Pythagorase teoreem: materjal, valemid, näidisülesanded, arutelu

Pythagorase teoreem on matemaatiline reegel, mille abil saab määrata täisnurga kolmnurga ühe külje pikkuse.

Sellest teoreemist peate meeles pidama teoreemi kehtib ainult täisnurkse kolmnurga kohta. Seetõttu ei saa seda kasutada teise kolmnurga külgede määramiseks, mis pole täisnurksed.

Pythagorase teoreem sisaldub matemaatika põhiainete ühes materjalis, millel on väga palju laiendusi ja eeliseid.

Seda materjali kasutatakse ka väga laialdaselt ja see tuleb sageli välja riiklikes eksamiküsimustes.

Põhimõtteliselt on Pythagorase teoreem väga lihtne selle poolest, et meil palutakse arvutada täisnurga kolmnurga küljepikkused ainult seal, kus me teisi külgi juba tunneme.

Kui teine ​​pool pole teada, siis vähemalt võime selle eelnevalt mõne muu meetodi abil leida.

Pythagorase teoreemi täielikuks arutamiseks lugege palun hoolikalt järgmist ülevaadet.

Pythagorase teoreemi omadused

Pythagorase teoreemil on kaks omadust, sealhulgas:

1. Ainult täisnurkse kolmnurga jaoks
2. Vähemalt 2 külge saab ette teada

Teine probleem, millega sageli kokku puututakse, on täisnurkse kolmnurga tuvastamine.

Kumb pool on hüpotenuus, aga ka teine ​​pool. Selleks anname teile täisnurkse kolmnurga ja kutsume teid mõistma täisnurga kolmnurga kõiki komponente.

Kuid enne seda tutvume kõigepealt kolmnurga omadustega, siin on täielik ülevaade.

Kolmnurga omadused

1. Kui hüpotenuusi ruut = teise külje ruutude summa, siis on kolmnurk täisnurkne.
2. Kui hüpotenuusi ruut
3. Kui hüpotenuusi ruut> teise külje ruutude summa, siis kolmnurk on nüri kolmnurk.

Ristnurga tuvastamine

nimetage kolmnurga küljed, mida meeles pidada

Kui vaatate ülaltoodud pilti, leiate mõlemalt küljelt kolm külge, mille oleme nimetanud.

Hüpotenuus on lühendatud kui (SM), alumine pool on lühendatud (SA) ja püstine külg on lühendatud (ST).

Ülaltoodud pildil näeme, et hüpotenuus on otse kolmnurga täisnurga ees.

Ruudud on tavaliselt kujutatud väikese kastiga sees, nagu ülal musta noolega näidatud.

Hüpotenuus on otse ülaltoodud kolmnurga täisnurga vastas. Aluse ja ka püstise külje jaoks pole see tegelikult liiga problemaatiline, kui te selle ekslikult tuvastate.

Miks peate pöörama tähelepanu ja mõistma täisnurga kolmnurga kuju?

Sest nii, et kui leiate selle taga õige kolmnurga või muudate selle nime, ei tekiks teil raskusi.

Sellepärast peate mõistma ja tuvastama täisnurkset kolmnurka.

Vaadake näiteks allolevat pilti hästi:

Ehkki oleme täisnurga kolmnurga ümber pööranud, olete suutnud tuvastada hüpotenuusi, aluse ja püstised küljed.

Ülaltoodud pildil on hüpotenuus külg r, põhikülg on külg lkja vertikaalne külg on külg q.

Lisaks on probleem, mis on ka kõige eksitavam, viga Pythagorase teoreemi valemi meelde jätmisel.

Siin on täielik ülevaade.

Pythagorase teoreemi valem

Pythagorase valem on Pythagorase teoreemi materjalist saadud valem.

Nagu eespool mainitud, on Pythagorase teoreem ise lause, mis selgitab täisnurga kolmnurga külgede vahelist suhet.

Selle teoreemi esitas esmakordselt Kreekast pärit matemaatik Pythagoras.

Pythagorase teoreemi heli või teoreem on järgmine:

Ristkülikukujulises kolmnurgas on pikima külje ruut võrdne külgede ruutude summaga.

Sellest teoreemist saame teha valemi, mida saame kirjeldada järgmiselt:

Vaatleme näiteks kolmnurka, mille täisnurk on B-s. Kui hüpotenuusi (hüpotenuusi) pikkus on c ja selle täiendavate külgede (va hüpotenuusi) pikkused on a ja b. Siis saame ülaltoodud Pythagorase teoreemi sõnastada järgmiselt:

Pythagorase valem

c² = a² + b²

Teave:

c = hüpotenuus
a = kõrgus
b = alus

Püstagori valemit kasutatakse tavaliselt täisnurga kolmnurga hüpotenuusi pikkuse leidmiseks järgmiselt:

Külje AC ruut = külje AB ruut + külje BC ruut. või AC² = AB² + BC²

Aluse külje pikkuse leidmise valem on:

b² = c² - a²

Kolmnurga külje või kõrguse leidmise valem on:

a² = c² - b²

Ristküliku kolmnurga hüpotenuusi leidmise valem on:

c² = a² + b²

Pythagorase teoreemi kasutamine

Lisaks sellele, et Pythagorase teoreemi kasutatakse kolmnurga tundmatu külje pikkuse määramiseks, võib seda kasutada ka mitmetes arvutustes, sealhulgas:

1. Määrake ruudu diagonaali pikkus
2. Määrake kuubi diagonaal ja ka risttahukas

Siinkohal anname selgituse iga kasutamise kohta:

1. Määrake ruudu diagonaali pikkus

Antud ristkülik ABCD, nagu on näidatud alloleval joonisel:

Sirge AC on ruudu diagonaaljoon. Kui ruudu külgede pikkused on teada, saab diagonaalide pikkuse Pythagorase teoreemi abil arvutada järgmiselt:

konditsioneer² = AB² + EKr²

konditsioneer² = AD² + CD²

Probleemide näide:

Ruudu ABCD pikkus on 8 cm ja laius 6 cm. Leidke ruudu diagonaali pikkus.

Vastus:

On tuntud:

• pikkus = p = 8 cm
• laius = L = 6 cm

Küsis:

• diagonaal = d =…?

Põhinedes Pythagorase teoreemil, siis:

d² = lk² + L²
d² = 8² + 6²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = 100
d = 10 cm

Niisiis, ülaltoodud probleemi ruudu diagonaali pikkus on 10 cm.

2. Määrake kuubi diagonaal ja ka risttahukas 

Antud plokk ABCD.EFGH, nagu on näidatud alloleval joonisel:

Rida AG on üks ploki ruumidiagonaale. Ruumi AG diagonaali pikkuse saame Pythagorase teoreemi põhjal arvutada järgmiselt:

AG² = Vahelduvvool² + CG²

Teave:

AG = ruumi diagonaal
CG = ploki kõrgus
AC = põhitasandi diagonaal

Seejärel kaaluge ploki alust, mis on ruut ABCD. Pythagorase heli põhjal saame arvutada vahelduvvoolu tasapinna diagonaali pikkuse järgmise valemi abil:

konditsioneer² = AB² + EKr²

Teave:

AB = ploki pikkus
BC = ploki laius

Sest AC² = AB² + EKr², siis saame muuta ruumi AG diagonaali pikkuse valemi järgmiseks:

AG² = Vahelduvvool² + CG²
AG² = AB² + EKr² + CG²
AG² = lk² + L² + t²

Niisiis, valem on järgmine:

d_r² = lk² + L² + t²

Teave:

d_r = ruumi diagonaal
p = ploki pikkus
L = tala laius
t = ploki kõrgus

Probleemide näide:

Ploki pikkus, laius ja kõrgus on vastavalt 12 cm, 9 cm ja 8 cm. Määrake ruumi ühe diagonaali pikkus!

Vastus:

On tuntud:

• p = 12 cm
• L = 9 cm
• t = 8 cm

Küsis:

• d_r = … ?

Heli või Pythagorase teoreemi põhjal siis:

d_r² = lk² + L² + t²
d_r² = 12² + 9supp> 2 + 8²
d_r² = 144 + 81 + 64
d_r² = 289
d_r = √289
d_r = 17 cm

Niisiis, ruumi diagonaali pikkus on 17 cm.

Parempoolse kolmnurga küljepikkuse määramine

Matemaatiliselt kasutatakse täisnurga kolmnurga küljepikkuste määramiseks tavaliselt Pythagorase valemit.

Lisateabe saamiseks vaadake mõnda allpool esitatud näidisküsimust.

Näited Pythagorase probleemidest (Pythagoras) ja nende lahendused

1. probleem.

On teada, et täisnurkset ABC täisnurkset ABC kirjeldatakse järgmiselt:

Määrake ülaloleval pildil hüpotenuus AC pikkus!

Vastus:

Kuna ülaltoodud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, kehtib Pythagorase valem järgmiselt:

AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = 100
AC = 10

Niisiis, täisnurga kolmnurga külje AC pikkus on 10 cm.

2. küsimus.

KLM-i täisnurga L-kolmnurka kujutatakse järgmiselt:

Määrake ülaloleval pildil külje KL pikkus!

Vastus:

Kuna ülaltoodud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, kehtib Pythagorase valem järgmiselt:

KM² = KL² + LM²
KL² = KM² - LM²
KL² = 13–12²
KL² = 169 - 144
KL² = 25
KL = 25
KL = 5

Niisiis on ülemise täisnurga kolmnurga KL külje pikkus 5 cm.

3. probleem.

On teada, et täisnurkset DEF-i, mille täisnurk on E, kirjeldatakse järgmiselt:

Määrake ülemise pildi külje DE pikkus!

Vastus:

Kuna ülaltoodud kolmnurk DEF on täisnurkne kolmnurk, kehtib Pythagorase valem järgmiselt:

DF² = DE² + EF²
DE² = DF² - EF²
DE² = 15–9²
DE2 = 225-81
DE2 = 144
DE = 144
DE = 12

Niisiis on ülemise täisnurga kolmnurga külje DE pikkus 12 cm.

4. ülesanne.

On teada, et täisnurga all olev täisnurkne kolmnurk ABC asub B-s. Kui külje pikkus AB = 16 cm ja külje pikkus BC = 12 cm.

Seejärel arvutage ülaltoodud kolmnurga külje AC pikkus!

Vastus:

Ülaltoodud küsimustest saate joonistada järgmise täisnurga:

Kuna ülaltoodud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, kehtib Pythagorase valem järgmiselt:

c² = a² + b²
c² = 12² + 16²
c2 = 144 + 256
c² = 400
c = 400
c = 20

Niisiis on ülaltoodud probleemi täisnurkse kolmnurga ABC külje AC pikkus 20 cm.

Kolmnurga tüübi kindlaksmääramine, kui teate külgede pikkust

Lisaks täisnurga kolmnurga küljepikkuste leidmisele kasutatakse Pythagorase valemit ka kolmnurga tüübi määramiseks.

Kas kolmnurk on täisnurkne, teravnurkne või nüri kolmnurk? Kuidas siis määrata Pythagorase valemiga kolmnurga tüüp?

Kolmnurga tüübi määramiseks Pythagorase teoreemi abil peame võrdlema pikima külje ruutu külgede ruutude summaga.

Näitena on teada, et täisnurga kolmnurga hüpotenuusi pikkus (pikim külg) on ​​c. Ja ruutude pikkused on a ja b, nii et:

• Kui c²
• Kui c² = a² + b², on kolmnurk täisnurkne;
• Kui c²> a² + b², on kolmnurk nüri kolmnurk.

Lisateabe saamiseks vaadake mõnda alltoodud näidisküsimust:

1. probleem.

Ristnurk BC täisnurga ABC all Määrake kolmnurga tüüp, kui külgede pikkus AB = 8 cm, BC = 15 cm ja AC = 20 cm!

Vastus:

Näiteks a on pikim külg ja b, c on ülejäänud kaks külge, siis saame teada, kas:

• c = 20 cm
• b = 8 cm
• a = 15 cm.

c² = 20² = 400
a² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

Sest,

c²> a² + b²
400 > 289

Niisiis, kolmnurk ABC on nüri kolmnurk.

2. küsimus.

Kui külgede pikkused on 10 cm, 12 cm ja 15 cm, määrake allpool oleva kolmnurga tüüp!

Vastus:

Näiteks c on pikim külg ja b, a on ülejäänud kaks külge, siis võime teada:

• c = 15 cm
• b = 10 cm
• a = 12 cm.

c2 = 152 = 225

a² + b² = 12² + 10² = 144 + 100 = 344

Sest,

c² 225 < 344

Niisiis, kolmnurk on terav kolmnurk.

Pythagorase kolmikud

Heitke pilk allpool toodud arvnäidetele:

3, 4 ja 5
6, 8 ja 10
5, 12 ja 13

Mõned ülalnimetatud arvud on arvud, mis järgivad Pythagorase valemi reegleid.

Seda numbrit tuntakse kui Pythagorase kolmikut. Pythagorase kolmekordse arvu saab määratleda järgmiselt.

Pythagorase kolmikud on positiivsed täisarvud, mille suurima arvu ruudul on sama väärtus kui teiste arvude ruutude summa.

Üldiselt jagunevad Pythagorase kolmikud kaheks tüübiks, nimelt primitiivsed Pythagorase kolmikud ja mitte-primitiivsed Pythagorase kolmikud.

Ürgsed Pythagorase kolmikud on Pythagorase kolmik, milles kõigi numbrite GCF on võrdne 1-ga.

Näiteks ürgsetest Pythagorase kolmekordsetest numbritest, nimelt: 3, 4 ja 5 ning 5, 12, 13.

Kuigi Mitteprimitiivsed Pythagorase kolmikud on Pythagorase kolmik, kus arvul on GCF, mis pole võrdne ainult ühega.

Näiteks: 6, 8 ja 10; 9, 12 ja 15; 12, 16 ja 20; ning ka 15, 20 ja 25.

Pythagorase numbrimustrit (Pythagorase kolmikut) kasutatakse Pythagorase probleemide hõlpsaks lahendamiseks, järgmine numbrimuster (Pythagorase kolmik) on:

a B C
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101

Ja paljud teised.

Teave:

a = kolmnurga kõrgus
b = kolmnurga alus
c = hüpotenuus

Kuidas leida Pythagorase kolmikuid:

Kui a ja b on positiivsed täisarvud ja a> b, leiame Pythagorase kolmekordse järgmise valemi abil:

2ab, a² - b², a² + b²

Lisateavet leiate allolevast tabelist:

Pythagorase valemi rakendamine igapäevaprobleemides

Pythagorase valemit kasutatakse laialdaselt igapäevases tegevuses. Järgnevalt anname ülevaate Pythagorase valemi mõnest rakendusest.

Trepist seina kauguse määramise probleemi näide

Vaadake hoolikalt allolevat pilti:

Redel toetub seinale. Kui redeli pikkus on 5 m ja seina kõrgus on 4 m. Seejärel arvutage redeli jala ja seina vaheline kaugus!

Vastus:

Näiteks on redeli jala ja seina vaheline kaugus x, nii et x väärtuse määramiseks saame kasutada Pythagorase valemit järgmiselt:

On tuntud:

• hüpotenuus või c = 5m
• kõrgus või b = 4m

Küsis:

• alus või x?

x² = c² - b²
c² = 5–4²
c² = 25-16
c² = 9
c = 9
c = 3

Seega on redeli jala ja seina vaheline kaugus 3 m.

Näide probleemist kauguse määramiseks väljumise alguspunktist lõpp-punktini

Vaadake hoolikalt allolevat pilti:

Laev sõidab sadamast A sadamasse B 15 km põhjasuunas. Pärast saabumist sadamas B sõitis laev tagasi 36 km itta. Määrake kaugus pordi A ja lõpp-punkti vahel!

Vastus:

Ülaltoodud probleemi põhjal saame teha pildi alltoodud lahenduses sisalduva teabega:

Küsis:

• hüpotenuus või c

On tuntud:

• b = 36 km
• a = 15km

nii:

Kaugus sadamast A lõpp-punktini on:

c² = 15² + 36²
c2 = 225 + 1296
c2 = 1521
c = 1521
c = 39

Niisiis, kaugus sadamast A lõpp-punktini on 39 km.

See on seekord lühike ülevaade Pythagorase teoreemi kohta, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet Pythagorase teoreemi kohta kasutada teie õppematerjalina.