Grenzen mathematischer Funktionen: Trigonometrie, Unendlich, Beispielaufgaben

Grenzwert in der Mathematik ist ein Begriff aus der Mathematik, der häufig verwendet wird, um eine Eigenschaft einer Funktion zu beschreiben.

Wenn sich das Argument einem Punkt im Unendlichen nähert oder die Natur einer Folge, wenn sich der Index dem Unendlichen nähert.

Grenzwerte werden häufig in der Infinitesimalrechnung und anderen Zweigen der mathematischen Analyse verwendet, die zum Finden von Ableitungen und Erweiterungen verwendet werden.

In der Mathematik werden Grenzen im Allgemeinen bei einer Einführung in die Infinitesimalrechnung untersucht.

Grenzen einer Funktion

Wenn f(x) ist eine reelle Funktion und c eine reelle Zahl ist, dann lautet die Formel:

Dann gleich f(x) können wir so machen, dass es einen Wert hat, der so nah wie möglich an L indem wir Werte schaffen x nahe bei c.

Im obigen Beispiel ist der Grenzwert von f(x) wenn x Annäherung c, das ist L. Wir müssen uns erinnern, wenn der vorherige Satz zutrifft, obwohl f(c) ≠ L. Tatsächlich ist die Funktion in f(x) muss an der Stelle nicht erneut definiert werden c.

Hier ist ein zweites Beispiel, das die Eigenschaft veranschaulicht.

Als Beispiel:

Wann x nahe dem Wert 2. In diesem Beispiel, f(x) hat bei Punkt 2 eine klare Definition und der Wert entspricht dem Grenzwert, der 0,4 beträgt:

Wenn x je näher an 2, der Wert von f(x) wird nahe 0,4 liegen, daher

In welchem ​​Fall f bezeichnet als kontinuierlich bei x = c. In diesem Fall ist dies jedoch nicht immer der Fall.

Als Beispiel:

Grenze G(x) zum Zeitpunkt x näher an 2, was 0,4 ist (wie f(x), aber : G diskontinuierlich am Punkt x = 2.

Oder ein Beispiel kann genommen werden, wo f(x) ist an der Stelle nicht definiert x = c:

In diesem Beispiel zur Zeit x in der Nähe von 1, f(x) ist an der Stelle nicht definiert x = 1 aber der Grenzwert bleibt gleich 2, denn je mehr x nahe 1 dann f(x) nähert sich 2:

Daraus können wir schließen:

Dann x kann so nah wie möglich an 1, solange es nicht genau dasselbe ist wie 1, daher die Grenze vonf(x)} f(x) ist 2.

Formale Definition des Limits

Formale Definition Grenze definiert, wenn f ist eine Funktion, die in einem offenen Intervall definiert ist, das einen Punkt enthält  (mit der möglichen Ausnahme von Punkt ) ebenso gut wie L ist eine reelle Zahl. So dass;

Das heißt, wenn für jeden wir erhalten > 0 was für alle gilt x wobei 0 < | x – c | , dann wird es wirksam | f(x) – L | <

Grenzwert einer Funktion bei Unendlich

Das Konzept der Grenze, wenn x sich der Unendlichkeit nähert, sowohl positiv als auch negativ ist ein Konzept, das sich auf die Grenze bezieht, wenn x nahe einer Zahl.

Dies bedeutet nicht den Unterschied zwischen x durch Unendlich wird klein, weil Unendlichkeit keine Zahl ist.

Es bedeutet vielmehr, dass x sehr groß bis unendlich oder sehr klein bis negativ unendlich sein.

Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Funktion:

1. f(100) = 1.9802
2. f(1000) = 1.9980
3. f(10000) = 1.9998

Das heißt, mehr x steigt, dann ist der Wert von f(x) wird in der Nähe von 2. Im obigen Beispiel können wir Folgendes sagen:

Linienlimit

Betrachten Sie die folgenden Sequenzen: 1.79, 1.799, 1.7999 …..

Wir können sehen, ob sich die verschiedenen Lifte oben der Zahl 1,8 nähern, was die Grenze der Linie ist.

Formal zum Beispiel x₁, x₂, … ist eine Folge reeller Zahlen. Wir sagen reelle Zahlen (L) wie Grenze diese Zeile und schreiben Sie sie als:

was bedeutet: Zu jeder reellen Zahl > 0 gibt es eine natürliche Zahl nein also für alles: nein > nein, |x_nein − L| < ε.

Durch Intuitiv Das heißt, wenn sich am Ende alle Elemente der Folge wie gewünscht dem Grenzwert nähern, weil der Absolutwert |x_nein − L| ist der Abstand zwischen x und auch L.

Nicht alle Sequenzen haben Grenzen. Wenn überhaupt, nennen wir es konvergent. Und wenn nicht, heißt es abweichend.

Man kann zeigen, dass eine konvergente Folge nur einen Grenzwert hat.

Sequenzgrenzen und Funktionsgrenzen hängen eng zusammen. Einerseits ist der Grenzwert der Folge einfach der Grenzwert im Unendlichen einer in Bezug auf natürliche Zahlen definierten Funktion.

Aber andererseits ist der Grenzwert einer Funktion f auf x, falls vorhanden, gleich dem Grenzwert der Folge x_nein = f(x + 1/nein).

Grenzen algebraischer Funktionen

Der Grenzwert einer algebraischen Funktion ist eines der grundlegenden Konzepte in Analysis und Analysis, das das Verhalten einer Funktion betrifft, die sich einem bestimmten Eingabepunkt nähert.

Eine Funktionszuordnungsausgabe f(x) für jeden Eingang x. Diese Funktion hat eine Grenze L am Eingabepunkt p wann f(x) „nahe“ an L, wenn x nahe bei p.

Also mit anderen Worten, f(x) wird näher kommen L Wann x nähert sich auch p.

Außerdem, wenn f auf jeden Eingang angewendet genug nahe bei p, ist das Ergebnis eine Ausgabe, die (willkürlich) nahe an L.

Wissen Sie?
Obwohl in der Entwicklung der Infinitesimalrechnung im 17. und 18. Jahrhundert impliziert, ist der moderne Begriff der Grenze Die neue Funktion wurde 1817 von Bozen diskutiert, der die Grundlagen der Epsilon-Delta-Technik einführte. Aber sein Werk ist zu seinen Lebzeiten unbekannt. –sc: wikipedia

Wenn die Eingabe ist schließen auf p Es stellt sich heraus, dass die Funktion auf sehr unterschiedliche Ausgänge abgebildet wird f wird gesagt, keine Grenze zu haben.

Die Definition der Grenze wird seit dem 19. Jahrhundert formal formuliert.

Konzept der Grenzen algebraischer Funktionen

Limit kann als das Erreichen eines Limits definiert werden, etwas, das nahe ist, aber nicht erreicht werden kann.

In der mathematischen Sprache kann diese Bedingung bezeichnet werden als Grenze.

Limit ist ein mathematisches Konzept, bei dem gesagt wird, dass etwas dem Wert einer bestimmten Zahl "nahe" oder "nahe" ist. Grenzwerte können in Form einer Funktion vorliegen, deren Codomain "fast" oder "nahe" dem Wert einer bestimmten natürlichen Zahl ist.

Warum sollte es eine Grenze geben? Denn limit drückt eine Funktion aus, wenn man sich einem bestimmten Limit nähert.

Warum sollten Sie es angehen? Denn eine Funktion ist in der Regel an bestimmten Stellen nicht definiert.

Obwohl eine Funktion an einem bestimmten Punkt oft nicht definiert ist, kann man sie trotzdem herausfinden welcher Wert wird von der Funktion angefahren, wenn ein bestimmter Punkt angefahren wird, nämlich um Grenze.

In der mathematischen Sprache werden Grenzen wie folgt geschrieben:

Das heißt, wenn x sich a nähert, aber x nicht gleich a ist, dann nähert sich f(x) L. Wir können die Annäherung von x an a von zwei Seiten sehen, nämlich von der linken Seite und auch von der rechten Seite oder mit dem Wort andernfalls kann x sich von links und rechts annähern, so dass es eine linke Grenze und eine Grenze ergibt Recht.

Aus der obigen Beschreibung erhalten wir also das folgende Formelbeispiel:

Für x-Werte nahe 1:

Hier ist ein grafisches Bild:

Wenn man sich die obige Grafik ansieht, kann es unterteilt werden in:

• Nähert sich x von links 1 an, dann nähert sich der Wert von f(x) 2
  
• Nähert sich x von rechts 1 an, dann nähert sich der Wert von f(x) 2
  
• Wenn sich also x 1 nähert, nähert sich der Wert von f(x) 2
  

Satz oder Aussage

Eine Funktion hat einen Grenzwert, wenn der linke und der rechte Grenzwert den gleichen Wert haben. Wenn also die linke Grenze und die rechte Grenze nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

Definition und Grenzwertsatz. Wie oben beschrieben, bedeutet Grenze im allgemeinen Sprachgebrauch Grenze.

Wenn wir Mathematik studieren, gibt es einige Lehrer, die sagen, dass die Grenze ein Ansatz ist.

Die Bedeutung dieses Grenzwertes besagt, dass sich eine Funktion f (x) einem bestimmten Wert nähert, wenn x sich einem bestimmten Wert nähert.

Diese Näherung ist begrenzt zwischen zwei sehr kleinen positiven Zahlen namens limited Epsilon und Delta.

Die Beziehung zwischen diesen beiden kleinen positiven Zahlen wird in der Definition von Grenzwert zusammengefasst.

Eigenschaften von Grenzwerten algebraischer Funktionen

Wenn nein eine positive ganze Zahl ist, k Konstante, f und G ist eine Funktion mit einem Grenzwert bei c, dann gelten einige der folgenden Eigenschaften.

Arten von algebraischen Grenzwertlösungsmethoden

Es gibt mehrere Methoden oder Wege, um algebraische Grenzwerte zu lösen, einschließlich:

• Ersetzungsmethode
• Factoring-Methode
• Methode der Division durch den höchsten Exponenten des Nenners
• Die Methode der Multiplikation mit einem gemeinsamen Faktor

Hier werden wir die Methoden einzeln erklären. Hör gut zu, ja.

Bestimmung des Grenzwertes einer algebraischen Funktion

Es gibt 2 Arten, um den Grenzwert einer algebraischen Funktion zu bestimmen, einschließlich:

Das erste Formular:

Und die zweite Form ist:

1. Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode ersetzt nur Variablen, die einem bestimmten Wert nahe kommen, durch ihre algebraischen Funktionen.

Als Beispiel:

Der Wert der algebraischen Grenzfunktion ist also:

2. Factoring-Methode

Die Factoring-Methode wird verwendet, wenn die Methode oder Substitutionsmethode, die einen Grenzwert ergibt, nicht definiert werden kann.

Als Beispiel:

Die Factoring-Methode wird verwendet, indem der gemeinsame Faktor zwischen Zähler und Nenner bestimmt wird.

Bezogen auf die zweite Grenzform gibt es mehrere Methoden zur Bestimmung des Grenzwertes der Funktion limit Algebra ist eine Methode oder Methode der Division durch die höchste Potenz des Nenners und die Methode der Multiplikation mit einem Faktor Freunde.

3. Methode zur Division der höchsten Potenz des Nenners

Als Beispiel:

Bestimmen Sie den Grenzwert der algebraischen Funktion des Grenzwerts unten:

Die Potenz von Zähler und Nenner in der Aufgabe ist 2, also

so dass, Der Grenzwert der algebraischen Funktion ist

Beispielfrage 2.

Bestimmen Sie den Grenzwert der algebraischen Funktion des Grenzwerts unten:

Die Potenz von Zähler und Nenner in der Aufgabe ist 3, also

Der Wert des Grenzwertes der algebraischen Funktion ist also:

4. Methode der Multiplikation mit zusammengesetzten Faktoren

Diese Methode wird verwendet, wenn die Substitutionsmethode sofort einen irrationalen Grenzwert ergibt.

Die Funktion wird mit ihrer gemeinsamen Wurzel multipliziert, damit die Grenzform nicht irrational ist, sodass wieder eine direkte Substitution von Werten erfolgen kann. x → c .

Als Beispiel:

Grenzen unendlicher algebraischer Funktionen

Bei der Berechnung des Grenzwertes algebraischer Funktionen gibt es manchmal auch einen Wert von x, der sich unendlich annähert (∞).

Wenn die Funktion ersetzt wird, erzeugt sie daher einen unsicheren Wert.

Beim Betrieb des Grenzwertes gibt es mehrere Gesetze oder Grenzwertsätze, die Sie beachten müssen. Wenn n eine ganze Zahl, k eine Konstante, eine Funktion f und eine Funktion g Funktionen sind, deren Grenzwert nahe der Zahl c liegt, dann gilt:

Und es gibt zwei Methoden, um den Grenzwert einer algebraischen Funktion unendlicher Form zu lösen, einschließlich:

1. Durch den höchsten Rang dividieren

Diese Methode wird in der Grenzfunktion der Form verwendet .

Diese Methode kann durchgeführt werden, indem man den Zähler f (x) und den Nenner g (x) durch die Variable x. dividiert^nein die höchste Potenz, die in den Funktionen f (x) und g (x) enthalten ist. Und dann, nur dann können wir es durch ersetzen x → ∞.

Als Beispiel:

2. Zusammengesetzte Formen multiplizieren

Diese Methode wird auf die Grenzfunktion der Form angewendet . Diese Methode oder Methode kann durch Multiplikation der zusammengesetzten Form gelöst werden, nämlich:

Fahren Sie dann mit der Division mit der ersten Methode fort, nämlich der Division durch die höchste Potenz.

Als Beispiel:

Als nächstes dividiere Zähler und Nenner mit der höchsten Potenz von x, also x¹:

Grenzen trigonometrischer Funktionen

Grenzwerte können auch in trigonometrischen Funktionen verwendet werden. Die Lösung ist dieselbe wie bei der algebraischen Grenzfunktion. Um die nächste Erklärung zu verstehen, müssen Sie jedoch zuerst das Konzept der Trigonometrie verstehen.

Die Lösung des Grenzwerts dieser Funktion in der Trigonometrie kann verwendet werden, indem einige Änderungen an der Form von Sinus, Cosinus und Tangens vorgenommen werden.

Es gibt drei allgemeine Formen im Grenzwert trigonometrischer Funktionen, einschließlich:

1. Bilden

In dieser Form ist der Grenzwert der trigonometrischen Funktion f(x) das Ergebnis der Einsetzung des Wertes von c in x aus der Trigonometrie.

Als Beispiel:

Ist c = 0, so lautet die Formel für die Grenzen der Trigonometrie:

2. Bilden

In dieser Form ergibt sich der Grenzwert aus dem Verhältnis von 2 verschiedenen Trigonometrien.

Wenn diese beiden Trigonometrien direkt durch den Wert von c ersetzt werden, ergibt sich f (c) = 0 und g (c) = 0.

Der Wert der trigonometrischen Grenze wird also eine unbestimmte Zahl . Die Lösung ist die gleiche wie die der algebraischen Grenzfunktion, nämlich die Faktorisierung.

Beispiele für dieses Formular sind:

3. Bilden

In dieser Form ergibt sich der Grenzwert aus dem Vergleich zwischen trigonometrischen und algebraischen Funktionen.

Wenn es direkt ersetzt wird, wird eine unbestimmte Zahl erzeugt. In dieser Form geschieht dies mit dem Begriff der Derivate. Die Grundformel für diese Grenze lautet:

Basierend auf der obigen Grundformel werden sie, wenn sie weiterentwickelt wird, zu den folgenden Formeln:

Problembeispiel und Diskussion

Wie man an undefinierten Funktionsgrenzen arbeitet

Es gibt Zeiten, in denen die Ersetzung von x durch a in lim f(x) x→a f(x) zu einem undefinierten Wert macht oder f(a) die Form 0/0, /∞ oder 0.∞ erzeugt.

Ist dies der Fall, hat die Lösung die Form f(x). Versuchen Sie zu vereinfachen, damit der Grenzwert bestimmt werden kann.

Formularlimit 0/0

Die Form 0/0 kann vorkommen in:

Wenn wir auf ein solches Formular stoßen, versuchen Sie, die Funktion zu optimieren, bis wir einen Teil finden, den wir durchstreichen können.

Wenn es in Form einer quadratischen Gleichung vorliegt, können wir eine Faktorisierung oder Assoziation versuchen und vergessen Sie nicht, dass es eine Regel a. gibt²-b² = (a+b) (a-b).

Hier geben wir ein Beispiel:

/∞ .form

Die Grenzform /∞ erfolgt auf einer Polynomfunktion wie folgt:

Problembeispiel:

Versuchen Sie den folgenden Grenzwert zu ermitteln:

Antworten:

Hier ist eine kurze Zusammenfassung der mathematischen Grenzformel für die Form /∞

• Wenn ich
• Wenn m=n, dann L = a/p
• Wenn m>n dann L =

Limit-Form (∞-∞)

Die Form (∞-∞) erscheint oft bei nationalen Prüfungen.

Die Form der Frage ist sehr, es gibt mehrere Arten. Aber die Lösung ist nicht weit von Vereinfachung entfernt. Hier werden wir Beispiele für Fragen geben, die wir aus der nationalen Prüfung 2013 genommen haben.

Bundesexamensfragen 2013.

Limit setzen

Wenn Sie x -> 1 eingeben, lautet die Form (∞-∞). Und um die -∞-Form zu entfernen, müssen wir die Form vereinfachen, um zu werden,

Schnelle Formel löst Unendlichkeitsgrenze

Die Schnellformel zur Lösung des ersten Unendlich-Grenzwerts kann verwendet werden, um unendliche Grenzwertprobleme in Bruchform zu bilden.

Um den Grenzwert der Unendlichkeit in Bruchform zu finden, müssen wir nur die höchste Potenz jedes Zählers und Nenners betrachten.

Es gibt 3 Möglichkeiten, die passieren könnten.

• Erstens ist die höchste Potenz des Zählers kleiner als der höchste Rang des Nenners.
• Zweitens ist der höchste Rang des Zählers gleich dem höchsten Rang des Nenners.
• Drittens ist der höchste Rang des Zählers höher als der höchste Rang des Nenners.

Die dritte Formel für den unendlichen Grenzwert in Form eines Bruchs kann der folgenden Gleichung entnommen werden.

Problembeispiel:

Grenzwert von: ist …..

EIN. – ∞

B. – 5

C. 0

D. 5

E. ∞

Diskussion:

Der höchste Rangwert im Zähler ist 3 und der höchste Rangwert im Nenner ist 2 (m>n). Der Grenzwert ist also .

Antwort: E

Daher diesmal ein kurzer Rückblick, den wir über mathematische Grenzen vermitteln können. Hoffentlich kann die obige Überprüfung der mathematischen Grenze als Ihr Studienmaterial verwendet werden.