Μία μεταβλητή γραμμική ανισότητα

Μία μεταβλητή γραμμική ανισότητα- Μία μεταβλητή γραμμική ανισότητα είναι μια ανοιχτή πρόταση που έχει μόνο μία μεταβλητή και έχει έναν βαθμό και περιέχει μια σχέση ( > ή < ).

Για παράδειγμα, δείτε μερικές προτάσεις όπως η παρακάτω:

1. Χ> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3β > β + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Μερικές από τις παραπάνω ανοιχτές προτάσεις χρησιμοποιούν παύλες όπως , > ή <. Αυτό δείχνει ότι η πρόταση είναι ανισότητα.

Κάθε μία από αυτές τις ανισότητες έχει μόνο μία μεταβλητή, δηλαδή x, a και n. Αυτή η ανισότητα ονομάζεται ανισότητα μιας μεταβλητής. Η μεταβλητή (μεταβλητή) της παραπάνω ανισότητας με την ισχύ ενός ή επίσης αναφέρεται ως βαθμός 1 ονομάζεται γραμμική ανισότητα.

Μία μεταβλητή γραμμική ανισότητα είναι μια ανοιχτή πρόταση που έχει μόνο μία μεταβλητή και έναν βαθμό και υπάρχει σχέση ( ή £).

Η γενική μορφή του PtLSV σε μια μεταβλητή μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

ax + b <0, ax + b> 0 ή ax + b > 0, ή ax + b < 0, με ένα < 0, a και b είναι πραγματικοί αριθμοί.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα PtLSV που χρησιμοποιούν τη μεταβλητή x, όπως:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Ιδιότητες μιας μεταβλητής γραμμικής ανισότητας

Παρόμοιο με αυτό σε μια γραμμική εξίσωση μίας μεταβλητής, η εξεύρεση λύσης για μια γραμμική ανισότητα μίας μεταβλητής μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υποκατάστασης.

Ωστόσο, μπορείτε επίσης να το κάνετε αφαιρώντας, προσθέτοντας, πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας με τον ίδιο αριθμό.

Ανισότητα στα μαθηματικά είναι μια πρόταση ή μια μαθηματική δήλωση που δείχνει μια σύγκριση των μεγεθών δύο ή περισσότερων αντικειμένων.

Όπως στη γραμμική ανισότητα A

Η ανισότητα A

1. A + C
2. Α - Γ
3. A x C 0 για όλα τα x
4. A x C> B x C, εάν C <0 για όλα τα x
5. A / C 0 για όλα τα x
6. A / C> B / C, εάν C <0 για όλα τα x

Πρέπει να σημειώσετε ότι ορισμένες από τις παραπάνω ιδιότητες ισχύουν και για το σύμβολο ">" ή "<”.

Παραδείγματα ερωτήσεων PtLSV και πώς να τις λύσετε

Παρακάτω θα δώσουμε ένα παράδειγμα ενός προβλήματος, καθώς και τον τρόπο επίλυσής του και επίσης την απάντηση σε ένα πρόβλημα γραμμικής ανισότητας μιας μεταβλητής. Εδώ είναι η πλήρης κριτική.

1. Μία μεταβλητή προσθήκη και αφαίρεση γραμμικής ανισότητας (PtLSV)

Σημειώστε τις ανισότητες παρακάτω:

x + 3 <8, όπου το x είναι μια μεταβλητή από έναν ακέραιο.

Για:

x = 1, έτσι 1 + 3 <8, είναι αλήθεια
x = 2, έτσι 2 + 3 <8, είναι αλήθεια
x = 3, έτσι 3 + 3 <8, είναι αλήθεια
x = 4, έτσι 4 + 3 <8, είναι ψευδές

Αντικαθιστώντας το x για 1,2 και 3 έτσι ώστε η ανισότητα x + 3 <8 να ισχύει, ονομάζεται λύση για την ανισότητα.

2. Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση μιας μεταβλητής γραμμικής ανισότητας (PtLSV)

Ρίξτε μια ματιά στις ακόλουθες ανισότητες:

Για φυσικούς αριθμούς x λιγότερους από 10, η λύση είναι x = 7, x = 8 ή x = 9

Με βάση την παραπάνω περιγραφή, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

 "Κάθε ανισότητα παραμένει ισοδύναμη, με το σημάδι της ανισότητας να παραμένει αμετάβλητο, παρόλο που και οι δύο πλευρές πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο θετικό αριθμό"

Παράδειγμα προβλημάτων:

Τώρα εξετάστε τις ακόλουθες ανισότητες:

ένα. –X> - 5, όπου το x είναι ένας φυσικός αριθμός μικρότερος από 8. Αντικαταστήστε το x που ικανοποιεί x = 1, x = 2, x = 3 ή x = 4.

Ένας άλλος τρόπος για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος ανισότητας είναι να πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές με τον ίδιο αρνητικό αριθμό.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (και οι δύο πλευρές πολλαπλασιάζονται επί –1 και το σύμβολο ανισότητας παραμένει)

x> 5

Η λύση είναι με x = 6 ή x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) σε

x <5

Η λύση είναι x = 1, x = 2, x = 3 ή x = 4.

Βάσει αυτής της λύσης, αποδεικνύεται ότι οι ανισότητες που έχουν την ίδια λύση είναι:

–X> –5 και –1 (–x)

έτσι, –x> –5 <=> –1 (–x)

σι. –4χ <–8, όπου το x είναι ένας φυσικός αριθμός μικρότερος από 4. Ένα κατάλληλο υποκατάστατο του x είναι x = 2 ή x = 3. Έτσι, η λύση είναι x = 2 ή x = 3.

Με βάση την παραπάνω εξήγηση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

"Ανισότητα όταν και οι δύο πλευρές πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε το σημάδι της ανισότητας αλλάζει"

Παράδειγμα:

3. Σχετικά με την ιστορία 

Ερώτηση 1.

Το άθροισμα των δύο αριθμών δεν είναι μεγαλύτερο από 120. Εάν ο δεύτερος αριθμός είναι 10 μεγαλύτερος από τον πρώτο αριθμό, τότε καθορίστε την οριακή τιμή για τον πρώτο αριθμό.

Απάντηση:

Από το παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να δούμε ότι υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες. Αυτός είναι ο πρώτος αριθμός και επίσης ο δεύτερος αριθμός.

Στη συνέχεια, θα κάνουμε αυτές τις δύο ποσότητες ως μεταβλητή.

Για παράδειγμα:

Καλούμε τον πρώτο αριθμό x, ενώ 

Καλούμε τον δεύτερο αριθμό y.

Από αυτό το πρόβλημα γνωρίζουμε επίσης ότι ο δεύτερος αριθμός είναι "10 περισσότερο από τον πρώτο αριθμό", τότε θα ισχύει η ακόλουθη σχέση:

y = x + 10

Στο πρόβλημα είναι επίσης γνωστό ότι το άθροισμα των δύο αριθμών είναι "όχι περισσότερο" από 120.

Η πρόταση "όχι περισσότερο" αποτελεί ένδειξη ότι η ανισότητα είναι μικρότερη από ίση (≤). Έτσι, η μορφή ανισότητας που αντιστοιχεί στο πρόβλημα είναι ότι η ανισότητα είναι μικρότερη από ίση με.

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τις ανισότητες έτσι:

⇒ x + ε ≤ 120

Επειδή y = x + 10, έτσι η ανισότητα γίνεται:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2χ ≤ 110

⇒ Χ ≤ 55

έτσι ώστε, η οριακή τιμή για τον πρώτο αριθμό δεν είναι μεγαλύτερη από 55.

Ερώτηση ιστορίας 2.

Ένα μοντέλο πλαισίου δοκού από σύρμα με μήκος (x + 5) cm, πλάτος (x) – 2) cm και ύψος x cm.

• Προσδιορίστε το μαθηματικό μοντέλο της απαιτούμενης εξίσωσης μήκους καλωδίου σε x.
• Εάν το μήκος του χρησιμοποιούμενου σύρματος δεν υπερβαίνει τα 132 cm, τότε καθορίστε το μέγεθος της μέγιστης τιμής της δέσμης.

Απάντηση:

Για να είναι ευκολότερο για εμάς να κατανοήσουμε το παραπάνω πρόβλημα και, στη συνέχεια, εξετάστε την απεικόνιση του παρακάτω μπλοκ:

• Προσδιορίστε το μαθηματικό μοντέλο του παραπάνω προβλήματος.

Για παράδειγμα, το Κ αντιπροσωπεύει το συνολικό μήκος του σύρματος που απαιτείται για την κατασκευή του πλαισίου της δέσμης, και στη συνέχεια το συνολικό μήκος του καλωδίου που απαιτείται είναι το άθροισμα όλων των άκρων.

Έτσι, το μήκος του Κ έχει ως εξής.

K = 4p (μήκος) + 4l (πλάτος) + 4t (ύψος)

Κ = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4χ

Κ = 4x + 20 + 4x – 8 + 4χ

Κ = 12x + 12

Λοιπόν, έχουμε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος της ιστορίας νούμερο δύο για το συνολικό μήκος του καλωδίου, που είναι K = 12x + 12.

• Προσδιορίστε το μέγιστο μέγεθος του μπλοκ από το παραπάνω πρόβλημα.

Το μήκος του σύρματος δεν πρέπει να υπερβαίνει το μήκος των 132 cm, οπότε μπορούμε να γράψουμε το μοντέλο ανισότητας ως εξής:

κ ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Στη συνέχεια, επιλύουμε τη γραμμική ανισότητα μιας μεταβλητής χρησιμοποιώντας μια λύση όπως η ακόλουθη:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12χ ≤ 132 – 12

⇒ 12χ ≤ 120

⇒ Χ ≤ 10

Από τη λύση x ≤ 10, τότε η μέγιστη τιμή του x είναι 10. Έτσι, το μέγεθος της δέσμης για το μήκος, το πλάτος και το ύψος έχει ως εξής:

Μήκος = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 εκ

Πλάτος = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 εκ

Ύψος = x ⇔ 10 εκ

Έτσι έχουμε το μέγιστο για το μπλοκ είναι (15 × 8 × 10) cm.

Ερωτήσεις ιστορίας 3.

Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι μικρότερο από 80. Ο δεύτερος αριθμός είναι τρεις φορές ο πρώτος αριθμός.

Προσδιορίστε τα όρια των δύο αριθμών.

Απάντηση:

Ας υποθέσουμε ότι καλούμε τον πρώτο αριθμό ως x, τότε ο δεύτερος αριθμός είναι ίσος με 3x.

Το άθροισμα αυτών των δύο αριθμών είναι μικρότερο από 80. Επομένως, το μαθηματικό μοντέλο έχει ως εξής:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Η λύση για αυτό το μαθηματικό μοντέλο είναι 4x <80 ⇔ x <20.

Επομένως, το όριο του πρώτου αριθμού δεν είναι μεγαλύτερο από 20, ενώ ο δεύτερος αριθμός δεν υπερβαίνει τους 60.

Ερωτήσεις ιστορίας 4.

Η επιφάνεια ενός ορθογώνιου τραπεζιού έχει μήκος 16 x cm και πλάτος 10 x cm.

Εάν η περιοχή δεν είναι μικρότερη από 40 dm2και, στη συνέχεια, καθορίστε το ελάχιστο μέγεθος της επιφάνειας του τραπεζιού.

Απάντηση:

Το μήκος της επιφάνειας του τραπεζιού είναι:

• (p) = 16χ
• πλάτος (l) = 10 x
• περιοχή = Λ.

Το μαθηματικό μοντέλο της περιοχής του ορθογωνίου έχει ως εξής:

L = p × l

L = 16x × 10χ

L = 160χ2

Από το πρόβλημα αναφέρεται ότι η περιοχή δεν είναι μικρότερη από 40 dm2 = 4.000 εκ2 έτσι μπορούμε να γράψουμε την ανισότητα ως εξής:

L = 160χ2≥ 4.000

160χ2≥ 4.000

Στη συνέχεια, επιλύουμε την ανισότητα, με την ακόλουθη λύση:

160χ2≥ 4.000

⇒ Χ2≥ 25

⇒ Χ ≥ ±5

Επειδή το μέγεθος δεν μπορεί να είναι αρνητικό, τότε η ελάχιστη τιμή για x = 5 cm, οπότε έχουμε:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Έτσι, το ελάχιστο μέγεθος της επιφάνειας του τραπεζιού είναι (80 × 50) cm.

Ερωτήσεις ιστορίας 5.

Ένα ποδήλατο ταξιδεύει σε δρόμο με την εξίσωση s (t) = t2– 10t + 39.

Εάν το x είναι σε μέτρα και το t είναι σε δευτερόλεπτα, προσδιορίστε το χρονικό διάστημα έτσι ώστε το ποδήλατο να έχει διανύσει τουλάχιστον 15 μέτρα.

Απάντηση:

Το ποδήλατο μπορεί να καλύψει απόσταση τουλάχιστον 15 μέτρων, που σημαίνει s (t) ≥ 15.

Έτσι, το μαθηματικό μοντέλο είναι t2– 10t + 39 ≥ 15. Μπορούμε να λύσουμε αυτό το μοντέλο με τον ακόλουθο τρόπο:

τ2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ τ2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ τ2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (τ – 6) (τ – 4) ≥ 0

⇒ τ ≤ 4 ή t ≥ 6

Έτσι, το χρονικό διάστημα για το ποδήλατο να έχει καλύψει απόσταση τουλάχιστον 15 μέτρων είναι t ≤ 4 δευτερόλεπτα ή t ≥ 6 δευτερόλεπτα.

Ερωτήσεις ιστορίας 6.

Ο κ. Irvan έχει ένα κουτί που μεταφέρει εμπορεύματα με χωρητικότητα όχι μεγαλύτερη από 500 κιλά.

Το βάρος του Pak Irvan είναι 60 κιλά και θα μεταφέρει κουτιά εμπορευμάτων τα οποία κάθε κιβώτιο ζυγίζει 20 κιλά. Επειτα:

• Προσδιορίστε τον μέγιστο αριθμό κουτιών που μπορούν να μεταφερθούν από τον κ. Irvan σε μία μεταφορά!
• Εάν ο κ. Irvan πρόκειται να μεταφέρει 115 πόλεις, τουλάχιστον πόσες φορές θα μπορέσουν να μεταφερθούν όλα τα κουτιά;

Απάντηση:

Από το πρόβλημα έχουμε διάφορα μαθηματικά μοντέλα ως εξής:

1. Για παράδειγμα, το x αντιπροσωπεύει τον αριθμό των πόλεων που ένα αυτοκίνητο μπορεί να μεταφέρει μονόδρομα.
2. Κάθε κουτί ζυγίζει 20 κιλά, έτσι x κουτιά ζυγίζει 20x κιλά.
3. Το συνολικό βάρος μονόδρομος είναι το βάρος του κουτιού συν το βάρος του κ. Irvan που είναι 20x + 60.
4. Η ικανότητα μεταφοράς του αυτοκινήτου δεν είναι μεγαλύτερη από, τότε χρησιμοποιούμε την πινακίδα "≤”.
5. Η φέρουσα ικανότητα δεν είναι μεγαλύτερη από 500 κιλά, έτσι από τη διάταξη (3) έχουμε το ακόλουθο μοντέλο ανισότητας =
   20x + 60 ≤ 500

• Καθορίζει τον μέγιστο αριθμό κουτιών που μπορούν να μεταφερθούν με μία κίνηση.

Ο προσδιορισμός του αριθμού των τετραγώνων είναι ο ίδιος με τον προσδιορισμό της τιμής του x, δηλαδή με την επίλυση των ανισοτήτων παρακάτω:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20χ ≤ 500 – 60

⇒ 20χ ≤ 440

⇒ Χ ≤ 22

Από αυτήν τη λύση, λαμβάνουμε τη μέγιστη τιμή του x που είναι 22. Έτσι, κάθε φορά που το κουτί αυτοκινήτου μπορεί να μεταφέρει έως και 22 κουτιά.