Inertsimoment: määratlus, mõisted, valemid, näited ja tabelid

Inertsimaterjali hetk

Füüsika õpetamisel keskkoolis (SMU) ja ettevalmistava taseme õpilased kurdavad õpetajad või õppejõud sageli sellepärast tahkete esemete, nagu vardad, silindrid, õhukesed pallid (pingpongipallid) ja tahked pallid, inertsimomenti on raske seletada kalk. Pole ühtegi kirjandust, mis kõik need inertsimomendid täielikult tuletaks.

Halliday Resnicki õpikud nagu füüsika⁽¹⁾, Füüsika autor R. Serway⁽²⁾ vähendada mõnede objektide inertsimomenti integraalide abil, kusjuures keskkooliõpilased või Ettevalmistava taseme õpilased ei ole tegelikult kursis integraalide ja diferentsiaal. Waldemar Gorzkowski⁽³⁾ kunagi alla lastud valem inertsimomendi kohta õhukeste ja õõnsate kerade jaoks, kuid mitte kolmnurkade, nelinurkade ja kuusnurkade jaoks.

---

Sellest artiklist tuletame inertsimomendi valem arvutusi kasutamata objektide jaoks, mis algavad vardadest, kolmnurkadest, nelinurkadest, kuusnurkadest, silindritest, õhukestest ja tahketest keradest, mille tulemused on kirjas tabelis 1. See artikkel on jagatud 7 peatükiks, igas peatükis käsitletakse kõigi ülaltoodud objektide valemi tuletamist.

Kuidas siis vastata järgmistele küsimustele:

• Selgitage, mida mõeldakse inertsimomendi all?
• Mida mõeldakse inertsi all?

Vaadake lihtsalt allpool toodud materjali täielikku arutelu:

---

Inertsimomendi määratlus on

Newtoni 1. seadus ütleb "Liikuvas objektil on kalduvus liikuda ja puhkeasendis kipub olema puhkeolek". Noh, Inerts on objekti kalduvus säilitada oma olekut (jääda paigale või liikuda). Inerts on tuntud ka kui objekti inerts. Seetõttu on Newtoni 1. seadus tuntud ka kui inertsiseadus või inertsiseadus. Näiteks väidetakse, et objektidel, mida on raske liigutada, on suur inerts. Maal, mis on alati pöörlemises, öeldakse, et sellel on pöördeinerts.

Stiili hetk või hetk on jõu ja käe momendi korrutis. Niisiis inertsimomenton objekti telje pöörlemise kalduvus või inerts.

Objekti inertsimomendi suurust mõjutavad mitmed tegurid, näiteks:

• objekti mass
• Objektide kuju (geomeetria)
• Asetage pöörlemistelg
• Kaugus objekti pöörlemisteljeni (momendihoob).

---

Tabel I: mitmesuguste kehade inertsimomendid, mis on pööratud ümber masside keskme telje ümber. Objekt Inertsimoment Teave vars Minalkm = £ ml2 l = varda pikkus Võrdkülgne kolmnurk J 1 2. Minapm = - ma pm 12 a = kolmnurga külje pikkus Regulaarne nelinurk Minapm = 6 ma2 a = nelinurga külje pikkus Regulaarne kuusnurk Mina 5 2 Minapm = - ma pm 12 a = kuusnurga külje pikkus Tahke silinder Ipm =1 härra2 pm2 R = silindri raadius. Õhuke pall 2 2 Ipm = 3 mR2 R = palli raadius Tahke pall Ipm = 3 mR2 R = palli raadius

---

• Osakeste inertsimoment

Enne jäikade kehade benda inertsimomendi arutamist, uuris kõigepealt osakese inertsimomenti. sellisel juhul ei pea osakest väga väikeseks objektiks. Sõnaosakese jaoks pole tegelikult kehtestatud suuruse piirangut. Nii et termini osake kasutamine on ainult liikumise arutamise hõlbustamiseks, kus objekti positsiooni kirjeldatakse punkti positsioonina. Seda osakeste kontseptsiooni kasutame objektide liikumise arutamisel kinemaatika (sirge liikumine, paraboolne liikumine, ümmargune liikumine) ja dünaamika (Newtoni seadused) teemadel. Nii et esemeid peetakse osakesteks.

---

Osakeste kontseptsioon erineb jäiga keha kontseptsioonist. Näiteks sirgjoonelises ja paraboolses liikumises mõtleme objektidest kui osakestest, sest nende liikumisel on eseme igal osal sama kiirus (see tähendab lineaarne kiirus). Kui auto näiteks liigub, on auto esi- ja tagaosa sama kiirusega. Nii võime autodest mõelda kui osakestest või punktidest.

---

Kui objekt sooritab pöörlevat liikumist, on objekti iga osa lineaarne kiirus erinev. Objekti osa, mis asub pöörlemistelje lähedal, liigub aeglasemalt (lineaarne kiirus on väike), samal ajal kui objekti serval asuv osa liigub kiiremini (lineaarne kiirus on suurem). Niisiis, me ei saa mõelda objektist kui osakesest, sest objekti iga osa lineaarne kiirus on selle pöörlemisel erinev. Objekti kõigi osade nurkkiirus on sama. Seda on selgitatud pöörlevas kinemaatikas.

---

Niisiis vaatame sel korral kõigepealt üle pöörlemisliikumist sooritava osakese inertsimomendi. Selle eesmärk on aidata meil mõista inertsimomendi mõistet. Pärast osakeste inertsimomendi arutamist tutvume jäiga keha inertsimomendiga. Jäikaid esemeid on erineva kuju ja suurusega. Niisiis, et aidata meil mõista erineva kuju ja suurusega objektide inertsimomenti, mõistame kõigepealt osakese inertsimomenti. Igast objektist võib aga mõelda, et see koosneb osakestest.

Vaatleme nüüd osakest, mis teostab pöörlevat liikumist. Saab kasutada ainult pilte

Joonis Osake, mis nõuab pöörlevat liikumist

Näiteks antakse massile m osakesele jõud F, nii et see pöörleb ümber O-telje. Osake on pöörlemisteljest kaugus r. Esialgu on osake puhkeasendis (kiirus = 0). Pärast jõu F rakendamist liigub osake kindla lineaarse kiirusega. Alguses on osake puhkeasendis, seejärel liigub

lineaarne kiiruse muutus) pärast jõu rakendamist. Sel juhul kogeb objekt tangentsiaalset kiirendust. Tangentsiaalkiirendus = osakese lineaarne kiirendus selle pöörlemisel.

---

Jõu (F), massi (m) ja tangentsiaalse kiirenduse (at) suhet saame väljendada Newtoni teise seaduse võrrandi abil:

F = ma_tan

Kuna osake on pöörlevas liikumises, peab sellel olema nurkkiirendus. Tangentsiaalse kiirenduse ja nurkkiirenduse suhet väljendab võrrand:

a_tan = r.α

Nüüd ühendame ülaltoodud võrrandisse puutuja:

F = ma_tan → a_tan = rα

F = härraα

Korrutage vasak ja parem külg r-ga:

rF = r(härraα )

rF = härra 2

Pöörake tähelepanu vasakule küljele. rF = pöördemoment jõu jaoks, mille suund on teljega risti (võrreldes ülaltoodud kujutisega). Selle võrrandi võib kirjutada järgmiselt:

τ = (härra ² )α

härra² on massiga m osakese inertsmoment, mis pöörleb pöörlemisteljest kaugust r. See võrrand ütleb ka pöördemomendi, inertsimomendi ja pöörlemisliikumist sooritavate osakeste nurkkiirenduse vahelise seose. Lahe termin, see on Newtoni pöörleva osakese teine ​​võrrand.

Niisiis on osakese inertsimoment osakese massi (m) korrutis ruutu järgi risti vahemaas pöörlemisteljest osakeseni (r²). Lihtsuse huvides võrrelge ülaltoodud pildiga. Matemaatiliselt on osakese inertsimoment sõnastatud järgmiselt:

Mina = härra ²

Kirjeldus: I = inertsimoment

m = osakese mass

r = osakese kaugus pöörlemisteljest

---

• Jäiga keha Benda inertsimoment

Üldiselt võib mis tahes jäiga kere inertsimomenti väljendada järgmiselt:

Me võime mõelda jäigast kehast, mis koosneb paljudest keha laiali hajutatud osakestest. Kõigil neil osakestel on mass ja loomulikult on pöörlemisteljest kaugus r. seega on iga objekti inertsimoment iga objekti moodustava osakese kogu inertsimomentide summa.

See on lihtsalt üldine võrrand. Jäiga kere inertsimomendi määramiseks peame siiski arvestama jäiga keha pöörlemisel. Ehkki kahe objekti kuju ja suurus on ühesugused, on kahe objekti pöörlemisel erinevatel telgedel erinevad ka inertsimomendid.

---

Jäikade kehade inertsimomentide tabel:

Kus tabelis: I = inertsimoment

L = objekti pikkus

M = eseme mass

---

• Tahkete ainete Benda inertsimoment

Tahkeid objekte kirjeldatakse massi tiheduse funktsiooniga (r)

---

• Tahke varda inertsimoment

Oletame, et mass on varras m ja pikk l pööratud ümber masside keskme telje ümber (joonis 1). Selles vardas on kaks muutujat, nimelt varda mass ja pikkus. Kui arvestada selle varda inertsimomenti (ipm) sõltub neist kahest muutujast, siis saame mõõtmete analüüsi abil saada selle inertsimomendi varras on proportsionaalne varda massiga ja proportsionaalne varda pikkuse ruuduga või matemaatiliselt võib see olla kirjutatud:

---

Võrdse külgse kolmnurga inertsimoment

Oletame, et külje pikkusega võrdkülgne täisnurkne kolmnurk a ja mass m pööratud vastu

telg läbi massikeskme A.

---

Tahke nelinurga inertsimoment

Oletame, et tahke nelinurk külje pikkuse a ja massiga m pööratakse ümber massikeskme A (joonis 4).

Joon. 4. Nelinurk pöörleb ümber massikeskme A läbiva telje.

Nagu eelmises arvutuses, kirjutame neljakordse inertsimomendi telje ümber selle massikeskme kaudu (mõõtmete analüüsi abil):

Mina_pm = ^cma² (ruut) (14)

siin on c konstant, m on nelinurga mass ja a on nelinurga külg.

Järgmine on jagada see nelinurk neljaks ristkülikukujuliseks tükiks külje pikkusega G a ja iga ristküliku massiga G m (joonis 5)

Joon. 5. Nelinurk, mis on jagatud neljaks võrdseks osaks.

Võrrandit (14) kasutades saab kirjutada ristküliku iga lõigu inertsimomendi telje ümber läbi oma massikeskme:

---

Kuusnurkne inertsimoment

Oletame, et külje pikkusega tahke kuusnurk a ja mass m pööratud massikeskme A ümber (joonis 6).

---

 Silindri inertsimoment

Ristkülikukujulise objekti inertsimomendi arvutamise abil saab arvutada silindrikujulise inertsimomendi n siis võta piir n lõpmatuse lähedal. Või kasutades järgmist meetodit.

Oletame, et raadiusega R on kindel silinder. Selle silindrilise inertsimomendi (mõõtmete analüüsi abil) võib kirjutada järgmiselt

---

Õhuke palli inertsimoment

Selle valemi tuletamise idee pärines Waldemar Gorzkowskilt⁽⁵⁾_. Me peame kogu massiks masside arvu m, jaotatud ühtlaselt õhukese raadiusega sfääri R. Oletame, et palli massikese asub koordinaatide keskpunktis ja palli pööratakse ümber z-telje. Oletame massi m_i on koordinaatides (x_i, y_i, z_i). Inertsimomendi määratlusest lähtuvalt on selle hetkest suur

Selle massi inerts z-telje ümber on Mina_i = m_i (x_i² + y_i² ). Kui mass m_i ühtlaselt kogu sfääri pinnale jaotatud, siis on sfääri inertsimoment,

Mina = ∑ mi ri

2

= ∑mi ( xi2 + yi2 )

(27)

---

Tahke inertsbola pallimoment

Oletame, et tahke pall raadiusega R Selle sfäärilise inertsimomendi (mõõtmete analüüsi abil) võib kirjutada järgmiselt

Mina pm= cmR2

(32)

---

• Paralleeltelje teoreem

---

Inertsimomendi rakendamine

• Inertsimoment jääsuusatajatel

Inertsimoment on objektil olev omadus säilitada oma asend pöörleva liikumise abil. Inertsimoment on objekti vastupanu / inertsuse mõõde pöördliikumise muutustele. Inertsimoment sõltub eseme massi jaotusest objekti pöörlemistelje suhtes. Kuna jää poolt avaldatav pöördemoment on väike, on suusataja nurk peaaegu püsiv. Kui ta tõmbab oma käe keha poole sissepoole, väheneb tema keha inertsimoment keha läbiva vertikaaltelje ümber. Kuna nurgamoment L = Iω peab jääma konstantseks, siis kui I väheneb, suureneb nurkkiirus; see tähendab, et see pöörleb kiiremini.

---

• Inertsimomendi rakendamine masinaelementidele

Inertsimomendi rakendamine mootorielementidele, mida nimetatakse hoorattaks, sisepõlemismootorites (nt diiselmootorid, neljataktilised mootorid). Seda tüüpi masinad muudavad translatsioonipõhise süsteemi (kolvi) mehaanilise energia peamiselt pöörleks süsteemiks, mis edastatakse sõiduki rattale. Näiteks 4-Takt mootoril on seda inertsimomenti (hooratta elemendil) vaja osa selle mehaanilisest energiast, et protsessis mootori tööetapid läbi viia:

- vaakum,
- kokkusurumine ja
- Kõrvaldamine.

---

Kui paisumisetapp on kolvi tegelik tööetapp, nimelt põlemisprotsess. Kirjeldame seda kui energia süstimise etappi. Selles paisumisprotsessis muundatakse süsivesiniku keemilisest energiast (BBM) energia kolvi translatiivseks mehaaniliseks energiaks, mida saab sõnastatud delta (W) = delta (PV), siis edastatakse väntvõlli abil kõik osad pöörlemisena masin. Väike osa selle energiast salvestub hoorattale ja enamikku sellest kasutatakse objekti pöördemomendi ajamina vastavalt masina eesmärgile rakenduses.

Telgede jaoks mõeldud sõidukitele, kui tööpinkidele, jah rihmarataste või hammasrataste telgedele ja teistele.

---

• Inertsimomendi rakendamine lõualuu purustis

Jaw Crusherit kasutatakse laialdaselt mäetööstuses, metallitööstuses, ehituses, maanteede ehitamisel, raudteede ehitamisel ja keemiatööstuses.
Lõualuu purusti masina tööpõhimõte.

Lõualuu purusti töötab mootori võimsusele toetudes. Mootoriratta kaudu juhitakse ekstsentrilist võlli kolmnurkse rihma ja pesaratta abil, et panna lõualuu plaat rütmis liikuma. Seetõttu saab purustusõõnes oleva materjali, mis koosneb lõuaplaadist, liikuvast lõuaplaadist ja külgsuunalisest plaadist, purustada ja välja lasta tühjendusava kaudu.

---

Inertsivalemi hetk

Ülaltoodud joonis näitab massiga punktosakest m) teeb pöörlemist ümber oma telje (sb) sõrmedega R. Osakeste masside korrutis m) osakese pöörlemisteljeni (raadiuseni) kauguse ruuduga tekib inertsimoment.

Nii et objekti, mille mass on teadaoleval teljel pöörlemispunktiga, inertsimomendi (I) suuruse saab formuleerida järgmiselt:

I = m. R2

Mina= inertsimoment (kg m2)

m= osakese või eseme mass (kg)

R= objekti massi osakeste või elementide vaheline kaugus pöörlemistelje ümber (m)

Tahkete objektide puhul, mille geomeetria ei ole lihtne / keeruline, arvutatakse inertsimomendi suurus objekti massi jaotuse ja korrutatuna pöörlemistelje kaugusega. Rahvusvahelise standardi (SI) mõõtmed on kg.m2. Lisateavet leiate järgmiselt pildilt.

Mitmest osakesest koosnevate objektide puhul on inertsimoment iga osakese kõigi inertsimomentide summa. Samamoodi, kui objektil on keeruline kuju või see koosneb erinevatest vormidest, siis Inertsimomendi suurus on selle iga osa inertsimomentide summa, mis on sõnastatud järgmiselt: järgnev.

Korrapärase kujuga objektidel, mis pöörlevad teatud telje ümber, on teatud inertsimomendi valem, nagu on näidatud järgmises tabelis:

---

Näiteid inertsimomentidest igapäevaelus

Kas olete kunagi mootorrattaga sõitnud suurel kiirusel, siis äkki pidurdanud? Noh, kui mootorratas, millega sõidate, läheb kiiresti, siis pidurdub järsku, siis sel ajal kipub mootorratas oma liikumist säilitama.

Kas see suundumus kehtib ka puhkeasjades? Võtke näiteks see, et pange lauale HVS-paberileht, seejärel asetage HVS-paberi peale kustutuskumm. Tõmmake HVS-paber kiiresti välja. Mis juhtus? kustutuskumm jääb lauale. See tähendab, et objektide olemus kipub oma statsionaarset seisundit säilitama.

---

Näiteid inertsimomendi probleemidest ja valemite arutamisest

Näite 1. küsimus

Vaadake allolevat pilti!

Küsimus

Ülaltoodud joonisel on neli osakest, mis on ühendatud tühise massiga vardaga. Osakestel on erinev kaal, osakeste vaheline kaugus on R. Määrake osakeste süsteemi inertsimoment, kui:

• Süsteemi pööratakse ümber telje A
• Süsteemi pööratakse ümber telje B

Arutelu

Kuna süsteem koosneb neljast erineva kaaluga osakesest, on süsteemi inertsimoment iga osakese summa ümber oma telje.

• Kui süsteemi pööratakse ümber telje A

Tuntud küsimusest:

m1 = m ja R1 = 0
m2 = 2m ja R2 = R
m3 = 3m ja R3 = 2R
m4 = 4m ja R4 = 3R

Nii et hankige:

• Kui süsteemi pööratakse ümber telje B

Tuntud küsimusest:

m1 = m ja R1 = 0
m2 = 2m ja R2 = R
m3 = 3m ja R3 = 2R
m4 = 4m ja R4 = 3R

Siis saada

Näidisküsimus 2

Ülaloleval pildil on koonuse kujul olev tahke objekt, mis on kinnitatud silindri ühte otsa ja pööratud silindri keskel pöörlemisteljega. Määrake objekti inertsimoment, kui silindri mass on võrdne koonuse massiga, mis on 2 kg, silindri pikkus on 0,8 meetrit ja silindri raadius on 0,1 meetrit.

Arutelu

Arvutamise lihtsustamiseks arvutatakse ülaltoodud ülesandes iga geomeetriaobjekti inertsimoment eraldi.

Tuntud küsimusest

ms = 2 kg ja Rs = 0,1 m;
m2 = 2 kg ja Rk = 0,1 m;

Nii et objekti inertsimoment on

---

• Järeldus

Osakese inertsimoment on osakese massi (m) ja ruutu korrutis risti vahemaas pöörlemisteljest osakeseni (r²). Mis tahes objekti inertsimoment on iga objekti moodustava osakese kogu inertsimomentide summa. See on vaid üldine võrrand, kuid jäiga keha inertsimomendi määramiseks peame arvestama jäiga keha pöörlemisega. Ehkki kahe objekti kuju ja suurus on ühesugused, on kahe objekti pöörlemisel erinevatel telgedel erinevad ka inertsimomendid.

---

Tahke objekti inertsimomenti kirjeldatakse massi tiheduse funktsiooniga (r), pindala jagatakse väikesteks elementideks ja iga pindala korrutatakse momendivarre ruuduga.

• Ettepanek

Ettepanekud lugejatele, nimelt saavad lugejad käesolevas töös sisalduvat teavet ära kasutada, see artikkel on ka endiselt laialt kättesaadav puudused, et lugejad saaksid lisada kõike, mis võib käesolevasse artiklisse lisada, et puudustest saaks üle täidetud.

See on artikkel sellest Inertsimoment: täielik määratlus, mõisted, valemid ja näited loodan, et see võib olla kasulik.

---

Loe ka

• Jõu täielik määratlus füüsikas
• Õhurõhu määratlus, valemid, mõõtevahendid ja näidisülesanded