Algebraliste funktsioonide tuletised: valemid, rakendused, tähistused, Pe

July 06, 2021
SisseMiscellanea

Funktsiooni pangkat võimsuse tuletisvalem

Pidage meeles, kas f (x) = x ^ n , siis:

$f '(x) = \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {dx ^ n} {dx} = nx ^ n-1$

Sest f (x) = (u (x)) ^ n = u ^ n , siis:

$f '(x) = \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {du ^ n} {dx} \ cdot \ frac {du} {du}$

Või

$f '(x) = \ frac {du ^ n} {du} \ cdot \ frac {du} {dx} = nu ^ {n-1} \ cdot u'$

Niisiis on funktsiooni tuletise valem:

$f '(x) = nu ^ (n-1) \ cdot u'$

Trigonomeetrilised tuletisvalemid

Tuletise definitsiooni põhjal võime saada mitu trigonomeetrilist tuletisvalemit, nimelt järgmiselt: (x funktsioonidega vastavalt u ja v), sealhulgas: y '=

y = sin x → y '= cos x
y = cos x → y '= -sin x
y = tan x → y ’= sek²x
y = võrevoodi x → y ’= -csc²x
y = sek x → y '
y = csc x → y ’= csc × võrevoodi x
y = pattⁿxy '= n patt^n-1× cos x
y = cosⁿx → y '= -n cos^n-1× patt x
y = sin u → y '= u' cos u
y = cos u → y '= u' sin u
y = tan u → y ’= ui sek²u
y = võrevoodi u → y ’= -u’ csc²u
y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
y = csc u → y ’= u’ csc u võrevoodi u
y = pattⁿu → y '= n.u' patt^n-1cos u
y = cosⁿ u → y '= -n.u' cos^n-1. patt u

Tuletatud rakendused

Määrake kõvera puutuja gradient

Puutujajoone (m) gradient kõveral y = f (x) sõnastatakse järgmiselt:

Kõvera y = f (x) puutuja võrrand puutepunktis (x_1, y_1) sõnastatud järgmiselt:

$y - y_1 = m (x - x_1) \ parempoolne m = f '(x_1)$

Määrake kasvava ja kahaneva funktsiooni intervall

instagram viewer
- Intervallifunktsiooni tingimus suureneb $\ rightarrow f '(x)> 0$
- Tingimused kahaneva funktsiooni intervalli jaoks $\ parempoolne f '(x) <0$
Määrake funktsiooni statsionaarne väärtus ja tüüp

Kui funktsioon y = f (x) on pidev ja diferentseeritav punktides x = a ja f '(x) = 0, on funktsiooni statistiline väärtus punktis x = a. Funktsiooni statsionaarse väärtuse tüüp y = f (x) võib olla minimaalne tagastusväärtus, maksimaalne tagastusväärtus või ümberpööratud väärtus. Seda tüüpi statsionaarset väärtust saab määrata funktsiooni teise tuletise abil.

- Maksimaalne väärtus $\ parempoolne f '(x) = 0$ ja $\ rightarrow f "(x) <0$

Kui f '(x_1) = 0 ja f '(x_1) <0 siis on funktsiooni y = f (x) ja punkti maksimaalne tagastusväärtus (x_1 f (x)) on kõvera maksimaalne pöördepunkt y = f (x).

- Minimaalne väärtus $\ parempoolne f '(x) = 0$ ja

Kui f '(x_1) = 0 ja f '(x_1)> 0 siis f (x_1) on funktsiooni minimaalne tagastusväärtus ja täpp (x_1f (x)) on kõvera minimaalne pöördepunkt y = f (x).

- Pöörduväärtus $\ parempoolne f '(x) = 0$ ja

Kui f '(x_1) = 0 ja f "(x_1 = 0) siis f (x_1) on funktsiooni y = f (x) ja punkti käändeväärtus (x_1f (x)) on kõvera pöördepunkt y = f (x).

Lahendage määramata piiride probleemid $\ frac {0} {0}$ või $\ frac {\ infty} {\ infty}$

Kui $\ lim \ limits_ {x \ a} \ frac {f (x)} {g (x)}$ on määramata piir $\ frac {0} {0}$ või $\ frac {\ infty} {\ infty}$ , siis saab lahuses kasutada tuletisi, nimelt tuletatakse vastavalt f (x) ja g (x).

$\ lim \ limits_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to}} frac {f '(x)} {g' (x) } = \ frac {f '(a)} {g' (a)}$

Kui esimese tuletisega on toodetud kindel vorm, siis on lahendus just selles vormis. Kui aga esimene tuletis annab ikkagi määramatu kuju, siis f (x) ja f (x) redutseeritakse kuni kindla vormini. Seda lahendamismeetodit nimetatakse L'hopitali teoreemiks.

Määrake kiiruse ja kiirenduse valem

Kui on teada objekti liikumisasendi valem või võrrand aja funktsioonina, nimelt s = f (t), siis saab määrata kiiruse ja kiiruse valemi, nimelt:

- Kiirusvalem $\ parempoolne v = s '= f' (t)$
- Kiirenduse valem $\ parempoolne a = s$

Tuletatud märge

Funktsiooni f (x) tuletis x suhtes on defineeritud järgmiselt:

tingimusel, et piir on olemas.

Funktsiooni y = f (x) esimese tuletise x-il saab kirjutada järgmiselt:

y '= f'x lagrange
leibniz
D_xy = D_x[f (x)] ⇒ euler

Ülaltoodud definitsioonist võime tuletada mõned tuletisvalemid järgmiselt:

f (x) = k f '(x) = 0
f (x) = k x f '(x) = k
f (x) = xⁿ f '(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

kus k = konstant

Mõtle järgmistele näidetele:

f (x) = 5 f '(x) = 0
f (x) = 2x f '(x) = 2
f (x) = x² f '(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ y '= 2. 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ + x² 2x y '= 8x³ + 2x 2

Loe ka:Koonusvalemid, omadused, omadused, elemendid ja näited

Juure või murdosa sisaldava funktsiooni tuletise leidmiseks on esimene samm, mille peame muutma funktsiooni eksponentideks.

Järgnevalt on toodud mõned sageli kasutatavate juurte ja eksponentide omadused, sealhulgas:

x^m. xⁿ = x^{m + n}
x^m/ xⁿ = x^{M N}
1 / xⁿ = x^-n
x = x^1/2
ⁿxm = x^{M N}

Näide:

1. probleem.

Leidke f (x) = x√x tuletis

Vastus:

f (x) = x√x = x. x^1/2= x^3/2

f (x) = x^3/2 →

2. küsimus.

Määrake tuletis

Vastus:

Algebraliste funktsioonide tuletised: valemid, rakendused, tähistamine, korrutamine, kahe funktsiooni jagamine ja näidisülesanded

Kahe funktsiooni korrutamine ja jagamine

Oletame, et y = uv, siis saab y tuletise väljendada järgmiselt:

y '= u'v + uv'

Oletame, et y = u / v, siis saab y tuletise väljendada järgmiselt:

Probleemide näide.

1. probleem.

Tuletis f (x) = (2x + 3) (x² + 2) nimelt:

Vastus:

Näiteks:

u = 2x + 3 u '= 2
v = x² + 2 v '= 2x

f '(x) = u' v + u v '
f '(x) = 2 (x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4

Kettreegel

Kui y = f (u), kus u on funktsioon, mille saab tuletada x suhtes, siis y tuletise x suhtes saab väljendada kujul: dydx=dydu×dudx

Ülaltoodud ahelareegli mõistest siis y = uⁿ, saavad: dydx=d(un)du×dudx

y′=nun−1.u′

Üldiselt võib öelda järgmiselt:

Kui f (x) = [u (x)]ⁿ kus u (x) on funktsioon, mille saab tuletada x suhtes, siis: f′(x)=n[u(x)]n−1.u′(x)

Ülaltoodud ahelareegli mõistest siis y = uⁿ, saavad:

Üldiselt võib öelda järgmiselt:

Kui f (x) = [u (x)]ⁿ kus u (x) on funktsioon, mille saab tuletada x-il, siis:

f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)

Probleemide näide.1. probleem.

Leidke f (x) = (2x + 1) tuletis⁴

Vastus:

Näiteks:

u (x) = 2x + 1 u '(x) = 2
n = 4
f '(x) = n [u (x)]^n-1. u '(x)
f '(x) = 4 (2x + 1)^4-1. 2
f '(x) = 8 (2x + 1)³

2. küsimus.

Leidke y = (x²3x)⁷

Vastus:

y '= 7 (x²3x)^7-1. (2x 3)
y '= (14x21). (x²3x)⁶

Näidisküsimused ja arutelu

1. probleem

Esimene tuletis $f (x) = 4 \ sqrt {2x ^ 3 - 1}$ on

Arutelu 1:

See probleem on vormi y = funktsioon au ^ n mille saab lahendada valemi abil $y '= n \ cdot a \ cdot u ^ {n-1} \ cdot u'$ . Siis:

$f (x) = 4 \ sqrt {2x ^ 3-1} = 4 (2x ^ 3-1) ^ {\ frac {1} {2}}$

Nii et tuletis:

$f '(x) = \ frac {1} {2} \ cdot 4 (2x ^ 3-1) ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdot 6x ^ 2$

$= 2 (2x ^ 3-1) \ cdot 6x ^ 2$

$= 12x ^ 2 (2x ^ 3-1) ^ {- \ frac {1} {2}}$

$= \ frac {12x ^ 2} {(2x ^ 3-1) ^ {\ frac {1} {2}}}$

$= \ frac {12 ^ 2} {\ sqrt {2x ^ 3-1}}$

2. probleem

Leidke esimene tuletis

$f (x) = \ frac {6} {\ sqrt [3] {\ sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}$

Arutelu 2:

Selle probleemi lahendamiseks kasutage segavalemit: $f '(x) = \ frac {u'v-uv'} {v ^ 2}$ ja ka $y '= n \ cdot u' \ sin ^ {n-1} u \ cdot \ cos u$ . nii:

$f (x) = \ frac {6} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}$

$f (x) = \ frac {6} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {1} {2}}}$

$f '(x) = \ frac {0 - 6 \ cdot 3 \ cdot \ frac {1} {3} (\ sin (3x - \ frac {\ pi} {5})) ^ {- \ frac {2} {3}} \ cdot \ cos (3x - \ frac {\ pi} {5})} {(\ sin (3x - \ frac {\ pi} {5})) ^ \ frac {2} {3}}$

$f '(x) = \ frac {-6 (sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {- \ frac {2} {3}}. cos (3x- \ frac {\ pi} {5})} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {2} {3}}}. \ frac {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {1} {3}}} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ { - \ frac {1} {3}}}$

$f '(x) = \ frac {-6 (sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {- 1} cos (3x- \ frac {\ pi} {5})} {\ sqrt [3] {patt (3x- \ frac {\ pi} {5}})}$

$f '(x) = \ frac {-6voodi (3x- \ frac {\ pi} {5})} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}$

3. probleem

Määrake maksimaalne väärtus f (x) = x ^ 3 - 6x ^ 2 + 9x intervalliga -1 x 3.

Arutelu 3:

Pidage meeles, et funktsiooni f (x) maksimaalne väärtus on f '(x) = 0 ja f "(x) <0 siis:

$f_ {max}$ kui

ja x_1 = 1 ja x_2 = 3

$f_ {max} = f (1) = 1 ^ 3 - 6,1 ^ 2 + 9,1$

$f_ {max} = 4$

4. ülesanne.

Tuletis f (x) = (x - 1)²(2x + 3) on…

Vastus:

Näiteks:

u = (x 1)² u '= 2x2
v = 2x + 3 v '= 2

f '(x) = u'v + uv'
f ’(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2 (x² 2x + 1)
f '(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f '(x) = 6x² 2x 4
f '(x) = (x 1) (6x + 4) või
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

5. küsimus.

Kui f (x) = x² - (1 / x) + 1, siis f '(x) =... .

A. x - x²
B. x + x²
C. 2x - x^-2 + 1
D. 2x - x² – 1
E. 2x + x^-2

Vastus:

f (x) = x² - (1 / x) + 1

= x² - x^-1 + 1

f '(x) = 2x - (- 1) x^-1-1

= 2x + x^-2

Vastus: E

See on ülevaade Teave Knowledge.co.id kohta umbes Algebraliste funktsioonide tuletised, Loodetavasti võib see teie ülevaadet ja teadmisi täiendada. Täname külastamast ja ärge unustage teisi artikleid lugeda

Algebraliste funktsioonide tuletised: valemid, rakendused, tähistused, Pe

Funktsiooni pangkat võimsuse tuletisvalem

Trigonomeetrilised tuletisvalemid

Tuletatud rakendused

Määrake kõvera puutuja gradient

Määrake kasvava ja kahaneva funktsiooni intervall

Määrake funktsiooni statsionaarne väärtus ja tüüp

Lahendage määramata piiride probleemid või

Määrake kiiruse ja kiirenduse valem

Tuletatud märge

Kahe funktsiooni korrutamine ja jagamine

Kettreegel

Näidisküsimused ja arutelu

Lahendage määramata piiride probleemid $\ frac {0} {0}$ või $\ frac {\ infty} {\ infty}$