Kahe muutuja lineaarvõrrand
Lineaarvõrrandite süsteem
Kahe muutuja lineaarvõrrandid - näited, probleemid, SPLDV ja nende süsteemid - hariduse lektor. com - Lineaarvõrrand on algebraline võrrand, mille iga termin sisaldab konstandi või ühe muutuja konstandi korrutist. Selle võrrandi kohta öeldakse, et see on lineaarne, kuna seda matemaatilist suhet saab kirjeldada sirgjoonena Dekartese koordinaatide süsteemis.
Sellisel juhul kirjeldab konstant m sirge gradiendi ja konstant b on punkt, kus sirge lõikub y-teljega. Muud võrrandid, näiteks x3, y1/2ja ei ole lineaarvõrrand.
Kaks muutuva lineaarvõrrandisüsteemi
Kompleksseid lineaarvõrrandeid, nagu eespool mainitud, saab kirjutada algebraseaduste abil lihtsamal kujul. Näiteks võrrandites on suurtähed konstandid ning x ja y muutujad.
Üldvorm
kus konstandid A ja B kokku liidetuna ei ole tulemus null. Konstant on kirjutatud järgmiselt A 0, kuna matemaatikud on kokku leppinud, et konstant ei saa olla võrdne nulliga. Selle võrrandi graafik koostamisel saadakse sirgjoon ja iga joon kirjutatakse võrrandisse, nagu eespool näidatud. Millal A 0 ja ristumiskohana x, siis koordinaat-xon siis, kui sirge ristub x-teljest (y = 0), mida kirjeldatakse valemiga -c / a. Millal B0 ja ristumiskohana y, siis koordinaat- y on siis, kui sirge ristub y-teljest (x = 0), mida kirjeldatakse valemiga -c / b.
Standard kuju
Kus a ja b kokku liites ei anna see nulli ja a ei ole negatiivne arv. Seda standardset vormi saab muuta üldiseks, kuid kui seda on, ei saa seda muuta kõigi vormide jaoks a ja b on null.
Loe ka : 1 hektar Mitu meetrit
Gradient lõikepunkti kuju
- y-telg
Kus m on võrrandijoone gradient ja koordinaadid y on telgede risty. Seda saab kirjeldada x = 0, mis annab väärtuse y = b. Seda võrrandit kasutatakse telgede leidmiseksy, kus x väärtus on teada. Y valemis on koordinaadid y et paned graafikule. Kuigi X on koordinaat x et paned graafikule.
- x-telg
Kus m on võrrandijoone gradient ja c on piiripunktxja koordinaadid x on telgede ristx. Seda saab kirjeldada y = 0, mis annab väärtuse x = c. Vorm y / m tähendab võrrand ise gradiendi ümberpööramist ja korrutamist y. See võrrand ei leia punkti koordinaate x, kus on väärtuse y juba antud.
Ruutvõrrand
Ruutvõrrand on võrrand, millel on järgmine üldine kuju:
kirves2 + bx + c = 0, kus a 0 ja a, b, cR
Mõelge järgmistele ruutfunktsioonidele:
f (x) = 3x2+ 2x + 5
f (x) = 2x2+ 3x
f (x) = x2– 4
Kui kõik ülaltoodud ruutfunktsioonid on nullid või f (x) = 0, muutub ruutfunktsioon
3x2+ 2x + 5 = 0
2x2+ 3x = 0
x2– 4 = 0
Sellist ruutfunktsiooni nimetatakse ruutvõrrandiks. Näide:
- Täielik ruutvõrrand
2x2 - 3x + 4 = 0 ja x2 - x - 1 = 0
- Mittetäielik ruutvõrrand
3x2 + x = 0, x2 - x = 0 ja –x2 – 25 = 0
Loe ka: Prisma valem
Ruutvõrrandite lahendamine faktooringu abil
Ruutvõrrandi kirves2 + bx + c = 0, näiteks pärast faktooringut saame
(x - x1) (x - x2) = 0
x = x1 või x = x2
Sel juhul x1 või x2 on ülaltoodud ruutvõrrandi lahendus. See illustreerib sätet, et (x - x1) (x - x2) = 0 rahuldatakse x = x abil1 või x = x2.
Näide:
Leidke lahendus kahekordse ruutvõrrandi süsteemile2 + 6x = 0 faktoringu abil!
Lahendus:
2x2 + 6x = 0
2x (x + 3) = 0
2x = 0 või x + 3 = 0
x = 0 või x = -3
Seega on selle võrrandi lahendus x1 = 0 või x2 = -3
Täiuslik ruudu kuju
Näide täiuslikust ruudust, millel on kaks keskpunkti x, on x2, 4x2, 9x2, 16x2, 25x2, (9x + 3)2 ja (x - 4)2.
Järgmisena õpime lahendama ruutvõrrandeid, mis on väljendatud kujul (x + p)2 = q kus q 0, mis on ruutvõrrand, mille vasak pool on täiuslik ruut. Näide:
x2– 9 = 0
x2 = 9
x = ± 9
x = ± 3
x = 3 või x = -3
Seega on selle võrrandi lahendus x1 = 3 või x2 = -3
Ruutvõrrandite lahendamine valemi abil
Valem ruutvõrrandi kirve lahendamiseks2 + bx + c = 0, kus 0, a, b, cR ja xR, kus b2 - 4ac 0 Seda valemit nimetatakse abc valemiks.
Märge:
Enne abc-valemi kasutamist tuleb ruutvõrrand väljendada standardkujul, nimelt: ax2 + bx + c = 0, kui b2 - 4ac <0, siis kirvele lahendust pole2 + bx + c = 0.
Loe ka: 1 Kg Mitu liitrit
Näide:
Valemi abc abil leidke x lahendus2 - x - 6 = 0, kus x on muutuja reaalarvudes!
Lahendus:
x2 - x - 6
a = 1, b = 1, c = -6
või
Seega x1 = -3 või x2 = 2
Märge:
- Kui b väärtus on2- 4ac> 0, siis on x-l kaks erinevat tegelikku väärtust
- Kui b väärtus on2- 4ac = 0, siis on x-l üks tegelik väärtus
- Kui b väärtus on2- 4ac <0, siis pole x tegelikku väärtust.
Kahe muutuja võrrand
Enne kahe muutuva võrrandi uurimist mäletame muidugi juba ühe muutuva lineaarvõrrandi (PLSV) kohta. PLSV on võrrand, mis sisaldab ühte muutujat ja muutuja võimsus on üks.
Tuletame nüüd meelde, et Dekartese tasandi sirgjoone võrrandit saab väljendada vorm ax + by = c, kus a, b, c on reaalsed konstandid a, b 0 ja x, y on muutujate arvudega päris.
Vaatleme nüüd võrrandit x + 4y = 8, sellel on kaks muutujat x ja y ning iga muutuja ühe võimsuseni.
Nii et järeldus on kahe muutujaga lineaarvõrrand on võrrand, millel on kaks muutujat ja iga muutuja ühe võimsuseni ja seda saab väljendada kujul: ax + by = c, kus a, b, c R, a, b 0 ja x, y muutuja.
Mõned näited PLDV-st
3x + 6y = 12
5p - 3q + 30 = 0
Kahe muutuva lineaarvõrrandi lahendi määramine
Vaatleme võrrandit x + y = 7. Võrrand x + y = 7 on endiselt lahtine lause, mis tähendab, et sellel pole veel tõeväärtust. Kui x asendatakse arvuga 2, siis on y väärtus, mis täidab, 5, kuna arvude paar (2.5) täidab võrrandi, siis saab võrrandist x + y = 7 õige lause. Sel juhul öeldakse, et (2.5) on võrrandi x + y = 7 üks lahendus.
Võrrandit x + y = 7 rahuldavate x ja y väärtuste leidmiseks on sellise tabeli loomine lihtsam:
Seega võrrandi x + y = 7 HP on (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2). Joonistage ristküliku tasapinnale graafik võrrandist x + y = 7.
Loe ka: Tala võrk
Kahe muutuva lineaarvõrrandiga süsteem (SPLDV)
Kahemuutuja lineaarvõrrandisüsteem (SPLDV) koosneb kahest kahe muutujaga lineaarvõrrandist, millest kumbki pole iseseisev, nii et mõlemal võrrandil on ainult üks lahendus.
Siin on mõned näited SPLDV-st:
x + y = 3 ja 2x 3y = 1
5x + 4y + 7 = 0 ja -3x 2y = 4
SPLDV komplekti määramine
SPLDV lahenduste komplekti saab lahendada kolmel viisil:
- Graafilise meetodi abil.
- Asendusmeetodi abil.
- Elimineerimismeetodi abil.
SPLDV jaoks määratud lahendus graafilise meetodi abil
Graafilises meetodis on SPLDV lahendhulgaks kahe joone ristumiskoha koordinaadid. Kui jooned ei ristu ühes punktis, siis on lahendhulk tühi hulk.
SPLDV lahendite hulga määramiseks graafilise meetodi abil toimige järgmiselt.
- Joonista joon kahest võrrandist ristküliku tasapinnal.
- Liinide lõikepunkti koordinaadid on lahendhulk, kui need kaks sirget ei ristu (paralleelselt), siis SPLDV-l pole lahendit.
SPLDV arvelduskomplekt asendusmeetodiga
Asendusmeetodis esitame ühe muutuja kõigepealt võrrandist teise muutujaks, seejärel asendame selle muutuja teise võrrandiga.
SPLDV-lahenduste komplekti määramiseks asendusmeetodi abil toimitakse järgmiselt.
- Deklareerige muutuja teises muutujas, näiteks deklareerige y y-s või vastupidi.
- Meie muudetud võrrandi asendamine teise võrrandiga.
- Muutuja x või y leitud väärtuse asendamine ühte võrrandist
Loe ka: Kuubivõrgud
Näide:
Leidke võrrandi x + 2y = 4 ja 3x + 2y = 12 lahendite komplekt
x + 2y = 4 väljendame x y-s, saame: x = 4 2y asendaja x = 4 2y võrrandisse 3x + 2y = 12
3 (4 2y) + 2y = 12
12 6a + 2a = 12
4y = 12 12
y = 0
Asendage võrrandisse x = 4 2y y = 0
x = 4 2a
x = 4 2. 0
x = 4
Nii et HP (4, 0)
SPLDV lahuse komplekt koos kõrvaldamismeetodiga metode
SPLDV lahuskomplekti määramiseks mõeldud eliminatsioonimeetodis on meetodiks üks muutuja võrrandisüsteemist välja jätta. Elimineerimismeetodis peavad muutujate koefitsiendid olema samad või tehtud samad.
Elimineerimismeetodi abil määratud SPLDV-lahenduse määramiseks toimige järgmiselt.
- Väljendage mõlemad võrrandid kujul ax + arvuga = c
- Tasandage väljajäetavate tegurite koefitsiendid, vahetades need vastavate numbritega.
- Kui muutujate koefitsientidel on sama märk (kas positiivne või negatiivne), lahutage need kaks võrrandit.
- Kui välja jäetud muutujate koefitsiendid on erinevad (positiivsed või negatiivsed), liidake need kaks võrrandit.
Loe ka: Geomeetria teisendamine
Lineaarse, ruudu- ja kahe muutuva süsteemi rakendamine
Lineaarvõrrand
- Näite 1. küsimus
Asep ostab 2 kg mango ja 1 kg õunu ning ta peab maksma Rp. 15 000,00, Intan aga 1 kg mango ja 2 kg õunu 18 000,00 Rp eest. Kui palju maksab 5 kg mangot ja 3 kg õunu?
Lahendus:
Oletame, et 1 kg mango = x hind ja 1 kg õunte hind = y, siis:
2x + y = 15000
x + 2y = 18000
Seejärel lahendage see ühe lahendamismeetodi abil, näiteks kiirmeetodi abil, seejärel:
=> y = (2. 18000 – 15000.1)/(2.2 – 1.1)
=> y = (36000 - 15000) / (4 - 1)
=> y = 21000/3
=> y = 7000
Asendades y = 7000 väärtuse võrrandisse 2x + y = 15000, siis:
=> 2x + y = 15000
=> 2x + 7000 = 15000
=> 2x = 8000
=> x = 4000
Seega on 1 kg mango hind Rp. 4000,00 ja 1 kg õunte hind Rp. 7000,00.
5 kg mango ja 3 kg õunte hinnad on:
= 5x + 3a
= 5.4000 + 3.7000
= 20000 + 21000
= 41000
Niisiis, 5 kg mango ja 3 kg õuna hind on Rp. 41 000,00
Ruutvõrrand
Näide 1: ruutvõrrandite rakendamise lahendamine
Maast 5 m kõrgusel kaljul seisev laps viskab palli koos ülespoole algkiirus 20 m / s (eeldame, et pall vabastatakse, kui see on 1 m kõrgusel kalju pinnast, kus laps on püsti tõusma). Määrake (a) palli kõrgus 3 sekundi pärast ja (b) aeg, mis kulub palli maapinnale jõudmiseks.
Arutelu Kasutades küsimuse pakutavat teavet, saame h = –5t2 + 20t + 6. Palli kõrguse määramiseks 3 sekundi pärast asendage t = 3 võrrandisse.
Kui pall tabab maad, on palli kõrgus 0 meetrit. Nii et asendades h = 0 saadakse,
Kuna aeg pole kunagi negatiivne, on palli maani jõudmiseks kuluv aeg 4,28 sekundit.
Loe ka: Absoluutne väärtuste ebavõrdsus
Kaks muutujat
- Probleemide näide:
Kaks aastat tagasi oli mees 6 korda vanem kui tema poeg. 18 aastat hiljem on tema vanus kaks korda suurem kui poja vanus. Leidke kohe nende vanus!
Lahendus:
Oletame, et isa vanus on nüüd x aastat ja tema poja vanus on siis y aastat
x - 2 = 6 (y - 2)
x - 6y = -10 ………… (1)
x + 18 = 2 (y + 18)
x - 2y = 18 ………… (2)
Võrranditest (1) ja (2) saame
x - 6y = -10
x - 2y = 18 -
-4y = - 28
y = 7
Asendage y = 7 väärtus võrrandisse x - 2y = 18, siis saame
x - 2 (7) = 18
x - 14 = 18
x = 32
Niisiis, isa on nüüd 32-aastane ja poeg 7-aastane.
- Ristkülikukujulise maatüki ümbermõõt on 48 m. selle pikkus on 6 meetrit rohkem kui laius. Määrake maa suurus!
Lahendus
Näiteks maa pikkus ja laius on x m ja y m.
Perimeeter = 2 (pikkus + laius)
48 = 2 (x + y) või x + y = 24 ………. (1)
x = y + 6 või x - y = 6 ………. (2)
võrranditest (1) ja (2) saab
x + y = 24
x - y = 6 -
2x = 30
x = 15
asendage x = 15 võrrandisse x + y = 24, nii et
15 + y = 24
y = 24-15
y = 9
nii et maa suurus on 15 m x 9 m.
- Raamatu ja pliiatsi hind on 5.500 RP, - 2 raamatu ja 3 pliiatsi hind on 12.500 RP -.
- Väljendage ülalolev lause võrrandi kujul muutujatega x ja y!
- Lahendage võrrand!
- Määrake 4 raamatu ja 3 pliiatsi hind!
Lahendus:
Olgu raamatu hind = x, ruupia
Pliiatsi hind = y, ruupia
Siis on x ja y võrrand
x + y = 5500… (1)
2x + 3y = 12 500... 2 (2)
Lahendage ülaltoodud võrrand asendades
x + y = 5500
x = 5500 - y
asendage x = 5500 - y võrrandisse 2
x = 5500 - y → siis 2x + 3y = 12 500
2 (5500 - y) + 3y = 12 500
11 000 - 2 aastat + 3 aastat = 12 500
11 000 + y = 12 500
y = 12 500–11 000
y = 1500
asendage y = 1500 võrrandisse x = 5500 - y
x = 5500–1 500
x = 4000
nii et x ja y väärtus on Rp. 4000 ja Rp. 1500
4 raamatu ja 3 pliiatsi hind
= 4x + 3a
= 4 (Rp. 4000, -) + 3 (Rp. 1500, -)
= Rp. 16 000, - + Rp. 4.500, -
= Rp. 20.500, -
Seega on 4 raamatu ja 3 pliiatsi hind Rp. 20.500, -
See on ülaltoodud artikli selgitus Kahe muutuja lineaarvõrrandid - näited, probleemid, SPLDV ja nende süsteemid loodetavasti võib see olla kasulik kõigile ustavatele lugejatele Hariduse lektor. com