Ratsionaalsed funktsioonid: mõistmine, graafikud, aruteluprobleemide näited

Nii nagu ratsionaalne arv on kahe täisarvu suhe, on ratsionaalne funktsioon kahe polünoomi suhe.

Ratsionaalne funktsioon

Ratsionaalne funktsioon
Ratsionaalne funktsioon on funktsioon, millel on üldine kuju

Kus p ja d on polünoomid ja d (x) 0. V (x) domeen on kõik reaalarvud, välja arvatud d nullgeneraator.

Lihtsaim ratsionaalne funktsioon on funktsioon y = 1/x ja toimima y = 1/x².

Kus mõlemal on konstantne lugeja ja ühe terminiga polünoom. Mõlemal funktsioonil on kõigi reaalarvude domeen, välja arvatud x ≠ 0.

Funktsioon y = 1/x

Seda funktsiooni nimetatakse ka pöördfunktsiooniks, sest iga kord, kui me võtame mis tahes x (välja arvatud null) tagastab funktsiooni väärtusena oma pöördväärtuse.

Mis tähendab x suur väärtus annab väikese funktsiooni väärtuse ja vastupidi. Nende funktsioonide tabeleid ja graafikuid on näha alloleval pildil.

Ülaltoodud tabelid ja graafikud näitavad huvitavaid asju.

Esiteks läbib graafik vertikaalse joone testi. Mis tähendab, et iga ristküliku koordinaattasandi vertikaalne joon lõikub graafil maksimaalselt ühes punktis.

nii et y = 1/x on funktsioon.

Teiseks, kuna jagamine on määratlemata, siis kui jagaja on null, pole nullil partnerit, mille tulemuseks on paus x = 0.

See on kooskõlas funktsiooni domeeniga, nimelt kõigiga x reaalarvud välja arvatud 0.

Kolmandaks on funktsioon paaritu funktsioon, mille üks harudest asub I kvadrandis.

Samal ajal kui teised on III kvadrandis.

Millal siis viimane, I kvadrandis x lõpmatuseni, väärtus y nulli suunas ja selle lähedal.

Sümboolselt võime selle kirjutada järgmiselt x → ∞, y → 0. Graafiliselt läheneb funktsiooni graafiku kõver punktilex Millal x lõpmatuse lähedal.

Vähe sellest, võime jälgida ka seda, millal x läheneb paremalt nullile, siis väärtus y läheneb väga suurele positiivsele tegelikule arvule (lõpmatult positiivne): x → 0⁺, y → ∞.

Kirje jaoks näitab ülaltoodud märk + või - lähenemise suund. See on positiivsest küljest (+) või negatiivsest küljest (–).

Näide 1

Ratsionaalsete funktsioonide graafikute otste omaduste kirjeldamine

Sest y = 1/x III kvadrandis,

1. Kirjeldage funktsiooni graafiku otste omadusi.
2. Kirjeldage, mis juhtub, kui x nullilähedane.

Arutelu Sarnaselt I kvadrandi graafi olemusele saame ka

1. Millal x läheneb negatiivsele lõpmatusele, väärtus y on nullilähedane. Kui see on sümboliseeritud, on see järgmine: x → –∞, y → 0.
2. Millal x läheneb vasakult nullile, väärtus y läheneb negatiivsele lõpmatusele. Selle avalduse võime kirjutada ka sümboliga x → 0^–, y → –∞.

Funktsioon y = 1/x²

Ülaltoodud arutelust näeme, et selle funktsiooni graafik peatub millal x = 0.

Kuna aga mis tahes negatiivse arvu ruut on positiivne arv, asuvad selle funktsiooni graafiku harud k-telje kohal.x.

Pange tähele, et funktsioon y = 1/x² on ühtlane funktsioon.

Sama hästi kui y = 1/x, skoor x mille tulemuseks on positiivne lõpmatus y mis on nullilähedane. Kui kirjutame sümboli, on see järgmine: x → ∞, y → 0.

See näitab asümptoodi olemust horisontaalsuunas. Ja me kuulutame välja y = 0 on funktsiooni horisontaalne asümptoot y = 1/x ja y = 1 /x². Üldiselt

Horisontaalne asümptoot
Konstandi k korral on sirge y = k funktsiooni V (x) horisontaalne asümptoot, kui x kasvab lõpmatuseni, põhjustab see V (x) lähenemise k: x → –∞, V (x) → k või x →, V (x) → k.

Alloleval joonisel (a) on kujutatud horisontaalset asümptootjoont y = 1, mis näitab graafikut f(x) graafi tõlkena y = 1/x 1 ühiku võrra ülespoole.

Joonisel (b) on kujutatud horisontaalset asümptootjoont y = –2, mis näitab graafikut g(x) graafi nihkena y = 1/x² 2 ühiku võrra alla.

Näide 2

Ratsionaalsete funktsioonide graafikute otste omaduste kirjeldamine

Lähtudes ülaltoodud joonisest b, kasutage matemaatilist tähist:

1. Kirjeldage ülaltoodud graafiku otsa omadusi.
2. Kirjeldage, mis parasjagu toimub x nullilähedane.

Arutelu

1. Millal x → –∞, g(x) → –2. Millal x → ∞, y → –2.
2. Millal x → 0^–, g(x) → ∞. Millal x → 0⁺, y → ∞.

Ülaltoodud näitest 2b on näha, et millal x nullilähedane, g osutub väga suureks ja kasvab lõpmatuseni.

See näitab asümptoodi olemust vertikaalsuunas.

Ja siis helistame liinile x = 0 on selle vertikaalne asümptoot g (x = 0 on ka vertikaalne asümptoot f). Üldiselt

Vertikaalne asümptoot
Konstandi h korral on joon x = h funktsiooni V vertikaalne asümptoot, kui x läheneb h-le, V (x) suureneb või väheneb piiramatult: kui x → h⁺, V (x) → ± ∞ või kui x → h^–, V (x) → ± ∞.

Horisontaalsete ja vertikaalsete asümptootide tuvastamine on väga kasulik.

Põhjustage graafikat y = 1/x ja y = 1/x² saab teisendada, libistades seda vertikaalselt või horisontaalselt. Funktsioon,

on nihke kuju funktsioonist y = 1/x. Funktsiooni osas

on nihke kuju funktsioonist y = 1/x². Seejärel kaaluge järgmist näidet:

Näide 3

Ratsionaalsete funktsioonide võrrandite kirjutamine

Tuvastage graafiku antud funktsioon alloleval pildil, seejärel kirjutage graafi abil funktsiooni võrrand. Oletame |a| = 1.

Arutelu Ülaltoodud graafikult näeme, et graafik on nihe funktsioonist y = 1/x paremale 2 ühiku võrra. Ja nihkus alla 1 ühiku võrra.

Nii et ülaltoodud graafiku horisontaalsed ja vertikaalsed asümptoodid on y = –1 ja x = 2. Seetõttu on ülaltoodud graafiku võrrand:

mis on nihkefunktsiooni vorm y = 1/x.

Seega lühike ülevaade ratsionaalsest funktsioonist, mida saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ratsionaalse funktsiooni ülevaadet kasutada õppematerjalina.