Αφαίρεση κοινών και μικτών κλασμάτων (Παράδειγμα)

Σε αυτήν την ανασκόπηση, θα συζητήσουμε την αφαίρεση κοινών και μικτών κλασμάτων που θα είναι πολύ χρήσιμη για όσους από εσάς μελετάτε την ύλη. Όπως και με την προσθήκη κλασμάτων, η αφαίρεση απαιτεί επίσης κατανόηση των KPK και GCF.

Επιπλέον, πρέπει επίσης να κατανοήσετε τη φύση της πράξης αφαίρεσης κλασμάτων. Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με την αφαίρεση κοινών και μικτών κλασμάτων, μπορείτε να ανατρέξετε στις παρακάτω πληροφορίες.

Ιστορία κλασμάτων

Πριν συζητήσετε τον τύπο της αφαίρεσης του κλάσματος και τον τρόπο υπολογισμού του, θα πρέπει να γνωρίζετε τη σημασία και την ιστορία του. Τα κλάσματα στα αγγλικά λέγονται κλάσμα που προέρχεται από το λατινικό fαναλογία. Η έννοια της λέξης είναι να σπάσει ή να σπάσει.

1. Κλάσματα στην Αρχαία Αίγυπτο

Σύμφωνα με ιστορικά αρχεία, τα κλάσματα ήταν γνωστά το 1800 π.Χ. στην Αίγυπτο. Εκείνη την εποχή, οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι έγραφαν κλάσματα με την ιδέα ενός αριθμού κλάσματος μονάδας, δηλαδή με τον αριθμητή του ενός.

Οι κλασματικοί αριθμοί με τη μορφή ιερογλυφικών είναι σκαλισμένοι σε τοίχους ή ξύλο με συγκεκριμένα σύμβολα, ενώ ο αριθμός 2/3 χρησιμοποιεί ειδικά σύμβολα.

2. Κλάσματα των Αρχαίων Βαβυλωνίων και Ελλήνων

Οι Βαβυλώνιοι μέσω της γραπτής πέτρας έχουν αναγνωρίσει και χρησιμοποιήσει κλασματικούς αριθμούς για να ριζώσουν και έχουν εφαρμόσει αξίες τόπου. Εν τω μεταξύ, για τους αρχαίους Έλληνες, όλες οι μετρήσεις μήκους μπορούσαν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας αναλογίες ακέραιων αριθμών.

Ανάγνωση: Online Υπολογιστής κλασμάτων

3. Η ιδέα της χρήσης δεκαδικών κλασμάτων στη δυναστεία Shang

Περίπου το 1800 - 1100 π.Χ. η χρήση δεκαδικών κλασμάτων ήταν γνωστή κατά τη διάρκεια της δυναστείας των Σανγκ. Αυτό αναφέρεται στο Juizhang Suanshu που είναι ένα βιβλίο για την τέχνη των μαθηματικών.

4. Πρώτος συγγραφέας Οριζόντιο πρόσημο σε κλάσμα

Πριν γίνει γνωστή ως κλάσμα όπως είναι σήμερα, η γραφή των κλασματικών αριθμών είχε τη μορφή ορισμένων συμβόλων. Εν τω μεταξύ, η γραφή της οριζόντιας γραμμής μεταξύ αριθμητή και παρονομαστή εισήχθη από τον al-Qalasadi (1412-1486).

Ενώ ένα άλλο όνομα, δηλαδή ο al-Hassar τον 12ο αιώνα, αναφέρεται από τον Jeff Miller ως ο πρώτος ανακάλυψε οριζόντια σημεία σε κλάσματα. Εν τω μεταξύ, το έργο του al-Kasyi, Miftah al-Hisab (Κλειδί Υπολογισμού) έχει συζητήσει τη χρήση των δεκαδικών κλασμάτων και τον τρόπο υπολογισμού τους.

Ανάγνωση: Κλάσματα

Πώς να αφαιρέσετε κοινά κλάσματα (Βασικό)

Αν είναι η πρώτη φορά που μαθαίνετε κλάσματα, ίσως εξακολουθείτε να είστε λίγο μπερδεμένοι σχετικά με τον υπολογισμό της πράξης αφαίρεσης. Λάβετε υπόψη ότι το κύριο κλειδί για την αφαίρεση των κλασμάτων είναι να βεβαιωθείτε ότι και οι δύο παρονομαστές είναι ίδιοι, ώστε να μπορείτε να αφαιρέσετε και τους δύο αριθμητές.

Η μέθοδος υπολογισμού που μπορεί να γίνει είναι η εύρεση του LCM (Λάγιστο κοινό πολλαπλάσιο) και η μείωση των κλασμάτων. Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα αφαίρεσης κλασμάτων:

1/3 – 1/4 = ….

Από το πρόβλημα της αφαίρεσης των κλασμάτων, πρέπει να ακολουθήσετε διάφορα βήματα ως εξής:

1. Καταγράψτε πολλαπλάσια κάθε παρονομαστή σε κλάσματα

Μπορείτε να αρχίσετε να ψάχνετε για το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) των δύο παραπάνω παρονομαστών μέχρι να βρείτε τον ίδιο αριθμό. Εάν το παράδειγμα είναι 1/3 και 1/4, τότε καταγράψτε όλα τα πολλαπλάσια του 3 και του 4 μέχρι να βρείτε τον ίδιο αριθμό από τις δύο λίστες LCM.

• Δεδομένου ότι τα πολλαπλάσια του 3 περιλαμβάνουν το 3, το 6, το 9 και το 12 ενώ τα πολλαπλάσια του 4 περιλαμβάνουν τα 4, 8, 12, διαπιστώθηκε ότι ο χαμηλότερος αριθμός που έχουν κοινό το 3 και το 4 είναι το 12.
• Εάν και οι δύο παρονομαστές έχουν ήδη τον ίδιο αριθμό, τότε μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την αφαίρεση των δύο αριθμητών.

2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή έτσι ώστε οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να είναι ίδιοι

Εάν έχετε βρει το ίδιο LCM και στους δύο παρονομαστές, τότε το επόμενο βήμα είναι να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα έτσι ώστε και οι δύο παρονομαστές να είναι ίδιοι ως εξής:

• Πολλαπλασιάστε το 1/3 με το 4 για να κάνετε τον παρονομαστή 12.
• Πολλαπλασιάστε το 1/4 με το 3 για να κάνετε τον παρονομαστή 12.

3. Να φτιάξετε ισοδύναμα κλάσματα σε όλα τα κλάσματα

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι προσαρμογές σε ένα κλάσμα πρέπει επίσης να ακολουθούνται από τη μετατροπή άλλων κλασμάτων στο ισοδύναμό τους. Με βάση τα παραπάνω παραδείγματα ερωτήσεων, μπορεί να εφαρμοστεί ως εξής:

• Ο αριθμός 1/3 πολλαπλασιάζεται επί 4 για να γίνει 4/12.
• Ο αριθμός 1/4 πολλαπλασιάζεται επί 3 για να γίνει 3/12.

4. Αφαιρέστε τον αριθμητή από το κλάσμα και διατηρήστε τον παρονομαστή ίδιο

Εάν αφαιρέσετε κλάσματα από τον ίδιο παρονομαστή, χρειάζεται μόνο να αφαιρέσετε τον αριθμητή για να βρείτε το αποτέλεσμα. Εν τω μεταξύ, αν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, δεν χρειάζεται να αφαιρεθούν.

1/3 – 1/4

= 4/12 – 3/12

= 1/12

Άρα η απάντηση για την αφαίρεση των κλασμάτων από το 1/3 στο 1/4 είναι 1/12.

Από τα αποτελέσματα της αφαίρεσης, πρέπει να μάθετε αν μπορεί ακόμα να απλοποιηθεί ή όχι, ο τρόπος είναι να βρείτε το GCF (Μεγαλύτερος κοινός παράγοντας) των δύο κλασματικών αριθμών. Για παράδειγμα, αν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι ο αριθμός 6/12, τότε το GCF και των δύο είναι 6.

Πρέπει λοιπόν να διαιρέσετε και τους δύο κλασματικούς αριθμούς με το 6 και το αποτέλεσμα είναι 6:6 = 1 και 12:6 = 2. Έτσι, το τελικό αποτέλεσμα της αφαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως 1/2 που είναι απλοποίηση 6/12.

Έτσι, για κλασματικούς αριθμούς που μπορούν ακόμα να απλοποιηθούν, είναι καλύτερο να γράψετε τους απλούς αριθμούς. Όσο για την απάντηση στην παραπάνω ερώτηση του παραδείγματος, η οποία είναι 1/12, δεν μπορεί πλέον να απλοποιηθεί.

Ανάγνωση: Κλασματική Διαίρεση

Πώς να αφαιρέσετε μικτά κλάσματα

Το μικτό κλάσμα είναι μια μορφή ακέραιου που έχει ένα κλάσμα, επομένως για να εκτελέσετε υπολογισμούς πρέπει να μετατρέψετε τον ακέραιο σε κλάσμα. Η μέθοδος υπολογισμού έχει ως εξής:

2 3/4 – 1 1/5 = ….

Από το πρόβλημα της αφαίρεσης μικτών κλασμάτων, πρέπει να ακολουθήσετε διάφορα βήματα ως εξής:

1. Μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα

Το πρώτο βήμα είναι η μετατροπή του μικτού αριθμού σε ακατάλληλο κλάσμα, όπου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Αυτό το κάνετε πολλαπλασιάζοντας τον παρονομαστή και τον ακέραιο και μετά προσθέτοντάς τον στον αριθμητή.

• 2 3/4 – 1 1/5
• 4 x 2 + 3 = 11/4
• 5 x 1 + 1 = 6/5

2. Εξισώστε τον παρονομαστή των δύο κλασμάτων αν χρειάζεται

Από το παραπάνω παράδειγμα της αφαίρεσης μικτών κλασμάτων, είναι γνωστό ότι τα δύο κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να εξισωθούν βρίσκοντας το LCM των δύο αριθμών.

• Το LCM του αριθμού 4 είναι 4, 8, 12, 16, 20.
• Το LCM του αριθμού 5 είναι 5, 10, 15, 20

1. Να κάνετε ισοδύναμα κλάσματα αν αλλάξετε τον παρονομαστή

Με βάση το KPK παραπάνω, είναι γνωστό ότι ο αριθμός 20 είναι το ίδιο LCM των δύο παρονομαστών, επομένως είναι απαραίτητο να γίνει ένα ισοδύναμο κλάσμα ως εξής:

• 11/4 x 5 = 55/20
• 6/5 x 4 = 24/20

3. Αφαιρέστε τον αριθμητή και των δύο κλασμάτων και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος

Εάν γνωρίζετε ήδη ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να αφαιρέσετε τον αριθμητή ως εξής:

55/20 – 24/20

= 31/20

4. Απλοποιήστε την απάντηση

Με βάση τους παραπάνω υπολογισμούς, διαπιστώθηκε ότι τα αποτελέσματα της μείωσης είναι τα εξής:

2 3/4 – 1 1/5

= 55/20 – 24/20

= 31/20

= 1 11/20

Άρα το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι 1 11/20, όπου 20 επί 1 θα έχει αποτέλεσμα κοντά στο 31, ενώ 11 είναι η διαφορά.

Μπορείτε επίσης να αφαιρέσετε μικτά κλάσματα χωρίς να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα, αφαιρώντας δηλαδή ακέραιους αριθμούς από το κλάσμα, εφόσον οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίδιοι. Άρα το να μπορούμε να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα σημαίνει ότι έχουμε τον ίδιο παρονομαστή.