Vektormathematik: Typen, Operationen, orthogonale Projektionen, Notationen, Probleme

Ein mathematischer Vektor ist eine Größe, die eine Richtung hat. Dieser Vektor selbst kann durch einen Pfeil dargestellt werden, dessen Richtung in die Richtung des Vektors zeigt. Und die Länge der Linie wird normalerweise als Vektorgröße bezeichnet.

Wenn der Vektor bei Punkt A beginnt und bei Punkt B endet, kann der Vektor mit einem Kleinbuchstaben mit einem Bindestrich oder einem Pfeil darüber geschrieben werden (

oder ). Oder es kann auch auf eine Weise wie im Bild unten gemacht werden:

Zum Beispiel Vektor ist ein Vektor ausgehend von Punkt A(x₁. ja₁) geht zu Punkt B(x₂. ja₂) können wir die kartesischen Koordinaten unten zeichnen.

Die Länge der Linie parallel zur x-Achse ist v₁ = x₂ – x₁ und die Länge der Linie parallel zur y-Achse ist v₂ = ja₂ – ja₁ sind einige Vektorkomponenten .

Vektorkomponenten  Wir können schreiben, um Vektoren algebraisch auszudrücken als:

Vektortyp

In der Mathematik gibt es verschiedene Arten von speziellen Vektoren, darunter:

• Positionsvektor
  Ein Vektor, dessen Startpunkt bei 0 (0,0) liegt und dessen Endpunkt bei A. liegt
• Nullvektor
  Ein Vektor, dessen Länge null ist und der mit bezeichnet wird . Der Nullvektor hat keine eindeutige Vektorrichtung.
• Einheitsvektor
  Ein Vektor mit einer Länge von einer Einheit. Einheitsvektor von das ist:
  
• Basisvektor
  Ein Basisvektor ist ein Einheitsvektor, der senkrecht zueinander steht. In einem zweidimensionalen Vektorraum (R²) hat zwei Basisvektoren nämlich und . Während in drei Dimensionen (R³) hat drei Basisvektoren, nämlich , , und auch .

Verschiedene Arten und Vektoroperationen Operasi

Mathematische Vektoren bestehen nicht nur aus mehreren Typen, sondern mathematische Vektoren bestehen auch aus mehreren Arten.

Im Folgenden stellen wir verschiedene Vektoren mit ihren Operationen auf einmal zur Verfügung. Sehen Sie sich diese genau an:

Vektor in R2 

Die Länge eines Liniensegments, das einen Vektor darstellt, wird mit bezeichnet oder kann auch mit dem Symbol |. bezeichnet werden|

Hier ist die Länge des Vektors, die wie folgt lautet:

Die Länge des Vektors selbst ist eine Form, die auf den Winkel bezogen werden kann, der sowohl durch den Vektor als auch durch die positive Achse leicht gebildet werden kann.

Vektorbetrieb auf R2 

Vektoradditions- und -subtraktionsverfahren in R2 

Resultant ist der Name des Ergebnisses der Addition von zwei oder mehr Vektoren.

Die Addition dieses Vektors selbst kann auch algebraisch erfolgen und kann auch durch Addition der Komponenten erfolgen, die sich an derselben oder nächsten Position befinden.

Wenn:

dann:

Dann können wir die grafische Summation selbst im folgenden Beispielbild sehen:

Diese Vektorsubtraktion wird wie die Addition behandelt, einschließlich der folgenden, siehe das folgende Beispiel:

Die Eigenschaften in dieser Vektoraddition selbst sind wie folgt, siehe Formel:

⇒ Vektormultiplikation in R² Mit Skalar 

Ein Vektor selbst kann auch mit einem Skalar oder einer reellen Zahl multipliziert werden, was einen neuen Vektor ergibt, wenn ein Vektor und k ein Skalar ist.

Damit kann die Vektormultiplikation wie folgt bezeichnet werden:

Hier noch einige Details:

• Wenn k > 0, dann Vektor wird in die gleiche Richtung wie der Vektor .
• Wenn k < 0, dann Vektor wird in die entgegengesetzte Richtung zum Vektor sein .
• Wenn k = 0, dann Vektor ist der Identitätsvektor .

Grafisch kann diese Multiplikation die Länge des Vektors ändern und ist in der folgenden Tabelle zu sehen:

Wenn algebraisch, Vektorprodukt mit dem Skalar k können wir mit einer Formel wie der folgenden formulieren:

Skalarmultiplikation zweier Vektoren in R²

Im Skalarprodukt zweier Vektoren kann es auch als Skalarprodukt zweier Vektoren bezeichnet werden, was wir wie folgt schreiben können:

Vektor in R³

Ein Vektor, der sich im dreidimensionalen Raum (x, y, z) befindet, wobei der Abstand zwischen den beiden Vektorpunkten in R³ Sie können dies herausfinden, indem Sie die pythagoräische Formel entwickeln.

Wenn der Punkt von A(x₂. ja₂. z₂) und B(x₂. ja₂. z₂) sind:

Oder wenn , so dass:

Vektor kann in zwei Formen angegeben werden, nämlich in der Spalte

oder in der Zeile zu sein

Vektoren können auch als Linearkombinationen von Basisvektoren dargestellt werden, wie z oder und oder

folgendes vollständig:

Vektorbetrieb auf R³

Vektoroperationen auf R³ haben im Allgemeinen das gleiche Konzept wie die Operationen auf dem Vektor R² zusätzlich Subtraktion und Multiplikation.

Addieren und Subtrahieren von Vektoren in R³

Addition und Subtraktion von Vektoren in R³ ist das gleiche wie im Vektor R² nämlich:

Multiplikation von Vektoren in R³ mit Skalar

Wenn ein Vektor und k ein Skalar ist. Dann wird die Vektormultiplikation:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Neben der Formel für R³, gibt es eine andere Formel für das Skalarprodukt zweier Vektoren. Wenn und dann ist:

Vektor orthogonale Projektion Project

Projiziert man den Vektor ā in einen Vektor Widerhaken und einen Namen gegeben  wie das Bild unten:

Ist bekannt:

so:

Um den Vektor zu erhalten:

Vektor-Notation

Wie oben erklärt, wird der Vektor hier durch die Buchstaben dargestellt, die die Richtung der darüber liegenden Linie erhalten.

Vektoren können in zwei Dimensionen oder sogar drei Dimensionen oder mehr ausgedrückt werden. Wenn er in drei Dimensionen ausgedrückt wird, hat der Vektor einen Einheitsvektor, der durch i, j und k ausgedrückt wird.

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Betrag eine Einheit ist und dessen Richtung entlang der Hauptachse liegt, nämlich:

ich ist ein Einheitsvektor in Richtung der Achse x (Abszisse)

j ist ein Einheitsvektor in Richtung der Achse ja (Ordinate)

k ist ein Einheitsvektor in Richtung der Achse z (Anwendung)

mit Axt als Komponente in x-Richtung und a_y Komponenten der y-Achsenrichtung und a_z ist die Komponente der z-Richtung.

Vektorschriftform:

in Mathematik wird häufiger in der Form geschrieben:

wobei die Komponente in Form eines numerischen Indexes ist:

Die Länge des Vektors (groß, Wert) wird in der Algebra als absolutes Vorzeichen geschrieben

Oder im numerischen Index

Wenn der Vektor durch die Koordinaten definiert ist

Dann wird der Vektor AB dargestellt durch

Vektorlänge AB

Für den Einheitsvektor eines Vektors, der ausgedrückt wird als

Ausgedrückt mit

Beispielfragen und Diskussion

Problem 1.

Wenn bekannt ist, dass es einen Punkt A(2,4,6), einen Punkt B(6,6,2) und einen Punkt C(p, q,-6) gibt. Wenn die Punkte A, B und C auf einer Linie liegen, ermitteln Sie den Wert von p + q!

Antworten:

Liegen die Punkte A, B und C auf einer Geraden, dann ist der Vektor und Vektor Es kann auch unidirektional oder in verschiedene Richtungen sein.

Es wird also eine Zahl m geben, die ein Vielfaches ist und eine Gleichung wie die folgende bilden kann:

• m. =

Wenn B zwischen den Punkten A und C liegt, wird es wie folgt ermittelt:

Sie können also erhalten:

Es können also Vielfache von m in der Gleichung bestimmt werden:

Die Ergebnisse, die wir erhalten, sind also:

Wir können also folgende Schlussfolgerungen ziehen:

p + q = 10 + 14 = 24

Frage 2.

Wenn bekannt ist, dass der Vektor an Punkt A und Punkt B und der Vektor an Punkt C, der zwischen der Linie Ab liegt, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Finden Sie die Gleichung des Vektors C.

Antworten:

Auf dem Bild oben können wir das sehen:

so:

Daher ein kurzer Überblick über die Vektormathematik, den wir vermitteln können. Hoffentlich kann der obige Überblick über Vektormathematik als Ihr Studienmaterial verwendet werden.