Linien und Winkel: Klasse 7 Materialien, Probleme und Diskussion

Linien und Winkel sind eines der Materialien in Mathematik, die wir in der 7. Klasse der Junior High School lernen werden. Nun, dieses Mal werden wir verschiedene Dinge im Zusammenhang mit Linien und Winkeln lernen.

Ausgehend von der Beziehung zwischen zwei Geraden, den Winkelarten, den Winkeleigenschaften und auch den Winkeleinheiten.

Lesen Sie die folgenden Bewertungen genauer.

Linie

Eine Linie ist eine Anordnung von Punkten (kann unendlich sein), die nebeneinander liegen und der Länge nach in zwei Richtungen (rechts/links, oben/unten) aufgereiht sind.

Position von zwei Linien

Parallele

Zwei parallele Linien das heißt, wenn die Linie in einer Ebene liegt und sich niemals treffen oder schneiden wird, wenn die Linie bis ins Unendliche verlängert wird.

Das Symbol für parallele Linien ist (//)

Zwei Geraden werden als parallel bezeichnet, wenn die beiden Geraden in derselben Ebene liegen oder sich ihre Verlängerungen niemals schneiden.

Zu einigen Eigenschaften paralleler Linien, unter anderem:

• Passiert man einen Punkt außerhalb der Linie, kann genau eine weitere Linie parallel zur Linie gezogen werden.
• Wenn es eine Linie gibt, die eine der beiden parallelen Linien schneidet, dann schneidet die Linie die zweite Linie.
• Wenn eine Linie parallel zu einer anderen Linie ist, dann sind die beiden Linien auch parallel zueinander

Schnittlinien

Zwei Linien werden als sich schneidend bezeichnet, wenn die beiden Linien einen Schnittpunkt haben oder allgemein als gemeinsamer Punkt bezeichnet werden.

Linienüberlappung

Zwei Geraden heißen zusammenfallen, wenn sie mindestens zwei Schnittpunkte haben.

Zum Beispiel: der Stundenzeiger, wenn er 12 Uhr anzeigt. Dann stimmen die beiden Uhrzeiger überein.

Grenzen überschreiten

Man kann sagen, dass sich zwei Linien kreuzen, wenn die beiden Linien nicht parallel sind und nicht in derselben Ebene liegen.

Um die verschiedenen Positionen der obigen Linien zu verstehen, sehen Sie sich das Bild unten an:

Ecke

Ein Winkel ist etwas, das durch das Zusammentreffen zweier Strahlen oder zweier gerader Linien entsteht.

Dieser Winkel ist ein Bereich, der von einem Strahl gebildet wird, der an der Basis des Strahls gedreht wird. Winkel werden mit dem Symbol „∠“ bezeichnet.

Definition von Winkel

In der Mathematik kann ein Winkel als eine Fläche definiert werden, die durch das Vorhandensein von zwei Strahlen gebildet wird, deren Ausgangspunkte verbunden sind oder zusammenfallen.

Ecke In der Geometrie ist es ein Maß für die Drehung eines Liniensegments von einem Startpunkt zu einem anderen.

Darüber hinaus kann in einer regelmäßigen zweidimensionalen Form ein Winkel auch als der Raum zwischen zwei sich schneidenden Geradensegmenten definiert werden. -sc: wikipedia

Teile schräg

Winkel bestehen aus drei wichtigen Teilen, darunter:

Winkelschenkel

Dies ist die Strahlenlinie, die den Winkel ausmacht.

Eckpunkt

Es ist der Start- oder Schnittpunkt, an dem die Strahlenlinie zusammenfällt.

Eckbereich

Die Fläche oder der Raum zwischen den beiden Schenkeln einer Ecke.

Weitere Details finden Sie im folgenden Bild:

Arten von Winkeln

Um die Größe eines Winkels auszudrücken, verwenden wir Grad (°), Minuten (‘) und auch Sekunden (“), wobei:

Position zwei Zeilen

Hier sind unter anderem die Positionen der beiden Linien:

• Zwei oder mehr Geraden heißen parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und wird sich niemals treffen oder kreuzen, wenn die Linie bis ins Unendliche verlängert wird endlich.
• Zwei Geraden heißen sich schneiden, wenn sie in derselben Ebene liegen und einen Schnittpunkt haben.
• Zwei Linien stimmen überein, wenn die Linie eine gerade Linie ist, so dass nur eine gerade Linie sichtbar ist.
• Zwei Geraden sollen sich schneiden, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden, wenn sie verlängert werden.

Beziehung zwischen Winkeln

Quadratischer Winkel

Wenn zwei Winkel zusammenfallen und einen rechten Winkel bilden, ist ein Winkel einen Komplementärwinkel für die anderen Winkel, so dass die beiden Winkel Komplementärwinkel genannt werden (ergänzen).

Hier ist ein Bild für den Winkelwinkel:

Die Summe zweier komplementärer Winkel beträgt 90°. Ein Winkel ist das Komplement des anderen Winkels.

Geraden Winkel

Wenn zwei Winkel zusammenfallen und einen geraden Winkel bilden, dann ist ein Winkel ein komplementärer Winkel zum anderen Winkel. Die beiden Winkel können also als Komplementärwinkel bezeichnet werden.

Hier ist ein Bild für die geraden Winkel:

Die Summe zweier komplementärer Winkel beträgt 180°. Ein Winkel ist das Komplement des anderen Winkels.

Beziehung zwischen Winkeln, wenn zwei Linien parallel sind

Von einer anderen Linie geschnitten

Schauen Sie sich das Bild unten gut an:

Gegenwinkel (gleiche Größe)

Es ist ein Winkel, der die gleiche Position und den gleichen Betrag hat. Im Bild oben sind die entgegengesetzten Winkel:

A = E
B = F
C = G
D = H

Gegenüberliegende Innenwinkel (gleiche Größe)

Ist ein innenliegender Winkel, dessen Position einander gegenüber liegt. Im obigen Bild sind die gegenüberliegenden Innenwinkel:

C = E
D = F

Gegenläufige Außenwinkel (gleiche Größe)

Ist ein Winkel, der außen liegt und sich gegenüberliegt, zum Beispiel:

A = G
B = H

Entgegengesetzte und entgegengesetzte Winkel

• Wenn zwei parallele Linien durch eine andere Linie geschnitten werden, werden vier Paare von entgegengesetzten Winkeln gebildet, die betragsmäßig gleich sind.
• Wenn zwei Linien durch eine andere Linie geschnitten werden, sind die Abmessungen der gegenüberliegenden Außenwinkel gleich.
• Wenn zwei parallele Linien durch eine andere Linie geschnitten werden, sind die gegenüberliegenden Innenwinkel gleich groß.
• Werden zwei parallele Geraden durch eine andere Gerade geschnitten, so beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.

Innenwinkel

Es ist ein Winkel, der innen liegt und seine Position auf der gleichen Seite ist. Zusammengerechnet ergeben die Winkel auf der gegenüberliegenden Seite einen Winkel von 180°. Als Beispiel:

D + E = 180°
C + F = 180°

Einseitige Außenecke

Ist ein Winkel, der außen liegt und dessen Position auf der gleichen Seite liegt. Zusammengerechnet ergeben die Winkel auf der gegenüberliegenden Seite einen Winkel von 180°. Als Beispiel:

B + G = 180°
A + H = 180°

Gegenwinkel (gleiche Größe)

Ist ein Winkel, dessen Positionen einander entgegengesetzt sind, im obigen Bild sind die entgegengesetzten Winkel:

A = C
B = D
E = G
F = H

Ein Paar entgegengesetzter Winkel tritt auf, wenn sich zwei Geraden so schneiden, dass zwei Winkel, die dem Schnittpunkt gegenüberliegen, werden als Gegenwinkel bezeichnet.
Zwei entgegengesetzte Winkel sind gleich.

Winkeleinheit

In Grad stellt ein Wert von 1 Grad einen Winkel dar, der um 1/360 einer Drehung gedreht wird. Das bedeutet 1° = 1/360 Umdrehung.

Um einen Winkel anzugeben, der kleiner als Grad (°) ist, können wir die Symbole für Minute (‘) und Sekunde (”) verwenden.

Achten Sie genau auf das folgende Verhältnis von Grad, Minuten und Sekunden:

1 Grad (1°) = 60 Minuten (60′)

1 Minute (1′) = 1/60°

1 Minute (1′) = 60 Sekunden (60”)

1 Grad (1°) = 3600 Sekunden (3600”)

1 Sekunde (1”) = 1/3600°

Winkelmaß im Bogenmaß in

1° = p/180 Radiant

oder

1 Bogenmaß = 180°/p

Wenn Wert p = 3,14159 so:

1° = p/180 Radiant = 3,14159/180 = 0,017453

oder

1 Radiant = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°

Beispielfragen und Diskussion

Hier werden wir einige Fragen zu Linien und Winkeln stellen, darunter:

Problem 1.

Je drei Linien k, l und m in der Anordnung wie unten gezeigt.

Linie k ist parallel zu Linie l und Linie m schneidet Linie k und l.

Bestimmen Sie also:

a) entgegengesetzte Winkel
b) entgegengesetzte Winkel
c) entgegengesetzte Winkel in
d) außen gegenüberliegende Winkel
e) Innenwinkel auf einer Seite
f) einseitige Außenwinkel
g) gerade Winkel

Antworten:

a) Gegenwinkel sind:

A1 mit B1
A4 mit B4
A2 mit B2
B3 mit B3

b) Gegenwinkel sind:

A1 mit A3
A2 mit A4
B1 mit B3
B2 mit B4

c) innere gegenüberliegende Winkel (gegenüber innen), nämlich:

A3 mit B1
A4 mit B2

d) äußere gegenüberliegende Winkel sind:

A2 mit B4
A1 mit B3

e) die Innenwinkel sind:

A3 mit B2
A4 mit B1

f) einseitige Außenwinkel, nämlich:

A2 mit B3
A1 mit B4

g) gerade Winkel sind:

A1 mit A2
A1 mit A4
A2 mit A3
A3 mit A4
B1 mit B2
B1 mit B4
B2 mit B3
B3 mit B4

Frage 2.

Gegeben sind drei Geraden, nämlich k, l und m sowie die Winkel, die in der Umgebung liegen. k und l sind parallel, während die Linie m die Linie k und l schneidet.

Wenn P = 125°, dann bestimme die anderen sieben Winkel darum!

Antworten:

R = P = 125° (weil R entgegengesetzt zu P ist)
T = P = 125° (Weil T P entspricht)
V = R = 125° (weil V entgegengesetzt zu R ist)∠Q = 180° P = 180° − 125° = 55° (weil Q gleich P-Richtgerät ist)
S = Q = 55° (weil S entgegengesetzt zu Q ist)
U = Q = 55° (weil U in Relation zu Q steht)
W = U = 55° (weil W entgegengesetzt zu U ist)

Aufgabe 3.

Sehen Sie sich das Bild unten an, wenn EF parallel zu DG ist und das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Winkelmaß von C von 40° ist.

Dann spezifizieren Sie:

a) Die Größe des Winkels DBE
b) Das Winkelmaß BEF
c) Winkel CAG

Antworten:

a) Die Größe des Winkels DBE

Der erste Schritt besteht darin, zuerst die Größe des Winkels ABC zu bestimmen. ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck, sodass die Größe von ABC = BAC ist. Drei Winkel in a Dreieck, wenn wir addieren, ist 180 °, also ABC = (180 40): 2 = 70 ° also BAC ist auch 70 ° BEDBE = ABC = 70°, weil sie entgegengesetzt sind zurück.

b) Das Winkelmaß BEF

BEF = ABC = 70°, weil sie entgegengesetzt sind oder BEF = DBE = 70°, weil sie entgegengesetzt sind.

c) Winkel CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110°, weil CAG und BAC gerade Linien sind.

Aufgabe 4. (UN 2012/2013 Paket 54)

Sehen Sie sich das Bild unten an!

Die Größe des Winkelrichtgeräts SQR beträgt...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Antworten:

Achtung** diese Frage ist eine der Fangfragen, denken viele, wenn die Frage gestellt wird SQR, obwohl nach PQS gefragt wurde.

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie zunächst nach dem Wert von x suchen.

In diesem Fall ∠PQS und ∠SQR ist ein komplementärer Winkel, also:

∠PQS + ∠SQR = 180°(5x)° + (4x+9)° = 180°9x° + 9 = 180°9x° = 171°x° = 19°

Glätteisen ∠SQR = PQSGlätteisen ∠SQR = (5x)°Glätteisen ∠SQR = (5.19)°Glätteisen ∠SQR = 95° (Antwort C)

Frage 5. (UN-Paket 2009/2010 10)

Schauen Sie sich das folgende Bild an:

Das Maß des Winkels Nummer 1 beträgt 95° und das Maß des Winkels Nummer 2 beträgt 110°. Das Maß des Winkels Nummer 3 ist...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Antworten:

∠1 = ∠5 = 95° (gegenläufige Innenwinkel)2 + 6 = 180° (ausgerichtet zueinander)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Antwort B)

Frage 6. (UN 2010/2011 Paket 15)

Sehen Sie sich das Bild unten an:

Groß ∠BCA ist….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Antworten:

ABC + CBD = 180° (einfach)ABC + 112° = 180°ABC = 68°BCA + ABC + BAC = 180°BCA + 68° + 42° = 180°BCA + 110 = 180°BCA = 70° (Antwort A)

Frage 7. (UN 2010/2011 Paket 15)

Sehen Sie sich das Bild unten an:

Groß ∠P3 ist….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Antworten:

P2 = 74° (entgegengesetzte Außenwinkel)P2 + P3 = 180° (einfach)74° + P3 = 180°P3 = 106° (Antwort C)

Frage 8. (UN 2012/2013 Paket 1)

Sehen Sie sich das Bild unten an:

Das Maß des Winkelrichtgeräts KLN ist...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Antworten:

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie zunächst den Wert von x ermitteln.

In diesem Fall ∠KLN und ∠MLN ist ein Komplementärwinkel, also:

∠KLN + ∠MLN = 180°(3x + 15)° + (2x+10)° = 180°5x° + 25° = 180°5x° = 155°x° = 31°

Glätteisen ∠KLN = MLNGlätteisen ∠KLN = (2x+10)°Glätteisen ∠KLN = (2.31 + 10)°Glätteisen ∠KLN = 72° (Antwort B)

Aufgabe 9. (UN 2012/2013 Paket 2)

Sehen Sie sich das Bild unten an:

Großer Angler ∠SQR ist….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Antworten:

Achtung** diese Frage ist auch eine Frage der Falle, daher denken viele Leute, dass diese Frage gestellt wird SQR, obwohl nach PQS gefragt wurde.

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie zunächst den Wert von x ermitteln.

In diesem Fall ∠SQR und ∠PQS ist ein rechter Winkel, also:

∠SQR + ∠PQS = 90°(3x + 5)° + (6x+4)° = 90°9x° + 9° = 90°9x° = 81°x° = 9°

Winkel ∠SQR = PQSWinkel ∠SQR = (6x+4)°Winkel ∠SQR = (6.9 + 4)°Winkel ∠SQR = 58° (Antwort D)

Frage 10. (UN 2012/2013 Paket 5)

Sehen Sie sich das Bild unten an:

Toller Glätteisen ∠AOC ist….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Antworten:

Um Frage Nummer 10 zu beantworten, müssen Sie zunächst den Wert von x ermitteln.

In diesem Fall ∠AOC und ∠BOC ist ein komplementärer Winkel, also:

∠AOC + ∠BOC = 180°(8x – 20)° + (4x+8)° = 180°12x° – 12° = 180°12x° = 192°x° = 16°

Glätteisen ∠AOC = BOCGlätteisen ∠AOC = (4x+8)°Glätteisen ∠AOC = (4.16 + 8)°Glätteisen ∠AOC = 72° (Antwort B)

Das ist der kurze Überblick über Linien und Winkel, den wir diesmal vermitteln können. Hoffentlich kann der obige Überblick über Linien und Winkel als Ihr Lernmaterial verwendet werden.