Trigonometrie: Identität, Formeln, Ableitungen, Tabellen, Beispielaufgaben

Haben Sie schon einmal das Wort Trogonometrie gehört? Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der Winkel, Seiten und das Verhältnis von Winkeln zu Seiten untersucht.

Die Grundlage der Trigonometrie ist die ebene Form des Dreiecks.

Dies liegt daran, dass die Bedeutung des Wortes Trigonometrie selbst aus dem Griechischen stammt, was bedeutet, dass in drei Winkeln oder Dreiecken gemessen wird. Lesen Sie die folgende Diskussion genauer.

Geschichte

Trigonometrie kommt aus dem Griechischen, trigonon, was drei Winkel bedeutet und Metro = Maß, ein Zweig der Mathematik, der sich mit Dreieckswinkeln und trigonometrischen Funktionen befasst.

Diese Winkel umfassen Sinus, Cosinus und Tangens.

Trigonometrie hat viel mit Geometrie zu tun, obwohl es Uneinigkeit darüber gibt, worauf sie sich bezieht. Für manche Menschen ist Trigonometrie ein Teil der Geometrie.

Frühe Geschichte.

Die Anfänge der Trigonometrie lassen sich bis ins alte Ägypten und Babylon sowie in die Zivilisation des Industals zurückverfolgen und reichen mehr als 3000 Jahre zurück.

Indische Mathematiker waren Pioniere bei der Berechnung algebraischer Variablen, die sowohl bei der Berechnung der Astronomie als auch der Trigonometrie verwendet werden.

Lagadha ist ein bis heute bekannter Mathematiker, der in seinem Buch Vedanga, Jyotisha, Geometrie und Trigonometrie verwendet hat, um die Astronomie zu berechnen.

Wo die meisten seiner Werke aufgrund der indischen Invasoren zerstört wurden.

Obwohl die Begriffe Sinus, Cosinus und Tangens Teil der Trigonometrie sind, sind sie in der Geschichte seiner Entdeckung viel älter als der Begriff Trigonometrie selbst.

Der Begriff Trigonometrie wurde erstmals 1595 verwendet. Inzwischen existierten die Wörter Sinus, Cosinus und Tangens in den 600er Jahren. Diese Arbeit soll jedoch nicht nur die Geschichte der trigonometrischen Terme diskutieren.

Etymologisch ist die Bedeutung des Wortes Sinus weit vom Inhalt des Begriffs entfernt. „Sinus“ ist lateinisch für „Brust“.

Das Konzept des Vergleichs der gegenüberliegenden Seite mit der Hypotenuse in einem Dreieck wird im populären Sanskrit "Jiva" genannt.

Dann in der islamischen Zivilisation zu "Jiba" entwickelt.

Denn die Sprachentwicklung im Arabischen wird zu "Jaib", was wörtlich "Brüste" bedeutet.

Gut, die Brust im lateinischen Begriff ist "Sinus". Sowie die Entwicklung zu "sine" im Englischen.

Seien Sie also nicht überrascht, wenn Sie im lateinischen Wörterbuch das Wort Sinus finden, das "Brust" bedeutet und sich dann Cosinus entwickelt; „komplementäre Nebenhöhlen“.

Während sich einige Jahrzehnte später das Wort Tangente entwickelte, das vom lateinischen Wort "tangere" abgeleitet wurde, was "berühren" bedeutet.

Ausgehend von dem Konzept des Liniensegments AB, das den Kreis bei A berührt. Die Tangente ist die Differenz zwischen AB und AO im Winkel BOA.

Der griechische Mathematiker Hipparchos stellte um 150 v. Chr. eine trigonometrische Tabelle zur Auflösung von Dreiecken zusammen.

Ein anderer griechischer Mathematiker namens Ptolemaios entwickelte um das Jahr 100 weitere trigonometrische Berechnungen.

So erstellte Aryabhata, ein indischer Mathematiker, 499 zusammen mit den Kosinustabellen die Halbprozenttabellen, die heute als Sinustabellen bekannt sind.

Er benutzte Zya für Sinus, Kotizya für Cosinus und Otkram Zya für Sinsang Sangang. Und er führte auch Versinus ein.

Dann, im Jahr 628, gab es einen indischen Mathematiker namens Brahmagupta, der die Formel verwendete: interpolieren, um den Sinuswert zu berechnen, sodass der zweite Rang für die Interpolationsformel Newton-Stirling.

Der persische Mathematiker Omar Khayyam (1048-1131) kombinierte dann Trigonometrie und die Näherungstheorie, um verschiedene Methoden zur Lösung algebraischer Gleichungen durch Geometrie bereitzustellen.

Khayyam gelang es dann, die dreifache Potenzgleichung x3 + 200x = 20×2 + 2000 zu lösen. Und erhalten Sie einen positiven Peak für diese Dreierpotenz, indem Sie eine vierseitige Hyperbel und einen Kreis kreuzen.

Die Lösung der Näherungszahl wird dann durch Interpolation in trigonometrischen Tabellen erhalten.

Die verschiedenen detaillierten Methoden, die bei der Konstruktion der Sinustabelle für jeden Winkel verwendet wurden, wurden 1150 vom indischen Mathematiker Bhaskara angegeben.

Es ist zusammen mit den Halbformeln von Sinus und Cosinus.

Später entwickelte Bhaskara auch die sphärische Trigonometrie.

Nasir al-Din Tusi, ein persischer Mathematiker, könnte zusammen mit Bhaskara Menschen gewesen sein der erste, der die Trigonometrie als mathematische Disziplin mit hohen Werten verarbeiten kann anders.

In seinem Essay über Vierecke war er der erste, der sechs verschiedene Fälle von rechtwinkligen Dreiecken in der sphärischen Trigonometrie aufführte.

Dann im 14. Jahrhundert al-Kashi, ein persischer Mathematiker, und Ulugh Beg (östlicher Enkel), ein Experte Die timuridische Mathematik erstellte dann im Rahmen des Studiums der Astronomie Tabellen mit trigonometrischen Funktionen Sie.

Bartholemaeus Pitiscus, ein schlesischer Mathematiker, veröffentlichte später ein trigonometrisches Werk, das beeinflusst im Jahr 1595 führte das Wort "Trigonometrie" ins Englische und Englische ein Frankreich.

Und bei diesem Treffen wird die Trigonometrie diskutiert, die sich auf verschiedene Formeln für Summe oder Differenz bezieht. Und das Produkt ist gut für Sinus, Cosinus und Tangens.

Trigonometrie oder auf Griechisch, nämlich trigonon = "drei Winkel" und metron = "Maß" ist ein Zweig der Mathematik, der Beziehungen untersucht, die Längen und Winkel von Dreiecken umfassen.

Wo erscheint diese Trigonometrie im 3. Jahrhundert v. Chr. (BC) in hellenistische ÄraAstronomie zu studieren.

Winkelmessung

Aus dem obigen Bild können wir schließen, dass das Verständnis Die Winkelmessung ist einer der wichtigen Aspekte bei der Vermessung und auch Kartierung der Rahmen- oder Detailpunkte.

Auch die verwendeten Winkelmesssysteme unterscheiden sich voneinander.

Das System zum Messen von Winkeln bei der Kartierung und Messung kann bestehen aus:

• Sexagesimalwinkel-Messsystem Measurement
• Sentimentales Winkelmesssystem
• Fehlersystem im Bogenmaß

Die Grundlage für die Messung der Größe des Winkels ist die gleiche wie bei einem in vier Teile geteilten Kreis. Und der Kreis wird Quadrant genannt, der in 4 Regionen unterteilt ist. Darunter sind: Quadrant I, II, III und Quadrant IV.

Bei der Sexagesimalmethode kann ein Kreis in 360 gleiche Teile geteilt werden und jeder Teil wird als Grad bezeichnet. 1 Quadrant im Kreis ist also = 900.

1o = 60' 1' = 60" 1o = 3600"

Vergleich der Trigonometrie in rechtwinkligen Dreiecken

Zur Definition perster rechtwinkliger trigonometrischer Vergleich- ist:

Und zur Definition trigonometrische Verhältnisse des zweiten rechten Winkels, sind:

Trigonometrische Vergleichswerte für spezielle Winkel

Der Vergleichswert enthält mehrere Tabellen, die Ihnen das Auffinden der Ergebnisse erleichtern. Die Tabelle selbst hat 2 Arten von Spezialtabellen.

Welche Art? Schauen Sie sich die folgende Tabelle an:

Erste trigonometrische Vergleichstabelle für spezielle Winkel

Trigonometrische Vergleichstabelle für den zweiten Sonderwinkel

Vergleich trinogometrischer Relationswinkel und Winkel I Angle

Winkelvergleiche und trigonometrische Beziehungen sind Erweiterungen der grundlegenden trigonometrischen Definition der Ähnlichkeit in einem rechtwinkligen Dreieck, das nur Winkel des Quadranten I erfüllen kann. Und spitze Winkel (0 90°).

Schauen Sie sich zum Beispiel das Bild unten an!

Vergleich von Winkeln und Winkeln trigonometrischer Beziehungen II

Für jede akute, können dann (90° + ) und (180° ) produzieren Quadrant II. Winkel. In der Trigonometrie kann die Beziehung dieser Winkel wie folgt ausgedrückt werden:

Trigonometrische Identität

Trigonometrische Identitäten sind Ähnlichkeiten, die trigonometrische Winkelverhältnisse enthalten.

Eine trigonometrische Identität kann ihre Wahrheit beschreiben durch Drei Wege.

Die erste beginnt mit der Vereinfachung der linken Seite unter Verwendung der vorherigen Identität, bis sie dieselbe Form wie die rechte Seite hat.

Die zweite besteht darin, die rechte Seite so zu ändern und zu vereinfachen, dass sie dieselbe Form wie die linke Seite erhält.

Und der dritte Weg, die linke und rechte Seite in die gleiche Form zu ändern.

Es gibt mehrere trigonometrische Identitätsformeln, die Sie kennen sollten, darunter:

1. Die Grundformel, die das Gegenteil ist

2. Die Grundformel, die eine Vergleichsbeziehung ist

Für weitere Details zur trigonometrischen Identitätsformel werden wir sie im Folgenden beschreiben:

Verschiedene trigonometrische Identitätsformeln

1. Die Formel für Summe und Differenz zweier Winkel

• Formel an Kosinus Die Summe der Differenz zwischen zwei Winkeln ist:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

• Formel an Sinus Summe und Differenz zweier Winkel sind:

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Formel an Tangente Summe und Differenz zweier Winkel sind:

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – tan A x tan B
tan A (A – B) = tan A – tan B/1 + tan A x tan B

2. Formel für Doppelwinkel

• Unter Verwendung der Formel sin (A + B) für A = B wird daraus:

sin2A = sin(A+B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Also, sin 2A = 2 sin A cos A

• Unter Verwendung der Formel cos (A + B) für A = B wird daraus:

cos2A = cos(A+A)
= cos A cos A – sin A sin
= cos 2A – sin 2A ………………………(1)

oder es könnte sein

cos 2A = cos 2A – sin 2A
= cos 2A – (1 – cos 2A)
= cos 2A – 1 + cos 2A
= 2 cos 2A – 1…………………………(2)

oder

cos 2A = cos 2A – sin 2A
= (1 – sin2A) – sin2A
= 1 – 2 sin 2A…………………….…(3)

Aus den obigen Gleichungen (1), (2), (3) erhält man eine neue Formel, nämlich:

cos 2A = cos 2A – sin 2A
= 2 cos 2A – 1
= 1 – 2 sin 2A

• Unter Verwendung der Formel tan (A + B) für A = B gilt dann:

Bräune 2A = Bräune (A + A)
= tan A + tan A/1 tan A x tan A
= 2 Tonnen A/1 – Tonnen 2A
Also, tan 2A = 2 tan A/1 – tan 2A

3. Die Formel für die Summe und Differenz der Winkel 

4. Mathematische Trigonometrie Multiplikationsformel

5. Summen- und Differenzformel 

6. Trigonometrische Halbwinkelformel

Beispielfragen und Diskussion

1. Wenn tan 5° = p. Bestimmen Sie dann den Wert von:

• braun 50°

Antworten:

tan 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p

so dass, der Wert von tan 50° ist = 1 + p/1 – p

2. Bestimmen Sie den Wert von sin 105° + sin 15°

Antworten:

Aus dem obigen Problem können wir schließen, dass der obige Problemtyp ein Beispiel für ein trigonometrisches Additionsproblem ist.

Wir können also die Formel für die Addition von Sünde in der obigen Beschreibung sehen.

Die Formel ist 2sin (A+B) cos (A-B)

Antworten:

Wert sin 105° + sin 15° = 2 sin (105+15)°cos (105-15)°)
= 2 sin (102)° cos (90)°
= sin 60° cos 45°

Dann ist der Wert von sin 105° + sin 15° sin 60° cos 45°

Daher diesmal ein kurzer Rückblick, den wir vermitteln können. Hoffentlich kann die obige Rezension als Ihr Studienmaterial verwendet werden.