Sistema de tres ecuaciones lineales variables: características, componentes, métodos de resolución y problemas de ejemplo
Sistema de tres ecuaciones lineales variables: características, componentes, métodos de resolución y problemas de ejemplo – ¿Qué se entiende por sistema de tres ecuaciones variables?, en esta oportunidad Sobre el conocimiento.co.id hablaremos de ella y por supuesto también de las cosas que la rodean. Miremos la discusión juntos en el artículo a continuación para entenderlo mejor.
Sistema de tres ecuaciones lineales variables: características, componentes, métodos de resolución y problemas de ejemplo
El sistema de ecuaciones de tres variables o comúnmente abreviado como SPLTV es una colección de ecuaciones lineales que tienen tres variables. Una ecuación lineal se caracteriza porque la exponencial más alta de las variables en la ecuación es uno. Además, el signo que conecta las ecuaciones es un signo igual.
En arquitectura, existen cálculos matemáticos para la construcción de edificios, uno de los cuales es un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es útil para determinar las coordenadas de los puntos de intersección. Las coordenadas precisas son esenciales para producir un edificio que se ajuste al boceto. En este artículo, discutiremos un sistema de tres ecuaciones lineales variables (SPLTV).
Sistema de tres ecuaciones lineales variables: es una forma extendida de un sistema de dos ecuaciones lineales variables (SPLDV). Que, en un sistema de tres variables de ecuaciones lineales consta de tres ecuaciones, cada ecuación tiene tres variables (por ejemplo, x, y y z).
El sistema de ecuaciones lineales de tres variables consta de varias ecuaciones lineales con tres variables. La forma general de la ecuación lineal de tres variables es la siguiente.
hacha + por + cz = d
a, b, c y d son números reales, pero a, b y c no pueden ser todos 0. Esta ecuación tiene muchas soluciones. Se puede obtener una solución comparando valores arbitrarios de dos variables para determinar el valor de la tercera variable.
Características de un Sistema de Tres Ecuaciones Lineales Variables
Una ecuación se denomina sistema de ecuaciones lineales de tres variables si tiene las siguientes características:
- Usando una relación de signo igual (=)
- tiene tres variables
- Las tres variables tienen grado uno (rango uno)
Componentes del sistema de ecuación lineal de tres variables
Contiene tres componentes o elementos que siempre están relacionados con un sistema de tres variables de ecuaciones lineales.
Los tres componentes son: términos, variables, coeficientes y constantes. La siguiente es una explicación de cada uno de los componentes de SPLTV.
Grupo étnico
El término es una parte de una forma algebraica que consta de variables, coeficientes y constantes. Cada término se separa sumando o restando signos de puntuación.
Ejemplo:
6x – y + 4z + 7 = 0, entonces los términos de la ecuación son 6x, -y, 4z y 7.
Variable
Las variables son variables o sustitutos de un número que generalmente se denotan mediante el uso de letras como x, y y z.
Ejemplo:
Yulisa tiene 2 manzanas, 5 mangos y 6 naranjas. Si escribimos en forma de ecuación entonces:
Por ejemplo: manzanas = x, mangos = y y naranjas = z, entonces la ecuación es 2x + 5y + 6z.
Coeficiente
El coeficiente es un número que expresa el número de variables del mismo tipo.
El coeficiente también se conoce como el número delante de la variable, porque la escritura de una ecuación para el coeficiente está delante de la variable.
Ejemplo:
Gilang tiene 2 manzanas, 5 mangos y 6 naranjas. Si lo escribimos en forma de ecuación entonces:
Por ejemplo: manzanas = x, mangos = y y naranjas = z, entonces la ecuación es 2x + 5y + 6z.
De esta ecuación, se puede ver que 2, 5 y 6 son coeficientes donde 2 es el coeficiente x, 5 es el coeficiente y y 6 es el coeficiente z.
Constante
Una constante es un número que no va seguido de una variable, por lo que tendrá un valor fijo o constante independientemente del valor de la variable o variables.
Ejemplo:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, de esta ecuación la constante es 7. Esto se debe a que 7 tiene un valor fijo y no se ve afectado por ninguna variable.
Método para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales variables
Un valor (x, y, z) es un conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones lineales de tres variables si el valor (x, y, z) satisface las tres ecuaciones en SPLTV. El conjunto de soluciones SPLTV se puede determinar de dos maneras, a saber, el método de sustitución y el método de eliminación.
- Método de sustitución
El método de sustitución es un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales sustituyendo el valor de una de las variables de una ecuación a otra. Este método se lleva a cabo hasta que se obtienen todos los valores de las variables en un sistema de ecuaciones lineales de tres variables.
El método de sustitución es más fácil de usar en SPLTV que contiene una ecuación con un coeficiente de 0 o 1. Los siguientes son los pasos para resolver con el método de sustitución.
- Encuentra una ecuación que tenga una forma simple. Las ecuaciones con formas simples tienen coeficientes de 1 o 0.
- Expresar una de las variables en forma de otras dos variables. Por ejemplo, la variable x se expresa en términos de la variable y o z.
- Sustituya los valores de las variables obtenidos en el segundo paso en las otras ecuaciones en SPLTV, de modo que se obtenga un sistema de ecuaciones lineales de dos variables (SPLDV).
- Determine la solución SPLDV obtenida en el paso tres.
- Determine los valores de todas las variables desconocidas.
Intentemos hacer el siguiente problema de ejemplo. Determine el conjunto de soluciones para el sistema de tres variables de ecuaciones lineales a continuación.
x + y + z = -6 … (1)
x – 2y + z = 3 … (2)
-2x + y + z = 9 … (3)
Primero, podemos cambiar la ecuación (1) a, z = -x – y – 6 a la ecuación (4). Entonces, podemos sustituir la ecuación (4) en la ecuación (2) de la siguiente manera.
x – 2y + z = 3
x – 2y + (-x – y – 6) = 3
x-2y-x-y-6 = 3
-3y = 9
y = -3
Después de eso, podemos sustituir la ecuación (4) en la ecuación (3) de la siguiente manera.
-2x + y + (-x – y – 6) = 9
-2x + y – x – y – 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Tenemos los valores x = -5 e y = -3. Podemos reemplazarlo en la ecuación (4) para obtener el valor de z de la siguiente manera.
z = -x – y – 6
z = -(-5) – (-3) – 6
z = 5 + 3 – 6
z = 2
Entonces, obtenemos el conjunto solución (x, y, z) = (-5, -3, 2)
- Método de eliminación
El método de eliminación es un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de una de las variables en dos ecuaciones. Este método se lleva a cabo hasta que solo quede una variable.
El método de eliminación se puede utilizar para todos los sistemas de tres variables de ecuaciones lineales. Pero este método requiere pasos largos porque cada paso solo puede eliminar una variable. Se requiere un mínimo de 3 veces el método de eliminación para determinar el conjunto de soluciones SPLTV. Este método es más fácil cuando se combina con el método de sustitución.
Los pasos para resolver usando el método de eliminación son los siguientes.
- Observa las tres ecuaciones en SPLTV. Si hay dos ecuaciones que tienen el mismo valor de coeficiente en la misma variable, resta o suma las dos ecuaciones para que la variable tenga un coeficiente de 0.
- Si ninguna variable tiene el mismo coeficiente, multiplique ambas ecuaciones por el número que hace que el coeficiente de una variable en ambas ecuaciones sea el mismo. Resta o suma las dos ecuaciones para que la variable tenga un coeficiente de 0.
- Repita el paso 2 para el otro par de ecuaciones. Las variables omitidas en este paso deben ser las mismas que las variables omitidas en el paso 2.
- Después de obtener dos nuevas ecuaciones en el paso anterior, determine el conjunto de soluciones para las dos ecuaciones utilizando el método de solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables (SPLDV).
- Sustituir los valores de las dos variables obtenidos en el paso 4 en una de las ecuaciones de SPLTV para obtener el valor de la tercera variable.
Intentaremos usar el método de eliminación en las siguientes preguntas. ¡Determinar el conjunto de soluciones SPLTV!
2x + 3y – z = 20 … (1)
3x + 2y + z = 20 … (2)
X + 4y + 2z = 15 … (3)
SPLTV se puede determinar el conjunto de soluciones eliminando la variable z. Primero, sume las ecuaciones (1) y (2) para obtener:
2x + 3y – z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 … (4)
Luego, multiplica 2 en la ecuación (2) y multiplica 1 en la ecuación (1) para obtener:
3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –
5x = 25
x = 5
Después de conocer el valor de x, sustitúyalo en la ecuación (4) de la siguiente manera.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Sustituya los valores de x e y en la ecuación (2) de la siguiente manera.
3x + 2y + z = 20
3(5) + 2(3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
De modo que el conjunto de soluciones para SPLTV (x, y, z) es (5, 3, -1).
Métodos Combinados o Mixtos
Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando métodos combinados o mixtos es una forma de resolver combinando dos métodos a la vez.
El método en cuestión es el método de eliminación y el método de sustitución.
Este método se puede usar usando primero el método de sustitución o primero eliminando.
Y en esta ocasión, probaremos un método combinado o mixto con 2 técnicas, a saber:
Elimina primero y luego usa el método de sustitución.
Sustituyendo primero y luego usando el método de eliminación.
El proceso es casi el mismo que para resolver SPLTV usando el método de eliminación y el método de sustitución.
Para que entiendas más sobre cómo resolver SPLTV usando esta combinación o mezcla, aquí te proporcionamos algunos ejemplos de preguntas y su discusión.
Ejemplo de problemas
problema 1
Determine el conjunto de soluciones SPLTV a continuación utilizando el método de sustitución:
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Respuesta:
El primer paso es determinar primero la ecuación más simple.
De las tres ecuaciones, la primera ecuación es la más simple. A partir de la primera ecuación, exprese las variables x en función de y y z de la siguiente manera:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
Sustituir la variable o variables x en la segunda ecuación
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 …………… Ec. (1)
Sustituye la variable x en la tercera ecuación
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………… Ec. (2)
Las ecuaciones (1) y (2) forman SPLDV y y z:
7y – 5z = –14
y – z = –4
Luego resuelve el SPLDV anterior usando el método de sustitución. Elige una de las ecuaciones más simples. En este caso, la segunda ecuación es la ecuación más simple.
De la segunda ecuación, obtenemos:
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
Sustituye la variable y en la primera ecuación
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
Sustituya el valor z = 7 en uno de los SPLDV, por ejemplo y – z = –4, por lo que obtenemos:
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
Luego, sustituimos los valores y = 3 y z = 7 a uno de los SPLTV, por ejemplo x – 2y + z = 6 así obtendremos:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Así, obtenemos x = 5, y = 3 y z = 7. De modo que el conjunto de soluciones para el problema SPLTV es {(5, 3, 7)}.
Para asegurarnos de que los valores de x, y y z obtenidos son correctos, podemos averiguarlo sustituyendo los valores de x, y y z en los tres SPLTV anteriores. Entre otros:
Ecuación I:
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (verdadero)
Ecuación II:
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (verdadero)
Ecuación III:
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (verdadero)
De los datos anteriores se puede afirmar que los valores de x, y y z que obtenemos son correctos y cumplen el sistema de ecuaciones lineales de las tres variables en cuestión.
problema 2
Dado un sistema de ecuaciones lineales:
(i) x -3y +z =8
(ii) 2x =3y-z =1
(iii) 3x -2y -2z =7
El valor x+y+z es
A.-1
B. 2
C. 3
D. 4
Discusión:
De la ecuación (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)
Sustituya la ecuación (iv) en la ecuación (ii):
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …. (v)
Sustituya la ecuación (iv) en la ecuación (iii):
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…. (v)
Sustituya la ecuación (v) en la ecuación (vi):
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15 años + 25 = 7 años + 17
15 años – 7 años = -25 + 17
8y = -8 → y = –1 …. (vii)
Sustituya el valor de y = – 1 en la ecuación (vi) para obtener el valor de z.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)
Sustituye el valor y = – 1 y z = 2 en la ecuación (i) para obtener el valor x.
x – 3y + z = 8
x-3(- 1) + 2 = 8
X + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3
Se obtienen los valores de las tres variables que satisfacen el sistema de ecuaciones, a saber, x = 3, y = – 1 y z = 2.
Entonces, el valor de x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Respuesta: D
Dado un sistema de ecuaciones lineales
(yo) = x – 3y +
Discusión:
De la ecuación (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)
Sustituya la ecuación (iv) en la ecuación (ii):
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9y – 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …. (v)
Sustituya la ecuación (iv) en la ecuación (iii):
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9y – 3z + 24 – 2y – 2z = 7
7y – 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…. (v)
Sustituya la ecuación (v) en la ecuación (vi):
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15 años + 25 = 7 años + 17
15 años – 7 años = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)
Sustituya el valor de y = – 1 en la ecuación (vi) para obtener el valor de z.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)
Sustituye el valor y = – 1 y z = 2 en la ecuación (i) para obtener el valor x.
x – 3y + z = 8
x-3(- 1) + 2 = 8
X + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3
Se obtienen los valores de las tres variables que satisfacen el sistema de ecuaciones, a saber, x = 3, y = – 1 y z = 2.
Entonces, el valor de x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
Respuesta: D
Problema 3.
Determine el conjunto solución del siguiente sistema de tres variables de ecuaciones lineales usando el método combinado.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Respuesta:
Método de sustitución (SPLTV)
El primer paso determina la ecuación más simple. De las tres ecuaciones anteriores, podemos ver que la tercera ecuación es la ecuación más simple.
A partir de la tercera ecuación, exprese la variable z en función de y y z de la siguiente manera:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x = 20 – y – 4z ………… Ec. (1)
Luego, sustituya la ecuación (1) anterior en el primer SPLTV.
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
⇒ 2y – 2z + 20 = 16
⇒ 2y – 2z = 16 – 20
⇒ 2y – 2z = –4
⇒ y – z = –2 …………. pers. (2)
Luego, sustituya la ecuación (1) anterior en el segundo SPLTV.
⇒ 2x + 4y – 2z = 12
⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12
⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12
⇒ 2y – 10z + 40 = 12
⇒ 2y – 10z = 12 – 40
⇒ 2y – 10z = –28 ………… Ec. (3)
De la ecuación (2) y la ecuación (3) obtenemos el SPLDV y y z de la siguiente manera:
y – z = –2
2y – 10z = –28
Método de Eliminación (SPLDV)
Para eliminar o eliminar y, luego multiplique el primer SPLDV por 2 para que los coeficientes y de las dos ecuaciones sean iguales.
A continuación, diferenciamos las dos ecuaciones para obtener valores de z como los siguientes:
y – z = -2 |×2| → 2y – 2z = -4
2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
Para eliminar z, luego multiplique el primer SPLDV por 10 para que los coeficientes z en ambas ecuaciones sean iguales.
Luego restamos las dos ecuaciones para obtener el valor de y de la siguiente manera:
y – z = -2 |×10| → 10y – 10z = -20
2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8 años = 8
z = 1
Hasta este punto, obtenemos los valores y = 1 y z = 3.
El paso final es determinar el valor de x. La forma de determinar el valor de x es ingresando los valores de y y z en uno de los SPLTV. Por ejemplo x + 3y + 2z = 16 por lo que obtendremos:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒x = 7
De esa forma, obtenemos los valores x = 7, y = 1 y z = 3 para que el conjunto de soluciones SPLTV para el problema anterior sea {(7, 1, 3)}.
Así la revisión de Sobre el conocimiento.co.id acerca deSistema de tres ecuaciones lineales variables, con suerte puede agregar a su visión y conocimiento. Gracias por visitarnos y no olvides leer otros artículos.
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