Quadratische Gleichungen: Definition, Arten, Eigenschaften, Formeln

Quadratische Gleichungen: Definition, Arten, Eigenschaften, Formeln und Beispielprobleme – Was ist eine quadratische Gleichung und ihre Wurzelformel ?Bei dieser Gelegenheit Über Knowledge.co.id diskutieren, ob es sich um eine quadratische Gleichung, die Wurzelformel und andere Dinge, die sie umgeben, handelt. Schauen wir uns die Diskussion im folgenden Artikel an, um sie besser zu verstehen.

Quadratische Gleichungen: Definition, Arten, Eigenschaften, Formeln und Beispielaufgaben

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In der Mathematik bedeutet Quadrat, dass die Quadratwurzel der Zahl x gleich der Zahl r ist, sodass r2 = x, oder, mit anderen Worten, die Zahl r, die quadriert (das Produkt der Zahl selbst) gleich x.

Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Variablen mit der höchsten Zweierpotenz. Die allgemeine Form ist: Wobei a, b Koeffizienten sind und c eine Konstante ist und a 0. Die Lösung oder Lösung einer Gleichung wird als Wurzel der quadratischen Gleichung bezeichnet.

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Arten von Wurzeln quadratischer Gleichungen

Um die Wurzelarten einer quadratischen Gleichung zu bestimmen, können wir auch die Formel D = b2 – 4ac verwenden. Wenn der Wert von D gebildet wird, finden wir leicht die Wurzeln. Hier sind einige gängige Arten von quadratischen Gleichungen:

• Echte Wurzel ( D 0 )
  

» Reale Wurzeln unterscheiden sich, wenn = D > 0

Beispiel:

Bestimmen Sie den Wurzeltyp der folgenden Gleichung:

x2 + 4x + 2 = 0 !

Lösung:
Aus der Gleichung = x2 + 4x + 2 = 0

Ist bekannt :

a = 1
b = 4
c = 2

Antworten:

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8 ( D> 8, dann ist die Wurzel auch eine reelle Wurzel aber anders )

» reelle Wurzeln gleich x1 = x2, wenn D = 0

Beispiel:
Beweisen Sie, dass die folgende Gleichung zwei reelle Nullstellen hat:

2×2 + 4x + 2 = 0

Lösung:
Aus der Gleichung = 2×2 + 4x + 2 = 0

Ist bekannt :

a = 2
b = 4
c = 2

Antworten:

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(2)(2)
D = 16 – 16
D = 0 ( D = 0, es ist bewiesen, dass die Wurzeln reell und Zwilling sind)

• Imaginäre/unreale Wurzel ( D < 0 )

Beispiel:
Bestimmen Sie den Wurzeltyp der folgenden Gleichung:

x2 + 2x + 4 = 0 !

Lösung:
Aus der Gleichung = x2 + 2x + 4 = 0

Ist bekannt :

a = 1
b = 2
c = 4

Antworten:

D = b2 – 4ac
D = 22 – 4(1)(4)
D = 4 – 16
D = -12 ( D<0, dann sind die Wurzeln nicht real )

•  Rationale Wurzel ( D = k2 )

Beispiel:
Bestimmen Sie den Wurzeltyp der folgenden Gleichung:

x2 + 4x + 3 = 0

Lösung:

Aus Gleichung = x2 + 4x + 3 = 0

Ist bekannt :

a = 1
b = 4
c = 3

Antworten:

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(3)
D = 16 – 12
D = 4 = 22 = k2 (Weil D=k2=4 dann ist die Wurzel der Gleichung eine rationale Wurzel)

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Methodenformel zur Bestimmung der Wurzel einer quadratischen Gleichung

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung: ax2 + bx + c = 0 wobei a 0. Die Diskriminante kann durch D = b2 – 4ac bestimmt werden.

• Wenn der Wert von D > 0 ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln.
• Wenn der Wert von D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung zwei gleiche Wurzeln (Zwillinge).
• Wenn der Wert von D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln (hat imaginäre Wurzeln).

Es gibt 3 Methoden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu bestimmen:

• Factoring-Methode

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist ax2 + bx + c = 0, wobei a 0 ist.

Bestimmung der Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Faktorisierungsmethode, das Endergebnis der Faktorisierung hat die Form a (x – x1)(x – x2) = 0.

In dieser Form sind x1 und x2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

• Perfekte Quadrate-Vervollständigungsmethode

Das Lösen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung der Form ax2 + bx + c durch Vervollständigung eines perfekten Quadrats kann durch Umwandeln in die Form (x + p) 2 = q erfolgen.

Danach kann es gelöst werden durch (x + p) = q und -(x + p) = q.

• ABC-Formelmethode

Die ABC-Formel wird wie folgt geschrieben.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung: ax2 + bx + c = 0 wobei a 0.

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Eigenschaften der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen haben auch mehrere Typen, die wie folgt lauten:

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung werden durch den Diskriminanzwert (D = b2 – 4ac) bestimmt, der die Wurzeltypen der quadratischen Gleichung in 3 unterscheidet, nämlich:

• Wenn D > 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
  • Wenn D ein perfektes Quadrat ist, dann sind beide Wurzeln rational.
  • Wenn D kein perfektes Quadrat ist, sind beide Wurzeln irrational.
• Wenn D = 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei gleiche Wurzeln (Zwillingswurzeln), reell und rational.
• Wenn D < O, dann hat die quadratische Gleichung keine reellen Nullstellen oder beide Nullstellen sind nicht reell (imaginär).

Erweiterungsformular für echte Wurzeln:

• Beide positiven Wurzeln:
  • D 0
  • x1 + x2 > 0
  • x1 x2 > 0
• Zwei negative Wurzeln:
  • D 0
  • x1 + x2 < 0
  • x1 x2 > 0
• Die zwei Wurzeln sind unterschiedliche Zeichen:
  • D > 0
  • x1 x2 < 0
• Zwei gleichlautende Wurzeln:
  • D 0
  • x1 x2 > 0
• Die beiden Wurzeln stehen sich gegenüber:
  • D > 0
  • x1 + x2 = 0 (b = 0)
  • x1 x2 < 0
• Die beiden Wurzeln sind umgekehrt verwandt:
  • D > 0
  • x1 + x2 = 1 (c = a)

Beispiele für Wurzeln quadratischer Gleichungen

1. Bestimmen Sie den Wurzeltyp der folgenden Gleichung:

x2 + 4x + 2 = 0 !

Lösung:
Aus der Gleichung = x2 + 4x + 2 = 0

Ist bekannt :

a = 1
b = 4
c = 2

Antworten:

D = b2 – 4ac
D = 42 – 4(1)(2)
D = 16 – 8
D = 8 ( D> 8, dann ist die Wurzel auch eine reelle Wurzel aber anders )

2. Es gibt eine quadratische Gleichung 2×2 – 2x – 12 = 0. Bestimmen Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung mit der Faktorisierungsmethode, der Methode der Quadratvervollständigung und der ABC-Formel.
Diskussion

• Factoring-Methode

2×2 – 2x – 12 = 0

2(x2 – x – 6) = 0

2×2 – 2x – 12 = 0

2(x – 3)(x + 2) = 0

x – 3 = 0 oder x + 2 = 0

x = 3 oder x = -2

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung: 3 und -2

• Methode zum Vervollständigen perfekter Quadrate

• Mit der ABC-Formel

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung: 3 und -2.

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