Γραμμές και γωνίες: Υλικά της τάξης 7, προβλήματα και συζήτηση

Οι γραμμές και οι γωνίες είναι ένα από τα υλικά στα μαθηματικά που θα μάθουμε στην 7η τάξη του Γυμνασίου. Λοιπόν, αυτή τη φορά θα μάθουμε διάφορα πράγματα που σχετίζονται με γραμμές και γωνίες.

Ξεκινώντας από τη σχέση μεταξύ δύο γραμμών, τους τύπους γωνιών, τις ιδιότητες των γωνιών, καθώς και τις μονάδες που χρησιμοποιούνται για τις γωνίες.

Διαβάστε πιο προσεκτικά τις ακόλουθες κριτικές.

Γραμμή

Μια γραμμή είναι μια διάταξη κουκκίδων (μπορεί να είναι άπειρη) που βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο και παρατάσσονται κατά μήκος κατά δύο κατευθύνσεις (δεξιά / αριστερά, πάνω / κάτω).

Θέση δύο γραμμών

Παράλληλη γραμμή

Δύο παράλληλες γραμμές Δηλαδή, εάν η γραμμή είναι σε επίπεδο και δεν θα συναντηθεί ποτέ ή δεν τέμνει εάν η γραμμή επεκταθεί στο άπειρο.

Το σύμβολο για παράλληλες γραμμές είναι (//)

Δύο γραμμές λέγεται ότι είναι παράλληλες εάν οι δύο γραμμές βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή οι επεκτάσεις τους δεν θα τέμνονται ποτέ.

Όσον αφορά ορισμένες από τις ιδιότητες των παράλληλων γραμμών, μεταξύ άλλων:

• Περνώντας ένα σημείο έξω από τη γραμμή, μπορεί να γίνει ακριβώς μια άλλη γραμμή που είναι παράλληλη με τη γραμμή.
• Εάν υπάρχει μια γραμμή που τέμνει μία από τις δύο παράλληλες γραμμές, τότε η γραμμή θα τέμνει τη δεύτερη γραμμή.
• Εάν μια γραμμή είναι παράλληλη με μια άλλη γραμμή, τότε οι δύο γραμμές θα είναι παράλληλες μεταξύ τους

Διατομές γραμμών

Δύο γραμμές θα ονομάζονται τεμνόμενες εάν οι δύο γραμμές έχουν ένα σημείο τομής ή συνήθως ονομάζονται ένα κοινό σημείο.

αλληλεπικάλυψη γραμμής

Λέγεται ότι δύο γραμμές συμπίπτουν εάν έχουν τουλάχιστον δύο σημεία τομής.

Για παράδειγμα: η ώρα που δείχνει 12 η ώρα. Τότε τα δύο χέρια ρολογιού θα συμπίπτουν μεταξύ τους.

Διασταυρούμενες γραμμές

Μπορούν να ειπωθούν δύο γραμμές ότι διασταυρώνονται μεταξύ τους εάν οι δύο γραμμές δεν είναι παράλληλες και δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Για να κατανοήσετε τις διάφορες θέσεις των παραπάνω γραμμών, δείτε την παρακάτω εικόνα:

Γωνία

Η γωνία είναι κάτι που σχηματίζεται από τη συνάντηση δύο ακτίνων ή δύο ευθειών.

Αυτή η γωνία είναι μια περιοχή που σχηματίζεται από μια ακτίνα που περιστρέφεται στη βάση της ακτίνας. Οι γωνίες συμβολίζονται με το σύμβολο "∠".

Ορισμός της γωνίας

Στα μαθηματικά, μια γωνία μπορεί να οριστεί ως μια περιοχή που σχηματίζεται από την παρουσία δύο ακτίνων των οποίων τα σημεία εκκίνησης είναι συμμαχικά ή συμπίπτουν.

Γωνία Στη γεωμετρία, είναι ένα μέτρο της περιστροφής ενός τμήματος γραμμής από το ένα σημείο εκκίνησης στο άλλο.

Επιπλέον, σε κανονικό δισδιάστατο σχήμα, μια γωνία μπορεί επίσης να οριστεί ως ο χώρος μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών γραμμών. -sc: wikipedia

Μέρη υπό γωνία

Οι γωνίες έχουν τρία σημαντικά μέρη, όπως:

Γωνιακό πόδι

Αυτή είναι η γραμμή των ακτίνων που συνθέτουν τη γωνία.

Γωνιακό σημείο

Είναι το σημείο εκκίνησης ή το σημείο τομής όπου συμπίπτει η γραμμή των ακτίνων.

Γωνιακή περιοχή

Η περιοχή ή το διάστημα μεταξύ των δύο ποδιών μιας γωνίας.

Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε την ακόλουθη εικόνα:

Τύποι γωνιών

Για να εκφράσουμε το μέγεθος μιας γωνίας, χρησιμοποιούμε μοίρες (°), λεπτά (‘) και επίσης δευτερόλεπτα (“), όπου:

Θέση δύο γραμμών

Εδώ είναι οι θέσεις των δύο γραμμών, μεταξύ άλλων:

• Δύο ή περισσότερες γραμμές λέγεται ότι είναι παράλληλες εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν θα συναντηθούν ποτέ ούτε θα τέμνονται αν η γραμμή επεκταθεί στο άπειρο πεπερασμένος.
• Λέγεται ότι δύο γραμμές τέμνονται αν βρίσκονται σε επίπεδο και έχουν ένα σημείο τομής.
• Λέγεται ότι δύο γραμμές συμπίπτουν μεταξύ τους εάν η γραμμή είναι σε ευθεία γραμμή, έτσι ώστε να φαίνεται μόνο μία ευθεία γραμμή.
• Δύο γραμμές λέγεται ότι τέμνουν εάν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν θα τέμνονται εάν είναι εκτεταμένες.

Σχέση μεταξύ γωνιών

Τετράγωνη γωνία

Εάν υπάρχουν δύο γωνίες που συμπίπτουν και σχηματίζουν ορθή γωνία, τότε θα είναι μία γωνία μια συμπληρωματική γωνία για τις άλλες γωνίες έτσι ώστε οι δύο γωνίες να ονομάζονται συμπληρωματικές γωνίες (συμπλήρωμα).

Εδώ είναι μια εικόνα για τη γωνιακή γωνία:

Το άθροισμα των δύο συμπληρωματικών γωνιών είναι 90 °. Η μία γωνία είναι το συμπλήρωμα της άλλης γωνίας.

Ευθεία γωνία

Εάν υπάρχουν δύο γωνίες που συμπίπτουν μεταξύ τους και σχηματίζουν ευθεία γωνία, τότε μια γωνία θα είναι συμπληρωματική γωνία για την άλλη γωνία. Έτσι, οι δύο γωνίες μπορούν να κληθούν ως συμπληρωματικές γωνίες.

Εδώ είναι μια εικόνα για τις ευθείες γωνίες:

Το άθροισμα των δύο συμπληρωματικών γωνιών είναι 180 °. Η μία γωνία είναι το συμπλήρωμα της άλλης γωνίας.

Σχέση μεταξύ των γωνιών όταν οι δύο γραμμές είναι παράλληλες

Κόψτε κατά άλλη γραμμή

Ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω εικόνα:

Αντίθετη γωνία (ίδιο μέγεθος)

Είναι μια γωνία που έχει την ίδια θέση και το ίδιο μέγεθος. Στην παραπάνω εικόνα, οι αντίθετες γωνίες είναι:

Α = Ε
Β = ΣΤ
C = Ζ
Δ = Η

Αντίθετες εσωτερικές γωνίες (ίδιο μέγεθος)

Είναι μια γωνία που είναι στο εσωτερικό και η θέση του είναι απέναντι από το άλλο. Στην παραπάνω εικόνα, οι αντίθετες εσωτερικές γωνίες είναι:

C = Ε
Δ = ΣΤ

Απέναντι από εξωτερικές γωνίες (ίδιο μέγεθος)

Είναι μια γωνία που βρίσκεται στο εξωτερικό και είναι απέναντι από το άλλο, για παράδειγμα:

Α = Ζ
Β = Η

Αντίθετες και αντίθετες γωνίες

• Εάν δύο παράλληλες γραμμές κόβονται από μια άλλη γραμμή, σχηματίζονται τέσσερα ζεύγη αντίθετων γωνιών που έχουν ίσο μέγεθος.
• Εάν δύο γραμμές κόβονται από άλλη γραμμή, τότε οι διαστάσεις των αντίθετων εξωτερικών γωνιών που σχηματίζονται είναι ίδιες.
• Εάν δύο παράλληλες γραμμές κόβονται από μια άλλη γραμμή, τότε οι αντίθετες εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται έχουν το ίδιο μέγεθος.
• Εάν δύο παράλληλες γραμμές κόβονται από μια άλλη γραμμή, τότε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 180 °.

Εσωτερική γωνία

Είναι μια γωνία που βρίσκεται στο εσωτερικό και η θέση της είναι στην ίδια πλευρά. Όταν προστεθούν μαζί, οι γωνίες που βρίσκονται στην αντίθετη πλευρά θα σχηματίσουν γωνία 180 °. Για παράδειγμα:

D + E = 180 °
C + F = 180 °

Μονομερής εξωτερική γωνία

Είναι μια γωνία που βρίσκεται στο εξωτερικό και η θέση της βρίσκεται στην ίδια πλευρά. Όταν προστεθούν μαζί, οι γωνίες που βρίσκονται στην αντίθετη πλευρά θα σχηματίσουν γωνία 180 °. Για παράδειγμα:

B + G = 180 °
A + H = 180 °

Αντίθετες γωνίες (ίδιο μέγεθος)

Είναι μια γωνία των οποίων οι θέσεις είναι αντίθετες μεταξύ τους, στην παραπάνω εικόνα, οι αντίθετες γωνίες είναι:

Α = Γ
Β = Δ
Ε = Ζ
F = Η

Ένα ζευγάρι αντίθετων γωνιών συμβαίνει όταν δύο γραμμές τέμνονται έτσι ώστε δύο Οι γωνίες που είναι απέναντι από το σημείο τομής ονομάζονται αντίθετες γωνίες.
Δύο αντίθετες γωνίες είναι ίσες.

Μονάδα γωνίας

Σε μοίρες, η τιμή του 1 βαθμού αντιπροσωπεύει μια γωνία που περιστρέφεται κατά 1/360 της στροφής. Αυτό σημαίνει 1 ° = 1/360 επανάσταση.

Για να καθορίσουμε μια γωνία μικρότερη από μοίρες (°) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα λεπτών (') και δεύτερων (').

Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στη σχέση των βαθμών, λεπτών και δευτερολέπτων παρακάτω:

1 βαθμός (1 °) = 60 λεπτά (60 ′)

1 λεπτό (1 ′) = 1/60 °

1 λεπτό (1 ′) = 60 δευτερόλεπτα (60 ")

1 βαθμός (1 °) = 3600 δευτερόλεπτα (3600 ")

1 δευτερόλεπτο (1 ") = 1/3600 °

Το μέτρο μιας γωνίας σε ακτίνια

1 ° = p / 180 ακτίνια

ή

1 ακτίνα = 180 ° / p

Εάν αξία ρ = 3.14159 Έτσι:

1 ° = p / 180 ακτίνια = 3.14159 / 180 = 0.017453

ή

1 ακτίνα = 180 ° / p = 180 ° / 3.14159 = 57.296 °

Δείγμα ερωτήσεων και συζήτησης

Εδώ θα δώσουμε μερικές ερωτήσεις που σχετίζονται με γραμμές και γωνίες, όπως:

Πρόβλημα 1.

Τρεις γραμμές κάθε k, l και m στη διάταξη όπως φαίνεται παρακάτω.

Η γραμμή k είναι παράλληλη με τη γραμμή l και η γραμμή m τέμνει τις γραμμές k και l.

Ορίστε λοιπόν:

α) αντίθετες γωνίες
β) αντίθετες γωνίες
γ) αντίθετες γωνίες σε
δ) εξωτερικά αντίθετες γωνίες
ε) εσωτερικές γωνίες από τη μία πλευρά
στ) μονομερείς εξωτερικές γωνίες
ζ) ευθείες γωνίες

Απάντηση:

α) οι αντίθετες γωνίες είναι:

Α1 με Β1
Α4 με Β4
A2 με B2
B3 με B3

β) οι αντίθετες γωνίες είναι:

Α1 με Α3
Α2 με Α4
Β1 με Β3
B2 με B4

γ) εσωτερικές αντίθετες γωνίες (απέναντι μέσα), δηλαδή:

A3 με B1
A4 με B2

δ) οι εξωτερικές αντίθετες γωνίες είναι:

Α2 με Β4
Α1 με Β3

ε) οι εσωτερικές γωνίες είναι:

A3 με B2
Α4 με Β1

στ) μονομερείς εξωτερικές γωνίες, δηλαδή:

A2 με B3
Α1 με Β4

ζ) οι ευθείες γωνίες είναι:

Α1 με Α2
Α1 με Α4
A2 με A3
A3 με A4
B1 με B2
B1 με B4
B2 με B3
B3 με B4

Ερώτηση 2.

Λαμβάνοντας υπόψη τρεις γραμμές, δηλαδή k, l και m και επίσης τις γωνίες που βρίσκονται στο περιβάλλον. Τα k και l είναι παράλληλα ενώ η γραμμή m τέμνει τις γραμμές k και l.

Εάν P = 125 °, προσδιορίστε τις άλλες επτά γωνίες γύρω από αυτό!

Απάντηση:

R = P = 125 ° (Επειδή το R είναι αντίθετο από το P)
T = P = 125 ° (Επειδή το T αντιστοιχεί στο P)
V = R = 125 ° (Επειδή το V είναι αντίθετο από το R) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (Επειδή το Q είναι P ισιωτικό)
S = Q = 55 ° (Επειδή το S είναι αντίθετο από το Q)
U = Q = 55 ° (Επειδή το U σχετίζεται με το Q)
W = U = 55 ° (Επειδή το W είναι αντίθετο με το U)

Πρόβλημα 3.

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα, εάν το EF είναι παράλληλο με το DG και το τρίγωνο ABC είναι ένα ισογώνιο τρίγωνο με μέτρο της γωνίας C είναι 40 °.

Στη συνέχεια καθορίστε:

α) Το μέγεθος της γωνίας DBE
β) Το μέτρο της γωνίας BEF
γ) Γωνία CAG

Απάντηση:

α) Το μέγεθος της γωνίας DBE

Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε πρώτα το μέτρο της γωνίας ABC. Το ABC είναι ένα τρίγωνο ισοσκελών έτσι ώστε το μέγεθος του ABC = BAC. Τρεις γωνίες σε ένα το τρίγωνο αν προσθέσουμε είναι 180 ° έτσι, ABC = (180 40): 2 = 70 ° έτσι το BAC είναι επίσης 70 ° ∠DBE = ABC = 70 ° επειδή είναι αντίθετα πίσω.

β) Το μέτρο της γωνίας BEF

BEF = ABC = 70 ° επειδή είναι αντίθετα ή BEF = DBE = 70 ° επειδή είναι αντίθετα.

γ) Γωνία CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 °, επειδή τα CAG και BAC είναι ευθείες γραμμές.

Πρόβλημα 4. (Πακέτο 54 του ΟΗΕ 2012/2013)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα!

Το μέγεθος του γωνιακού ίσιου SQR είναι ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Απάντηση:

Προσοχή ** αυτή η ερώτηση είναι μία από τις ερωτήσεις για τα τέχνασμα, πολλοί πιστεύουν ότι αν θέτει η ερώτηση SQR παρόλο που αυτό που ζητήθηκε ήταν PQS.

Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, το πρώτο πράγμα που πρέπει να αναζητήσετε είναι η τιμή του x.

Σε αυτήν την περίπτωση ∠PQS και ∠Το SQR είναι μια συμπληρωματική γωνία, οπότε:

∠PQS + ∠SQR = 180 °(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 °9x ° + 9 = 180 °9x ° = 171 °x ° = 19 °

Ισιάζων ∠SQR = PQSΙσιάζων ∠SQR = (5x) °Ισιάζων ∠SQR = (5.19)°Ισιάζων ∠SQR = 95° (Απάντηση Γ)

Ερώτηση 5. (Πακέτο 10 του ΟΗΕ 2009/2010)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα:

Το μέτρο του αριθμού γωνίας 1 είναι 95 ° και το μέτρο του αριθμού γωνίας 2 είναι 110 °. Το μέτρο της γωνίας αριθμός 3 είναι ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Απάντηση:

∠1 = ∠5 = 95 ° (αντίθετες εσωτερικές γωνίες)2 + 6 = 180 ° (ευθυγραμμισμένο το ένα με το άλλο)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Απάντηση Β)

Ερώτηση 6. (Πακέτο 15 του ΟΗΕ 2010/2011)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα:

Μεγάλο ∠Το BCA είναι….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Απάντηση:

ABC + CBD = 180 ° (απλό)ABC + 112 ° = 180 °ABC = 68 °BCA + ABC + BAC = 180 °BCA + 68 ° + 42 ° = 180 °BCA + 110 = 180 °BCA = 70 ° (Απάντηση Α)

Ερώτηση 7. (Πακέτο 15 του ΟΗΕ 2010/2011)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα:

Μεγάλο ∠Το P3 είναι….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Απάντηση:

P2 = 74° (αντίθετες εξωτερικές γωνίες)P2 + P3 = 180 ° (απλό)74 ° + P3 = 180 °P3 = 106 ° (Απάντηση Γ)

Ερώτηση 8. (Πακέτο 1 του ΟΗΕ 2012/2013)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα:

Το μέτρο του ίσιου γωνίας KLN είναι ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Απάντηση:

Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, το πρώτο βήμα που πρέπει να βρείτε είναι η τιμή του x.

Σε αυτό το θέμα ∠KLN και ∠Το MLN είναι μια συμπληρωματική γωνία, οπότε:

∠KLN + ∠MLN = 180 °(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 °5x ° + 25 ° = 180 °5x ° = 155 °x ° = 31 °

Ισιάζων ∠KLN = MLNΙσιάζων ∠KLN = (2x + 10) °Ισιάζων ∠KLN = (2.31 + 10)°Ισιάζων ∠KLN = 72° (Απάντηση Β)

Πρόβλημα 9. (Πακέτο 2 του ΟΗΕ 2012/2013)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα:

Μεγάλος ψαράς ∠Το SQR είναι….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Απάντηση:

Προσοχή ** αυτή η ερώτηση είναι επίσης θέμα παγίδας, τόσοι πολλοί πιστεύουν ότι αυτή η ερώτηση θέτει SQR παρόλο που αυτό που ζητήθηκε ήταν PQS.

Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, το πρώτο βήμα που πρέπει να βρείτε είναι η τιμή του x.

Σε αυτό το θέμα ∠SQR και ∠Το PQS είναι ορθή γωνία, οπότε:

∠SQR + ∠PQS = 90 °(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 °9x ° + 9 ° = 90 °9x ° = 81 °x ° = 9 °

Γωνία ∠SQR = PQSΓωνία ∠SQR = (6x + 4) °Γωνία ∠SQR = (6.9 + 4)°Γωνία ∠SQR = 58° (Απάντηση Δ)

Ερώτηση 10. (Πακέτο 5 του ΟΗΕ 2012/2013)

Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα:

Υπέροχο ισιωτικό ∠Το AOC είναι….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Απάντηση:

Για να απαντήσετε στην ερώτηση αριθ. 10, το πρώτο βήμα που πρέπει να βρείτε είναι η τιμή του x.

Σε αυτό το θέμα ∠AOC και ∠Το BOC είναι μια συμπληρωματική γωνία, οπότε:

∠AOC + ∠BOC = 180 °(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 °12x ° - 12 ° = 180 °12x ° = 192 °x ° = 16 °

Ισιάζων ∠AOC = BOCΙσιάζων ∠AOC = (4x + 8) °Ισιάζων ∠AOC = (4.16 + 8)°Ισιάζων ∠AOC = 72° (Απάντηση Β)

Αυτή είναι η σύντομη ανασκόπηση αυτή τη φορά για τις γραμμές και τις γωνίες που μπορούμε να μεταφέρουμε. Ας ελπίσουμε ότι η παραπάνω ανασκόπηση των γραμμών και γωνιών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως υλικό μελέτης.