Kartesische Koordinaten: Definition, Systeme, Diagramme und Beispielprobleme

Kartesische Koordinaten: Definition, System, Diagramm und Beispielprobleme – Was meinst du mit kartesischen Koordinaten? Bei dieser Gelegenheit Über die Knowledge.co.id wird über kartesische Koordinaten und die damit verbundenen Dinge diskutieren. Schauen wir uns die Diskussion im folgenden Artikel gemeinsam an, um sie besser zu verstehen.

Kartesische Koordinaten: Definition, Systeme, Diagramme und Beispielprobleme

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Kartesisch koordiniert eine Formulierung in der Mathematik, die eine wichtige Rolle bei der Kombination von Algebra und Geometrie spielt So entstanden Descartes, kartesische Koordinaten, die einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Geometrie hatten analytisch. Die Verwendung dieses Systems wurde 1637 in zwei seiner Schriften entwickelt, die neue Vorschläge zur Angabe des Zustands oder der Position der Punkte eines Objekts auf einer Oberfläche einführten.

Kartesische Koordinaten werden oft auch als quadratische Koordinaten bezeichnet. Der Begriff Cartesius wird zum Gedenken an einen französischen Mathematiker und Philosophen namens Rene Descartes verwendet. Er ist ein Experte, der eine große Rolle bei der Kombination von Algebra und Geometrie spielt.

Als Ergebnis der Entdeckungen von Descartes hatten die kartesischen Koordinaten großen Einfluss auf die Entwicklung der analytischen Geometrie, Analysis und Kartographie. Die ersten Gründe für die Verwendung dieses Systems wurden 1637 in zwei Schriften von Descartes entwickelt.

In seinem Descartes-Diskurs über die Methode stellt er einen neuen Vorschlag zur Angabe des Zustands oder der Punktposition eines Objekts auf einer Oberfläche vor. Diese Methode besteht darin, in einem Werk von La Géométrie in dem zu entwickelnden Konzept zwei zueinander senkrechte Achsen zu verwenden.

In kartesischen Koordinaten können Sie also vom obersten Punkt springen, wenn die Punkte dazwischen markiert wurden

[-3,1], [2,3], [-1,5, -2,5] und [0,0]. als Punkt [0,0] wird auch der Ursprung des Satzes genannt.

Da die beiden Achsen in der in vier Teile geteilten xy-Ebene senkrecht zueinander stehen, wird sie Quadrant genannt und ist an den markierten Punkten [-3.1], Punkten [2.3], Punkten [-1.5, -2.5] zu sehen. .

Konventionell können sie beginnend von rechts oben in einem In-Quadranten I in entgegengesetzte Richtungen sortiert werden, und beide Koordinaten (x und y) sind positive Ergebnisse.

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Koordinatensystem

Das kartesische Koordinatensystem in zwei Dimensionen wird im Allgemeinen durch zwei zueinander senkrechte Achsen definiert, die beide in einer Ebene (der xy-Ebene) liegen.

In der Kombination der horizontalen Achse mit der Bezeichnung x und der vertikalen Achse, die mit y bezeichnet wird, mit einem dreidimensionalen Koordinatensystem als zueinander orthogonale Achsen.

Am Schnittpunkt der beiden Achsen wird der Ursprung im Allgemeinen mit 0 bezeichnet und weist eine Einheitslängenskala auf, die in einer Art Gitterform markiert ist.

Funktion zur Beschreibung eines bestimmten Punktes in einem zweidimensionalen Koordinatensystem mit einem x-Wert (Abszisse) gefolgt von einem y-Wert (Ordinate) als verwendetes Format (x, y).

Die zueinander senkrechten Achsen in der xy-Ebene sind mit den Zahlen I, II, III und IV gekennzeichnet und gelten für die x-Koordinaten mit negativem Vorzeichen und y für positiv.

Die Position des kartesischen Koordinatenpunkts wird paarweise auf die Zahl (x, y) geschrieben.

• x wird auch Abszisse genannt
• y heißt Ordinate

In Koordinaten sein.

• Punkt A liegt an den Koordinaten (1,0), mit A(1,0)
• Punkt B liegt an den Koordinaten (2,4), mit B(2,4)
• Punkt C liegt an den Koordinaten (5,7), mit C(5,7)
• Und Punkt D liegt an den Koordinaten (6,4) mit D(6,4)

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Kartesische Koordinatenfunktion

In der Mathematik wird das kartesische Koordinatensystem verwendet, um jeden darin enthaltenen Punkt zu bestimmen Ebene mithilfe von zwei Zahlen, die üblicherweise als x-Koordinate und auch als y-Koordinate dieses Punktes bezeichnet werden.

Die x-Koordinate wird oft auch als Abszisse bezeichnet, während die y-Koordinate oft als Ordinate bezeichnet wird.

Um die Koordinaten zu interpretieren, werden zwei gerichtete Linien benötigt, die senkrecht zueinander stehen [die x-Achse und die y-Achse]. Sowie die Einheitslänge, für die auf beiden Achsen Markierungen angebracht sind.

Schauen Sie sich das Bild unten genau an:

Auf dem Bild oben können wir sehen, ob 4 Punkte markiert wurden. Unter anderem: [-3,1], [2,3], [-1,5,-2,5] und [0,0]. Der Punkt [0,0] wird auch Ursprung genannt.

Auf dem Bild oben können wir Folgendes sehen:

Da die beiden Achsen senkrecht zueinander stehen, wird die xy-Ebene in vier Teile unterteilt, die als Quadranten bezeichnet werden. Dies ist in der Abbildung oben zu sehen, markiert durch Punkte [-3,1], Punkte [2,3], Punkte [-1,5,-2,5].

Gemäß der Konvention sind die vier Quadranten von rechts oben [Quadrant I] beginnend kreisförmig gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.

Im Quadranten I sind beide Koordinaten (x und y) positiv.

Im Quadranten II ist die x-Koordinate negativ und die y-Koordinate positiv.

Im Quadranten III sind beide Koordinaten negativ.

Und im Quadranten IV sind die x-Koordinaten positiv und die y-Koordinaten negativ.

Punkt [2,3] liegt im Quadranten I, Punkt [-3,1] im Quadranten II und Punkt [-1.5,-2.5] im Quadranten III.

Oder allgemeiner: Die vier Quadranten werden von rechts oben [Quadrant I] beginnend kreisförmig gegen den Uhrzeigersinn sortiert.

Im Quadranten I sind beide Koordinaten [x und y] positiv.

Im Quadranten II ist die x-Koordinate negativ und die y-Koordinate positiv.

Im Quadranten III sind beide Koordinaten negativ und im Quadranten IV sind die x-Koordinate positiv und die y-Koordinate negativ [beachten Sie noch einmal das Bild oben].
Quadrantenwert x Wert y
I ist positiv [> 0] ist positiv [> 0]
II ist negativ [< 0] positiver Wert [> 0]
II ist negativ [< 0] ist negativ [< 0]
IV ist positiv [> 0] ist negativ [< 0]

Das kartesische Koordinatensystem in zwei Dimensionen wird im Allgemeinen durch die Verwendung zweier zueinander senkrechter Achsen definiert.

Wobei die beiden Positionen der Achsen in einer Ebene liegen, nämlich der xy-Ebene. Die horizontale Achse wird mit x beschriftet, während die vertikale Achse mit y beschriftet wird.

Der Punkt, an dem sich die beiden Achsen treffen, der Ursprung, wird im Allgemeinen mit 0 bezeichnet.

Jede Achse hat auch eine Einheitslänge, und jede dieser Längen wird so markiert, dass sie eine Art Gitter bildet.

Um einen bestimmten Punkt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem zu beschreiben, wird der x-Wert [Abszisse] geschrieben, gefolgt vom y-Wert [Ordinate].

Auf diese Weise wird immer das Format [x, y] verwendet und die Reihenfolge wird nicht umgekehrt.

Das kartesische Koordinatensystem kann auch in den höheren Dimensionen verwendet werden.

Zum Beispiel: 3 [drei] Dimensionen mit drei Achsen, nämlich der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse.

Wenn in zwei Dimensionen die Linie in der xy-Ebene liegt, wird in einem dreidimensionalen Koordinatensystem eine weitere Achse hinzugefügt, die oft mit z bezeichnet wird.

Wobei diese Z-Achse zueinander senkrecht zur x-Achse und zur y-Achse steht [mit anderen Worten, die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse stehen zueinander senkrecht oder orthogonal].

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Bestimmen von Punkten im kartesischen Koordinatensystem

Die obige flache Ebene wird als Koordinatenebene bezeichnet, die durch die vertikale Y-Linie (Y-Achse) und die horizontale X-Linie (X-Achse) gebildet wird.

Die Punkte schneiden sich zwischen der Y-Linie und der X-Linie, die als Koordinatenzentrum (Punkt O) bezeichnet wird.

Diese Koordinaten werden als kartesische Koordinatenebenen bezeichnet. Wie oben erläutert, wird die kartesische Koordinatenebene verwendet, um die Position eines Punktes, ausgedrückt in Zahlenpaaren, zu bestimmen.

Beachten Sie die Punkte A, B, C und D in der Ebene. Um die Position zu bestimmen, beginnen Sie bei Punkt O. Bewegen Sie sich dann horizontal nach rechts (X-Achse) und dann nach oben (Y-Achse).

Die Position des Punktes auf der kartesischen Koordinatenebene wird in Form eines Zahlenpaares (x, y) geschrieben, wobei:

x wird auch als Abszisse bezeichnet
y heißt Ordinate.

In der Koordinatenebene gilt dann:

Punkt A liegt an den Koordinaten (1,0), geschrieben als A(1,0).
Punkt B liegt an den Koordinaten (2,4), geschrieben als B(2,4).
Punkt C liegt an den Koordinaten (5,7), geschrieben als C(5,7).
Und Punkt D liegt an den Koordinaten (6,4), geschrieben als D(6,4).

In der kartesischen Koordinatenebene können wir es so erweitern, dass es wie im Bild unten aussieht:

Als Beispiel:

Die Koordinaten des Punktes E sind (2,2)
Die Koordinaten des Punktes F, nämlich (-2,1), erhält man, indem man sich ausgehend vom Punkt O horizontal um zwei Einheiten nach links und dann um eine Einheit vertikal nach oben bewegt.
Die Koordinaten des Punktes G, nämlich (-3,-3), erhält man, indem man sich ausgehend vom Punkt O horizontal um drei Einheiten nach links und dann um drei Einheiten vertikal nach unten bewegt.

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Kartesische Vorteile

Mithilfe des kartesischen Koordinatensystems können wir geometrische Formen wie Kurven mithilfe algebraischer Gleichungen beschreiben. In dieser modernen Zeit sind kartesische Koordinaten weit verbreitet. Im Folgenden sind einige der Vorteile kartesischer Koordinaten aufgeführt, darunter:

Erste:

Im Alltag finden wir oft Grundrisse und Karten. Die Funktion der Karte selbst besteht darin, es uns leichter zu machen, einen Ort, einen Ort oder ein Gebiet zu finden. Ebenso, wenn wir jemandem einen Brief schicken möchten. Wenn wir einen Brief an jemanden senden, müssen wir die vollständige und korrekte Adresse des Empfängers kennen.

Ziel ist es, die Zustellung des Briefes selbst zu erleichtern. Wenn wir also die Adresse korrekt und vollständig angeben, kommt der Brief schneller an. Die Karte zeigt auch Breiten- und Längengrade an.

Zweite:

Im Alltag sind kartesische Koordinaten unbedingt erforderlich. Einer davon betrifft die Luftfahrt. Ein Pilot kann sein Flugzeug fliegen, ohne miteinander zu kollidieren, und außerdem herausfinden, ob das Flugzeug sein Ziel erreicht hat.

Dies liegt daran, dass das Flugzeug mit hochentwickelter Ausrüstung wie einem Radar als Erkennungsgerät, einem Kompass als Richtungsanzeiger und auch einem Radio als Kommunikationsmittel ausgestattet ist. Daher muss ein Pilot verstehen, wie man die Position eines Ortes in der kartesischen Koordinatenebene liest und bestimmt.

Dritte:

Im Sozialkundeunterricht stößt man oft auf eine Provinzkarte oder auch auf eine Landeskarte. Wir können die Position einer Stadt, eines Berges, eines Sees oder eines Flugplatzes als Position beschreiben. Um das Lesen der Karte zu erleichtern, ist die Karte mit horizontalen und vertikalen Hilfslinien bzw. Breiten- und Längengradlinien ausgestattet. Die Grundlage für die Erstellung der Linie, die die Grundlage der Koordinatenebene bildet.

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Kartesisches Koordinatenfeld

In einem Feld kann man etwas zeichnen, indem man das Gefühl hat, dass es in der kartesischen Koordinatenebene mit der Ebene einfacher ist flach in der Koordinatenebene auf der vertikalen Y-Linie (sogenannte Y-Achse) und der horizontalen X-Linie (sogenannte Y-Achse). X).

Der Schnittpunkt der X- und Y-Achsen wird als Mittelpunktskoordinate oder Basiskoordinate bezeichnet, daher werden diese Koordinatenebenen als kartesische Koordinatenebenen bezeichnet.

Koordinatenebenen können verwendet werden, um Positionen mit bestimmten Punkten in einem Zahlenpaar zu definieren, beispielsweise werden die x- und y-Achsen in x-Achsen unterteilt. und erhält ein positives Ergebnis und eine negative y-Achse.

Quadrant I der x-Achse und y-Achse positive Ergebnisse
Quadrant II der positiven X- und Y-Achsen-Ergebnisse
Quadrant III der negativen X- und Y-Achsen-Ergebnisse
Quadrant IV der X-Achsen- und Y-Achsen-Ergebnisse sind negativ

Akzeptieren Sie dieses Beispiel!

Punkt B liegt I mit positiven x-y-Werten
Erreichen Sie Punkt II bei positiven und negativen x-Werten
Punkt D liegt im Quadranten III bei negativen x- und y-Werten
Punkt A liegt im Quadranten IV bei positiven x- und negativen Werten

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Beispiele für Probleme und Diskussion kartesischer Koordinaten

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  Problem 1

Die Ordinate von Punkt A (9, 21) ist.

A. -9
B. 9
C. -21
D. 21

Antwort:

Im Allgemeinen schreiben Sie Punkt = (Abszissor, Ordinate). Im obigen Problem ist Punkt A (9, 21).

Abszisse = 9

Ordinate = 21

Die richtige Antwort ist D.

• Problem 2

In welchem ​​Quadranten liegen die unten aufgeführten Punkte?

(2,3)
(3,3)
(-4,7)
(85,-77)
(-54,2)

Antwort

(2,3) Befindet sich im Quadranten I
(3,3) Befindet sich im Quadranten I
(-4,7) Befindet sich im Quadranten II
(85,-77) Befindet sich im Quadranten IV
(-54,2) Befindet sich im Quadranten III

• Problem 3

Die bekannten Punkte P(3, 2) und Q(15, 13), die relativ zum Punkt Q in Bezug auf P sein werden, werden aufgerufen.

A. (12, 11)
B. (12, 9)
C. (18, 11)
D. (18, 13)

Antwort:

Wir können die relativen Koordinaten von Punkt Q zu Punkt P ermitteln, indem wir die Zahlen subtrahieren.

A. Abszisse Q minus Abszisse P

B. Die Q-Ordinate minus die P-Ordinate

C. Die Q-Koordinate ist also relativ zu P

D. (15-3, 13-2) = (12, 11)

Korrekte Antwort. A

• Problem 4.

Die Ordinate von Punkt A (9, 21) ist…

A. -9
B. 9
C. -21
D. 21

Antwort:

Im Allgemeinen ist das Schreiben eines Punktes = (Abszisse, Ordinate). Im obigen Problem zeigt Punkt A (9, 21), ob:

Abszess = 9

Ordinate = 21

Die richtige Antwort ist D.

• Problem 5.

Die Punkte P (3, 2) und Q (15, 13) sind bekannt. Die relativen Koordinaten von Punkt Q zu P sind...

A. (12, 11)
B. (12, 9)
C. (18, 11)
D. (18, 13)

Antwort:

Wir können die relativen Koordinaten von Punkt Q zu Punkt P ermitteln, indem wir Folgendes subtrahieren:

A. Die Abszisse von Q minus die Abszisse von P

B. Die Q-Ordinate minus die P-Ordinate

Somit sind die relativen Koordinaten von Q zu P:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

Die richtige Antwort ist also A.

• Problem 6.

Das Komplement eines Winkels von 48 Grad ist...

A. 42°
B. 52°
C. 68°
D. 138°

Antwort:

Komplement = 90 – 48 = 42

Die richtige Antwort ist also A.

• Problem 7.

Punkte A (3, 2), B (0, 2) und C (-5, 2) als Punkte, die von der p-Linie parallel zur p-Linie und q-Linie gekreuzt werden

A. Parallel zur x-Achse
B. Parallel zur y-Achse
C. Senkrecht zur x-Achse
D. Senkrecht zur y-Achse

Antwort: d

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So die Rezension von Über die Knowledge.co.id um Kartesischen Koordinaten, kann hoffentlich Ihre Einsichten und Ihr Wissen erweitern. Vielen Dank für Ihren Besuch und vergessen Sie nicht, andere Artikel zu lesen