Λογόριθμοι: Ιδιότητες, λογαριθμικές εξισώσεις, όροι, λόφοι, προβλήματα

Λογάριθμος είναι μια μαθηματική λειτουργία όπου αυτή η λειτουργία είναι η λειτουργία του αντίστροφου (ή αντίστροφου) του εκθέτη ή της δύναμης. Η βάση ή το κύριο σε αυτόν τον λογαριθμικό τύπο είναι γενικά με τη μορφή του γράμματος α.

Ή υπάρχει επίσης μια αναφορά εάν αυτός ο λογάριθμος είναι αντίστροφος ή αντίστροφος της δύναμης (εκθέτης) που χρησιμοποιείται στο προσδιορίστε τον εκθέτη ενός αριθμού βάσης.

Στα Αγγλικά, ο λογάριθμος ονομάζεται λογάριθμος.

Στην ουσία, μελετώντας λογάριθμους, μπορούμε να βρούμε τη δύναμη ενός αριθμού με έναν γνωστό εκθέτη.

Λογάριθμος

Αφού ξέρετε τι είναι ένας λογάριθμος, τότε πρέπει επίσης να γνωρίζετε τη γενική μορφή αυτού του λογάριθμου.

Εδώ είναι η γενική μορφή του λογάριθμου:

Η γενική μορφή του λογάριθμου:

Αν ένα^ν = x τότε ^έναlogx = n

Πληροφορίες:

a: είναι η βάση, η οποία έχει τις ακόλουθες προϋποθέσεις: a> 0 και 1.

x: είναι ο αριθμός που αναζητά ο αλγόριθμος (numerus), οι συνθήκες είναι: x> 1

n: είναι η δύναμη του λογάριθμου.

Τώρα είναι η ώρα να δείτε τα παραδείγματα παρακάτω για να κατανοήσετε καλύτερα την παραπάνω περιγραφή:

1. Όταν 3² = 9, τότε σε λογαριθμική μορφή θα αλλάξει σε ³log 9 = 2
2. Όταν 2³ = 8, τότε σε λογαριθμική μορφή θα αλλάξει σε ²log 8 = 3
3. Όταν 5³ = 125, τότε σε λογαριθμική μορφή θα αλλάξει σε ⁵log 125 = 3

Πώς είσαι; Τώρα αρχίζω να καταλαβαίνω σωστά?

Καλά, συνήθως εδώ, θα εξακολουθείτε να αντιμετωπίζετε συχνά σύγχυση στον καθορισμό του αριθμού που είναι η βάση και του αριθμού που είναι ο αριθμός.

Λογάριθμος είναι μια μαθηματική λειτουργία που είναι το αντίστροφο του εκθέτη ή της δύναμης.

Ο βασικός τύπος του λογάριθμου: β^ντο = a γράφεται ως ^σιlog a = c (b ονομάζεται βασικός λογάριθμος).

Δεν είναι?

Ηρεμήστε παιδιά, το κλειδί που πρέπει απλώς να θυμάστε είναι εάν αριθμός βάσης είναι βάση, βρίσκεται στην κορυφή πριν από το σύμβολο «log». Και αριθμόςαποτέλεσμα κατάταξης καλείται ως αριθμός, βρίσκεται στο κάτω μέρος μετά τη λέξη «log». Ανετα σωστά?

Λογαριθμικές εξισώσεις

Λογαριθμική εξίσωσηένα είναι μια εξίσωση στην οποία η μεταβλητή είναι η βάση του λογάριθμου.

Αυτός ο λογάριθμος μπορεί επίσης να οριστεί ως μια μαθηματική λειτουργία που είναι το αντίστροφο (ή αντίστροφο) του εκθέτη ή μιας δύναμης.

Παράδειγμα Αριθμός 

Εδώ θα δώσουμε μερικά παραδείγματα λογαριθμικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

Στη συνέχεια, οι λογάριθμοι έχουν επίσης κάποιες ιδιότητες Απαιτείται για να καταλάβεις, εδώ. Γιατί υποχρεωτικό;

Αυτό συμβαίνει επειδή αυτά τα χαρακτηριστικά θα γίνουν αργότερα η πρόβλεψή σας για την εύκολη αντιμετώπιση λογαριθμικών προβλημάτων.

Χωρίς να κατανοήσετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε σε προβλήματα λογάριθμου, ξέρεις!

Τότε, οτιδήποτε η κόλαση Ποιες είναι οι ιδιότητες του λογάριθμου; Ελα, σημειώστε τις παρακάτω κριτικές.

Λογαριθμικές ιδιότητες

Τα παρακάτω είναι μερικές από τις ιδιότητες των λογαρίθμων που πρέπει να κατανοήσετε, όπως:

Εκτός από ορισμένες από τις παραπάνω ιδιότητες, υπάρχουν επίσης ορισμένες ιδιότητες λογαριθμικών εξισώσεων, όπως:

Ιδιότητες λογαριθμικών εξισώσεων

Η λογαριθμική εξίσωση έχει επίσης ορισμένες ειδικές ιδιότητες, αυτές οι ιδιότητες έχουν ως εξής:

1. Λογαριθμικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού 

Η λογαριθμική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι αποτέλεσμα της προσθήκης δύο άλλων λογαρίθμων στους οποίους η τιμή των δύο αριθμών είναι ένας παράγοντας της αρχικής αριθμητικής τιμής.

^ένααρχεία καταγραφής σ. q = ^έναlog p + ^έναημερολόγιο q

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, συγκεκριμένα: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Λογαριθμικός πολλαπλασιασμός

Ο πολλαπλασιασμός των λογαρίθμων είναι μια ιδιότητα του λογάριθμου α που μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον λογάριθμο b εάν η αριθμητική τιμή του λογάριθμου α είναι ίση με τον βασικό αριθμό του λογάριθμου

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας νέος λογάριθμος με τον αριθμό βάσης ίσο με τον λογάριθμο a. Και έχει την ίδια αριθμητική τιμή με τον λογάριθμο b.

^ένακαταγραφή b x ^σιlogc = ^έναημερολόγιο γ

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, δηλαδή: a> 0, a \ ne 1.

3. Φύση διαίρεσης 

Η λογαριθμική ιδιότητα της διαίρεσης είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο άλλων λογαρίθμων όπου η τιμή των δύο αριθμών είναι ένα κλάσμα ή διαίρεση της αρχικής λογαριθμικής αριθμητικής τιμής.

^έναlog p / q: ^έναημερολόγιο p - ^έναημερολόγιο q

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, συγκεκριμένα: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Αντίστροφα συγκρίσιμα χαρακτηριστικά

Η αντίστροφα ανάλογη ιδιότητα λογάριθμου είναι μια ιδιότητα με άλλους λογάριθμους που έχουν τον βασικό αριθμό και τον αριθμό εναλλάξιμο.

^έναlogb = 1 /^σικαταγραφή a

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, δηλαδή: a> 0, a \ ne 1.

5. Αντίθετο σημάδι 

Η λογαριθμική ιδιότητα του αντίθετου σημείου είναι μια ιδιότητα με έναν λογάριθμο του οποίου ο αριθμός είναι ένα αντίστροφο κλάσμα της αρχικής λογαριθμικής αριθμητικής τιμής.

^έναlog p / q = - ^έναlog p / q

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, συγκεκριμένα: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Φύση των Δυνάμεων 

Η λογαριθμική ιδιότητα των εκθετών είναι μια ιδιότητα της οποίας η αριθμητική τιμή είναι εκθέτης. Και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως νέος λογάριθμος εκδίδοντας την ισχύ σε πολλαπλασιαστή.

^έναημερολόγιο β^Π = σ. ^έναημερολόγιο β

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το ένα χαρακτηριστικό, δηλαδή: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Δύναμη των λογαριθμικών κύριων αριθμών 

Η ισχύς μιας λογαριθμικής ισχύος ενός αριθμού βάσης είναι μια ιδιότητα όπου η τιμή του αριθμού βάσης είναι α εκθέτης (ισχύς) που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως νέος λογάριθμος αφαιρώντας την ισχύ σε έναν αριθμό διαιρών.

ένα^Πlogb = 1 / σελ^έναημερολόγιο β

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, δηλαδή: a> 0, a \ ne 1.

8. Λογαριθμικοί κύριοι αριθμοί συγκρίσιμοι με τις αριθμητικές δυνάμεις 

Η ιδιότητα ενός αριθμού βάσης που είναι ανάλογος με την ισχύ του αριθμού είναι μια ιδιότητα της οποίας η αριθμητική τιμή είναι α ο εκθέτης (ισχύς) της τιμής του αριθμού βάσης που έχει την ίδια τιμή αποτελέσματος με την τιμή της ισχύος του αριθμού ότι.

^ένακαταγραφή a^Π = σ

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, συγκεκριμένα: a> 0 και a \ ne 1.

9. Τάξη 

Η ισχύς των λογαρίθμων είναι μία από τις ιδιότητες των αριθμών των οποίων οι δυνάμεις έχουν τη μορφή λογαρίθμων. Το αποτέλεσμα της τιμής ισχύος είναι η τιμή από την οποία ο αριθμός προέρχεται από τον λογάριθμο.

ένα ^έναlog m = m

Υπάρχουν πολλές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, δηλαδή: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Αλλαγή της λογαριθμικής βάσης 

Η φύση της αλλαγής της βάσης αυτού του λογάριθμου μπορεί επίσης να αναλυθεί σε σύγκριση δύο λογάριθμων.

^Πlog q = ^ένααρχείο καταγραφής p /^ένα ημερολόγιο q

Υπάρχουν αρκετές προϋποθέσεις για αυτό το χαρακτηριστικό, συγκεκριμένα: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Τύπος λογαριθμικής εξίσωσης

Με βάση την παραπάνω περιγραφή, ο λογάριθμος είναι μια μαθηματική πράξη η οποία είναι αντίστροφη του εκθέτη ή της δύναμης.

Ένα παράδειγμα του λογάριθμου της εκθετικής μορφής μεταξύ του lian: a^σι = c εάν εκφράζεται σε λογαριθμική σημείωση θα είναι ^έναlogc = β.

Η δήλωση έχει ως εξής:

• a είναι ο αριθμός βάσης ή βάσης.
• b είναι το αποτέλεσμα ή το εύρος των λογαρίθμων.
• c είναι ο αριθμός ή ο τομέας του λογάριθμου.

Με σημειώσεις:

Είναι απαραίτητο να καταλάβετε, προτού συζητήσουμε περαιτέρω σχετικά με τον τύπο του λογάριθμου, εάν υπάρχει γραφή ^έναlog b σημαίνει το ίδιο με το log_ένα σι.

Ο τύπος για τη λογαριθμική εξίσωση, μεταξύ άλλων, είναι:

Τύπος λογαριθμικής εξίσωσης:

Αν έχουμε ^έναlogf (x) = ^έναlog g (x) και μετά f (x) = g (x).
Με ορισμένες συνθήκες όπως: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Λογαριθμικές ανισότητες:

Εάν έχουμε log f (x)> ^έναlog g (x) τότε έχουμε δύο καταστάσεις, δηλαδή:

Πρώτον, όταν a> 0 σημαίνει: f (x)> g (x)
Δεύτερον, ώρα 0

Δείγμα ερωτήσεων και συζήτησης

Στη συνέχεια, θα παράσχουμε μερικά παραδείγματα ερωτήσεων καθώς και τη συζήτησή τους. Ακούστε προσεκτικά, ναι.

Δείγμα Ερωτήσεων 1-3

1. ²καταγραφές 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Όταν είναι γνωστό ²log 8 = m και ²log 7 = n και, στη συνέχεια, βρείτε την τιμή του ¹⁶καταγραφές 14!

Απάντηση:

Πρόβλημα 1.

Το πρώτο βήμα που πρέπει να κάνουμε είναι ο έλεγχος η βάση.

Οι δύο εξισώσεις του λογάριθμου παραπάνω, προφανώς έχουν την ίδια βασική τιμή, που είναι 2.

Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη ιδιότητα του λογάριθμου για να βρούμε το αποτέλεσμα.

έτσι ώστε, ²καταγραφές 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²αρχεία καταγραφής 32 = 5. Θυμάμαι! Ο σκοπός του λογάριθμου είναι να βρει τη δύναμη.

Λοιπόν, τι 2 με τη δύναμη των 32; Η απάντηση δεν είναι άλλη από 5. Εύκολο δεν είναι;

Ερώτηση 2.

Ας προχωρήσουμε στην ερώτηση αριθ. 2.

Στην ερώτηση αριθ. 2, δεν μπορούμε να το κάνουμε αμέσως, γιατί σίγουρα θα αντιμετωπίσετε σύγχυση στην εύρεση της αξίας της ισχύος 8 που οδηγεί σε 32. Τότε πώς?

Εάν εξετάσουμε το πρόβλημα πιο προσεκτικά, το 8 είναι το αποτέλεσμα της ισχύος του 2³ και επίσης 32 που είναι το αποτέλεσμα της ισχύος του 2⁵.

Επομένως, η λογαριθμική φόρμα μπορεί να αλλάξει σε:

⁸log 32 = ²³ημερολόγιο 2

= 5/3 ²log 2 (χρησιμοποιήστε τον αριθμό ιδιοκτησίας 6)

= 5/3(1) = 5/3

Πρόβλημα 3.

Πως είστε παιδιά? Έχετε αρχίσει να είστε ενθουσιασμένοι ακόμα;

Καλά, στη συζήτηση του ερωτήματος νούμερο 3 αυτό θα σας κάνει να ενθουσιαστείτε ακόμη περισσότερο!

Πρέπει να γνωρίζετε ότι το μοντέλο από την ερώτηση αριθ. 3 θα βρεθεί συχνά σε ερωτήσεις εθνικών εξετάσεων ή ερωτήσεις επιλογής πανεπιστημίου ξέρεις.

Με την πρώτη ματιά φαίνεται αρκετά περίπλοκο, ναι, αλλά αν έχετε ήδη καταλάβει την ιδέα, αυτό το πρόβλημα θα είναι πολύ εύκολο να γίνει.

Εάν βρείτε ένα τέτοιο πρόβλημα, μπορείτε να βρείτε την αξία του χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική ιδιότητα του αριθμού 4.

Έτσι, η διαδικασία θα είναι:

²log 8 = m και ²log 7 = n, ¹⁶αρχεία καταγραφής 14;

¹⁶log 14 = ²ημερολόγιο 14 / ²ημερολόγιο 16

Σημείωση:

Για να επιλέξετε ποια βάση, μπορούμε να δούμε απευθείας τον αριθμό που εμφανίζεται πιο συχνά στο πρόβλημα. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι ο αριθμός 2 εμφανίζεται 2 φορές, 8 έως 1 φορά και 7 έως 1 φορά.

Ο αριθμός που εμφανίζεται περισσότερο δεν είναι άλλος από 2, οπότε επιλέγουμε το 2 ως βάση. Το έπιασα?

= ²κορμοί (7 x 2) / ²κορμοί (8 x 2)

Μετά εμείς περιγράψτε τον αριθμό.

Ας προσπαθήσουμε να το αλλάξουμε στη φόρμα που υπάρχει ήδη στο πρόβλημα. Τι εννοείς?

εδώ παιδιά, σχετικά με τη γνωστή ερώτηση ²log 8 και επίσης ²κορμοί 7. Δεδομένου ότι οι αριθμοί είναι και οι 8 και 7, χωρίζουμε 14 σε 7 × 2 και 16 σε 8 × 2, ώστε να μπορούμε να δούμε το τελικό αποτέλεσμα.

= ²log 7 + ²ημερολόγιο 2 / ²log 8 + ²log 2 (χρησιμοποιήστε τον αριθμό ιδιοκτησίας 2)

= n + 1 / m + 1

Ένα άλλο παράδειγμα ερώτησης.

Πρόβλημα 1. (EBTANAS '98)

Είναι γνωστό ³log 5 = x και ³log 7 = y. Υπολογίστε την τιμή του ³αρχεία καταγραφής 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Απάντηση:

³αρχεία καταγραφής 245 ^½ = ³κορμοί (5 x 49) ^½

³αρχεία καταγραφής 245 ^½ = ³κορμοί ((5) ^½ x (49) ^½)

³αρχεία καταγραφής 245 ^½ = ³κορμοί (5) ^½ + ³κορμοί (7)²) ^½

³αρχεία καταγραφής 245 ^½ = ½( ³log 5 + ³κορμοί 7)

³αρχεία καταγραφής 245 ^½ = (x + ε)

Έτσι, η αξία του ³αρχεία καταγραφής 245 ^½ δηλ. (x + y).

Ερώτηση 2. (UMPTN '97)

Εάν b = a⁴, οι τιμές των a και b είναι θετικές, τότε η τιμή του ^έναημερολόγιο β - ^σιlog a ie…;

Απάντηση:

Είναι γνωστό εάν b = a⁴, τότε μπορούμε να το αντικαταστήσουμε στον υπολογισμό ως εξής:

^έναημερολόγιο β - ^σιΛόγκα = ^ένακαταγραφή a⁴ - ένα⁴ καταγραφή a

^έναημερολόγιο β - ^σιΛόγκα = 4 (^έναloga) - 1/4 ( ^ένακαταγραφές α)

^έναημερολόγιο β - ^σιloga = 4 - 1/4

^έναημερολόγιο β - ^σιloga = 3^3/4

Έτσι, η αξία του ^έναημερολόγιο β - ^σιlog a στην ερώτηση ο αριθμός 2 είναι 3^3/4.

Πρόβλημα 3. (UMPTN '97)

Αν ^ένακορμοί (1- ³log 1/27) = 2 και, στη συνέχεια, υπολογίστε την τιμή του a.

Απάντηση:

Εάν κάνουμε την τιμή 2 σε λογάριθμο όπου ο αριθμός βάσης του λογάριθμου είναι ένα ^ένακαταγραφή a²= 2, τότε παίρνουμε:

^ένακορμοί (1- ³log 1/27) = 2

^ένακορμοί (1- ³αρχεία καταγραφής 1/27) = ^ένακαταγραφή a²

Η αριθμητική τιμή των δύο λογαρίθμων μπορεί να είναι μια εξίσωση, δηλαδή:

1- ³log 1/27 = α²

³κορμοί 3 - ³log 1/27 = α²

³κορμοί 3 - ³ημερολόγιο 3^(-3) = α²

³αρχεία καταγραφής 3/3^-3 = α²

³ημερολόγιο 3⁴ = α²

4 = α²

Λάβουμε λοιπόν την τιμή a = 2.

Πρόβλημα 4.

Εάν είναι γνωστό ότι 2log 8 = a και 2log 4 = b. Στη συνέχεια, υπολογίστε την τιμή του 6log 14

ένα. 1 /2
σι. (1+2) / (2+1)
ντο. (α + 1) / (β + 2)
ρε. (1 + α) / (1 + β)

Απάντηση:

Για 2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = α
= log 8 = ένα log 2

Για 2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Έτσι, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (αρχείο καταγραφής 2.8) / (αρχείο καταγραφής 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + α) / (1 + β)

Έτσι, η τιμή του 6 log 14 στο παραπάνω παράδειγμα είναι (1 + a) / (1 + b). (ΡΕ)

Ερώτηση 5.

Η τιμή του (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) είναι;

ένα. 2
σι. 1
ντο. 4
ρε. 5

Απάντηση:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3 ημερολόγια (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Έτσι, η τιμή των 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 είναι 1. (ΣΙ)

Ερώτηση 6.

Υπολογίστε την τιμή στο πρόβλημα λογάριθμου παρακάτω:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Απάντηση:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 με ισχύ 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Έτσι, η τιμή κάθε παραπάνω λογάριθμου προβλήματος είναι 5 και 4.

Ερώτηση 7.

Υπολογίστε την τιμή στο πρόβλημα λογάριθμου παρακάτω:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 log 25 x 5log 3 x 3log 32

Απάντηση:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3 ημερολόγια 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Έτσι, η τιμή της παραπάνω ερώτησης είναι 6 και 10.

Ερώτηση 8.

Υπολογίστε την τιμή του log 25 + log 5 + log 80 είναι ...

Απάντηση:

log 25 + log 5 + log 80
= log (25 x 5 x 80)
= αρχεία καταγραφής 10000
= ημερολόγιο 104
= 4

Πρόβλημα 9.

Είναι γνωστό ότι log 3 = 0,332 και log 2 = 0,225. Στη συνέχεια, το αρχείο καταγραφής 18 της ερώτησης είναι….

ένα. 0,889
σι. 0,556
ντο. 0,677
ρε. 0,876

Απάντηση:

Γνωστός:

• Log 3 = 0,332
• Log 2 = 0,225

Ερωτηθείς:

• log 18 =….;

Απάντηση:

Αρχεία καταγραφής 18 = αρχεία καταγραφής 9. ημερολόγιο 2
Log 18 = (log 3.log 3). ημερολόγιο 2
Κούτσουρα 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Log 18 = 0,664 + 0,225
Log 18 = 0,889

Έτσι, η τιμή του log 18 στην παραπάνω ερώτηση είναι 0,889. (ΕΝΑ)

Ερώτηση 10.

Μετατρέψτε τους ακόλουθους εκθέτες σε λογαριθμική μορφή:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Απάντηση:

* Μεταμορφώστε τους εκθέτες σε λογαριθμική μορφή ως εξής:

Εάν η τιμή του ba = c, τότε η τιμή για το blog c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Έτσι, μια σύντομη ανασκόπηση αυτή τη φορά που μπορούμε να μεταφέρουμε. Ας ελπίσουμε ότι η παραπάνω κριτική μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως υλικό μελέτης.