Tõenäosuse valem: tõenäosuse, probleemi, arutelu väärtus ja lisamine

Ilma et me sellest aru saaksime, kohtame igapäevases elus sageli matemaatiliste tõenäosuse valemite mõistet. Näiteks mündid või mündid.

Kindlasti oleme seda raha näinud metalli või müntide kujul. Ja valuuta koosneb kahest küljest.

Eeldame, et esimene külg on arv, teine ​​pool aga pilt.

Kui münt visatakse üks kord õhku. Kui suur on tõenäosus numbrit saada?

Vahepeal, kui viskame 2 korda 3 korda isegi 10 korda, siis kui suur on tõenäosus, et number ilmub?

Noh, nimetatakse sellist mõistet võimaluseks. Et teada saada, mis on tõenäosus, uurime koos tõenäosuse valemi materjali kohta. Lugege see artikkel hoolikalt läbi, kuni see on valmis.

Võimaluse määratlus

Võimalust saab määratleda kui meetodit, mida kasutatakse sündmuse toimumise tõenäosuse määramiseks.

Igas probleemis on ebakindlust, mis tuleneb tegevusest, mis mõnikord toob kaasa teise.

Näiteks: ülaltoodud kirjelduses on öeldud, et õhku paiskuva mündi tulemuseks võib olla pildipool (G) või numbripool (A). Nii et ilmuvat poolt ei saa me kindlalt kindlaks teha.

Mündi viskamise tulemus on üks kahest võimalikust sündmusest, nimelt G- või A-külje välimus.

Mündi viskamise tegevust nimetatakse juhuslikuks toiminguks. Me võime tegevust korrata mitu korda ja tegevuste jada nimetatakse eksperimendiks.

Ühe tegevuse tegevust saab väljendada ka eksperimendina.

Matemaatiline tõenäosuse valem

Mündi viskamise katse tulemuseks võib olla G või A.

Kui meie katse tehakse visates 10 korda ja tõstes G 4 korda, siis on G välimuse suhteline sagedus 4/10.

Kuid kui katse teeme veel 10 korda ja tõstame G ainult 3 korda nii et 20 katses ilmub G seitse korda, on G 20 esinemise suhteline sagedus 20 7/20.

Suhteline sagedus

Sagedus on võrdlus meie tehtud katsete arvu ja täheldatud sündmuste arvu vahel.

Mündi viskamise katse põhjal näeme, et suhtelise sageduse saab sõnastada järgmiselt:

Probleemide näide:

Katse visata münti 100 korda. Selgub, et pildipind (g) ilmub 30 korda.

Seega võime öelda, et ülaltoodud probleemis ilmuva pildi suhteline sagedus on = 30/100 = 3/10

Võimalus

Probleemide näide:

Eksperimendis mündi palju viskamiseks või viskamiseks:

Arvu saamise tõenäosus on = 1/2

1 on valuuta numbriliste nägude arv.

2 on kahe võimaluse olemasolu, nimelt ilmuvad numbrid või pildid.

Proovituba

Prooviruum on kõigi võimalike eksperimentaalsete sündmuste (tulemuste) kogum. Prooviruumi tähistatakse S-tähega.

Näide:

• Valuvormi ketosaani prooviruum on S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
• Mündil oleva ketosaani prooviruum on S = (A, G)

Prooviruumi määramine

Kahe valuuta viskamise prooviruumi saame määrata tabeli (loendi) abil, nagu allpool näidatud:

Prooviruum on: S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}
Kaks pilti sisaldav sündmus A1 on = (G, G)
Sündmus A2, mis ei sisalda pilti, on = (A, A)

Proovipunkt

Proovipunktideks on prooviruumist tulevad liikmed.

Näitena:

Prooviruum S = ((A, A), (A, G), (G, A), (G, G))

Proovipunktid hõlmavad järgmist: ((A, A), (A, G), (G, A), (G, G))

Sündmuse A või P (A) tõenäosus

Sündmuse tõenäosuse saame määrata järgmise meetodi abil:

S = {1,2,3,4,5,6}, siis on väärtus n (S) = 6

A = {2,3,5}, siis n (A) = 3

Eespool toodud selgitusest selgitatakse, et kui valimisruumi liikme S igal proovipunktil on sama tõenäosus. Siis saab sündmuse A tõenäosust, mille liikmete arv on väljendatud n (A), väljendada järgmise valemi abil:

Võimaluse väärtus

Saadud võimaluste väärtused jäävad vahemikku 0 kuni 1. Iga sündmuse A jaoks saab P (A) väärtuse piirid kirjutada matemaatiliselt järgmiselt:

0 P (A) 1 kus P (A) on sündmuse A tõenäosus

Kui P (A) = 0, siis sündmus A on võimatu sündmus, siis pole tõenäosus muud kui 0

Näitena:

Lõunas tõusev päike on võimatu sündmus, seega pole tõenäosus keegi muu kui = 0

Kui P (A) = 1, siis sündmus A on kindel sündmus

Näitena:

Animeeritud olend sureb kindlasti, see on kindel sündmus, seega on tõenäosus = 1

Samuti on sündmuse tõenäosus, mis jääb vahemikku 0 kuni 1, mis tähendab, et sündmus on võimalik.

Näiteks õpilase tõenäosus saada klassi meistriks. Kui L on sündmuse A täiendav sündmus, siis on sündmuse L tõenäosus 1 - sündmuse A tõenäosus.

Matemaatiliselt võib selle kirjutada järgmiselt:

P (L) = 1 - P (A) või see võib olla P (L) + P (A) = 1

Näitena:

Kui täna sajab vihma tõenäosus = 0,6, siis täna vihma saamise tõenäosus on = 1 - P (vihm)
= 1 – 0,6
= 0,4

1. Ootussagedus

Sündmuse eeldatav sagedus on eeldatav arv kordi, kui see ilmneb sündmusele paljude läbiviidud katsete põhjal.

Matemaatiliselt saab seda kirjutada järgmiselt:

Eeldatav sagedus = P (A) x katsete arv

Näitena:

Katse valada stants 60 korda, siis:

2 punkti saamise tõenäosus on = 1/6

Silma 2 eeldatav sagedus on = P (silm 2) x katsete arv
= 1/6 x 60
= 10 korda

2. Ühendi esinemine

Liitüritused on kaks või enam sündmust, mida korraldatakse nii, et need moodustaksid uue sündmuse.

Sündmus K ja K 'täiendussündmus vastavad võrrandile:

P (K) + P (K ') = 1 või P (K') = 1 - P (K)

Võimaluste summa

1. Sõltumatud sündmused

On sündmusi A ja B võib nimetada teineteist välistavateks sündmusteks, kui ükski sündmuses A aset leidvatest elementidest ei ole sama mis sündmuste B korral.

Nii et A või B tõenäosus võib esineda, on üksteist välistavate sündmuste valem järgmine:

P (A u B) = P (A) + P (B)

2. Sündmused ei vabane üksteisest

Tähendus on see, et element A on sama mis element B, matemaatilise valemi saab kirjutada järgmiselt:

P (A u B) = P (A) + P (B) - P (A n B)

3. Tingimuslik sündmus

Tingimuslik sündmus võib juhtuda, kui sündmus A võib mõjutada sündmuse B esinemist või vastupidi. Seetõttu võime valemi kirjutada järgmiselt:

P (A n B) = P (A) x P (B / A)

või

P (A n B) = P (B) x P (A / B)

Kuna sündmused mõjutavad üksteist, saate kasutada ka valemit:

P (A n B) = P (A) x P (B)

Näidisküsimused ja arutelu

Matemaatilise tõenäosuse valemi materjali paremaks mõistmiseks kaaluge mõningaid küsimuste näiteid ja nende arutelu, mille esitame allpool:

Näide tõenäosusküsimusest 1

Mündiga 120 korda viskamise katses selgub, et arvude arv ilmub 50 korda.

Määrake ülaltoodud probleemi põhjal numbrite ilmumise suhteline sagedus ja piltide ilmumise suhteline sagedus!

Vastus:

Arvude ilmumise suhteline sagedus = ilmuvate arvude arv või katsete arv
= 50/120
= 5/12

Piltide ilmumise suhteline sagedus = Ilmuvate piltide arv või katsete arv
= (120 – 50) / 120
= 70/120
= 7/12

Näide tõenäosusküsimusest 2

Täht valitakse abstraktselt kirjas olevate tähtede hulgast "JURAGAN". Seejärel leidke tõenäosus, et täht A on valitud.

Vastus:

Kõnealuste sündmuste arv on = 2, kuna A-tähel on sõnas "JURAGAN" 2

Võimalike sündmuste arv on = 7, kuna tähtede arv on 7

Seega P (täht A) on = 2/7

Näide tõenäosusküsimusest 3

Kaks täringut visatakse üheaegselt. Seejärel määrake järgmiste sündmuste tõenäosus!

a. Esimene täring on 4

b. Täringute arv on 9.

Vastus:

Kahe täringu saamiseks loome prooviruumi või testitabeli järgmiselt:

a. esimesel täringul on 4, mis tähendab, et teine ​​täring võib olla 1,2,3,4,5 või 6. Seega on esimene täring ilmunud 4, nimelt:

M = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

Niisiis, P (täringu I serv 4) = n (M) / n (S) = 6/36 = 1/6

b. Kui täringute summa on 9, on:

N = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}

Niisiis, P (9 summa) = n (N) / n (S) = 4/36 = 1/9

Näited iseseisvatest sündmustest 4.

Kahe täringuga viskamise katses määrake tõenäosus, et esimesel matriitsil saadakse paarisarv ja teisel tärnil paaritu arv!

Vastus:

Olgu A = sündmus, mille paarisarv ilmub esimesel survel = {2,4,6}, nii et P (A) = 3/6

Näiteks B = paaritu algarvu esinemine teisel stantsil = {3.5}, siis P (B) = 2/6

Kuna sündmus A ei mõjuta sündmust B, kasutame valemit:

P (A n B) = P (A) x P (B)

P (A n B) = 3/6 x 2/6 = 1/6

Näide tingimusliku sündmuse 5. küsimusest.

Selles on kast, mis sisaldab 5 punast ja 4 rohelist palli. Kui kaks palli tõmmatakse ükshaaval ilma asendamata, siis kui suur on tõenäosus, et esimesel loosimisel on punane ja teisel viigil roheline pall!

Vastus:

Esimesel pallivõtmisel on 9 saadaolevast pallist 5 punast palli.

Seega P (M) = 5/9

Teises loosimisel on ülejäänud 8 pallist 4 rohelist palli (pakkumisega joonistatakse punane pall).

Seega P (H / M) = 4/8

Kuna sündmused on üksteist mõjutavad, kasutage valemit:

P (M n H) = P (M) x P (H / M)

P (M n H) = 5/9 x 4/8 = 5/18

Seega lühike ülevaade võimaluste valemist, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud võimaluste valemi ülevaadet kasutada teie õppematerjalina.