Αλγεβρικές παράγωγες συναρτήσεις: τύποι, εφαρμογές, σημειογραφία, πολλαπλασιασμός διαίρεσης με δύο συναρτήσεις και παραδείγματα προβλημάτων

August 30, 2023
ΣεΠολιτική συνδέσμων Επικοινωνία

Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης

Θυμηθείτε αν f(x)x^n , Έτσι:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

Επειδή f (x) (u (x))^nu^n , Έτσι:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Ή

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

Άρα ο τύπος για την παράγωγο της συνάρτησης είναι:

$f'(x) nu^(n-1) \cdot u'$

Παράγωγοι τύποι τριγωνομετρίας

Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να πάρουμε διάφορους τύπους για τις παραγώγους τριγωνομετρίας, δηλαδή ως εξής: (με u και v κάθε συνάρτηση του x), συμπεριλαμβανομένων: y' =

y = αμαρτία x→ y' = cos x
y = cos x → y' = -sin x
y = tan x → y' = sec²Χ
y = κούνια x → y' = -csc²Χ
y = δευτερόλεπτο x → y'
y = csc x → y' = csc × cot x
y = αμαρτίαⁿxy' = n αμαρτία^n-1× cos x
y = κοσⁿx → y' = -n συν^n-1× αμαρτία x
y = sin u → y' = u' cos u
y = cos u → y' = u' sin u
y = tan u → y' = ui sec²u
y = κούνια u → y' = -u' csc²u
y = sec u → y' = u' sec u tan u
y = csc u → y' = u' csc u cot u
y = αμαρτίαⁿu → y' = n.u' αμαρτία^n-1γιατί εσύ
y = κοσⁿ u → y' = -n.u' συν^n-1. αμαρτία u

Εφαρμογές παραγώγων

Προσδιορίζει την κλίση της εφαπτομένης σε μια καμπύλη

Η κλίση της εφαπτομένης (m) σε μια καμπύλη y = f (x) διατυπώνεται ως:

Η εξίσωση της εφαπτομένης σε μια καμπύλη y = f (x) στο σημείο της εφαπτομένης (x_1, y_1) διατυπώνεται ως:

instagram viewer

$y - y_1 m (x - x_1) \δεξιό βέλος m f'(x_1)$

Προσδιορίστε το διάστημα των αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης
- Η συνθήκη για το αυξανόμενο διάστημα συνάρτησης $\δεξιό βέλος f'(x) 0$
- Ο όρος για το διάστημα φθίνουσας συνάρτησης $\δεξιό βέλος f'(x) 0$
Προσδιορίζει τη σταθερή τιμή μιας συνάρτησης και τον τύπο της

Αν η συνάρτηση y = f (x) είναι συνεχής και διαφορίσιμη στο x = a και f'(x) = 0, τότε η συνάρτηση έχει σταθερή τιμή στο x = a. Ο τύπος σταθερής τιμής της συνάρτησης y = f(x) μπορεί να είναι ελάχιστη τιμή επιστροφής, μέγιστη τιμή επιστροφής ή τιμή καμπής. Αυτός ο τύπος σταθερής τιμής μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης.

- Μέγιστη αξία $\δεξιό βέλος f'(x) 0$ Και $\δεξιό βέλος f$

Αν f'(x_1) 0 Και , Έτσι f'(x_1) είναι η μέγιστη επιστρεφόμενη τιμή της συνάρτησης y = f(x) και σημείο (x_1f(x)) είναι το μέγιστο σημείο καμπής της καμπύλης y = f(x).

- Ελάχιστη τιμή $\δεξιό βέλος f'(x) 0$ Και

Αν f'(x_1) 0 Και , Έτσι f(x_1) είναι η ελάχιστη τιμή επιστροφής της συνάρτησης y f (x) και σημείο (x_1f(x)) είναι το ελάχιστο σημείο καμπής της καμπύλης y = f(x).

- Αξία στροφής $\δεξιό βέλος f'(x) 0$ Και

Αν f'(x_1) 0 Και f''(x_1 0) , Έτσι f(x_1) είναι η τιμή καμπής της συνάρτησης y = f(x) και του σημείου (x_1f(x)) είναι το σημείο καμπής της καμπύλης y = f(x).

Επίλυση οριακών προβλημάτων απροσδιόριστης μορφής $\frac{0}{0}$ ή $\frac{\infty}{\infty}$

Αν $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ είναι ένα όριο απροσδιόριστης μορφής $\frac{0}{0}$ ή $\frac{\infty}{\infty}$ , τότε η λύση μπορεί να χρησιμοποιήσει παράγωγα, δηλαδή τα f (x) και g (x) προέρχονται αντίστοιχα.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Εάν η πρώτη παράγωγος έχει δώσει μια συγκεκριμένη μορφή, τότε αυτή η συγκεκριμένη μορφή είναι η λύση. Αλλά εάν η πρώτη παράγωγος εξακολουθεί να παράγει μια απροσδιόριστη μορφή, τότε αντίστοιχα τα f(x) και f(x) χαμηλώνουν ξανά μέχρι να ληφθεί ένα αποτέλεσμα ενός συγκεκριμένου σχήματος. Αυτός ο τρόπος επίλυσης ονομάζεται Θεώρημα L'hopital.

Προσδιορίστε τον τύπο για την ταχύτητα και την επιτάχυνση

Εάν ο τύπος ή η εξίσωση για τη θέση κίνησης ενός αντικειμένου ως συνάρτηση του χρόνου είναι γνωστή, δηλαδή s = f (t), τότε μπορεί να προσδιοριστεί ο τύπος για την ταχύτητα και την ταχύτητα, δηλαδή:

- Φόρμουλα ταχύτητας $\δεξιό βέλος v s' f'(t)$
- Φόρμουλα επιτάχυνσης $\δεξιό βέλος a s' f$

Παράγωγος Σημειογραφία

Η παράγωγος μιας συνάρτησης f(x) ως προς το x ορίζεται ως εξής:

Τύπος για την Παράγωγο Εκθετικών Συναρτήσεων

εφόσον υπάρχει το όριο.

Μπορούμε να συμβολίσουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης y = f (x) στο x ως εξής:

y' = f'x ⇒ lagrange
⇒ leibniz
ρε_Χy = Δ_Χ[f(x)]⇒ euler

Από τον παραπάνω ορισμό, μπορούμε να εξαγάγουμε διάφορους τύπους παραγώγων όπως παρακάτω:

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = k u (x) ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

με k = σταθερά

Εξετάστε μερικά από τα ακόλουθα παραδείγματα:

f(x) = 5 ⇒ f'(x) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ ⇒ y' = 2. 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ + x² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης που περιέχει ρίζες ή κλάσματα, το πρώτο βήμα που πρέπει να κάνουμε είναι να αλλάξουμε πρώτα τη συνάρτηση σε εκθετική μορφή.

Ακολουθούν ορισμένες από τις ιδιότητες των ριζών και των εκθετών που χρησιμοποιούνται συχνά, μεταξύ άλλων:

Χ^Μ. Χⁿ = x^m+n
Χ^Μ/Χⁿ = x^{Μ Ν}
1/xⁿ = x^-n
√x = x^1/2
ⁿ√xm = x^{Μ Ν}

Παράδειγμα:

Πρόβλημα 1.

Να βρείτε την παράγωγο της f (x) = x√x

Απάντηση:

f(x) = x√x = x. Χ^1/2= x^3/2

f(x) = x^3/2 →

Πρόβλημα 2.

Προσδιορίστε την παράγωγο του

Απάντηση:

Αλγεβρικές παράγωγες συναρτήσεις: τύποι, εφαρμογές, σημειογραφία, πολλαπλασιασμός διαίρεσης με δύο συναρτήσεις και παραδείγματα προβλημάτων

Παράγωγοι πολλαπλασιασμού και διαίρεση δύο συναρτήσεων

Ας υποθέσουμε ότι y = uv, τότε η παράγωγος του y μπορεί να εκφραστεί ως:

y' = u'v + uv'

Ας υποθέσουμε ότι y = u/v, τότε η παράγωγος του y μπορεί να εκφραστεί ως:

Παράδειγμα προβλημάτων.

Πρόβλημα 1.

Παράγωγος της f (x) = (2x + 3)(x² + 2) συγκεκριμένα:

Απάντηση:

Για παράδειγμα:

u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = u' v + u v'
f'(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4 +4x² +6x
f'(x) = 6x² +6x +4

Ο κανόνας της αλυσίδας

Εάν y = f (u), όπου u είναι μια συνάρτηση που μπορεί να παραχθεί ως προς το x, τότε η παράγωγος του y ως προς το x μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή: ρεyρεΧ=ρεyρεu×ρεuρεΧ

Από την έννοια του κανόνα της αλυσίδας παραπάνω, τότε για y = uⁿ, θα ληφθούν: ρεyρεΧ=ρε(un)ρεu×ρεuρεΧ

y′=nun−1.u′

Γενικά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Αν f(x) = [u(x)]ⁿ όπου u (x) είναι μια συνάρτηση που μπορεί να παραχθεί σε σχέση με το x, τότε: φά′(Χ)=n[u(Χ)]n−1.u′(Χ)

Από την έννοια του κανόνα της αλυσίδας παραπάνω, τότε για y = uⁿ, θα πάρει:

Γενικά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Αν f (x) = [u (x)]ⁿ όπου u (x) είναι μια συνάρτηση που μπορεί να παραχθεί στο x, τότε:

f'(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)

Παράδειγμα προβλημάτων.Πρόβλημα 1.

Να βρείτε την παράγωγο της f (x) = (2x + 1)⁴

Απάντηση:

Για παράδειγμα:

u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u (x)]^n-1. u'(x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1. 2
f'(x) = 8 (2x + 1)³

Πρόβλημα 2.

Να βρείτε την παράγωγο του y = (x²− 3x)⁷

Απάντηση:

y' = 7(x²− 3x)^7-1. (2x − 3)
y' = (14x − 21). (Χ²− 3x)⁶

Παραδείγματα Ερωτήσεων και Συζήτησης

Πρόβλημα 1

Το πρώτο παράγωγο του $f (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ είναι

Συζήτηση 1:

Αυτό το πρόβλημα είναι συνάρτηση της μορφής y = au^n που μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο $y' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . Ετσι:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

Έτσι ώστε η παράγωγος:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

Πρόβλημα 2

Βρείτε την πρώτη παράγωγο του

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

Συζήτηση 2:

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιήστε τη μικτή φόρμουλα, δηλαδή $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ και επίσης $y' n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Ετσι ώστε:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{sin (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

Πρόβλημα 3

Προσδιορίστε τη μέγιστη τιμή του f (x) x^3 - 6x^2 + 9x στο διάστημα -1 ≤ x ≤ 3.

Συζήτηση 3:

Θυμηθείτε ότι η μέγιστη τιμή συνάρτησης f (x) είναι f'(x) 0 Και Έτσι:

$f_{max}$ Αν

Και x_1 1 Και x_2 3

$f_{max} f (1) 1^3 - 6,1^2 + 9,1$

$f_{max} 4$

Πρόβλημα 4.

Παράγωγος της f (x) = (x – 1)²(2x + 3) είναι…

Απάντηση:

Για παράδειγμα:

u = (x − 1)² ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f'(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) ή
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Πρόβλημα 5.

Αν f (x) = x² – (1/x) + 1, τότε f'(x) =... .

ΕΝΑ x – x²
ΣΙ. x + x²
ΝΤΟ. 2x – x^-2 + 1
ΡΕ. 2x – x² – 1
ΜΙ. 2x + x^-2

Απάντηση:

f(x) = x² – (1/x) + 1

= x² - Χ^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

Η απάντηση: Ε

Έτσι η κριτική από Σχετικά με τη γνώση.co.id σχετικά με Παράγωγος Αλγεβρικών Συναρτήσεων, ελπίζουμε ότι μπορεί να προσθέσει στη διορατικότητα και τις γνώσεις σας. Σας ευχαριστούμε για την επίσκεψη και μην ξεχάσετε να διαβάσετε άλλα άρθρα

Αλγεβρικές παράγωγες συναρτήσεις: τύποι, εφαρμογές, σημειογραφία, πολλαπλασιασμός διαίρεσης με δύο συναρτήσεις και παραδείγματα προβλημάτων

Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράγωγοι τύποι τριγωνομετρίας

Εφαρμογές παραγώγων

Προσδιορίζει την κλίση της εφαπτομένης σε μια καμπύλη

Προσδιορίστε το διάστημα των αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

Προσδιορίζει τη σταθερή τιμή μιας συνάρτησης και τον τύπο της

Επίλυση οριακών προβλημάτων απροσδιόριστης μορφής ή

Προσδιορίστε τον τύπο για την ταχύτητα και την επιτάχυνση

Παράγωγος Σημειογραφία

Παράγωγοι πολλαπλασιασμού και διαίρεση δύο συναρτήσεων

Ο κανόνας της αλυσίδας

Παραδείγματα Ερωτήσεων και Συζήτησης

Επίλυση οριακών προβλημάτων απροσδιόριστης μορφής $\frac{0}{0}$ ή $\frac{\infty}{\infty}$