Matemaatiline induktsioon: põhimõtted, jada tõestamine, jagatavus, võrrandid ja näidisülesanded

August 13, 2023
SisseLinkide Poliitika Võtke ühendust

Matemaatiline induktsioon: põhimõtted, jada tõestamine, jagatavus, võrrandid ja näidisülesanded – Mis on matemaatiline induktsioon? Teave saidi know.co.id kohta arutleb Kasti Balli ja seda ümbritsevate asjade üle. Selle paremaks mõistmiseks vaatame alloleva artikli arutelu.

Matemaatiline induktsioon: põhimõtted, jada tõestamine, jagatavus, võrrandid ja näidisülesanded

Matemaatiline induktsioon on deduktiivse tõendamise meetod, mida kasutatakse korrapäraselt järjestatud arvude hulgaga seotud matemaatiliste väidete tõestamiseks.

Need arvud on näiteks naturaalarvud või arvude mittetühjad alamhulgad originaal.Matemaatilist induktsiooni kasutatakse ainult väite õigsuse kontrollimiseks või tõestamiseks või valemit. Ja matemaatiline induktsioon pole valemite tuletamiseks. Matemaatilist induktsiooni ei saa kasutada valemite tuletamiseks ega leidmiseks.

Järgnevalt on toodud mõned näited matemaatiliste väidete kohta, mille tõesust saab tõestada matemaatilise induktsiooniga:

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), n on naturaalarv

instagram viewer

P(n): 6ⁿ + 4 jagub 5-ga n naturaalarvu puhul.
P(n): 4n < 2ⁿ, iga naturaalarvu puhul n ≥ 4

Matemaatilise induktsiooni põhimõtete laiendamine

Näiteks P(n) on avaldis, mis sõltub n-st. P(n) on tõene iga naturaalarvu n ≥ m puhul, kui see vastab kahele järgmisele tingimusele:

P(m) on tõene, mis tähendab, et kui n = m, siis P(n) on tõene
Iga naturaalarvu k ≥ m korral, kui P(k) on tõene, on tõene ka P(k + 1).

Näitamaks, et P(1) on tõene, piisab, kui P(n) asendada n = 1.

Kui P(n) esitatakse võrrandi kujul, tähendab see, et vasak pool peab võrduma parempoolsega, kui n = 1, ja siis järeldame, et P(1) on tõene.

Saame kasutada sama meetodit, et näidata, et P(m) on tõene.

Tulles tagasi ülaltoodud doominojuhtumi juurde, siis selleks, et doomino (k + 1) kukuks, peab kõige varasem doomino k kukkuma.

Ja siis järgneb implikatsioon "kui doomino k kukub, siis doomino (k + 1) kukub".

Seega, et näidata implikatsiooni "kui P(k) on tõene, siis P(k + 1) on tõene", peame esimese sammuna eeldama, et P(k) on tõene.

Vaadates neid eeldusi, näeme, et ka P(k + 1) on tõene.

Seda protsessi, milles eeldatakse, et P(k) on tõene, nimetatakse induktsioonihüpoteesiks.

Näitamaks, et P(k + 1) on tõene, saame lähtuda hüpoteesist. See tähendab eeldusest, et P(k) on tõene, või järeldusest, st P(k + 1)-st endast.

Matemaatilise induktsiooni tõestust saab teha järgmises järjekorras:

Esialgne samm: Näita P(1) on tõene.
Induktsioonisamm: oletame, et P(k) on tõene mis tahes k naturaalarvu puhul, seejärel näita, et selle eelduse põhjal on tõene ka P(k+ 1).
Järeldus: P(n) on tõene iga naturaalarvu n korral.

Sarja tõestus

Enne sarja proovile asumist tuleb sarjaga seoses hoolikalt kaaluda mitmeid asju. Teiste hulgas:

Kui

P(n): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_n = S_n, nii
P(1): u₁ = S₁
P(k): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_k = S_k
P(k + 1): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_k +u_k+1 = S_k+1

Näide 1:

Tõesta, et 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1) iga n naturaalarvu puhul.

Vastus:
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)

Tõestatakse, et P(n) on tõene iga n ∈ N korral

Esialgne samm:

Näitab, et P(1) on tõene
2 = 1(1 + 1)

Seega saadakse, P(1) on tõene

Induktsiooni etapp:

Olgu P(k) tõene, nimelt:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Näitab, et P(k + 1) on samuti tõene, see tähendab:
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Ülaltoodud eelduste põhjal siis:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1)

Lisage mõlemad pooled u-ga_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Niisiis, P(k + 1) on tõene

Tuginedes matemaatilise induktsiooni põhimõttele, on tõestatud, et P(n) on tõene iga n naturaalarvu puhul.

Näide 2:

Tõesta seda 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² see on õige, iga n naturaalarvu kohta.

Vastus:
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Seejärel näitab see, et P(n) on tõene iga n ∈ N korral

Esialgne samm:
Näitab, et P(1) on tõene
1 = 1²

Niisiis, P(1) on tõsi

Induktsiooni etapp:
Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k², k ∈ N

See näitab, et P(k + 1) on samuti tõene, nimelt:
1 + 3 + 5 + … + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1)²

Ülaltoodud eelduste põhjal siis:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²

Lisage mõlemad pooled u-ga_k+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + … + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k² +2k+1
1 + 3 + 5 + … + (2 k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1)²

Seega on ka P(k + 1) tõene

Tuginedes matemaatilise induktsiooni põhimõttele, on tõestatud, et P(n) on tõene iga n naturaalarvu puhul.

Jagamise tõend

Väide "a jagub b-ga" on sünonüüm:

mitmekordne b
b tegur a
b jaga a

Kui p jagub a-ga ja q jagub a-ga, jagub ka (p + q) a-ga.

Näiteks 4 jagub 2-ga ja 6 jagub 2-ga, siis (4 + 6) jagub samuti 2-ga

Näide 1:

Tõesta 6ⁿ + 4 jagub 5-ga iga n naturaalarvu korral.

Vastus:

P(n): 6ⁿ + 4 jagub 5-ga

Tõestatakse, et P(n) on tõene iga n ∈ N korral.

Esialgne samm:

Näitab, et P(1) on tõene
6¹ + 4 = 10 jagub 5-ga

Niisiis, P(1) on tõsi

Induktsiooni etapp:

Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:
6^k + 4 jagub 5-ga, k ∈ N

See näitab, et P(k + 1) on samuti tõene, nimelt:
6^k+1 + 4 jagub 5-ga.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Põhjus 5 (6^k) jagub 5 ja 6-ga^k + 4 jagub 5-ga, seega 5(6^k) + 6^k + 4 jagub ka 5-ga.

Niisiis, P(k + 1) on tõene.

Tuginedes matemaatilise induktsiooni põhimõttele, on tõestatud, et 6ⁿ + 4 jagub 5-ga iga n naturaalarvu korral.

Täisarv a jagub täisarvuga b, kui leitakse täisarv m, nii et kehtib a = bm.

Näiteks "10 jagub 5-ga" on tõene, sest seal on täisarvud m = 2, seega 10 = 5,2.

Seetõttu saab lause "10 jagub 5-ga" kirjutada järgmiselt: "10 = 5m, m täisarvu jaoks"

Ülaltoodud kontseptsioonist lähtuvalt saab jagamistõestust lahendada ka järgmise meetodi abil.

Näide 2:

Tõesta n³ + 2n jagub 3-ga iga n naturaalarvu korral

Vastus:

P(n): n³ + 2n = 3m, kusjuures m ∈ ZZ

Tõestatakse, et P(n) on tõene iga n ∈ korral NN

Esialgne samm:

Näidatakse, et P(1) on tõene
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Niisiis, P(1) on tõsi

Induktsiooni etapp:

Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:
k³ + 2k = 3m, k ∈ NN

See näitab, et P(k + 1) on samuti tõene, nimelt:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1)³ + 2 (k + 1) = (k³ +3k² + 3 k + 1) + (2 k + 2)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = (k³ +2k) + (3k² +3k+3)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2 (k + 1) = 3 (m + k² + k + 1)

Kuna m on täisarv ja k on naturaalarv, siis (m + k² + k + 1) on täisarv.

Näiteks p = (m + k² + k + 1), seega:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, kusjuures p ∈ ZZ

Niisiis, P(k + 1) on tõene

Lähtudes ülaltoodud matemaatilise induktsiooni kontseptsioonist, on tõestatud, et n³ + 2n jagub 3-ga iga n naturaalarvu korral.

Ebavõrdsuse tõestus

Järgmised on mõned ebavõrdsuse omadused, mida sageli kasutatakse, sealhulgas:

1. transitiivne iseloom
a > b > c ⇒ a > c või
a < b < c ⇒ a < c

2. a < b ja c > 0 ⇒ ac < bc või
a > b ja c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c või
a > b ⇒ a + c > b + c

Enne näiteküsimuste juurde asumist on hea mõte ülaltoodud omaduste kasutamist harjutada, et näidata implikatsiooni "kui P(k) on tõene, siis on ka P(k + 1) tõene".

Näide

P(k): 4k < 2^k
P(k + 1): 4 (k + 1) < 2^k+1

Kui eeldada, et P(k) on tõene k ≥ 5 korral, siis näita, et ka P(k + 1) on tõene!

Pidage meeles, et meie eesmärk on näidata, nii et:
4 (k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k (TARGET)

Saame alustada ülaltoodud ebavõrdsuse vasakust küljest, et:
4 (k + 1) = 4k + 4
4 (k + 1) < 2^k + 4 (kuna 4k < 2^k)
4 (k + 1) < 2^k + 2^k (sest 4 < 4k < 2^k)
4 (k + 1) = 2 (2^k)
4 (k + 1) = 2^k+1

Transitiivse olemuse põhjal võime järeldada, et 4(k + 1) < 2^k+1

Miks võib 4k muutuda 2-ks^k ?

Sest vastavalt omadusele 3 on meil lubatud lisada võrratuse mõlemad pooled sama arvuga.

Sest see ei muuda ebavõrdsuse tõeväärtust. Sest 4k <2^k tõsi, mille tulemuseks on 4k + 4 < 2^k + 4 on ka tõsi.

Kuidas me teame, et 4 tuleb muuta 2-ks^k ?

Jälgige sihtmärke.

Ajutine tulemus, mille saame, on 2^k + 4, kui meie eesmärk on 2^k + 2^k.

Kui k ≥ 5, siis 4 < 4k ja 4k < 2^k see on tõsi, seega 4 < 2^k on ka tõsi (transitiivne omadus). Selle tulemuseks on 2^k + 4 < 2^k + 2^k tõene (omadus 3).

Matemaatiline induktsioon: põhimõtted, jada tõestamine, jagatavus, võrrandid ja näidisülesanded

Probleemide näide

Probleem 1

Tõesta, et iga naturaalarvu puhul n ≥ 4 ja kehtib
3n <2ⁿ

Vastus:

P(n): 3n < 2ⁿ

Tõestatakse, et P(n) kehtib juhul, kui n ≥ 4, n ∈ NN

Näitab, et P(4) on tõene
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

Niisiis, P(4) on tõsi

Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:
3k <2^k, k ≥ 4

See näitab, et P(k + 1) on samuti tõene, nimelt:
3 (k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3 (k + 1) < 2^k + 3 (kuna 3k < 2^k)
3 (k + 1) < 2^k + 2^k (kuna 3 < 3k < 2^k)
3 (k + 1) = 2 (2^k)
3 (k + 1) = 2^k+1

Seega on ka P(k + 1) tõene.

Tuginedes matemaatilise induktsiooni kontseptsioonile, on tõestatud, et P(n) kehtib iga naturaalarvu n ≥ 4 korral.

Probleem 2

Tõesta seda $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Arutelu:

Samm 1

$1^3 \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 \frac{2^2}{4}$

1 1 (tõestatud)

2. samm (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

3. samm (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1) ^2 + (k + 1)^3$ (mõlemad väljad lisatud .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3 (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2) (k + 2) )$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {tõestatud).

Probleem 3

Tõesta, et iga naturaalarvu puhul n ≥ 2 ja kehtib 3ⁿ > 1 + 2n

Vastus:

P(n): 3ⁿ > 1 + 2n

Tõestatakse, et P(n) kehtib juhul, kui n ≥ 2, n ∈ NN

Näitab, et P(2) on tõene, nimelt:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Niisiis, P(1) on tõsi

Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:
3^k > 1 + 2k, k ≥ 2

Leiab, et ka P(k + 1) on tõene, st
3^k+1 > 1 + 2 (k + 1)

3^k+1 = 3(3^k)
3^k+1 > 3 (1 + 2k) (kuna 3^k >1+2k)
3^k+1 = 3 + 6k
3^k+1 > 3 + 2k (kuna 6k > 2k)
3^k+1 = 1 + 2k + 2
3^k+1 = 1 + 2 (k + 1)

Seega on ka P(k + 1) tõene

Tuginedes matemaatilise induktsiooni kontseptsioonile, on tõestatud, et P(n) kehtib iga naturaalarvu n ≥ 2 korral.

Tõesta seda

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Arutelu:

Samm 1

$\frac{1}{2} 2 – \frac{(1)+2}{2^1} 2 – \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{2}$ (tõestatud)

2. samm (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

3. samm (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Tõestatud:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (mõlemad pooled korrutatud $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^k muudetud 2-ks^k+1)

$2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$2 – \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$ (tõestatud)

Probleem 4

Tõesta, et iga naturaalarvu n ≥ 5 korral kehtib 2n − 3 < 2^n-2

Vastus:

P(n): 2n − 3 < 2^n-2

Tõestatakse, et P(n) kehtib juhul, kui n ≥ 5, n ∈ NN

Näidatakse, et P(5) on tõene
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

Niisiis, P(1) on tõsi

Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:
2k – 3 < 2^k-2, k ≥ 5

See näitab, et P(k + 1) on samuti tõene, nimelt:
2(k + 1) − 3 < 2^k+1-2

2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2
2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2 (kuna 2k − 3 < 2^k-2)
2(k + 1) − 3 < 2^k-2 + 2^k-2 (sest 2 < 2k – 3 < 2^k-2)
2(k + 1) − 3 = 2(2^k-2)
2(k + 1) − 3 = 2^k+1-2

Seega on ka P(k + 1) tõene

Matemaatilise induktsiooni kontseptsiooni alusel on tõestatud, et P(n) kehtib iga naturaalarvu n ≥ 5 korral.

Probleem 5:

Tõesta, et iga naturaalarvu puhul n ≥ 4 ja hoia (n + 1) all! > 3ⁿ

Vastus:

P(n): (n + 1)! > 3ⁿ

Tõestatakse, et P(n) kehtib juhul, kui n ≥ 4, n ∈ NN

Näitab, et P(4) on tõene
(4 + 1)! > 3⁴
vasak pool: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
parem pool: 3⁴ = 81

Niisiis, P(1) on tõsi

Kujutage ette, et P(k) on tõene, nimelt:

(k+1)! > 3^k, k ≥ 4

Näidatakse, et ka P(k + 1) on tõene, st
(k + 1 + 1)! > 3^k+1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3^k) (sest (k + 1)! > 3^k)
(k + 1 + 1)! > 3(3^k) (kuna k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3^k+1

Seega on ka P(k + 1) tõene.

Tuginedes matemaatilise induktsiooni kontseptsioonile, on tõestatud, et P(n) kehtib iga naturaalarvu n ≥ 4 korral.

Seega ülevaade alates Teave saidi know.co.id kohta umbes Matemaatiline induktsioon , loodetavasti võib see teie teadmisi ja teadmisi täiendada. Täname külastamast ja ärge unustage lugeda ka teisi artikleid

Sisu loetelu

Soovitus:

Selgitava teksti keelelised elemendid: omadused, struktuur, tüübid, ... Selgitava teksti keelelised elemendid: definitsioon, omadused, struktuur, tüübid ja näited – mis on selgitav tekst Sel puhul arutleb Seputarknowledge.co.id, mis on selgitav tekst ja element…
Absoluutväärtuse võrrand: seletused ja näidisülesanded Absoluutväärtusvõrrandid: seletused ja näidisülesanded – millised on absoluutväärtuse võrrandite omadused?, Sees Sel korral arutab Seputarknowledge.co.id seda ja loomulikult ka muid asju kattis seda. Vaatame…
Šariaadiarvestus: ekspertide sõnul põhiteadmised… Syari'ah raamatupidamine: ekspertide mõistmine, õiguslik alus, omadused, eesmärk, põhimõtted, omadused ja Eelised - Mis on šariaadiarvestus ja selle eelised? arutage seda ja ...
Usk Qadasse ja Qadarisse: mõistmine, tõestus, tarkus ja… Usk Qadasse ja Qadarisse: määratlus, väide, tarkus ja nende funktsioonid – mida tähendab usk Qadasse ja Qadarisse?
Kirjavahemärgid: määratlus, funktsioonid, tüübid ja näited Kirjavahemärgid: määratlus, funktsioonid, tüübid ja näited – selles arutelus selgitame kirjavahemärke. Mis sisaldab tähendust, funktsiooni, tüüpe ja näiteid kirjavahemärkide kasutamisest…
12 jalgpalli määratlust ekspertide sõnul 12 jalgpalli definitsiooni ekspertide sõnul – sel korral arutame jalgpalli käsitlevaid materjale. Jalgpall on enim mängitud spordimäng kogu maailmas…
Näide kultuurikunsti küsimustest klassi 10 (X) SMA/MA/SMK 1. semestri jaoks… Näited klassi 10 (X) kultuurikunsti küsimustest SMA/MA/SMK 1. ja 2. semestri jaoks (2019 ja 2020) – Sel korral arutab Seputarknowledge.co.id 10. klassi kultuurikunsti küsimusi ja esseed...
Peensoole funktsioon: määratlus, struktuur, osad, ensüümid ja… Peensoole funktsioonid: määratlus, struktuur, osad, ensüümid ja selgitus – millised on peensoole funktsioonid?, Sel korral arutab Around the Knowledge.co.id seda, sealhulgas struktuuri, ensüüme ja muidugi asju teised, kes…
Keskkonnakõne: määratlus, eesmärk, omadused ja… Keskkonnakõne: määratlus, eesmärk, omadused ja näited – kuidas on keskkonnakõne tekst üles ehitatud? mis on hea ja õige?, Sel korral arutab Seputarknowledge.co.id seda ja muidugi asju Milline…
Inertsimoment: definitsioon, tegurid, vormivõrrandid… Inertsimoment: definitsioon, tegurid, võrrandid objektide vormides ja näidisülesanded – mida mõeldakse koos inertsihetkega?, Sel korral arutab Se saidi know.co.id kohta seda ja loomulikult asi…
√ Korvpallimängu tehnikad ja reeglid (täielik) Korvpallimängu tehnikad ja reeglid (täielik) – sedapuhku käsitleme korvpallimänge. Mis selles arutelus selgitab, kuidas korvpallimäng algab...
Manipulatiivsed liigutused on: näited ja seletused Manipulatiivsed liigutused on: näited ja seletused – mida mõeldakse manipuleerivate liigutuste all? Sel korral Seputarknowledge.co.id arutleb selle üle ja loomulikult ka asjade üle, mis seda ka kajastavad. Lase…
Optilised instrumendid: määratlus, funktsioonid, tüübid ja osad Optilised instrumendid: määratlus, funktsioonid, tüübid ja osad – mis on optilised seadmed ja millised on nende tüübid? Sedapuhku arutab Seputarknowledge.co.id seda ja muidugi muudki, mis...
Turundusjuhtimise ülesanded: olulised etapid ja tegurid… Turundusjuhtimise ülesanded: juhtimise peamised etapid ja tegurid – millised on turundusjuhtimise ülesanded? Seekord arutleb Knowledge.co.id, millised on turundusjuhtimise ülesanded ja muud tegurid...
√ Tuletiste, liikide, valemite ja näidisülesannete määratlus Tuletisinstrumentide arutelu tuleb uurida. Kasutades õpitud piirangute kontseptsiooni, saate hõlpsasti õppida järgmise tuletismaterjali. Tuletisinstrumentide definitsioon Tuletisinstrument on muutuste arvutamine…
Jalgpalli materjal: määratlus, eelised, eesmärgid, tehnikad, ... Jalgpalli materjal: määratlus, eelised, eesmärgid, tehnikad, jalgpallireeglid – loomulikult teame me kõik, mis on jalgpall, eks? Jalgpall on spordiala, mis on väga populaarne ja…
Graafika: määratlus, ajalugu, tüübid, omadused, võrdlus… Graafikakunst: graafilise kunsti määratlus, ajalugu, tüübid, omadused, võrdlused ja näited – tere, poisid, kas teate graafikat? Sel korral arutleb Seputarknowledge.co.id, mis on kunst…
Lühitekst: definitsioon, omadused, struktuur, elemendid ja näited Jututekst: definitsioon, omadused, struktuur, elemendid ja näited – mis on jututekst? Laske meil…
Kehalise kasvatuse näidisküsimused 11. (XI) klassi SMA/MA/SMK 1. ja 2. semestrile Näited kehalise kasvatuse küsimustest 11. klassile (XI) SMA/MA/SMK 1. ja 2. semestri jaoks (2019 ja 2020) – sel puhul arutab Seputarknowledge.co.id 11. klassi valikvastustega ja essee jaoks mõeldud kehalise kasvatuse küsimuste näiteid ...
Õppemeetodite määratlus: omadused, eesmärk, tüübid ja… Õppemeetodite määratlus: omadused, eesmärk, tüübid ja arutelu – mida meetodi all mõeldakse Õppimine?, Sel korral arutab Seputarknowledge.co.id seda ja loomulikult ka muid asju Samuti…
Numbrimustrid: numbrimustrite määratlus ja tüübid Numbrimustrid: numbrimustrite määratlus ja tüübid – mis on numbrimuster? Sedapuhku tahame üle vaadata, mida tähendavad numbrimustrid ja nende liigid ning...
Selgitava teksti eesmärk: definitsioon, struktuur, omadused, reeglid,… Selgitava teksti eesmärk: definitsioon, struktuur, omadused, reeglid, näited – selles arutelus selgitame selgitavat teksti. Mis sisaldab selgitava teksti mõistmist, selgitava teksti eesmärki, teksti ülesehitust...
Jalgpalli ajalugu siseneb Indoneesiasse Indoneesia jalgpalli sisenemise ajalugu – Spordimänge on väga huvitav mängida ja vaadata. See spordimäng muudab keha terveks ja muudab keha…
Väljakutennis: ajalugu, tehnikad, löökide tüübid, omadused… Väljakutennis: ajalugu, tehnikad, löökide tüübid, matši omadused ja süsteemid – mis on tennisespordiala Court Milline…
Rooma numbrid: ajalugu, põhinumbrid, kuidas kirjutada, valemid… Rooma numbrid: ajalugu, põhinumbrid, kirjutamine, valemid ja puudused – kas teate, mis need on Rooma numbrid ja kuidas neid lugeda? kaaned…
√ Ühe muutuja lineaarse ebavõrdsuse (PtLSV) definitsioon,… Ühe muutuja lineaarse ebavõrdsuse (PtLSV) definitsioon, omadused, probleemide näited ja kuidas seda lahendada – selles arutelus selgitame ühe muutuja lineaarset ebavõrdsust. Mis hõlmab ka lineaarse ebavõrdsuse mõistet…
Taust on: määratlus, sisu, kuidas luua ja… Taust on: määratlus, sisu, valmistamisviis ja näited – mida selle all mõeldakse tausta?, Sel korral arutab Seputarknowledge.co.id seda ja muidugi muid asju Milline…
Tehted täisarvude loendamiseks ja näited (arutelu… Tehted täisarvude loendamiseks ja täielikud näited – me peame teadma, et täisarvud sisaldab mitmeid aritmeetilisi tehteid, sealhulgas liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist ja koht. Tehted täisarvude loendamiseks ja…
√ Aritmeetilise seeria valemid, jadad, vormid, näidisülesanded ja… Aritmeetiliste seeriate valemid, jadad, vormid, küsimuste ja vastuste näited – sel korral, Teadmiste ümber, käsitleme aritmeetikaseeriaid. Mis selles arutelus selgitab erinevaid küsimusi seoses…
Näituse eesmärk: definitsioon, funktsioonid, eelised, tüübid, elemendid… Näituse eesmärk: definitsioon, funktsioonid, eelised, tüübid, elemendid ja näituse põhimõtted – mida mõeldakse näituse või näituse all? Sel korral arutleb Seputarknowledge.co.id, mis on näitus ja mis…