Mida mõeldakse eksponentsiaaliga? Eksponent on eksponentide teine ​​nimi. Positiivsetel eksponentidel on teatud omadused, millest arv koosneb a, b, numbrina päris ja M N, mis on positiivne täisarv.

Eksponentsiaalarv on sama arvuga arvude korrutamise vorm ja seejärel korratav või lühidalt korratav korrutis.

Mõned positiivsete eksponentide omadused on järgmised:

1. a^m x aⁿ = a^{m + n}
2. a^m : aⁿ = a^{M N,} m> n ja b 0 korral
3. (a^m)ⁿ = a^{M N}
4. ab)^m = a^m b^m
5. a / b)^m = a^m/ b^m , b 0 jaoks

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks pöörake suurt tähelepanu allolevatele näidisküsimustele.

2. Negatiivse võimsuse arv

Siis on negatiivse eksponendi mõiste, mis on arv, millel on negatiivne astend või võimsus (-).

Mõned negatiivsete arvude omadused hõlmavad järgmist:

Kui a∈R, a 0ja n on negatiivne täisarv, siis:

a^-n = 1 / aⁿ või aⁿ = 1 / a^-n

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks pöörake suurt tähelepanu allolevatele näidisküsimustele:

1. probleem.

Määrake kindlaks positiivsete jõududega järgmised numbrid:

1/6 (a + b)^-7 = ….

Vastus:

1/6 (a + b)^-7 = = 1/6 (a + b)⁷

2. küsimus.

Väljendage negatiivsete jõududega järgmised numbrid:

x¹y² / 2z⁶ = ….

Vastus:

x¹y² / 2z⁶ = 2^-1x^-1z^-6 / y^-2, kus x 0 ja z 0.

3. Arv nullini (0)

Ei ole ainult positiivseid ja negatiivseid eksponente, mis eksisteerivad arvudes võimsusega sa tead.

Ilmselt on matemaatikas olemas ka arvud, mille võimsus on null (a). Siis need andmed ole nüüd õpime selle numbri kohta lisateavet nullini.

Varem teadsime juba, et eksponentide omadused on järgmised:

aⁿ/ aⁿ = 1 positiivsete eksponentide jagunemise olemuse põhjal võime saada:

aⁿ/ aⁿ = a^n-n = a⁰, nii et a⁰ = 1

Seega on arvu omadus nulli (0) astmeks “Kui a väärtus on reaalarv ja a ei ole 0, siis a⁰ = 1″

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks pöörake suurt tähelepanu allolevatele näidisküsimustele:

Lihtsustage numbreid järgmiselt:

1. probleem.

5 (x² - jah²) (x² - jah²)⁰

2. küsimus.

3x + 2a / (3x + 2a)⁰

Vastus:

1. probleem.

5 (x² - jah²) (x² - jah²)⁰ = 5 (x² - jah²) x 1 = 5 (x² - jah²), x-iga² - jah²  ≠ 0

2. küsimus.

3x + 2a / (3x + 2a)⁰ = 3x + 2a / 1 = 3x + 2a, kus 3x + 2a0

Seega arutelu, mida saame edastada arvude eksponentide kohta, jätkame nüüd teist arutelu, nimelt juurte vormi. Heitke hea pilk allpool olevatele arvustustele ...

Toidetavate numbrite omadused

Järgnevalt on toodud mõned omadused, mis sisalduvad arvudes Lian'i võimsuses, nimelt:

1. Positiivne täisarv

Definitsioon:

Näiteks a reaalarvud ja n positiivne täisarv. Märge aⁿväljendab arvude korrutist a nii palju n faktor. Nii saame selle kirjutada järgmiselt:

aⁿ = a × a × a × … × a

Kus: a x a x a x…. xa on n tegur.

Teave:

• a on arvude alus.
• n on auaste.

Nii võime teada, et:

1. Ülaltoodud kirjelduses nõustume, et a1 kirjutatakse lihtsalt a-ga.
2. Mitte kõik a⁰ kus tegelik arv tähistab 1. Kui a = 0 ja n = 0, siis aⁿ= 0⁰, siis pole tulemused kindlad.
3. Kui n on muutuja kui astendaja a, siis peame pöörama tähelepanu nende muutujate universumile.
   Sest aⁿ= a × a × … × a nii palju n tegur, see kehtib ainult universumi ajal n ∈N.

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks pöörake suurt tähelepanu allolevatele näidisküsimustele:

1. 2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
2. 3² = 3 x 3 = 9

2. Negatiivne täisarv

Definitsioon:

Sest a reaalarvud ja a ≠ 0, m positiivne täisarv, siis on see määratletud järgmiselt:

a^-m = (1 / a)^m

Ülaltoodud kirjelduse põhjal saab seda selgitada järgmiselt:

Ülaltoodud kirjelduse paremaks mõistmiseks pöörake suurt tähelepanu allolevatele näidisküsimustele:

3. Nullvõimsus

Definitsioon:

Sest a reaalarvud ja a Siis 0 a⁰ = 1.

Miks a ei saa olla võrdne nulliga?

Nagu eespool selgitatud, kui a = 0 siis a⁰ = 0⁰, siis pole tulemused kindlad.

Näitena:

• 2⁰ = 1
• 3⁰ = 1

4. Positiivsed täisarvud

Siin on mõned positiivsete täisarvude omadused:

Tunnused-1

Kui a reaalarvud, m ja n positiivne täisarv siis

a^m× aⁿ= a^m+n

Tõend:

Ülaltoodud omadus kehtib ainult siis, kui a on reaalarv, m ja n on positiivsed täisarvud. Kui m ja n pole positiivsed täisarvud, siis omadused1 ei kehti. Näiteks: a = 0 ja m = n = 0, ei kehti.

Näitena:

2² x 2³ = (2 x 2) x (2 x 2 x 2)

= 32

= 2⁵

2² x 2³ = 2²⁺³

Tunnused-2

Kui a reaalarvud ja a ≠ 0, m ja n positiivsed täisarvud, nii et:

Omaduses-2 pole see lubatud, kui a = 0, kuna omaduse-2 eksponent on ratsionaalne vorm.

Murdosades on nimetaja null. A = 0 ja m korral on n positiivne täisarv, seega a^m või aⁿ tulemus on 0 võimalik.

Kui tulemus a^m samuti aⁿ mõlemad on nullid, siis on jagatis ebakindel.

Kui^m = 0 ja aⁿ 0, siis on jagatis 0. Kui aga a^m 0 ja aⁿ = 0, siis jagatis pole määratletud.

Näitena:

2⁵ / 2³ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2/2 x 2 x 2

= 4

= 2²

= 2^5-3

Täisarvu jõud

Üldiselt on mis tahes täisarvu a korrutis n korda või n tegurit, nimelt:

a × a × a × … × a või kui see on kirjutatud aⁿ

Teave:

a = nimetatakse põhi- või baasinumbriks
n = nimetatakse astmeks või astendajaks
an = nimetatakse arvuks astmele (loe a astmele n)

joon-3

Kui a reaalarvud ja a ≠ 0, m ja n on positiivne täisarv, siis (a^m)ⁿ = a^{M N}

Tõend:

Näitena:
(2³)² = (2³) x (2³)

= (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2)

= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

= 2⁶

Kus (2 x 2 x 2) on 3 tegurit, 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 on 6 tegurit jne.

5. Murdosa

Definitsioon:

Näide a on reaalarv ja a 0, samuti m on positiivne täisarv a^{1 m} = lk on positiivne reaalarv, nii et lk^m= a.

Reaalarvude eksponentide omadused murdude astmele

Definitsioon:

Näide a on reaalarv ja a ≠ 0, m, n on positiivne täisarv, siis määratletakse see järgmiselt:

a^{M N} = (a^{1 / n})^m

Oletame a on reaalarv koos a > 0,

p / n ja m / n on murdarvud n 0, siis:

(a^{m/ n}) = (a^{p / n}) = (a)^{m + p / n}

Tõend:

Kui a on reaalarv koos a > 0, nii et:

m / n ja p / q on murdarvud q, n ≠ 0, siis:

(a^{M N}) = (a^{p / q}) = (a)^{m / n + p / q}

Kokkuvõte eksponentide omadustest:

A jaoks on b täisarvud ja n, p ja q positiivsed täisarvud, siis:

Numbritehingute võimsus

• Paaritu väärtuseni tõstetud negatiivse arvu tulemuseks on negatiivne arv.
• Kui negatiivne arv tõstetakse ühtlaseks, on tulemuseks positiivne arv.
• Korrutage arv sama baasinumbri astmele, siis liidetakse eksponendid.
• Numbrite jagamine sama alusarvu astmeks lahutatakse astendaja.
• Kui number jälle suuruseks tõstetakse, korrutatakse eksponent.

Operatsioon Loendamisjõud

Järgnevalt anname eksponentidele arvudes aritmeetilised toimingud. Sisaldab nii korrutamise, jagamise, jõu ja muid omadusi kui ka küsimuste näiteid ja nende arutelu.

Pöörake tähelepanelikult allpool toodud ülevaateid.

1. Jõuarvude korrutamise olemus

Eksponentide korrutamisloendamise toimingutel kehtivad järgmised atribuudid:

a^m x aⁿ = a^{m + n}

Eespool toodud valemi kasutamise paremaks mõistmiseks pöörake tähelepanu allolevale kirjeldusele:

5³ x 5² = (5 x 5 x 5) x (5 x 5)

5³ x 5² = 5 x 5 x 5 x 5 x 5

5³ x 5² = 5⁵

Seega võime järeldada, et see on 5³ x 5² = 5⁵

Näidisküsimused toiteallikate arvu korrutamise ja nende arutelu kohta

Lihtsustage arvude korrutist allpool toodud astmeni, seejärel määrake väärtus!

1. 7² x 7⁵
2. (-2)⁴ x (-2)⁵
3. (-3)³ x (-3)⁷
4. 2³ x 3⁴
5. 3a² x y³
6. 2x⁴ x 3x⁶
7. -2² x 2³

Vastus:

1. 7² x 7⁵  = 7²⁺⁵  = 7⁷  = 823.543

2. (-2)⁴ x (-2)⁵ = -2⁴⁺⁵  = -2⁹  = – 512

3. (-3)³ x (-3)⁷ = -33⁺⁷ = -3¹⁰  = 59.049

4. 2³ x 3⁴ , ei saa me seda probleemi uuesti lihtsustada, kuna põhinumbrid on erinevad (2 ja 3). Niisiis, saame arvutada ainult väärtuse, nimelt:
2³ x 3⁴  = 8 x 81 = 648

5. 3a² x y³ = 3 (y)²⁺³  = 3a⁵

6. 2x⁴ x 3x⁶ = (2 x 3) (x) ⁴⁺⁶ = 6x¹⁰

7. -2² x 2³ = (-1)² x 2² x 2³ = (1) x 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Eksponentidega negatiivsete baasarvude puhul, nagu numbrid 2, 3, 7, peate teadma olulisi punkte:

2. Volituste jagamise omadused

Eksponentide aritmeetilises jaotuses kehtivad järgmised omadused:

a^m: aⁿ = a^{M N}

Eespool toodud valemi kasutamise paremaks mõistmiseks pöörake tähelepanu allolevale kirjeldusele:

5⁶ x 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5)

5⁶ x 5³ = 5 x 5 x 5 (kriips (5 x 5 x 5) x (5 x 5 x 5))

5⁶ x 5³ = 5³

Nii võime järeldada, et oleme 5⁶ x 5³ = 5^6-3

Näited võimude jagunemise omadustest ja nende arutamisest

Lihtsustage numbrite jagamise tulemust allpool olevale astmele, seejärel määrake väärtus!

1. 4⁵ / 5³
2. 3⁴ / 2³

Vastus:

1. 4⁵ / 5³ = 4^5-3 = 4² = 16

2. 3⁴ / 2³, ei saa me seda probleemi uuesti lihtsustada, kuna põhinumbrid on erinevad (3 ja 2). Niisiis, saame arvutada ainult väärtuse, nimelt:

3⁴ / 2³ = 81/ 8 = 10,125

3. Volituste võimude omadused

Numbrite võimsuse arvutamisel rakendatakse järgmisi omadusi:

(a^m)ⁿ = a^mxn

Eespool toodud valemi kasutamise paremaks mõistmiseks pöörake tähelepanu allolevale kirjeldusele:

(5³)² = (5 x 5 x 5)²

(5³)² = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)

(5³)² = 5⁶

Niisiis võime järeldada, et see on (5³)² = 5^3×2

Näiteid arvude võimsuse olemuse ja nende arutelu kohta

Lihtsustage allpool olevate arvude arvu tulemust, seejärel määrake väärtus!

1. (4³)⁵
2. [(-2)⁴]²

Vastus:

1. (4³)⁵ = 4^3×5 = 4¹⁵ = 1.073.741.824
2. [(-2)⁴]² = (-2)^4×2 = (-2)⁸ = 256

4. Korruta kaks arvu jõud

Kahe arvu korrutamise võimsuse arvutamisel kasutatakse järgmisi omadusi:

(a x b)^m = a^m x b^m

Eespool toodud valemi kasutamise paremaks mõistmiseks pöörake tähelepanu allolevale kirjeldusele:

(3 x 5)² = (3 x 5) x (3 x 5)

(3 x 5)² = (3 x 3) x (5 x 5)

(3 x 5)² = 3² x 5²

Seega võime järeldada, et see on (3 x 5)² = 3² x 5²

Näiteid 2 numbri korrutamise võimsuste omadustest ja nende arutelust Pembahasan

Lihtsustage allpool olevate arvude arvu tulemust, seejärel määrake väärtus!

1. (2 x 7)²
2. [(1/2) x (1/3)]³

Vastus:

1. (2 x 7)² = 2² x 7² = 4 x 49 = 196
2. [(1/2) x (1/3)]³ = (1/2)³ x (1/3)³ = (1/8) x (1/27) = 1/216

5. Kahest numbrist koosneva jagunemise võimude omadused

Aritmeetilises operatsioonis kahe arvu jagamise astme suhtes kehtivad järgmised omadused:

(a: b)^m = a^m: b^m

Eespool toodud valemi kasutamise paremaks mõistmiseks pöörake tähelepanu allolevale kirjeldusele:

(3/5)² = (3/5) x (3/5)

(3/5)² = (3 x 3) / (5 x 5)

(3/5)² = 3²/5²

Niisiis võime järeldada, et (3/5)² = 3²/5²

Näited kahest numbrist koosneva jaotuse võimude omaduste ja nende arutelu kohta

Lihtsustage allpool olevate arvude arvu tulemust, seejärel määrake väärtus!

1. (2/3)²
2. [(−3)/2]³

Vastus:

1. (2/3)²= 2²/5²= 4/25
2. [(−3)/2]³= (−3)³/2³=−27/8

6. Nulli jõud

Kui a on reaalarv (a∈R) ja n on positiivne täisarv (n ≥1), siis on 0 (null) võimsuse omadused järgmised:

1. a^o = 1
2. 0ⁿ = 0
3. 0^o = määratlemata

Nullarv 1 võimsuse tõestamiseks kaaluge järgmist selgitust:

2⁴: 2⁴= 2^4-4 = 20 nii,

2⁴: 2⁴= 2⁰, põhjus 2⁴: 2⁴= 16/16 = 1, siis

2⁰= 1

Selle tõestuse põhjal võime järeldada, et kui kõik reaalarvud, välja arvatud null, kui tõstame selle 0-ni (null), on tulemus võrdne 1-ga.

Nullarv 2 võimsuse tõestamiseks vaadake allpool olevat selgitust:

0¹= 0 × 0 = 0

0²= 0 × 0 × 0 = 0

0³= 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Ülaltoodud tõestuse põhjal võime järeldada, et kui arv on null, olenemata sellest, kui palju me seda tõstame, on tulemus alati null.

Nullarv 3 võimsuse tõestamiseks vaadake allpool olevat selgitust:

Teame, kas väärtus on 0ⁿ= 0, nii et

0ⁿ/0ⁿ= 0/0, väärtus 0/0 = täisarv, sest kogu arv korrutatuna nulliga on tulemus null.

Siis saame kirjutada teise võrrandivormi, näiteks:

0ⁿ/0ⁿ= 0^n-n

0ⁿ/0ⁿ= 00, sest 0ⁿ/0ⁿ= 0/0 = täisarv

0⁰= tervikuna number

kõik numbrid võivad tähendada 1, 12, 123, 1234, 12345, 13456 ja nii edasi. Seetõttu pole määratlus selge.

Seega võime järeldada, et kui arv on null nullini, pole tulemus määratletud.

Juure kuju

Juurvorm on numbri juur, mille tulemus ei ole ratsionaalne arv (arv, mis sisaldab). täisarvud, algarvud ja muud seotud arvud) või irratsionaalsed arvud (st arvud, mille jagatis pole kunagi Peatus).

Juure kuju on veel üks vorm, mille abil saab öelda arvu.

Juurvorm kuulub irratsionaalse arvu hulka, kus irratsionaalset arvu ei saa öelda murdude a / b, a ja b, täisarvude a ja b 0 abil.

Juurvormi number on number, mis on märgis √ mida nimetatakse juuremärgiks.

Mõned näited irratsionaalsetest arvudest juurte kujul on 2, 6, 7, 11 ja nii edasi.

Vahepeal ei ole 25 jaoks juurvorm, sest 25 = 5 (5 on ratsionaalne arv), mis on sama, mis arv 25, on juurvorm, nimelt 5.

Juursümboli "√" võttis esmakordselt kasutusele saksa matemaatik nimega Christoff Rudoff.

Oma pealkirjaga raamatus Die Coss. Sümbol valiti seetõttu, et see sarnaneb sõnast võetud r-tähega "radix", mis on ladina keeles ruutjuur.

Mitme omadusega võimsuse arvunaolemus, juure kuju Sellel on ka mitu omadust, sealhulgas:

1. a² = a
2. a x b = a x b; a 0 ja b 0
3. a / b = a / √b; a 0 ja b 0

See on seekord lühike ülevaade, mida saame edastada Powered Numbers - Exponents kohta. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet Powered Numbers - Exponentide kohta kasutada õppematerjalina.