Matemaatilised juurvormid: omadused, arvutustehingud, ratsionaliseerimine, probleemid

Matemaatilise juure vorm on numbri juur, mille tulemus ei ole ratsionaalne arv (arv, mis sisaldab.) täisarvud, algarvud ja muud seotud arvud) või irratsionaalsed arvud (st arvud, mille jagatis pole kunagi Peatus).

Juure kuju on veel üks vorm, mille abil saab öelda numbrit.

Juurvorm kuulub irratsionaalse arvu hulka, kus irratsionaalset arvu ei saa öelda murdude a / b, a ja b, täisarvude a ja b 0 abil.

Juurvormi number on number, mis on märgis √ mida nimetatakse juuremärgiks.

Mõned näited irratsionaalsetest arvudest juurte kujul on 2, 6, 7, 11 ja nii edasi.

Vahepeal ei ole 25 jaoks juurvorm, sest 25 = 5 (5 on ratsionaalne arv), mis on sama, mis arv 25, on juurvorm, nimelt 5.

Juursümboli "√" võttis esmakordselt kasutusele saksa matemaatik nimega Christoff Rudoff.

Oma pealkirjaga raamatus Die Coss. Sümbol valiti seetõttu, et see sarnaneb sõnast võetud r-tähega "radix", mis on ladina keeles ruutjuur.

Mitme omadusega võimsuse arvunaolemus, juure kuju Sellel on ka mitu omadust, sealhulgas:

1. a² = a
2. a x b = a x b; a 0 ja b 0
3. a / b = a / √b; a 0 ja b 0

Juurevormi kohta lisateabe saamiseks vaadake allolevat ülevaadet.

Matemaatiline juurvorm

Nagu eespool mainitud, bMatemaatiline juurvorm on numbri juur, mille tulemus pole ratsionaalne arv. (Numbrid, mis sisaldavad täisarvusid, algarvusid ja muid seotud numbreid) või irratsionaalarvud (st arvud, mille jagajad ei lõpe kunagi).

Või lühidalt öeldes on juurvorm ratsionaalse arvu juur, mille tulemuseks on irratsionaalne arv.

Ratsionaalarv on arv, mida saab väljendada a / b (murd). Kus ada ja b on täisarvud ja b ≠ 0.

Näiteks: saame väljendada arvu 3 kujul 6/2, 9/3, 18/6 ja nii edasi.

Kuigiirratsionaalne numberon arv, mida ei saa teisendada murdosaks a / b, kus a ja b on täisarvud.

Juure on tihedalt seotud nimega eksponentsiaal. Juurvorm on näide irratsionaalsest arvust, nimelt arvust, mida ei saa väljendada kujul a / b, eeldusel, et a ja b on täisarvud, kus b 0.

Näiteks väärtus = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…,

Selle põhjuseks on asjaolu, et phi-d ei saa väljendada murdosana, nii et selle väärtus sisaldub irratsionaalse arvuna.

Juure määratluse põhjal tekib nüüd küsimus.

Kas seal on märk√numbris garanteerib, et number on juurvorm? Nii et vastus on muidugi EI.

Sest on palju numbreid, mis on kirjutatud juurtähega, kuid tulemuseks on ratsionaalne arv.

Näitena:

• 9 pole juurvorm, sest 9 = 3 (ratsionaalarv).
• 0,25 ei ole juurvorm, sest 0,25 = 0,5 (ratsionaalne arv).
• 3 on juurvorm.
• 5 on juurvorm.

Matemaatiliste juurvormide lihtsustamine

Mõningaid juurevorme saame esitada lihtsamas vormis. Iga numbri jaoks adanb mis on positiivsed täisarvud, siis kehtib järgmine valem või võrrand:

(a x b) = a x b

Koos või tuleb väljendada puhta ruudu kujul.

Näitena:

• 108 = √36 x√3 = 6√3
• (1/8) = √ (1/16 x 2) = √ (1/16) x√2 = 1 / 4√2

Algebralised toimingud juurvormidel

1. Juurvormide liitmis- ja lahutamistoimingud

Iga a, b ja c jaoks, mis on positiivsed ratsionaalsed arvud, kehtib järgmine valem või võrrand:

Juurvormi liitmisoperatsiooni valem

a√c + b√c = (a + b) c

Juurvormi lahutamise valem

a√c - b√c = (a - b) c

2. Juurvormi korrutamisoperatsioon

Iga a, b ja c jaoks, mis on positiivsed ratsionaalsed arvud, kehtib järgmine valem või võrrand:

a x b = a x b

Näitena:

• 4 x√8 = √ (4 x 8) = √32 = √ (16 x 2) = 4√2
• 4 (4√4 -√2) = (√4 x 4√4) - (√4 x√2) = (4 x√16) –√8

= (4 x 4) - (√4 x√2)

= 16–2√2

Juurvormi toimingu kokkuvõte:

1. (√a + b)² = (a + b) + 2√ab
2. (√a - b)² = (a + b) - 2√ab
3. (√a - b) (√a + b) = a - b
4. (a - b) (a + b) = a² - b

Juurekuju olemus

Mõned juurvormi toimimise omadused on järgmised:

1. a²= a, kus a on positiivne reaalarv.
2. a x b = ab, kus a ja b on positiivsed reaalarvud.
3. a / b = a / b, kus a 0 ja b> 0.
4. a√c + b√c = (a + b) √c kus a, b, c on reaalarvud ja c 0.
5. a√c - b√c = (a - b) √c kus a, b, c on reaalarvud ja c 0.
6. a√c x b√d = (ab) cd, kus a, b, c, d on reaalarvud ja a, b 0.
7. c√a / d√b = c / d√a / b, kus a, b, c on reaalarvud ja a, b 0.

Juurikuju ratsionaliseerimine

Juurvormi kasutamise hõlbustamiseks algebralistes toimingutes kirjutatakse juurvormi kirjutamine kõige ratsionaalsemas (lihtsamas) vormis.

Juurekuju ratsionaliseerimise viis peab vastama teatud tingimustele. Need tingimused on järgmised:

1. Ei sisalda tegureid, mille võimsus on rohkem kui üks.

Näitena:

x, x> 0 → lihtne vorm

x⁵ ja x³ → mitte lihtne vorm

2. Nimetaja juures pole juurvormi.

Näitena:

x / x → lihtne vorm

1 / x → pole lihtne vorm

3. Ei sisalda murdosa

Näitena:

10/2 → lihtne kuju

5 / √2 → pole lihtne vorm

Siis, Kuidas ratsionaliseerida murdosa nimetajat juurte kujul?

Murdosa nimetaja ratsionaliseerimine juurena tähendab juure kujul oleva murdosa nimetaja ratsionaalseks (lihtsaks) vormiks muutmist.

Murdosa nimetaja ratsionaliseerimise meetod või meetod on murde lugeja ja nimetaja korrutamine nimetaja liitjuurega.

Murru juurvormi nimetaja ratsionaliseerimiseks on kolm võimalust, sealhulgas:

1. Vormi a / b murdosa

Lahendatud korrutatakse b / √b

Seega a / b = a / b x b / √b = a√b / b

2. Vormi a / b + √c murdosa

Lahendatud korrutades b - c / b - c

Niisiis, a / b + c = a / b + c x b - c / b - c = a (b - c) / b² - c

3. Vormi a / b + c murdosa

Lahendatud korrutades b - c / b - c

Niisiis, a / b + c = a / √b + c x b - c / b - √c = a (√b - c) / b-c

Näidisküsimused ja arutelu

Järgnevalt toome mõned näited nii juure kuju kui ka arutelu kohta, kuulake hoolikalt, kuni see on lõpule jõudnud.

Juurvormiprobleemide näited

Milline järgmistest numbritest on juurvorm? Kui see sisaldab juurvormi, esitage põhjus.

1. probleem.

√7

Vastus:

7 on juurvorm

2. küsimus.

√(1/16)

Vastus:

(1/16) ei ole juurvorm, sest (1/16) = (on ratsionaalne arv)

3. probleem.

3√27

Vastus:

3√27 ei ole juurvorm, sest 3√27 = 3 (on ratsionaalne arv)

4. ülesanne.

√53

Vastus:

53 on juurvorm

5. küsimus.

3√0,125

Vastus:

3√0.125 ei ole juurvorm, sest 3√0.125 = 0.5 (on ratsionaalne arv)

6. küsimus.

5√49

Vastus:

5√49 on juurvorm.

Näidisprobleemid juurvormide lihtsustamiseks

Väljendage allpool olevad numbrid nende lihtsamas vormis!

1. probleem.

√27

Vastus:

27 = √9 x√3 = 3√3

2. küsimus.

√99

Vastus:

99 = √9 x√11 = 3√11

3. probleem.

√50

Vastus:

50 = √25 x√2 = 5√2

4. ülesanne.

√96

Vastus:

96 = √16 x√6 = 4√3

5. küsimus.

4√44

Vastus:

4 x√44 = 4 x√4 x√11 = 4 x 2 x√11 = 8√11

6. küsimus.

2√500

Vastus:

2√500 = 2 x√5 x√100 = 2 x 18 x√5 = 20√5

Juurvormide liitmise ja lahutamise toimingute näited

Lihtsustage järgmisi vorme:

1. probleem.

3√7 + 5√7 –√7

Vastus:

3√7 + 5√7 –√7 = (3 + 5 -1)√7 = 7√7

2. küsimus.

5√2 – 2√8 + 4√18

Vastus:

=5√2 – 2√8 + 4√18

= 5√2–2 (√4 x√2) + 4 (√9 x√2)

= 5√2–2 (2 x√2) + 4 (3 x√2)

= 5√2–4√2) + 12√2

= (5–4 + 12)√2

= 13√2

Juurvormi Bentuk korrutamisoperatsiooni probleemi näide

Lihtsustage allolevaid kujundeid!

1. probleem.

(√7 –√5) (√7 +√5)

Vastus:

Kui on numbreid, mis korrutatakse samaga, on ainult toimingud erinevad pluss (+) ja miinus (-), siis kasutame valemit front times front, back times back järgmiselt:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

(√7 –√5) (√7 + √5) = (√7 x√7) + (-√5 x√5)

=√49 –√25

= 7-5

=12

2. küsimus.

(√3 –√2)2

Vastus:

Me kasutame valemit(a - b) (a - b) = a2–2ab + b2, nii:

(√3 –√2)2= (√3 –√2) (√3 –√2)

= (√3 x√3) + (√3 x -√2) + (-√2 x√3) + (-√2 x -√2)

=√9 –√6 –√6 –√4

= 3–2√6 + 2

= 5 -2√6

3. probleem.

3√3 x 5√3 x 2√3

Vastus:

Kasutame valemit:

a√b x c√b x d√b = (a x c x d) (√b x√b x√b) = (a x c x d x b) √b

3√3 x 5√3 x 2√3 = (3 x 5 x 2 x 3) √3 = 90√3

Seega seekord lühike ülevaade, mida saame edasi anda matemaatiliste juurte vormi kohta. Loodetavasti saab ülaltoodud matemaatika juurvormi ülevaadet kasutada õppematerjalina.