Lineaarprogramm: Lineaarse ebavõrdsuse süsteem, matemaatilised mudelid, probleemid

July 06, 2021
SisseMiscellanea

Lineaarne programmeerimine on üks matemaatilistest materjalidest, mis käsitleb optimeerimise peatükke. Lineaarse programmeerimise probleemid on tavaliselt seotud kasumi maksimeerimise või tootmiskulude minimeerimisega.

Selle lineaarse programmi eesmärk on väga selge, nimelt saada eelarvesse kantud kuludega täpseid arvutusi.

Enne kui arutame keskkooli matemaatika lineaarse programmeerimise probleemi. Saame kõigepealt teada, mis on keskkooli matemaatika lineaarprogrammis ja selle arutelus. Lisateavet leiate allpool toodud arutelust.

Selles artiklis käsitletav lineaarne programmeerimismaterjal sisaldab lineaarse ebavõrdsuse süsteeme, matemaatilisi mudeleid ja meetodeid lineaarse programmeerimisega seotud probleemide lahendamiseks. Lugege see artikkel hoolikalt läbi, kuni see on valmis.

Sisukord

instagram viewer

Lineaarse ebavõrdsuse süsteem

Lineaarne ebavõrdsus on ebavõrdsus sümboliga või märgiga tähistatud muutujate operatsioonide kombinatsiooniga

(vähem kui), $\ leq$ (vähem kui võrdne),

(rohkem kui), samuti sümbol $\ geq$ (enam kui võrdne).

Vahepeal nimetatakse mitme lineaarse ebavõrdsuse kombinatsiooni lineaarse ebavõrdsuse süsteem.

Lineaarse programmi lineaarse ebavõrdsuse süsteemi õpetatakse keskkooli tasandil, mis hõlmab tavaliselt kahte muutujat, millel on kaks või enam lineaarset ebavõrdsust.

See jaotis on aluseks lineaarse programmeerimisega seotud probleemide lahendamisele.

Lineaarse programmeerimise arutelul on lineaarse ebavõrdsuse süsteemi üks olulisemaid samme, et oleks võimalik jooni täpselt joonistada. Nagu ka piirkonnad, mis vastavad Dekartese tasapinnale.

Lineaarne programmeerimine on meetod lineaarse ülesande optimaalse väärtuse määramiseks. Optimaalne väärtus saadakse lineaarsete ülesannete lahendite kogumi väärtusest.

Selles jaotises keskendute nende kahe sammu määratlemise õppimisele.

Kuid enne seda tuletage meelde lineaarse ebavõrdsuse süsteem, millest toome allpool näite.

Näide lineaarse ebavõrdsuse süsteemist

x + y = 5

2x + y <7

x + 3y 11

Kuidas joonistada sirgvõrrand ja määrata ala, mis vastab, nimelt:

Kahe muutuja lineaarse ebavõrdsuse lahendi saame määrata järgmise meetodi abil:

1. Joonistage ristküliku tasapinnale sirge ax + by = c

2. Võtame suvalise punkti (x_1.y₁) väljaspool sirge ax + by = c, siis arvutage ax väärtus₁+ poolt₁ja võrrelda c väärtusega.

Kui kirves₁+ poolt₁c pindala, mis sisaldab x_1.y₁ on ebavõrdsuse ax + lahutusala c võrra

Kui kirves₁+ poolt_{1 ≥} c siis pindala, mis sisaldab x_1.y₁ on ebavõrdsuse ax + lahutusala c võrra

20 näidet lineaarsest programmeerimisprobleemist

Näide, kuidas määrata kahe muutujaga lineaarse ebavõrdsuse süsteemi lahendhulga pindala.

Arvestades lineaarse ebavõrdsuse süsteemi nagu järgmine.

x 0

y 0

x + y 7

x + 3y 15

Leidke ülaltoodud ala, mis rahuldab lineaarse ebavõrdsuse süsteemi.

Vastus:

1. Piirkond, mis rahuldab ebavõrdsust x + y 7

näited minimaalsetest lineaarsetest programmeerimisprobleemidest ja arutelu

2. Piirkond, mis rahuldab ebavõrdsust x + 3y 15

klassi 11 lineaarne programmeerimismaterjal pdf

3. Pindala, mis rahuldab nelja lineaarse ebavõrdsuse süsteemi liitumist: x 0, y 0, x + y 7, x + 3y 15, on:

näited maksimaalsest ja minimaalsest lineaarsest programmeerimisprobleemist

Matemaatiline mudel

Lineaarse programmeerimise jaoks antud probleemimudel on tavaliselt jutuküsimuste vormis.

Et saaksite etteantud jutuprobleeme lihtsalt lahendada, peate need teisendama ainult matemaatiliseks mudeliks.

Matemaatilised mudelid on viis muuta igapäevased probleemid matemaatiliseks keeleks võrrandite, ebavõrdsuse ja funktsioonide kujul.

Põhjalikuma selgituse saamiseks kaaluge järgmise probleemi lahendust.

Näited matemaatilise mudeli küsimustest

Määrake allpool oleva probleemi matemaatiline mudel.

Märg leivatainas valmistatakse 2 kg jahu ja 1 kg suhkru abil. Kui ühe kuiva leivataina valmistamiseks kasutatakse 2 kg jahu ja 3 kg suhkrut. Emal on varu 6 kg jahu ja 5 kg suhkrut. Kui iga märja koogi tainas võib anda kasumit Rp. 75 000,00 ja iga küpsisetainas - Rp. 60 000,00. Mitu leivataigna kombinatsiooni saab maksimaalse kasumi saamiseks?

Vastus:

Näiteks:

x = märg leivatainas
y = kuiv leivatainas

Nii et vaadake allolevat tabelit.

Nii et ülaltoodud probleemi matemaatiline mudel saadakse järgmiselt:

x 0

y 0

2x + y 6

x + y 5

Antud arutelu ei peatu siin, mitte selleks, et määrata kindlaks maksimaalse kasumi saamiseks valmistatud leivatüüpide kombinatsioon.

Järgmine lahendus, mille teeme, on allpool oleva materjali väljatöötamine.

Kuidas lahendada lineaarprogrammi probleeme

Kuidas lahendada lineaarseid programmeerimisprobleeme, võib nimetada protsessiks, mille abil leida ebavõrdsuse optimaalne väärtus.

Väärtus võib olla maksimaalse või minimaalse väärtuse kujul, sõltuvalt esitatavatest küsimustest. Matemaatilise mudeli eesmärkfunktsiooni üldine vorm on f (x, y) = ax + by.

Lineaarprogrammis optimaalse väärtuse leidmiseks saame kasutada kahte meetodit.

Kaks meetodit on nurgapunkti katsemeetod ja sondjoon. Üksikasjalikumat kirjeldust näete allpool toodud ülevaates.

Nurga punkti katsemeetod

Nagu nimigi ütleb, kasutatakse nurgapunkti testimise meetodit, arvutades objektiivfunktsiooni väärtuse saadud nurgapunktist.

Siin viidatud nurgapunktideks on koordinaadipunktid, mis piiravad lineaarse ebavõrdsuse süsteemi teostatavat piirkonda.

Nurgapunkti katsemeetodi abil optimaalse väärtuse määramiseks võetakse mitu sammu, nimelt järgmine.

Otsige ebavõrdsuse süsteemi erinevaid jooni, mis muutuvad antud probleemi piirangufunktsiooniks.
Otsitakse erinevaid nurgapunkte, mis on piirangu funktsioonile vastava ala piiri koordinaadid
Arvutage saadud nurgapunktidest f (x, y) optimaalne väärtus.
Hankige probleemile vastav maksimaalne või minimaalne väärtus.

Nurgapunkti katsemeetodiga materjali optimaalse väärtuse leidmiseks arusaamise selgitamiseks. Seejärel lahendame probleemid, mida on osaliselt käsitletud matemaatilise mudeli osas.

Eelmise arutelu põhjal saadakse ebavõrdsuse süsteem järgmiselt.

x 0

y 0

2x + y 6

x + y 5

Vaadates tagasi probleemile, mille me varem esitasime, võime eesmärgifunktsiooni saada järgmisest lausest:

Kui iga märja koogi tainas võib anda kasumit Rp. 75 000,00 ja iga küpsisetainas - Rp. 60 000,00.

Eesmärgiks on maksimeerida f (x, y) = 75 000x + 60 000 y.

Joonistage ülaltoodud ala, mis rahuldab ebavõrdsuse süsteemi.

Valdkonnad, mis vastavad ebavõrdsussüsteemile

Määrake ebavõrdsussüsteemi probleemi teostatava piirkonna piiri nurgapunktide koordinaadid.

O, A ja C koordinaadid saame ülaltoodud pilti vaadates. Nimelt vaadates O (0,0), A (0, 5) ja ka C (3, 0).

Vahepeal saab punkti B koordinaadid kõrvaldamismeetodi abil.

Punkti B koordinaatide leidmiseks on meetod järgmine:

x + y = 5

2x + y = 6
________ –
-x = -1
x = -1 / -1 = 1

Y väärtuse saamiseks asendage x = 1 väärtus võrrandis x + y = 5.

x + y = 5

1 + y = 5

y = 5 - 1 = 4

Punkti B koordinaadid on (1, 4)

Optimaalse väärtuse arvutamine:

lineaarse programmeerimise maksimaalsete ja minimaalsete väärtuste näited

Seega on maksimaalne kasumiväärtus, mis on võimalik saada Rp. 315 000,00, tehes 1 (ühe) märja leiva taigna ja ka 4 (neli) kuiva leivatainast.

Sondimeetod

Lisaks nurgapunkti testimismeetodile on veel üks meetod, mida saame kasutada optimaalse väärtuse määramiseks, joonte sondimise meetod.

Järelepärimismeetodi meetod, mille abil saab leida optimaalse väärtuse, mis on saadud eesmärgi- või funktsioonifunktsiooni võrrandist.

Kui eesmärk on maksimeerida Seejärel saadakse optimaalne väärtus viimasest punktist, mis puudutab uurimisjoont, mis nihutatakse paremale, et läheneda teostatavale alale.

Samal ajal saadakse optimeeritud väärtus koos minimaalse eesmärgi funktsiooniga koordinaadipunktist, mis kõigepealt puudutab proovivõtuliini nihet, mis on teostatavale alale lähenemiseks vasakule nihutatud.

Sama kehtib ka vastupidi.

Järgnevad sammud, et määrata päringujoone meetodi abil eesmärgifunktsiooni f (x, y) = ax + optimaalne väärtus.

Leidke ala, mis rahuldab antud ebavõrdsuste süsteemi.
Leidke protraktori võrrand f (x, y) = ax + by = k, kus k on reaalarv.
- Kui punkt (x1.y1) on punkt sondi läbitud esimese lahenduse piirkonnas, siis miinimumväärtust tähistab see punkt.
- Kui punkt (x2.y2) on asula piirkonnas punkt, mille sond viimati läbis, siis tähistab maksimaalset väärtust see punkt.
  Liigutage etapis number 2 tehtud jälgi või tehke muud sirgjooned, mis on paralleelsed teostatud ala suunas tehtud jälgedega.
- Kui punkt (x1.y1) on punkt esimesest sondi läbitud asustuspiirkonnast, tähistab see punkt maksimaalset väärtust.
- kui punkt (x2.y2) on punkt lahenduse piirkonnas, mille sond viimati läbis, siis miinimumväärtust tähistab see punkt.

Lisateavet materjali kohta optimaalse väärtuse leidmiseks päringuliinide meetodiga saate seekord kasutame seda probleemide lahendamiseks, mida mudeli osas käsitlesime matemaatika.

Eelmise arutelu põhjal saadakse ebavõrdsuse süsteem järgmiselt:

x 0

y 0

2x + y 6

x + y 5

Vaadates tagasi probleemile, mille me varem esitasime, võime eesmärgifunktsiooni saada järgmisest lausest:

Kui iga märja koogi tainas võib anda kasumit Rp. 75 000,00 ja iga küpsisetainas - Rp. 60 000,00.

Eesmärgiks on maksimeerida f (x, y) = 75 000x + 60 000 y.

Päringuliini võrrand (võtke väärtus k = 600 000):

f (x, y) = k

75 000x + 60 000a = 600 000

5x + 4y = 40

Joonistage ala, mis rahuldab ülaltoodud ebavõrdsuste süsteemi ja sondijooni.

Maksimaalset väärtust tähistab punkt B (punkt, mis kõigepealt puudutab vasakule nihutatud sondi).
Leidke punkti B koordinaadid järgmisel viisil:

x + y = 5

2x + y = 6
________ –
-x = -1
x = -1 / -1 = 1

Y väärtuse saamiseks asendage x = 1 väärtus võrrandis x + y = 5.

x + y = 5

1 + y = 5

y = 5 - 1 = 4

Punkti B koordinaadid on (1, 4)

Asendage võrrandi f (x, y) = 75 000x + 60 000y punkti B (1,4) koordinaadid.

f (x, y) = 75 000 x + 60 000 aastat

f (x, y) = 75 000 (1) + 60 000 aastat (4)

f (x, y) = 75 000 + 240 000

f (x, y) = 315 000

Seega on maksimaalne kasumiväärtus, mis on võimalik saada Rp. 315 000,00, tehes 1 (ühe) märja leiva ja 4 (neli) kuiva leivatainast.

Sond (täiendav)

Uurimisjoon saadakse objektiivfunktsioonist f (x, y) = ax + selle järgi, kus asub uurimisjoon kirves + poolt = Z.

Z-väärtusele määratakse mis tahes väärtus. See rida luuakse pärast seda, kui on loodud ebavõrdsuste lahendhulga graafik.

Esialgne sondijoon tõmmatakse esialgse lahusekomplekti piirkonda. Seejärel tehti erinevad jooned, mis on paralleelsed esialgse sondijoonega.

Järgmine on juhend optimaalse funktsiooni väärtuse uurimise hõlbustamiseks:

1. meetod (tingimus a> 0)

Kui see on maksimaalne, siis tõmmatakse esialgse sondijoonega paralleelne joon, nii et lahendikomplekt jääb joonest vasakule. Joone ületatud punkt on suurim punkt.
Kui see on minimaalne, siis tõmmatakse esialgse sondijoonega paralleelne joon, nii et lahendikomplekt jääb joonest paremale. Punkt, mille kaudu sirge läbib, on minimaalne punkt.

2. meetod (tingimus b> 0)

Kui see on maksimaalne, siis tõmmatakse esialgse sondijoonega paralleelselt joon, nii et lahusekomplekt jääb joone alla. Punkt, mille kaudu sirge läbib, on maksimaalne punkt.
Kui see on minimaalne, siis tõmmatakse esialgse sondijoonega paralleelne joon, nii et lahusekomplekt asub joone kohal. Punkt, mille kaudu sirge läbib, on minimaalne punkt.

Väärtuste a <0 ja b <0 korral kasutage ülalkirjeldatud meetodi vastupidist.

Iga äärmusliku punkti funktsiooniväärtuste võrdlemine

Samuti võime uurida objektiivfunktsiooni optimaalset väärtust, leides esmalt erinevate olemasolevate piirjoonte ristumiskohad.

Ristumiskohad on äärmuslikud väärtused, millel on potentsiaal saada maksimaalne väärtus ühes punktis.

Nende punktide põhjal määratakse iga funktsiooni väärtus ja seejärel võrreldakse seda. Suurim väärtus on maksimaalne väärtus ja väikseim väärtus on minimaalne väärtus.

Viimane osa käsitleb küsimuste näiteid ja keskkooli matemaatika lineaarprogrammi arutelu, mis esitatakse mitmes allpool esitatud näidisküsimuses:

Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem. (Riiklikud eksamiküsimused)

Parkimisala $360 m ^ {2}$ . Auto keskmine pindala $6 \; m ^ {2}$ ja bussi keskmine pindala $24 \; m ^ {2}$ . Parkimisalasse mahub maksimaalselt 30 neljarattalist sõidukit (autod ja bussid). Kui auto parkimistasu on Rp. 20000.00 ja bussi parkimistasu on Rp. 5000.00, on suurim sissetulek, mida on võimalik saada,….

A. 40 000,00 IDR
B. 50 000,00 IDR
C. 60 000,00 IDR
D. 75 000,00 IDR
E. 90 000,00 IDR

Vastus:

Oletame, et:

x = autode arv
y = busside arv

Vaadake allolevat tabelit!

Seejärel saadakse kaks järgmist võrrandit:

x + y 30

6x + 24a 360 → x + 4a60

Määrake ala, mis rahuldab ebavõrdsust, nimelt:

Maksimaalne väärtus määratakse nurgapunkti meetodil järgmiselt.

O, A ja C koordinaadid saab ülaltoodud pilti vaadates. Nimelt O (0,0), A (0, 15) ja C (30,0). B koordinaatide jaoks saame elimineerimise ja asendamise meetodit kasutades.

x + y = 30

x + 4y = 60
________ –
-3y = -30
x = -30 / -3 = 3

X väärtuse saamiseks asendage y = 10 väärtus võrrandis x + y = 30.

x + y = 30

x + 10 = 30

x = 30 - 10 = 20

Punkti B koordinaadid on (20, 10).

Maksimaalse saadava kasumi arvutamine on järgmine:

Vastus: E

2. küsimus.

A-tüüpi vihmavarju tootmiskulud on Rp. 20 000,00 puuvilja kohta. Vahepeal on ühe B-tüüpi vihmavarju tootmiskulud Rp. 30 000,00.
Ettevõtja valmistab vihmavarju A kokku vähemalt 40 tükiga. Kui B-tüüpi vihmavarju toodetakse vähemalt 50 tükki. Kahe vihmavarju toodangu maksimaalne arv on 100 tükki. Nende vihmavarjude tootmiseks vastavalt käesolevatele sätetele on minimaalsed kulud….

A. 2 000 000,00 IDR
B. 2 300 000,00 IDR
C. 2 200 000,00 IDR
D. 2 000 000,00 IDR
E. 2 000 000,00 IDR

Vastus:

Näiteks:

x = vihmavarjude arv A
y = vihmavarjude arv B

Probleemi matemaatiline mudel on:

Eesmärgi funktsioon: minimeerimine

f (x, y) = 20 000 x + 30 000 aastat

Piirangufunktsioon:

x 40

y 50

x + y 100

Probleemile vastavad lahendusalad on:

Minimaalne väärtus saadakse sondi esimese rea koordinaatide läbimisega. See on punktis A (40, 50). Seega on minimaalsed tootmiskulud järgmised:

f (40,50) = 20 000 (40) + 30 000 (50)

f (40,50) = 800 000 + 1 500 000

f (40,50) = 2 300 000

Vastus: B

3. probleem.

Leidke f (x, y) = 9x + y minimaalne väärtus piirkonnas, mida piiravad 2 x 6, ja 0 y 8 ja x + y 7.

Vastus:

1. etapp joonistab graafiku

2. etapp määrab äärmise punkti

Jooniselt on 4 äärmist punkti, nimelt: A, B, C, D ja lahusekomplekt asub varjutatud piirkonnas.

3. etapp uurib optimaalset väärtust

Graafikult on teada, et punktidel A ja B on y = 0, seega on tõenäosus minimaalne väärtus. Kaks punkti asendatakse võrdlemiseks f (x, y) = 9x + y-ga.

Võrreldes jõutakse järeldusele, et punkti A minimaalne väärtus on 18.

4. ülesanne.

Määrake, kus selle graafiku abil saadakse funktsiooni f (x, y) = 4x + 5y maksimaalne väärtus!

funktsiooni f (x, y) maksimaalne väärtus = 4x + 5y

Pildi äärmuslikud punktid on järgmised:

A ei saa olla maksimaalne vasakpoolseima punkti tõttu.
B (3, 6)
C (8, 2)
D (8, 0)

Iga äärmusliku punkti väärtus on:

B (3, 6) → f (3, 6) = 4 (3) + 5 (6) = 42
C (8, 2) → f (8, 2) = 4 (8) + 5 (2) = 42
D (8, 0) → f (8, 0) = 4 (8) + 5 (0) = 32

Niisiis on maksimaalne väärtus punktis BC, mis ületab joont BC, mis on 42.

Loe ka: Lineaarne materjal: valemid, lineaarsed funktsioonid, ruutvõrrandid

Seega lühike ülevaade, mille seekord saame edasi anda. Loodetavasti saab ülaltoodud ülevaadet kasutada õppematerjalina.