√ Definition von Ableitungen, Typen, Formeln und Beispielproblemen
Die Diskussion über Derivate muss untersucht werden. Durch die Verwendung des Grenzwertkonzepts, das Sie gelernt haben, werden Sie das folgende abgeleitete Material leicht erlernen.
Definition von Derivat
Die Ableitung ist eine Berechnung von Änderungen der Funktionswerte aufgrund von Änderungen der Eingabewerte (Variablen).
Die Ableitung kann auch Differential genannt werden und der Vorgang der Bestimmung der Ableitung einer Funktion wird Differenzierung genannt.
Unter Verwendung des untersuchten Grenzwertkonzepts kann die Ableitung definiert werden als
Die Ableitung ist definiert als die Grenze der durchschnittlichen Änderung des Funktionswerts der Variablen x.
Im Folgenden wird ein Beispiel für die Umsetzung der Vererbung erläutert.
Abgeleitete Anwendung
Hier sind einige abgeleitete Implementierungen.
- Die Ableitung kann angewendet werden, um die Steigung der Tangente an eine Kurve zu berechnen.
- Mithilfe der Ableitung kann das Intervall bestimmt werden, über das eine Funktion zunimmt oder abnimmt.
- Ableitungen können angewendet werden, um den stationären Wert einer Funktion zu bestimmen.
- Ableitungen können zur Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Bewegungsgleichung angewendet werden.
- Derivate können zur Lösung von Maximum-Minimum-Problemen eingesetzt werden.
Im Folgenden wird die Ableitungsformel erläutert.
Ableitungsformeln
Hier sind einige grundlegende Formeln zur Bestimmung der Ableitung.
- f(x) = c, wobei c eine Konstante ist
Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = 0.
- f(x) = x
Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = 1.
- f(x) = axN
Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = anxn–1
- Funktionsaddition: h(x) = f(x) + g(x)
Die Ableitung dieser Funktion ist h'(x) = f'(x) + g'(x).
- Subtraktionsfunktion: h (x) = f (x) – g (x)
Die Ableitung dieser Funktion ist h'(x) = f'(x) – g'(x)
- Konstante Multiplikation mit einer Funktion (kf)(x).
Die Ableitung dieser Funktion ist k. f'(x).
Im Folgenden erklären wir die Ableitungsfunktion.
Funktionsableitung
Angenommen, es gibt eine Funktion f (x) = axN. Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = anxn–1.
Beispiele sind:
f(x) = 3x3
die Ableitung der Funktion, d.h
f'(x) = 3 (3) x3 – 1 = 9x2.
Ein weiteres Beispiel ist beispielsweise g(x) = -5y-3.
Die Ableitung dieser Funktion ist g'(y) = -5 (-3) y-3 – 1 = 15 Jahre-4.
Im Folgenden wird die Ableitung algebraischer Funktionen erläutert.
Ableitung algebraischer Funktionen
Die Diskussion über die Ableitungen algebraischer Funktionen in diesem Abschnitt umfasst Ableitungen in Form von Multiplikationen und Ableitungen in der Verteilung algebraischer Funktionen.
Die Ableitung der algebraischen Funktion in Multiplikationsform ist wie folgt.
Angenommen, es gibt eine Multiplikation von Funktionen: h (x) = u (x). v(x).
Die Ableitung dieser Funktion ist h'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x).
Information:
- h(x): Funktion in Multiplikationsform.
- h'(x): die Ableitung der Multiplikationsformfunktion
- u(x), v(x): Funktionen mit Variable x
- u'(x), v'(x): Ableitung von Funktionen mit Variable x
Die Ableitung der algebraischen Funktion in Divisionsform ist:
Angenommen, es gibt eine Multiplikationsfunktion: h (x) = u (x)/v (x). Die Ableitung dieser Funktion ist
h'(x) = (u'(x). v(x) – u(x). v'(x))/v2(X).
Information:
- h(x): Funktion in Multiplikationsform.
- h'(x): die Ableitung der Multiplikationsformfunktion
- u(x), v(x): Funktionen mit Variable x
- u'(x), v'(x): Ableitung von Funktionen mit Variable x
Im Folgenden werden Wurzelableitungen erläutert.
Wurzelderivate
Angenommen, es gibt eine Root-Funktion wie folgt
Um die Ableitung dieser Funktion zu bestimmen, wandeln wir sie zunächst in die Exponentialfunktion um. Die Exponentialform der Funktion ist f (x) = xa/b.
Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = a/b. X(a/b) – 1.
Was ist, wenn die Funktion so aussieht?
Um die Ableitung der obigen Funktion zu bestimmen, muss diese zunächst in eine Exponentialform umgewandelt werden.
f(x) = g(x)Zum Beispiel
Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = a/b. g(x)(a/b) – 1. g'(x).
Im Folgenden werden partielle Ableitungen erläutert.
Partielle Ableitung
Was ist eine partielle Ableitung? Die partielle Ableitung ist eine Ableitung der Funktion vieler Variablen nach einer Variablen, während die anderen Variablen erhalten bleiben.
Angenommen, es gibt eine Funktion: f (x, y) = 2xy, die partielle Ableitung der Funktion nach der Variablen x ist fX’(x, y) = 2y.
Die partielle Ableitung der Variablen y ist fj’(x, y) = -6xy.
Im Folgenden werden implizite Ableitungen erläutert.
Implizite Ableitung
Die implizite Ableitung wird anhand der in der Funktion enthaltenen Variablen bestimmt.
Eine Funktion mit Variable x, ihre Ableitung: x d/dx.
Eine Funktion mit Variable y, ihre Ableitung: y d/dy. dy/dx.
Eine Funktion mit den Variablen x und y, Ableitung: xy d/dx + xy d/dy. dy/dx.
Ein weiteres Beispiel ist, dass es eine Funktion g (x, y) = -3xy gibt2
Um Derivate besser zu verstehen, versuchen Sie, die folgenden Fragen zu beantworten und überprüfen Sie dann Ihre Antworten anhand der Diskussion im folgenden Abschnitt.
Beispiele für abgeleitete Fragen
1. Finden Sie die Ableitung der folgenden Funktion.
- f(x) = 8
- g(x) = 3x + 5
- h(x) = 6x3
- k(x) = 3x5/3
- m(x) = (3x2 + 3)4
Diskussion
- f'(x) = 0
- g'(x) = 3
- h'(x) = 6 (3) x3 – 1 = 18x2
- k'(x) = 3 (5/3) x(5/3) – 1 = 5x2/3
- m'(x) = 4. (3x2 + 3)4 – 1. 6x = 24x. (3x2 + 3)3
- 2. Finden Sie die Ableitung der folgenden Funktion.
f(x) = (3x + 2). (2x2 – 1)
Diskussion
Zum Beispiel: u (x) = 3x + 2 und v (x) = 2x2 – 1
f'(x) = u'(x). v(x) + u(x). v'(x)
f'(x) = 3. (2x2 – 1) + (3x + 2). (4x)
f'(x) = 6x2 – 3 + 12x2 + 8x = 18x2 +8x – 3
3. Gegeben sei eine Funktion der Ordnung 2 wie unten
Bestimmen Sie den Wert von f (0) + 3f'(1)
Diskussion
Um dieses Problem zu lösen, können wir den Wert 0 in die Funktion eingeben.
Anschließend erhalten Sie den Wert von f(0). Wir können die Ableitung der Quotientenfunktion mithilfe jeder der abgeleiteten Eigenschaften bearbeiten.
Um die Formel zu verwenden, können wir das folgende Beispiel und seine Ableitungen verwenden.
U = x2 + 3; U' = 2x
V = 2x + 1; V' = 2
Dann können wir dieses Beispiel in die vorherige Ableitungsformel eingeben und f'x (1) direkt eingeben.
Das Ergebnis ist also f (0) + 3f'(1) = 3 + 3(0) = 3
4. Finden Sie die Ableitung f (x) = (x2 + 2x + 3)(3x + 2)
Diskussion
Genau wie beim vorherigen Problem können wir zur Bearbeitung des Ableitungsproblems in Multiplikationsform die Formel für die abgeleitete Eigenschaft verwenden und ein Beispiel in der Funktion wie unten verwenden.
F'(x) = u'v + uv'
U = x2 +2x +3; U' = 2x + 3
V = 3x + 2; V' = 3
F'(x) = u'v + uv'
F'(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x2 + 2x + 3)(3)
F'(x) = 6x2 +13x +6 +3x2 +6x+9
F'(x) = 9x2 +19x +15
Die endgültige Form F'(x) ist also 9x2 +19x +15
5. Wenn es f (x) = (2x-1) gibt2(x+2). Was ist der Wert von f'x (2)
Diskussion
Um dieses Problem zu lösen, können wir die Ableitungseigenschaft der Funktion f'(x) = u'v + v'u verwenden, um das Endergebnis zu erhalten. So können wir die Trennung noch einmal durchführen.
F'(x) = u'v + uv'
U= (2x-1)2 = 4x2 – 4x + 1; U' = 8x – 4
V = x + 2; V' = 1
F'(x) = u'v + uv'
F'(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x2 – 4x + 1)(1); Wir können wie in der Aufgabe den Wert 2 eingeben
F'(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)2 – 4(2) + 1)(1))
F'(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))
F'(2) = 96 + 9 = 105
Der Endwert von F'(2) beträgt also 105
6. Finden Sie eine Tangente an die Kurve y= -2x2 + 6x + 7, die senkrecht zur Linie x – 2y +13 = 0 steht
Diskussion
In der Aufgabe wird angegeben, dass es zwei Geraden gibt, die senkrecht zueinander stehen, sodass wir annehmen können, dass die beiden Geraden eine bestimmte Steigung haben. Wir können den Wert von m bestimmen1 und M2 aus beiden Linien.
M1 ist die Steigung der Geraden y= -2x2 +6x+7. Um den Wert von m zu ermitteln1, kann durch Ableitung der Funktion y= -2x erfolgen2 +6x+7.
M1 = y'(x) = -4x + 6
M2 ist die Steigung von x – 2y +13. Um den Wert von m zu ermitteln2, müssen wir die Funktion in Funktion y ändern.
x – 2y +13 = 0
x + 13 = 2y
y = 0,5x + 6,5
M2 = y'(x) = 0,5
Da die beiden Linien senkrecht zueinander stehen, ist der Wert von m1 x m2 = -1.
M1 x m2 = -1
(-4x + 6)0,5 = -1
-2x + 3 = -1
-2x = -4
X = 2
Wir setzen es in die Gleichung m ein1 so dass der Wert von m erhalten wird1 = -2. Nachdem wir den Wert von x ermittelt haben, geben wir diesen Wert in die y-Funktion ein, sodass wir den Wert y = 11 erhalten.
Um eine Tangente zu erstellen, wird die Formel (y-y) verwendet1) = m1(x – x1).
(y – 11) = -2 (x – 2)
Y – 11 = -2x +4
Y = -2x + 15
Der Tangens ist y+2x-15 = 0
7. Es handelt sich um eine Box ohne Deckel mit quadratischer Grundfläche und einer Fläche von 512 cm2. Wie lang ist die Kante, damit das Volumen einen Maximalwert hat?
Diskussion
In dieser Frage wird erklärt, dass die Box keinen Deckel hat. Somit besteht die Box aus 4 Seiten und 1 Boden. Angenommen, die Seite der Basis sei s und die Höhe der Seite sei t. Wir können die Boxgleichung wie folgt schreiben.
512 = Grundfläche + 4 Seiten der Box
512 = s.s + 4.s.t
512 = s2 + 4
512 – s2 = 4
Nachdem wir t erhalten haben, können wir das Volumen der Box ermitteln
V = s3 = s2. T
Um das maximale Volumen zu erhalten, können wir die obige Volumengleichung herleiten
V'(s) = 0
S2 = 170,67 cm2
S = 13,07 cm
Somit beträgt die für das maximale Volumen erforderliche Länge 13,07 cm.
- Die Ableitung ist eine Berechnung von Änderungen der Funktionswerte aufgrund von Änderungen der Eingabewerte (Variablen).
- Es gibt verschiedene Arten von Ableitungen, nämlich algebraische Ableitungen, Wurzelableitungen, partielle Ableitungen, implizite Ableitungen und andere.
Das ist die Diskussion über Vererbung. Hoffentlich kann es Ihnen dabei helfen, etwas über Derivate zu lernen. Danke schön.
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