Algebralised tuletisfunktsioonid: valemid, rakendused, tähistus, kahe funktsiooniga jagamise korrutamine ja näidisülesanded

August 30, 2023
SisseLinkide Poliitika Võtke ühendust

Funktsiooni tuletise valem

Pea meeles, kui f(x)x^n , seega:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

Sest f (x) (u (x))^nu^n , seega:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Või

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

Seega on funktsiooni tuletise valem järgmine:

$f'(x) nu^(n-1) \cdot u'$

Trigonomeetria tuletisvalemid

Tuginedes tuletise definitsioonile, saame trigonomeetria tuletistele mitu valemit, nimelt järgmiselt: (iga x funktsiooniga u ja v), sealhulgas: y' =

y = sin x → y' = cos x
y = cos x → y' = -sin x
y = tan x → y' = sek²x
y = võrevoodi x → y' = -csc²x
y = s x → y'
y = csc x → y' = csc × võrevoodi x
y = pattⁿxy' = n sin^n-1× cos x
y = cosⁿx → y' = -n cos^n-1× sin x
y = sin u → y' = u' cos u
y = cos u → y' = u' sin u
y = tan u → y' = ui sek²u
y = võrevoodi u → y' = -u' csc²u
y = sec u → y' = u' sec u tan u
y = csc u → y' = u' csc u cot u
y = pattⁿu → y' = n.u' sin^n-1cos u
y = cosⁿ u → y' = -n.u' cos^n-1. sin u

Tuletisrakendused

Määrab kõvera puutuja gradiendi

Kõvera puutuja (m) gradient y = f (x) formuleeritakse järgmiselt:

Kõvera puutuja võrrand y = f (x) puutepunktis (x_1, y_1) sõnastatud järgmiselt:

$y - y_1 m (x - x_1) \paremnool m f'(x_1)$

Määrake kasvavate ja kahanevate funktsioonide intervall
- Kasvava funktsiooniintervalli tingimus $\paremnool f'(x) 0$
- Kahaneva funktsiooni intervalli termin $\paremnool f'(x) 0$

instagram viewer

Määrab funktsiooni statsionaarse väärtuse ja selle tüübi

Kui funktsioon y = f (x) on pidev ja diferentseeruv punktides x = a ja f'(x) = 0, siis on funktsioonil x = a statsionaarne väärtus. Funktsiooni y = f(x) statsionaarse väärtuse tüüp võib olla minimaalne tagastusväärtus, maksimaalne tagastusväärtus või käändeväärtus. Seda tüüpi statsionaarset väärtust saab määrata funktsiooni teise tuletise abil.

- Maksimaalne väärtus $\paremnool f'(x) 0$ Ja $\paremnool f$

Kui f'(x_1) 0 Ja , nii f'(x_1) on funktsiooni y = f(x) ja punkti maksimaalne tagastusväärtus (x_1f(x)) on y = f(x) kõvera maksimaalne pöördepunkt.

- Minimaalne väärtus $\paremnool f'(x) 0$ Ja

Kui f'(x_1) 0 Ja , nii f(x_1) on funktsiooni minimaalne tagastusväärtus y f (x) ja punkt (x_1f(x)) on y = f(x) kõvera minimaalne pöördepunkt.

- Pööra väärtus $\paremnool f'(x) 0$ Ja

Kui f'(x_1) 0 Ja f''(x_1 0) , nii f(x_1) on funktsiooni y = f(x) ja punkti käändeväärtus (x_1f(x)) on y = f(x) kõvera pöördepunkt.

Määramatu kujuga piirülesannete lahendamine $\frac{0}{0}$ või $\frac{\infty}{\infty}$

Kui $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ on määramatu vormi piir $\frac{0}{0}$ või $\frac{\infty}{\infty}$ , siis saab lahendus kasutada tuletisi, nimelt tuletatakse vastavalt f (x) ja g (x).

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Kui esimene tuletis on tekitanud teatud vormi, on see konkreetne vorm lahendus. Aga kui esimene tuletis annab ikkagi määramatu kuju, siis vastavalt f(x) ja f(x) langetatakse uuesti, kuni saadakse teatud kujundi tulemus. Sellist lahendusviisi nimetatakse L'hopitali teoreemiks.

Määrake kiiruse ja kiirenduse valem

Kui on teada objekti liikumise asukoha valem või võrrand aja funktsioonina, nimelt s = f (t), siis saab määrata kiiruse ja kiiruse valemi, nimelt:

- Kiiruse valem $\rightarrow v s'f'(t)$
- Kiirenduse valem $\paremnool a s'f$

Tuletismärkimine

Funktsiooni f(x) tuletis x suhtes on defineeritud järgmiselt:

eeldusel, et piirang on olemas.

Funktsiooni y = f (x) esimest tuletist saab tähistada punktis x järgmiselt:

y' = f'x ⇒ lagrange
⇒ leibniz
D_xy = D_x[f(x)]⇒ euler

Ülaltoodud määratlusest saame tuletada mitu allpool toodud tuletisvalemit:

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

kus k = konstant

Mõelge mõnele järgmistest näidetest.

f(x) = 5 ⇒ f'(x) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ ⇒ y' = 2. 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ + x² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

Funktsiooni, mis sisaldab juuri või murde, tuletise leidmiseks peame esimese sammuna muutma funktsiooni eksponentsiaalseks vormiks.

Siin on mõned juurte ja eksponentide omadused, mida muu hulgas sageli kasutatakse:

x^m. xⁿ = x^m+n
x^m/xⁿ = x^{M N}
1/xⁿ = x^-n
√x = x^1/2
ⁿ√xm = x^{M N}

Näide:

Probleem 1.

Leidke f (x) = x√x tuletis

Vastus:

f(x) = x√x = x. x^1/2= x^3/2

f(x) = x^3/2 →

Probleem 2.

Määrake tuletis

Vastus:

Algebralised tuletisfunktsioonid: valemid, rakendused, tähistus, kahe funktsiooniga jagamise korrutamine ja näidisülesanded

Kahe funktsiooni korrutamise ja jagamise tuletised

Oletame, et y = uv, siis saab y tuletist väljendada järgmiselt:

y' = u'v + uv'

Oletame, et y = u/v, siis saab y tuletist väljendada järgmiselt:

Probleemide näide.

Probleem 1.

Tuletis f (x) = (2x + 3)(x² + 2) nimelt:

Vastus:

Näiteks:

u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = u'v + u v'
f'(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4 +4x² +6x
f'(x) = 6x² +6x +4

Keti reegel

Kui y = f (u), kus u on funktsioon, mida saab tuletada x suhtes, siis y tuletist x suhtes saab väljendada kujul: dydx=dydu×dudx

Ülaltoodud ahelreegli kontseptsioonist lähtudes siis y = u korralⁿ, saadakse: dydx=d(un)du×dudx

y′=nun−1.u′

Üldiselt võib seda öelda järgmiselt:

Kui f(x) = [u(x)]ⁿ kus u (x) on funktsioon, mida saab tuletada x suhtes, siis: f′(x)=n[u(x)]n−1.u′(x)

Ülaltoodud ahelreegli kontseptsioonist lähtudes siis y = u korralⁿ, saavad:

Üldiselt võib seda öelda järgmiselt:

Kui f (x) = [u (x)]ⁿ kus u (x) on funktsioon, mida saab tuletada x-st, siis:

f'(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)

Probleemide näide.Probleem 1.

Leidke f (x) = (2x + 1) tuletis⁴

Vastus:

Näiteks:

u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)
f'(x) = 4 (2x + 1)^4-1. 2
f'(x) = 8(2x + 1)³

Probleem 2.

Leidke y = (x²- 3x)⁷

Vastus:

y' = 7(x²- 3x)^7-1. (2x–3)
y' = (14x − 21). (x²- 3x)⁶

Näidisküsimused ja arutelu

Probleem 1

Esimene tuletis $f (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ on

Arutelu 1:

See ülesanne on funktsioon kujul y = au^n mida saab lahendada valemi abil $y' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . Niisiis:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

Nii et tuletis:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

Probleem 2

Leidke esimene tuletis

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

2. arutelu:

Selle probleemi lahendamiseks kasutage segavalemit, nimelt $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ ja ka $y'n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Nii et:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{sin (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

Probleem 3

Määrake maksimaalne väärtus f (x) x^3 – 6x^2 + 9x intervallil -1 ≤ x ≤ 3.

3. arutelu:

Pidage meeles, et funktsiooni maksimaalne väärtus f (x) on f'(x) 0 Ja nii et:

$f_{max}$ Kui

Ja x_1 1 Ja x_2 3

$f_{max} f (1) 1^3 – 6,1^2 + 9,1$

$f_{max} 4$

Probleem 4.

Tuletis f (x) = (x – 1)²(2x + 3) on…

Vastus:

Näiteks:

u = (x − 1)² ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x - 2) (2x + 3) + (x - 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2 (x² – 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² – 4x + 2
f'(x) = 6x² – 2x – 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) või
f '(x) = (2x - 2) (3x + 2)

Probleem 5.

Kui f (x) = x² – (1/x) + 1, siis f'(x) =... .

A x – x²
B. x + x²
C. 2x-x^-2 + 1
D. 2x-x² – 1
E. 2x + x^-2

Vastus:

f(x) = x² – (1/x) + 1

= x² – x^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

Vastus: E

Seega ülevaade alates Teave saidi know.co.id kohta umbes Algebraliste funktsioonide tuletis, loodetavasti võib see teie teadmisi ja teadmisi täiendada. Täname külastamast ja ärge unustage lugeda ka teisi artikleid

Algebralised tuletisfunktsioonid: valemid, rakendused, tähistus, kahe funktsiooniga jagamise korrutamine ja näidisülesanded

Funktsiooni tuletise valem

Trigonomeetria tuletisvalemid

Tuletisrakendused

Määrab kõvera puutuja gradiendi

Määrake kasvavate ja kahanevate funktsioonide intervall

Määrab funktsiooni statsionaarse väärtuse ja selle tüübi

Määramatu kujuga piirülesannete lahendamine või

Määrake kiiruse ja kiirenduse valem

Tuletismärkimine

Kahe funktsiooni korrutamise ja jagamise tuletised

Keti reegel

Näidisküsimused ja arutelu

Määramatu kujuga piirülesannete lahendamine $\frac{0}{0}$ või $\frac{\infty}{\infty}$