Μαθηματική Επαγωγή: Αρχές, Απόδειξη Σειρών, Διαιρετότητα, Εξισώσεις και Παραδείγματα Προβλημάτων

August 13, 2023
ΣεΠολιτική συνδέσμων Επικοινωνία

Μαθηματική Επαγωγή: Αρχές, Απόδειξη Σειρών, Διαιρετότητα, Εξισώσεις και Παραδείγματα Προβλημάτων – Τι είναι η Μαθηματική Επαγωγή; Με αυτή την ευκαιρία Σχετικά με τη γνώση.co.id θα συζητήσει για το Kasti Ball και τα πράγματα που το περιβάλλουν. Ας δούμε τη συζήτηση στο παρακάτω άρθρο για να το καταλάβουμε καλύτερα.

Μαθηματική Επαγωγή: Αρχές, Απόδειξη Σειρών, Διαιρετότητα, Εξισώσεις και Παραδείγματα Προβλημάτων

Η μαθηματική επαγωγή είναι μια μέθοδος απαγωγικής απόδειξης που χρησιμοποιείται για την απόδειξη μαθηματικών δηλώσεων που σχετίζονται με ένα σύνολο αριθμών που ταξινομούνται με τάξη.

Αυτοί οι αριθμοί είναι για παράδειγμα φυσικοί αριθμοί ή μη κενά υποσύνολα αριθμών Η μαθηματική επαγωγή χρησιμοποιείται μόνο για τον έλεγχο ή την απόδειξη της αλήθειας μιας πρότασης ή φόρμουλα. Και η μαθηματική επαγωγή δεν είναι για την παραγωγή τύπων. Η μαθηματική επαγωγή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή ή την εύρεση τύπων.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα μαθηματικών δηλώσεων που μπορούν να αποδειχθούν αληθείς με μαθηματική επαγωγή:

instagram viewer

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), n είναι ένας φυσικός αριθμός
P(n): 6ⁿ Το + 4 διαιρείται με το 5, για n φυσικούς αριθμούς.
P(n): 4n < 2ⁿ, για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 4

Επέκταση των Αρχών της Μαθηματικής Επαγωγής

Για παράδειγμα, το P(n) είναι μια έκφραση που εξαρτάται από το n. Το P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ m εάν πληροί τις ακόλουθες 2 συνθήκες:

Το P(m) είναι αληθές, που σημαίνει ότι για n = m, τότε το P(n) είναι αληθές
Για κάθε φυσικό αριθμό k ≥ m, αν το P(k) είναι αληθές τότε ισχύει και το P(k + 1).

Για να δείξουμε ότι το P(1) είναι αληθές, αρκεί να αντικαταστήσουμε το P(n) με n = 1.

Εάν το P(n) παρουσιάζεται σε μορφή εξίσωσης, σημαίνει ότι η αριστερή πλευρά πρέπει να ισούται με τη δεξιά πλευρά στο n = 1, και τότε συμπεραίνουμε ότι το P(1) είναι αληθές.

Μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια μέθοδο για να δείξουμε ότι το P(m) είναι αληθές.

Επιστρέφοντας στην παραπάνω περίπτωση ντόμινο, για να πέσει το ντόμινο (k + 1), πρέπει να πέσει το πιο πρώιμο ντόμινο k.

Και στη συνέχεια ακολουθείται από το υπονοούμενο "αν πέσει το ντόμινο k, τότε πέφτει το ντόμινο (k + 1)".

Έτσι, για να δείξουμε το συμπέρασμα "αν το P(k) είναι αληθές, τότε το P(k + 1) είναι αληθές", τότε το πρώτο μας βήμα πρέπει να είναι να υποθέσουμε ότι το P(k) είναι αληθές.

Στη συνέχεια, κοιτάζοντας αυτές τις παραδοχές, δείχνουμε ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές.

Αυτή η διαδικασία της υπόθεσης του P(k) είναι αληθής ονομάζεται υπόθεση επαγωγής.

Για να δείξουμε ότι το P(k + 1) είναι αληθές, μπορούμε να ξεκινήσουμε από την υπόθεση. Δηλαδή από την υπόθεση ότι το P(k) είναι αληθές ή από το συμπέρασμα, δηλαδή από το ίδιο το P(k + 1).

Η απόδειξη της μαθηματικής επαγωγής μπορεί να γίνει με την ακόλουθη σειρά:

Αρχικό βήμα: Δείξτε ότι το P(1) είναι αληθές.
Βήμα επαγωγής: Ας υποθέσουμε ότι το P(k) είναι αληθές για οποιουσδήποτε k φυσικούς αριθμούς και, στη συνέχεια, δείξτε ότι το P(k+ 1) είναι επίσης αληθές με βάση αυτή την υπόθεση.
Συμπέρασμα: Το P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n.

Απόδειξη σειράς

Πριν μπούμε στην απόδειξη της σειράς, υπάρχουν αρκετά πράγματα που πρέπει να εξεταστούν προσεκτικά σχετικά με τη σειρά. Μεταξύ άλλων:

Αν

P(n): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_n = Σ_n, Έτσι
P(1): u₁ = Σ₁
Ρ(κ): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_κ = Σ_κ
P(k + 1): u₁ +u₂ +u₃ + … + u_κ +u_k+1 = Σ_k+1

Παράδειγμα 1:

Να αποδείξετε ότι 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), για καθέναν από n φυσικούς αριθμούς.

Απάντηση:
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για κάθε n ∈ N

Αρχικό βήμα:

Δείχνει ότι το P(1) είναι αληθές
2 = 1(1 + 1)

Έτσι προκύπτει, το P(1) είναι αληθές

Βήμα επαγωγής:

Έστω P(k) αληθές, δηλαδή:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Θα δείξει ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλαδή:
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Από τις παραπάνω παραδοχές λοιπόν:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1)

Προσθέστε και τις δύο πλευρές μαζί σας_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k (k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Άρα, το P(k + 1) είναι αληθές

Με βάση την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι το P(n) ισχύει για κάθε n φυσικούς αριθμούς.

Παράδειγμα 2:

Απόδειξε το 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² αυτό είναι σωστό, για κάθε n φυσικό αριθμό.

Απάντηση:
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

Τότε θα δείξει ότι το P(n) ισχύει για κάθε n ∈ N

Αρχικό βήμα:
Θα δείξει ότι το P(1) είναι αληθές
1 = 1²

Άρα, το P(1) είναι αλήθεια

Βήμα επαγωγής:
Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k², k ∈ N

Αυτό θα δείξει ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλαδή:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Από τις παραπάνω παραδοχές λοιπόν:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k²

Προσθέστε και τις δύο πλευρές μαζί σας_k+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² +2k+1
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Άρα, το P(k + 1) ισχύει επίσης

Με βάση την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι το P(n) ισχύει για κάθε n φυσικούς αριθμούς.

Απόδειξη Διαίρεσης

Η πρόταση "a διαιρείται με το β" είναι συνώνυμη με:

ένα πολλαπλάσιο β
β συντελεστής του α
β διαίρεση α

Αν το p διαιρείται με το a και το q διαιρείται με το a, τότε το (p + q) θα διαιρείται επίσης με το a.

Για παράδειγμα, το 4 διαιρείται με το 2 και το 6 διαιρείται με το 2, τότε το (4 + 6) θα διαιρείται επίσης με το 2

Παράδειγμα 1:

Απόδειξη 6ⁿ Το + 4 διαιρείται με το 5, για κάθε n φυσικό αριθμό.

Απάντηση:

P(n): 6ⁿ Το +4 διαιρείται με το 5

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για κάθε n ∈ N.

Αρχικό βήμα:

Θα δείξει ότι το P(1) είναι αληθές
6¹ + 4 = 10 διαιρείται με το 5

Άρα, το P(1) είναι αλήθεια

Βήμα επαγωγής:

Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:
6^κ Το + 4 διαιρείται με το 5, k ∈ N

Αυτό θα δείξει ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλαδή:
6^k+1 Το +4 διαιρείται με το 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^κ)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^κ) + 6^κ + 4

Αιτία 5(6^κ) διαιρείται με το 5 και το 6^κ Το + 4 διαιρείται με το 5, άρα 5(6^κ) + 6^κ Το + 4 διαιρείται επίσης με το 5.

Άρα, το P(k + 1) είναι αληθές.

Με βάση την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι 6ⁿ Το + 4 διαιρείται με το 5, για κάθε n φυσικό αριθμό.

Ο ακέραιος a θα διαιρείται με τον ακέραιο b όταν βρεθεί ο ακέραιος m, έτσι ώστε να ισχύει το a = bm.

Για παράδειγμα, το "10 διαιρείται με το 5" είναι αληθές επειδή υπάρχουν ακέραιοι m = 2 άρα 10 = 5,2.

Επομένως, η πρόταση "10 διαιρείται με το 5" μπορεί να γραφτεί ως "10 = 5m, για m ακέραιους αριθμούς"

Με βάση την παραπάνω ιδέα, η απόδειξη διαίρεσης μπορεί επίσης να λυθεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη μέθοδο.

Παράδειγμα 2:

Απόδειξη n³ Το + 2n θα διαιρείται με το 3, για κάθε n φυσικό αριθμό

Απάντηση:

P(n): n³ + 2n = 3m, με m ∈ ΖΖ

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για κάθε n ∈ ΝΝ

Αρχικό βήμα:

Θα φανεί ότι το P(1) είναι αληθές
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Άρα, το P(1) είναι αλήθεια

Βήμα επαγωγής:

Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:
κ³ + 2k = 3m, k ∈ ΝΝ

Αυτό θα δείξει ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλαδή:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ΖΖ

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +3κ² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +2k) + (3k² +3k+3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Εφόσον το m είναι ακέραιος και το k είναι φυσικός αριθμός, τότε (m + k² + k + 1) είναι ακέραιος αριθμός.

Για παράδειγμα p = (m + k² + k + 1), άρα:
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, με p ∈ ΖΖ

Άρα, το P(k + 1) είναι αληθές

Με βάση την παραπάνω έννοια της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι n³ Το + 2n θα διαιρείται με το 3, για κάθε n φυσικό αριθμό.

Απόδειξη Ανισότητας

Τα ακόλουθα είναι μερικές από τις ιδιότητες των ανισοτήτων που χρησιμοποιούνται συχνά, όπως:

1. μεταβατική φύση
a > b > c ⇒ a > c or
α < β < γ ⇒ α < γ

2. a < b και c > 0 ⇒ ac < bc ή
a > b και c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c or
a > b ⇒ a + c > b + c

Πριν μπούμε στις ερωτήσεις του παραδείγματος, είναι καλή ιδέα να εξασκηθείτε χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες για να δείξετε την υπονοούμενη "αν το P(k) είναι αληθές, τότε το P(k + 1) είναι επίσης αληθές".

Παράδειγμα

P(k): 4k < 2^κ
P(k + 1): 4 (k + 1) < 2^k+1

Αν υποτεθεί ότι το P(k) είναι αληθές για k ≥ 5, τότε να δείξετε ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές!

Να θυμάστε ότι στόχος μας είναι να δείξουμε, άρα:
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^κ) = 2^κ + 2^κ (ΣΤΟΧΟΣ)

Μπορούμε να ξεκινήσουμε από την αριστερή πλευρά της παραπάνω ανισότητας για να:
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^κ + 4 (γιατί 4k < 2^κ)
4(k + 1) < 2^κ + 2^κ (γιατί 4 < 4k < 2^κ)
4(k + 1) = 2(2^κ)
4(k + 1) = 2^k+1

Με βάση τη μεταβατική φύση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι 4(k + 1) < 2^k+1

Γιατί το 4k μπορεί να αλλάξει σε 2^κ ?

Επειδή σύμφωνα με την ιδιότητα 3, επιτρέπεται να προσθέσουμε και τις δύο πλευρές μιας ανίσωσης κατά τον ίδιο αριθμό.

Γιατί δεν θα αλλάξει την τιμή αλήθειας της ανισότητας. Επειδή 4k < 2^κ true, που έχει ως αποτέλεσμα 4k + 4 < 2^κ Το +4 ισχύει επίσης.

Πώς ξέρουμε ότι το 4 πρέπει να αλλάξει σε 2^κ ?

Προσέξτε τους στόχους.

Το προσωρινό αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι 2^κ + 4 ενώ ο στόχος μας είναι 2^κ + 2^κ.

Για k ≥ 5, μετά 4 < 4k και 4k < 2^κ αυτό είναι αλήθεια, άρα 4 < 2^κ ισχύει επίσης (μεταβατική ιδιότητα). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα 2^κ + 4 < 2^κ + 2^κ αληθές (ιδιότητα 3).

Μαθηματική Επαγωγή: Αρχές, Απόδειξη Σειρών, Διαιρετότητα, Εξισώσεις και Παραδείγματα Προβλημάτων

Παράδειγμα προβλημάτων

Πρόβλημα 1

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 4 και ισχύει
3n < 2ⁿ

Απάντηση:

P(n): 3n < 2ⁿ

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για n ≥ 4, n ∈ ΝΝ

Θα δείξει ότι το P(4) είναι αληθές
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

Άρα, το P(4) είναι αλήθεια

Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:
3k < 2^κ, k ≥ 4

Αυτό θα δείξει ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλαδή:
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^κ + 3 (γιατί 3k < 2^κ)
3(k + 1) < 2^κ + 2^κ (από 3 < 3k < 2^κ)
3(k + 1) = 2(2^κ)
3(k + 1) = 2^k+1

Άρα, το P(k + 1) ισχύει επίσης.

Με βάση την έννοια της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι το P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 4.

Πρόβλημα 2

Αποδείξτε το $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Συζήτηση:

Βήμα 1

$1^3 \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 \frac{2^2}{4}$

1 1 (αποδεδειγμένος)

Βήμα 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Βήμα 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1) ^2 + (k + 1)^3$ (προστέθηκαν και τα δύο πεδία .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3 (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2 )$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {αποδεδειγμένος).

Πρόβλημα 3

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 2 και ισχύει 3ⁿ > 1 + 2n

Απάντηση:

P(n): 3ⁿ > 1 + 2n

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για n ≥ 2, n ∈ ΝΝ

Θα δείξει ότι το P(2) είναι αληθές, δηλαδή:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Άρα, το P(1) είναι αλήθεια

Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:
3^κ > 1 + 2k, k ≥ 2

Θα βρείτε ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλ
3^k+1 > 1 + 2 (k + 1)

3^k+1 = 3(3^κ)
3^k+1 > 3(1 + 2k) (γιατί 3^κ >1+2k)
3^k+1 = 3 + 6 χιλ
3^k+1 > 3 + 2k (επειδή 6k > 2k)
3^k+1 = 1 + 2k + 2
3^k+1 = 1 + 2 (k + 1)

Άρα, το P(k + 1) ισχύει επίσης

Με βάση την έννοια της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι το P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 2.

Αποδείξτε το

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Συζήτηση:

Βήμα 1

$\frac{1}{2} 2 - \frac{(1)+2}{2^1} 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{2}$ (αποδεδειγμένος)

Βήμα 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Βήμα 3 (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Αποδεδειγμένο από:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (πολλαπλασιάστηκαν και οι δύο πλευρές $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^κ τροποποιήθηκε σε 2^k+1)

$2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$ (αποδεδειγμένος)

Πρόβλημα 4

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 5 θα ισχύει 2n − 3 < 2^n-2

Απάντηση:

P(n): 2n − 3 < 2^n-2

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για n ≥ 5, n ∈ ΝΝ

Θα φανεί ότι το P(5) είναι αληθές
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

Άρα, το P(1) είναι αλήθεια

Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:
2k − 3 <2^κ-2, k ≥ 5

Αυτό θα δείξει ότι το P(k + 1) είναι επίσης αληθές, δηλαδή:
2(k + 1) − 3 < 2^κ+1-2

2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2
2(k + 1) − 3 < 2^κ-2 + 2 (γιατί 2k − 3 < 2^κ-2)
2(k + 1) − 3 < 2^κ-2 + 2^κ-2 (γιατί 2 < 2k − 3 < 2^κ-2)
2(k + 1) − 3 = 2(2^κ-2)
2(k + 1) − 3 = 2^κ+1-2

Άρα, το P(k + 1) ισχύει επίσης

Με βάση την έννοια της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι το P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 5.

Πρόβλημα 5:

Αποδείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 4 και κρατήστε το (n + 1)! > 3ⁿ

Απάντηση:

P(n): (n + 1)! > 3ⁿ

Θα αποδειχθεί ότι το P(n) ισχύει για n ≥ 4, n ∈ ΝΝ

Θα δείξει ότι το P(4) είναι αληθές
(4 + 1)! > 3⁴
αριστερή πλευρά: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
δεξιά πλευρά: 3⁴ = 81

Άρα, το P(1) είναι αλήθεια

Φανταστείτε ότι το P(k) είναι αληθές, δηλαδή:

(k+1)! > 3^κ, k ≥ 4

Θα φανεί ότι ισχύει και το P(k + 1), δηλ
(k + 1 + 1)! > 3^k+1

(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3^κ) (γιατί (k + 1)! > 3^κ)
(k + 1 + 1)! > 3(3^κ) (επειδή k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3^k+1

Άρα, το P(k + 1) ισχύει επίσης.

Με βάση την έννοια της μαθηματικής επαγωγής, αποδεικνύεται ότι το P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 4.

Έτσι η κριτική από Σχετικά με τη γνώση.co.id σχετικά με Μαθηματική Επαγωγή , ελπίζουμε ότι μπορεί να προσθέσει στη διορατικότητα και τις γνώσεις σας. Σας ευχαριστούμε για την επίσκεψη και μην ξεχάσετε να διαβάσετε άλλα άρθρα

Κατάλογος περιεχομένων

Σύσταση:

Γλωσσικά Στοιχεία Επεξηγηματικού Κειμένου: Χαρακτηριστικά, Δομή, Τύποι,… Γλωσσικά στοιχεία επεξηγηματικού κειμένου: Ορισμός, Χαρακτηριστικά, Δομή, Τύποι και Παραδείγματα - Τι είναι το επεξηγηματικό κείμενο με τα γλωσσικά του στοιχεία; Με αυτήν την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει τι είναι επεξηγηματικό κείμενο και στοιχείο…
Εξίσωση Απόλυτης Τιμής: Επεξήγηση και Παραδείγματα Προβλημάτων Εξισώσεις απόλυτης τιμής: Επεξήγηση και παραδείγματα προβλημάτων - Ποιες είναι οι ιδιότητες των εξισώσεων απόλυτης τιμής;, On Με αυτή την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει αυτό και φυσικά και άλλα πράγματα το κάλυψε. Ας δούμε…
Λογιστική της Σαρία: Κατανόηση σύμφωνα με τους ειδικούς, Βασική… Λογιστική Syari'ah: Κατανόηση σύμφωνα με τους ειδικούς, νομική βάση, χαρακτηριστικά, σκοπός, αρχές, χαρακτηριστικά και Τα πλεονεκτήματα - Τι είναι η λογιστική της Σαρία και τα πλεονεκτήματά της; συζητήστε το και...
Πίστη σε Qada και Qadar: Κατανόηση, Απόδειξη, Σοφία και… Πίστη σε Qada και Qadar: Ορισμός, Πρόταση, Σοφία και οι Λειτουργίες τους - Τι σημαίνει Πίστη σε Qada και Qadar;
Σημεία στίξης: Ορισμός, Λειτουργίες, Τύποι και Παραδείγματα Σημεία στίξης: Ορισμός, Συναρτήσεις, Τύποι και Παραδείγματα - Σε αυτή τη συζήτηση θα εξηγήσουμε για τα σημεία στίξης. Το οποίο περιλαμβάνει τη σημασία, τη λειτουργία, τους τύπους και τα παραδείγματα χρήσης σημείων στίξης με…
12 Ορισμοί του ποδοσφαίρου σύμφωνα με τους ειδικούς 12 Ορισμοί του ποδοσφαίρου σύμφωνα με τους ειδικούς - Με την ευκαιρία αυτή θα συζητήσουμε υλικό για το ποδόσφαιρο. Το ποδόσφαιρο είναι το πιο διαδεδομένο αθλητικό παιχνίδι σε…
Παράδειγμα Ερωτήσεων Πολιτιστικών Τεχνών για την Τάξη 10 (Χ) SMA/MA/SMK Εξάμηνο 1… Παραδείγματα Ερωτήσεων Πολιτιστικών Τεχνών Τάξης 10 (Χ) για τα Εξάμηνα 1 και 2 SMA/MA/SMK (2019 και 2020) - Με αυτήν την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει Ερωτήσεις και Δοκίμιο Πολλαπλής Επιλογής Τάξης 10 Πολιτιστικών Τεχνών…
Λειτουργία λεπτού εντέρου: Ορισμός, δομή, μέρη, ένζυμα και… Λειτουργίες λεπτού εντέρου: Ορισμός, δομή, μέρη, ένζυμα και εξήγηση - Ποιες είναι οι λειτουργίες του λεπτού εντέρου?, Με αυτήν την ευκαιρία, το Around the Knowledge.co.id θα το συζητήσει, συμπεριλαμβανομένης της δομής, των ενζύμων και φυσικά των πραγμάτων άλλα που…
Περιβαλλοντική Ομιλία: Ορισμός, Σκοπός, Χαρακτηριστικά και… Περιβαλλοντικός Λόγος: Ορισμός, Σκοπός, Χαρακτηριστικά και Παραδείγματα - Πώς είναι δομημένο το κείμενο του περιβαλλοντικού λόγου; τι είναι καλό και σωστό; Με αυτήν την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα το συζητήσει και φυσικά τα πράγματα Οι οποίες…
Ροπή Αδράνειας: Ορισμός, Παράγοντες, Εξισώσεις Μορφών… Ροπή Αδράνειας: Ορισμός, Παράγοντες, Εξισώσεις σε Μορφές Αντικειμένων και Παραδείγματα Προβλημάτων - Τι σημαίνει με τη Στιγμή της Αδράνειας;, Με την ευκαιρία αυτή, ο Se σχετικά με το know.co.id θα το συζητήσει και φυσικά για ύλη…
√ Τεχνικές και κανόνες παιχνιδιού μπάσκετ (πλήρης) Τεχνικές και κανόνες παιχνιδιού μπάσκετ (Πλήρης) - Με αυτή την ευκαιρία, θα συζητήσουμε τους αγώνες μπάσκετ. Το οποίο σε αυτή τη συζήτηση εξηγεί πώς ξεκινά το παιχνίδι του μπάσκετ...
Οι χειριστικές κινήσεις είναι: Παραδείγματα και επεξηγήσεις Οι χειριστικές κινήσεις είναι: Παραδείγματα και επεξηγήσεις - Τι εννοείται με τον όρο χειριστικές κινήσεις; Με αυτή την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα το συζητήσει και φυσικά τα πράγματα που το καλύπτουν επίσης. Αφήνω…
Οπτικά όργανα: Ορισμός, Λειτουργίες, Τύποι και Μέρη Οπτικά όργανα: Ορισμός, Λειτουργίες, Τύποι και Μέρη - Τι είναι οι οπτικές συσκευές και ποιοι είναι οι τύποι τους; Με αυτή την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα το συζητήσει και φυσικά άλλα πράγματα που...
Εργασίες διαχείρισης μάρκετινγκ: Σημαντικά στάδια και παράγοντες… Εργασίες διαχείρισης μάρκετινγκ: Βασικά στάδια και παράγοντες διαχείρισης - Ποιες είναι οι εργασίες διαχείρισης μάρκετινγκ; Αυτή τη φορά το know.co.id θα συζητήσει ποια είναι τα καθήκοντα της διαχείρισης μάρκετινγκ και άλλοι παράγοντες...
√ Ορισμός παραγώγων, τύπων, τύπων και παραδειγμάτων προβλημάτων Η συζήτηση των παραγώγων πρέπει να μελετηθεί. Χρησιμοποιώντας την έννοια του ορίου που έχετε μάθει, θα μάθετε εύκολα το ακόλουθο παράγωγο υλικό. Ο ορισμός του παραγώγου παραγώγου είναι ένας υπολογισμός των αλλαγών σε…
Υλικό ποδοσφαίρου: Ορισμός, Οφέλη, Στόχοι, Τεχνικές,… Υλικό ποδοσφαίρου: Ορισμός, Οφέλη, Στόχοι, Τεχνικές, Κανόνες ποδοσφαίρου - Φυσικά όλοι γνωρίζουμε τι είναι το ποδόσφαιρο, σωστά; Το ποδόσφαιρο είναι ένα άθλημα που είναι πολύ δημοφιλές και πολύ…
Γραφικές Τέχνες: Ορισμός, Ιστορία, Τύποι, Χαρακτηριστικά, Σύγκριση… Γραφικές Τέχνες: Ορισμός, Ιστορία, Τύποι, Χαρακτηριστικά, Συγκρίσεις και Παραδείγματα Γραφικών Τεχνών - Γεια σας παιδιά, γνωρίζετε Γραφικές Τέχνες; Με αυτή την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει τι είναι τέχνη…
Κείμενο διηγήματος: Ορισμός, Χαρακτηριστικά, Δομή, Στοιχεία και Παραδείγματα Κείμενο διηγήματος: Ορισμός, χαρακτηριστικά, δομή, στοιχεία και παραδείγματα - Τι είναι ένα κείμενο διηγήματος; Ας…
Δείγμα Ερωτήσεων Φυσικής Αγωγής για Τάξη 11 (XI) SMA/MA/SMK Εξάμηνο 1 και 2 Παραδείγματα Ερωτήσεων Φυσικής Αγωγής για την Τάξη 11 (XI) για SMA/MA/SMK Εξάμηνο 1 και 2 (2019 και 2020) - Με αυτήν την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει παραδείγματα Ερωτήσεων Φυσικής Αγωγής για την Τάξη 11 Πολλαπλής Επιλογής και Δοκίμιο ...
Ορισμός Μαθησιακών Μεθόδων: Χαρακτηριστικά, Σκοπός, Τύποι και… Ορισμός Μαθησιακών Μεθόδων: Χαρακτηριστικά, Σκοπός, Τύποι και Συζήτηση - Τι σημαίνει Μέθοδος Learning?, Με αυτή την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα το συζητήσει και φυσικά για άλλα πράγματα Επίσης…
Μοτίβα αριθμών: Ορισμός και τύποι μοτίβων αριθμών Αριθμητικά μοτίβα: Ορισμός και τύποι μοτίβων αριθμών - Τι είναι ένα μοτίβο αριθμών; Με αυτή την ευκαιρία, θέλουμε να αναθεωρήσουμε ποια είναι η σημασία των μοτίβων αριθμών και των τύπων τους και...
Σκοπός Επεξηγηματικού Κειμένου: Ορισμός, Δομή, Χαρακτηριστικά, Κανόνες,… Σκοπός Επεξηγηματικού Κειμένου: Ορισμός, Δομή, Χαρακτηριστικά, Κανόνες, Παραδείγματα - Σε αυτή τη συζήτηση θα εξηγήσουμε σχετικά με το επεξηγηματικό κείμενο. Το οποίο περιλαμβάνει την κατανόηση του επεξηγηματικού κειμένου, τον σκοπό του επεξηγηματικού κειμένου, τη δομή του κειμένου...
Η ιστορία του ποδοσφαίρου μπαίνει στην Ινδονησία Η ιστορία του ποδοσφαίρου μπαίνει στην Ινδονησία – Τα αθλητικά παιχνίδια είναι πολύ ενδιαφέροντα για να παίξετε και να παρακολουθήσετε. Αυτό το αθλητικό παιχνίδι εκτός από το να κάνει το σώμα υγιές και να κάνει το σώμα να γίνει…
Γήπεδο Τένις: Ιστορία, Τεχνικές, Τύποι Κτυπήματος, Ιδιότητες… Γήπεδο τένις: Ιστορία, τεχνικές, είδη εγκεφαλικών επεισοδίων, ιδιότητες και συστήματα αγώνα - Τι είναι το άθλημα του τένις Γήπεδο; Με αυτήν την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει τι είναι το γήπεδο τένις και άλλα πράγματα Οι οποίες…
Ρωμαϊκοί αριθμοί: Ιστορία, Βασικοί αριθμοί, Πώς να γράψετε, Τύποι… Ρωμαϊκοί αριθμοί: Ιστορία, βασικοί αριθμοί, τρόπος γραφής, τύποι και μειονεκτήματα - Ξέρετε τι είναι Ρωμαϊκοί αριθμοί και πώς να τους διαβάσετε; εξώφυλλα…
√ Ορισμός μιας μεταβλητής γραμμικής ανισότητας (PtLSV),… Ορισμός μιας μεταβλητής γραμμικής ανισότητας (PtLSV), Ιδιότητες, Παραδείγματα Προβλημάτων και Τρόπος Επίλυσης - Σε αυτή τη συζήτηση θα εξηγήσουμε για μια μεταβλητή γραμμική ανισότητα. Το οποίο περιλαμβάνει την έννοια της γραμμικής ανισότητας ένα…
Το φόντο είναι: Ορισμός, Περιεχόμενο, Τρόπος Δημιουργίας και… Το φόντο είναι: Ορισμός, Περιεχόμενο, Τρόπος Δημιουργίας και Παραδείγματα - Τι σημαίνει υπόβαθρο;, Σε αυτήν την περίπτωση το Seputarknowledge.co.id θα το συζητήσει και φυσικά άλλα πράγματα Οι οποίες…
Πράξεις για μέτρηση ακεραίων και παραδειγμάτων (Συζήτηση… Πράξεις για μέτρηση ακεραίων και πλήρη παραδείγματα - Πρέπει να γνωρίζουμε ότι οι ακέραιοι έχει πολλές αριθμητικές πράξεις, όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και τάξη. Λειτουργίες για μέτρηση ακέραιων αριθμών και…
√ Τύποι αριθμητικών σειρών, ακολουθίες, μορφές, παραδείγματα προβλημάτων και… Τύποι Αριθμητικής Σειράς, Ακολουθίες, Μορφές, Παραδείγματα Ερωτήσεων & Απαντήσεων - Με αυτή την ευκαιρία, Γύρω από τη Γνώση, θα συζητήσουμε τις Αριθμητικές Σειρές. Το οποίο σε αυτή τη συζήτηση εξηγεί διάφορα είδη ζητημάτων σχετικά με…
Σκοπός Έκθεσης: Ορισμός, Λειτουργίες, Οφέλη, Τύποι, Στοιχεία… Σκοπός Έκθεσης: Ορισμός, Λειτουργίες, Οφέλη, Τύποι, Στοιχεία και Αρχές Έκθεσης - Τι σημαίνει έκθεση ή έκθεση; Με αυτή την ευκαιρία, το Seputarknowledge.co.id θα συζητήσει τι είναι μια έκθεση και τι…