Ableitungen algebraischer Funktionen: Grundlegende Ableitungen, Formeln, Probleme, Diskussion

Die Ableitung einer algebraischen Funktion ist eine andere Funktion einer vorherigen Funktion, zum Beispiel wird die Funktion f zu f', die einen unregelmäßigen Wert hat.

Grundsätzlich wird der Begriff der Derivate in unserem täglichen Leben häufig verwendet.

Sei es in Mathematik oder anderen Wissenschaften.

Die Funktion der Ableitung selbst, die wir oft kennen, besteht darin, die Tangente an eine Kurve oder Funktion und Geschwindigkeit zu berechnen.

Darüber hinaus wird dieses abgeleitete Konzept auch häufig verwendet, um die Wachstumsrate von Organismen (Biologie), den Grenzgewinn (Ökonomie), die Drahtdichte (Physik) und die Trennrate (Chemie) zu bestimmen.

Alle diese Funktionen haben im Grunde das gleiche Konzept, nämlich das Konzept der Ableitungen. Für mehr Details, Komm schon Schauen Sie sich die folgenden Bewertungen gut an:

Definition 

Definition von Derivat

Die Ableitung oder auch als Ableitung bekannt ist ein Maß dafür, wie sich die Funktion ändert, wenn sich der Eingangswert ändert.

Im Allgemeinen gibt die Ableitung an, wie sich eine Größe infolge einer Änderung einer anderen Größe ändert.

Zum Beispiel: Die Ableitung der Position eines Objekts, das sich dann nach der Zeit bewegt, ist die Momentangeschwindigkeit des Objekts.

Das Finden einer Ableitung heißt derivative Unterscheidung. Und der Kehrwert einer Ableitung heißt als Anti-Abstieg.

Der fundamentale Satz oder die Aussage der Infinitesimalrechnung besagt, dass Stammfunktion dasselbe wie Integration ist.

Ableitungen und Integrale sind zwei wichtige Funktionen in der Analysis.

• (in x)'
• (sind x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (tan x) = sec² x
• y' ist das Symbol für die erste Ableitung.
• y" ist das Symbol für die zweite Ableitung.
• y“' ist das Symbol für die dritte Ableitung.

Andere Symbole neben den Symbolen y' und y" sind

Definition der Ableitungsfunktion

Ableitungsformeln für algebraische Funktionen

1. Ableitungsformel der Potenzfunktion

Die Ableitung der Funktion hat die Form einer Potenz, ihre Ableitung kann die Formel verwenden: wie folgt:

Die Formel für die Ableitung der Potenzfunktion lautet also:

2. Die Formel für die Ableitung des Produkts der Funktion

Die Formel für die Ableitungsfunktion f (x), die aus der Multiplikation der Funktionen u (x) und v (x) gebildet wird, lautet:

Die Formel für die Ableitung der Funktion lautet also:

f'(x) = u'v +uv'

3. Die Formel für die Ableitung der Divisionsfunktion

Die Formel für die Ableitung der Funktion lautet also:

4. Die Potenzableitungsformel der Funktion pangkat

Denken Sie daran, wenn f(x) = x^nein, deshalb:

Die Formel für die Ableitung der Funktion lautet also:

f'(x) = nu(n – 1). du'

4. Trigonometrische Ableitungsformeln

Basierend auf der Definition der Ableitung können wir mehrere trigonometrische Ableitungsformeln erhalten, nämlich wie folgt: (mit u und v bzw. Funktionen von x), einschließlich: y' =

1. y = sin x→ y' = cos x
2. y = cos x → y' = -sin x
3. y = tan x → y’ = sec² x
4. y = Kinderbett x → y’ = -csc² x
5. y = Sek x → y'
6. y = csc x → y’ = csc × Kinderbett x
7. y = Sünde^nein xy' = n sin^n-1 × cos x
8. y = cos^nein x → y' = -n cos^n-1 × Sünde x
9. y = sin u → y' = u' cos u
10. y = cos u → y' = u' sin u
11. y = tan u → y’ = ui sec² du
12. y = cot u → y’ = -u’ csc² du
13. y = sec u → y’ = u’ sec u tan u
14. y = csc u → y’ = u’ csc u cot u
15. y = Sünde^nein u → y' = n.u' sin^n-1 weil du
16. y = cos^nein u → y' = -n.u' cos^n-1 . Sünde dich

Ableitungen algebraischer Funktionen

Definition von Derivat

Die Ableitung der Funktion f(x) nach x ist definiert durch:

sofern die Grenze existiert.

Derivative Notation

Die erste Ableitung der Funktion y = f (x) auf x kann wie folgt geschrieben werden:

• y' = f'x lagrange
• leibniz
• D_xy = D_x[f(x)]⇒ euler

Aus der obigen Definition können wir einige abgeleitete Formeln wie folgt ableiten:

1. f(x) = k f'(x) = 0
2. f(x) = k x f'(x) = k
3. f(x) = x^nein f '(x) = nx^n-1
4. f(x) = k u(x) f '(x) = k u'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x) f '(x) = u'(x) ± v'(x)

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, die eine Wurzel oder einen Bruch enthält, müssen wir zuerst die Funktion in Exponenten umwandeln.

Hier sind einige Eigenschaften von Wurzeln und Exponenten, die unter anderem häufig verwendet werden:

• x^ich. x^nein = x^m+n
• x^ich/x^nein = x^{M N}
• 1/x^nein = x^-n
• x = x^1/2
• ^neinxm = x^{M N}

Beispiel:

Problem 1.

Finden Sie die Ableitung von f(x) = x√x

Antworten:

f(x) = x√x = x. x^1/2 = x^3/2

f(x) = x^3/2 →

Frage 2.

Bestimmen Sie die Ableitung von

Antworten:

Multiplikation und Division zweier Funktionen

Angenommen y = uv, dann kann die Ableitung von y ausgedrückt werden als:

y' = u'v + uv'

Angenommen y = u/v, dann kann die Ableitung von y ausgedrückt werden als:

Probleme beispiel.

Problem 1.

Die Ableitung von f(x) = (2x + 3)(x² + 2) nämlich:

Antworten:

Beispielsweise:

u = 2x + 3 u' = 2
v = x² + 2 v' = 2x

f '(x) = u' v + u v'
f '(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4+4x² + 6x
f'(x) = 6x² + 6x + 4

Kettenregel

Wenn y = f(u), wobei u eine auf x ableitbare Funktion ist, dann kann die Ableitung von y nach x in der Form ausgedrückt werden:

Aus dem obigen Kettenregelkonzept gilt dann für y = u^nein, wird bekommen:

Im Allgemeinen lässt sich wie folgt sagen:

Wenn f(x) = [u(x)]^nein wobei u(x) eine Funktion ist, die von x abgeleitet werden kann, dann:

f'(x) = n[u(x)]^n-1. du (x)

Probleme beispiel.

Problem 1.

Finden Sie die Ableitung von f(x) = (2x + 1)⁴

Antworten:

Beispielsweise:

u(x) = 2x + 1 u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u(x)]^n-1. du (x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
f'(x) = 8(2x + 1)³ 

Frage 2.

Finden Sie die Ableitung von y = (x² 3x)⁷

Antworten:

y' = 7(x² 3x)^7-1 . (2x 3)
y' = (14 x 21). (x² 3x)⁶

Übungsfragen & Diskussion

Problem 1.

Finden Sie die Ableitung der Funktion von f(x) = 2x(x4 – 5).

Antworten:

Angenommen, wenn du(x) = 2x und v(x) = x4-5, dann:

du‘ (x) = 2 und v‘ (x) dann = 4x3

Auf diese Weise werden die Beschreibung und die Ergebnisse erhalten:

f ‘(x) = du ‘(x).v(x) + du(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Frage 2. Ableitungsprobleme algebraischer Funktionen

Die Ableitung der ersten Funktion von das ist …

Antworten:

Dieses Problem ist ein Funktionsproblem der Form y = au^nein die mit der Formel y' = n diskutiert und gelöst werden können. ein. du^n-1. Dann:

Die Ableitung lautet also:

Aufgabe 3. Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Bestimmen Sie die erste Ableitung von:

Antworten:

Um das obige Problem zu lösen, können wir die gemischte Formel verwenden, nämlich:

und kann auch die Formel y' = n verwenden. du sündigst^n-1 u. weil du

so:

Aufgabe 4.

Ableitung von f(x) = (x – 1)²(2x + 3) ist…

Antworten:

Beispielsweise:

u = (x1)² u' = 2x 2
v = 2x + 3 v' = 2

f '(x) = u'v + uv'
f ‘(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x 6 + 2(x² 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f'(x) = 6x² 2x 4
f '(x) = (x 1)(6x + 4) oder
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

Frage 5.

Wenn f (x) = x² – (1/x) + 1, dann f'(x) =... .

EIN. x – x²
B. x + x²
C. 2x – x^-2 + 1
D. 2x – x² – 1
E. 2x + x^-2

Antworten:

f(x) = x² – (1/x) + 1

= x² – x^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

Antwort: E

Daher ein kurzer Überblick über die Ableitungen algebraischer Funktionen, die wir vermitteln können. Hoffentlich kann die obige Rezension als Ihr Studienmaterial verwendet werden.