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System aus drei variablen linearen Gleichungen: Merkmale, Komponenten, Lösungsmethoden und Beispielprobleme

System aus drei variablen linearen Gleichungen: Merkmale, Komponenten, Lösungsmethoden und Beispielprobleme –  Was versteht man unter einem System aus drei variablen Gleichungen? Bei dieser Gelegenheit Über die Knowledge.co.id Ich werde darüber diskutieren und natürlich auch über die Dinge, die damit zu tun haben. Schauen wir uns die Diskussion im folgenden Artikel gemeinsam an, um sie besser zu verstehen.

System aus drei variablen linearen Gleichungen: Merkmale, Komponenten, Lösungsmethoden und Beispielprobleme

Das System der Drei-Variablen-Gleichungen oder allgemein als SPLTV abgekürzt ist eine Sammlung linearer Gleichungen mit drei Variablen. Eine lineare Gleichung zeichnet sich dadurch aus, dass die höchste Exponentialfunktion der Variablen in der Gleichung eins ist. Darüber hinaus ist das die Gleichungen verbindende Vorzeichen ein Gleichheitszeichen.

In der Architektur gibt es mathematische Berechnungen für den Bau von Gebäuden, darunter ein System linearer Gleichungen. Zur Bestimmung der Koordinaten von Schnittpunkten ist ein lineares Gleichungssystem hilfreich. Präzise Koordinaten sind unerlässlich, um ein Gebäude zu erstellen, das der Skizze entspricht. In diesem Artikel besprechen wir ein System aus drei variablen linearen Gleichungen (SPLTV).

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System aus drei variablen linearen Gleichungen – ist eine erweiterte Form eines Systems aus zwei variablen linearen Gleichungen (SPLDV). In einem System linearer Gleichungen mit drei Variablen, das aus drei Gleichungen besteht, hat jede Gleichung drei Variablen (z. B. x, y und z).

Das System der linearen Gleichungen mit drei Variablen besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit drei Variablen. Die allgemeine Form der linearen Gleichung mit drei Variablen ist wie folgt.

ax + by + cz = d

a, b, c und d sind reelle Zahlen, aber a, b und c können nicht alle 0 sein. Diese Gleichung hat viele Lösungen. Eine Lösung kann durch den Vergleich beliebiger Werte mit zwei Variablen erhalten werden, um den Wert der dritten Variablen zu bestimmen.

Eigenschaften eines Systems aus drei variablen linearen Gleichungen

Eine Gleichung wird als lineares Gleichungssystem mit drei Variablen bezeichnet, wenn sie die folgenden Eigenschaften aufweist:

  • Verwendung einer Gleichheitszeichenbeziehung (=).
  • Hat drei Variablen
  • Die drei Variablen haben den Grad eins (Rang eins)

Drei variable lineare Gleichungssystemkomponenten

Enthält drei Komponenten oder Elemente, die immer mit einem linearen Gleichungssystem mit drei Variablen in Zusammenhang stehen.

Die drei Komponenten sind: Terme, Variablen, Koeffizienten und Konstanten. Im Folgenden finden Sie eine Erläuterung der einzelnen SPLTV-Komponenten.

  • Ethnische Gruppe

Der Begriff ist Teil einer algebraischen Form, die aus Variablen, Koeffizienten und Konstanten besteht. Jeder Begriff wird durch Hinzufügen oder Entfernen von Satzzeichen getrennt.

Beispiel:

6x – y + 4z + 7 = 0, dann sind die Terme der Gleichung 6x, -y, 4z und 7.

  • Variable

Variablen sind Variablen oder Ersatzwerte für eine Zahl, die im Allgemeinen durch die Verwendung von Buchstaben wie x, y und z gekennzeichnet werden.

Beispiel:

Yulisa hat 2 Äpfel, 5 Mangos und 6 Orangen. Wenn wir in Form einer Gleichung schreiben, dann:

Zum Beispiel: Äpfel = x, Mangos = y und Orangen = z, also lautet die Gleichung 2x + 5y + 6z.

  • Koeffizient

Der Koeffizient ist eine Zahl, die die Anzahl gleichartiger Variablen ausdrückt.

Der Koeffizient wird auch als Zahl vor der Variablen bezeichnet, da das Schreiben einer Gleichung für den Koeffizienten vor der Variablen erfolgt.

Beispiel:

Gilang hat 2 Äpfel, 5 Mangos und 6 Orangen. Wenn wir es in Form einer Gleichung schreiben, dann:

Zum Beispiel: Äpfel = x, Mangos = y und Orangen = z, also lautet die Gleichung 2x + 5y + 6z.

Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass 2, 5 und 6 Koeffizienten sind, wobei 2 der x-Koeffizient, 5 der y-Koeffizient und 6 der z-Koeffizient ist.

  • Konstante

Eine Konstante ist eine Zahl, auf die keine Variable folgt, sodass sie unabhängig vom Wert der Variablen oder der Variablen einen festen oder konstanten Wert hat.

Beispiel:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, aus dieser Gleichung ist die Konstante 7. Dies liegt daran, dass 7 einen festen Wert hat und nicht von Variablen beeinflusst wird.

Methode zur Lösung eines Systems aus drei variablen linearen Gleichungen

Ein Wert (x, y, z) ist eine Menge von Lösungen für ein System linearer Gleichungen mit drei Variablen, wenn der Wert (x, y, z) die drei Gleichungen in SPLTV erfüllt. Die Menge der SPLTV-Lösungen kann auf zwei Arten bestimmt werden, nämlich durch die Methode der Substitution und durch die Methode der Eliminierung.

  • Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode ist eine Methode zum Lösen eines linearen Gleichungssystems durch Ersetzen des Werts einer der Variablen aus einer Gleichung durch eine andere. Diese Methode wird durchgeführt, bis alle Variablenwerte in einem linearen Gleichungssystem mit drei Variablen erhalten werden.

Die Substitutionsmethode ist bei SPLTV einfacher anzuwenden, da es eine Gleichung mit einem Koeffizienten von 0 oder 1 enthält. Im Folgenden sind die Schritte zum Lösen mit der Substitutionsmethode aufgeführt.

  1. Finden Sie eine Gleichung, die eine einfache Form hat. Gleichungen mit einfachen Formen haben Koeffizienten von 1 oder 0.
  2. Drücken Sie eine der Variablen in Form von zwei anderen Variablen aus. Beispielsweise wird die Variable x durch die Variable y oder z ausgedrückt.
  3. Ersetzen Sie die im zweiten Schritt erhaltenen Variablenwerte in die anderen Gleichungen in SPLTV, sodass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen (SPLDV) entsteht.
  4. Bestimmen Sie die in Schritt drei erhaltene SPLDV-Lösung.
  5. Bestimmen Sie die Werte aller unbekannten Variablen.

Versuchen wir, das folgende Beispielproblem zu lösen. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems mit drei Variablen.

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

Erstens können wir Gleichung (1) in z = -x – y – 6 in Gleichung (4) ändern. Dann können wir Gleichung (4) wie folgt in Gleichung (2) einsetzen.

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Danach können wir Gleichung (4) wie folgt in Gleichung (3) einsetzen.

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Wir haben die Werte x = -5 und y = -3. Wir können es wie folgt in Gleichung (4) einsetzen, um den Wert von z zu erhalten.

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

Wir erhalten also die Lösungsmenge (x, y, z) = (-5, -3, 2)

  • Eliminierungsmethode

Die Eliminationsmethode ist eine Methode zur Lösung eines linearen Gleichungssystems durch Eliminierung einer der Variablen in zwei Gleichungen. Diese Methode wird solange ausgeführt, bis nur noch eine Variable übrig ist.

Die Eliminationsmethode kann für alle linearen Gleichungssysteme mit drei Variablen verwendet werden. Diese Methode erfordert jedoch lange Schritte, da jeder Schritt nur eine Variable eliminieren kann. Um die Menge der SPLTV-Lösungen zu bestimmen, ist mindestens das Dreifache der Eliminationsmethode erforderlich. Diese Methode ist einfacher, wenn sie mit der Substitutionsmethode kombiniert wird.

Die Schritte zur Lösung mithilfe der Eliminierungsmethode sind wie folgt.

  1. Beachten Sie die drei Gleichungen auf SPLTV. Wenn es zwei Gleichungen gibt, die denselben Koeffizientenwert für dieselbe Variable haben, subtrahieren oder addieren Sie die beiden Gleichungen, sodass die Variable einen Koeffizienten von 0 hat.
  2. Wenn keine Variable den gleichen Koeffizienten hat, multiplizieren Sie beide Gleichungen mit der Zahl, die den Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen gleich macht. Subtrahieren oder addieren Sie die beiden Gleichungen, sodass die Variable einen Koeffizienten von 0 hat.
  3. Wiederholen Sie Schritt 2 für das andere Gleichungspaar. Die in diesem Schritt ausgelassenen Variablen müssen mit den ausgelassenen Variablen in Schritt 2 identisch sein.
  4. Nachdem Sie im vorherigen Schritt zwei neue Gleichungen erhalten haben, bestimmen Sie den Lösungssatz für die beiden Gleichungen mithilfe der SPLDV-Lösungsmethode (Zwei-Variablen-System linearer Gleichungen).
  5. Ersetzen Sie die Werte der beiden in Schritt 4 erhaltenen Variablen in einer der SPLTV-Gleichungen, um den Wert der dritten Variablen zu erhalten.

Wir werden versuchen, in den folgenden Fragen die Eliminationsmethode anzuwenden. Bestimmen Sie die Menge der SPLTV-Lösungen!

2x + 3y – z = 20 … (1)

3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)

SPLTV kann die Lösungsmenge durch Eliminieren der Variablen z bestimmen. Addieren Sie zunächst die Gleichungen (1) und (2), um Folgendes zu erhalten:

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 … (4)

Dann multiplizieren Sie 2 in Gleichung (2) und 1 in Gleichung (1), um Folgendes zu erhalten:

3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –

5x = 25

x = 5

Nachdem Sie den Wert von x kennen, setzen Sie ihn wie folgt in Gleichung (4) ein.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Ersetzen Sie die x- und y-Werte in Gleichung (2) wie folgt.

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2(3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Damit ist die Lösungsmenge für SPLTV (x, y, z) (5, 3, -1).

  • Kombinierte oder gemischte Methoden

Das Lösen linearer Gleichungssysteme mit kombinierten oder gemischten Methoden ist eine Lösungsmethode, bei der zwei Methoden gleichzeitig kombiniert werden.

Bei der betreffenden Methode handelt es sich um die Eliminationsmethode und die Substitutionsmethode.

Diese Methode kann verwendet werden, indem zuerst die Substitutionsmethode oder zuerst die Eliminierung verwendet wird.

Und dieses Mal werden wir eine kombinierte oder gemischte Methode mit zwei Techniken ausprobieren, nämlich:

Eliminieren Sie zuerst und verwenden Sie dann die Substitutionsmethode.
Zuerst ersetzen und dann die Eliminierungsmethode anwenden.

Der Prozess ist fast derselbe wie bei der Lösung von SPLTV unter Verwendung der Eliminierungsmethode und der Substitutionsmethode.

Damit Sie besser verstehen, wie Sie SPLTV mit dieser Kombination oder Mischung lösen können, stellen wir hier einige Beispiele für Fragen und deren Diskussion bereit.

Beispiel für Probleme

Problem 1.

Bestimmen Sie die folgenden SPLTV-Lösungen mithilfe der Substitutionsmethode:
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10

Antworten:

Der erste Schritt besteht darin, zunächst die einfachste Gleichung zu ermitteln.

Von den drei Gleichungen ist die erste Gleichung die einfachste. Drücken Sie aus der ersten Gleichung die Variablen x als Funktion von y und z wie folgt aus:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

Setze die Variable(n) x in die zweite Gleichung ein

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7 Jahre – 5 Jahre + 18 = 4

⇒ 7y – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 …………… Gl. (1)

Setze die Variable x in die dritte Gleichung ein

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10

⇒ 8y – 8z + 42 = 10

⇒ 8y – 8z = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ y – z = –4 ……………… Gl. (2)

Die Gleichungen (1) und (2) bilden SPLDV y und z:
7J – 5Z = –14
y – z = –4

Lösen Sie dann die obige SPLDV mithilfe der Substitutionsmethode. Wählen Sie eine der einfachsten Gleichungen. In diesem Fall ist die zweite Gleichung die einfachste Gleichung.

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir:

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

Setze die Variable y in die erste Gleichung ein

⇒ 7y – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2
⇒ z = 7

Setzen Sie den Wert z = 7 in einen der SPLDV ein, zum Beispiel y – z = –4, sodass wir Folgendes erhalten:

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

Ersetzen Sie dann die Werte y = 3 und z = 7 durch einen der SPLTV, zum Beispiel x – 2y + z = 6, sodass wir Folgendes erhalten:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

Somit erhalten wir x = 5, y = 3 und z = 7. Somit ist die Lösungsmenge für das SPLTV-Problem {(5, 3, 7)}.
Um sicherzustellen, dass die erhaltenen x-, y- und z-Werte korrekt sind, können wir dies herausfinden, indem wir die x-, y- und z-Werte in die drei oben genannten SPLTVs einsetzen. Unter anderen:

Gleichung I:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (wahr)

Gleichung II:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (wahr)

Gleichung III:

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (wahr)
Anhand der obigen Daten kann festgestellt werden, dass die x-, y- und z-Werte, die wir erhalten, korrekt sind und das lineare Gleichungssystem der drei betreffenden Variablen erfüllen.

Problem 2.

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem:

(i) x -3y +z =8

(ii) 2x =3y-z =1

(iii) 3x -2y -2z =7

Der x+y+z-Wert ist

A. -1

B. 2

C. 3

D. 4

Diskussion:

Aus Gleichung (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)

Setze Gleichung (iv) in Gleichung (ii) ein:
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9J – 3Z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …. (v)

Setze Gleichung (iv) in Gleichung (iii) ein:
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9J – 3Z + 24 – 2J – 2Z = 7
7 Jahre – 5 Jahre + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…. (vi)

Setze Gleichung (v) in Gleichung (vi) ein:
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15 Jahre + 25 = 7 Jahre + 17
15 Jahre – 7 Jahre = -25 + 17
8y = -8 → y = –1 …. (vii)

Ersetzen Sie den Wert von y = – 1 in Gleichung (vi), um den z-Wert zu erhalten.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

Ersetzen Sie den Wert y = – 1 und z = 2 in Gleichung (i), um den Wert x zu erhalten.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

Man erhält die Werte der drei Variablen, die das Gleichungssystem erfüllen, nämlich x = 3, y = – 1 und z = 2.

Also ist der Wert von x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Antwort: D

Gegeben sei ein System linearer Gleichungen

(i) = x – 3y +

Diskussion:

Aus Gleichung (i) x – 3y + z = 8 → x = 3y – z + 8 …. (iv)

Setze Gleichung (iv) in Gleichung (ii) ein:
2x + 3y – z = 1
2(3y – z + 8) + 3y – z = 1
6y – 2z + 16 + 3y – z = 1
9J – 3Z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5 …. (v)

Setze Gleichung (iv) in Gleichung (iii) ein:
3x – 2y – 2z = 7
3(3y – z + 8) – 2y – 2z = 7
9J – 3Z + 24 – 2J – 2Z = 7
7 Jahre – 5 Jahre + 24 = 7
5z = 7y + 24 – 7
5z = 7y + 17…. (vi)

Setze Gleichung (v) in Gleichung (vi) ein:
5z = 7y + 17
5(3y + 5) = 7y + 17
15 Jahre + 25 = 7 Jahre + 17
15 Jahre – 7 Jahre = -25 + 17
8y = -8 → y = – 1 …. (vii)

Ersetzen Sie den Wert von y = – 1 in Gleichung (vi), um den z-Wert zu erhalten.
5z = 7y + 17
5z = 7( – 1) + 17
5z = – 7 + 17
5z = 10 → z = 2 … (viii)

Ersetzen Sie den Wert y = – 1 und z = 2 in Gleichung (i), um den Wert x zu erhalten.
x – 3y + z = 8
x – 3(- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 – 5 → x = 3

Man erhält die Werte der drei Variablen, die das Gleichungssystem erfüllen, nämlich x = 3, y = – 1 und z = 2.

Also ist der Wert von x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.

Antwort: D

System aus drei variablen linearen Gleichungen: Merkmale, Komponenten, Lösungsmethoden und Beispielprobleme

Problem 3.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems mit drei Variablen mithilfe der kombinierten Methode.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20

Antworten:

Substitutionsmethode (SPLTV)

Im ersten Schritt wird die einfachste Gleichung ermittelt. Aus den drei obigen Gleichungen können wir ersehen, dass die dritte Gleichung die einfachste Gleichung ist.

Drücken Sie aus der dritten Gleichung die Variable z als Funktion von y und z wie folgt aus:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z ………… Gl. (1)

Setzen Sie dann die obige Gleichung (1) in den ersten SPLTV ein.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2y – 2z + 20 = 16

⇒ 2y – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 …………. Pers. (2)

Setzen Sie dann die obige Gleichung (1) in den zweiten SPLTV ein.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12

⇒ 2y – 10z + 40 = 12

⇒ 2y – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28 ………… Gl. (3)

Aus Gleichung (2) und Gleichung (3) erhalten wir die SPLDV y und z wie folgt:
y – z = –2
2y – 10z = –28

Eliminationsmethode (SPLDV)

Um y zu eliminieren oder zu eliminieren, multiplizieren Sie dann den ersten SPLDV mit 2, sodass die y-Koeffizienten der beiden Gleichungen gleich sind.

Als nächstes differenzieren wir die beiden Gleichungen, sodass wir z-Werte wie die folgenden erhalten:

y – z = -2 |×2| → 2y – 2z = -4

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3

Um z zu eliminieren, multiplizieren Sie dann den ersten SPLDV mit 10, sodass die z-Koeffizienten in beiden Gleichungen gleich sind.

Dann subtrahieren wir die beiden Gleichungen, sodass wir den y-Wert wie folgt erhalten:

y – z = -2 |×10| → 10y – 10z = -20

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8y = 8
z = 1

Bis zu diesem Punkt erhalten wir die Werte y = 1 und z = 3.

Der letzte Schritt besteht darin, den Wert von x zu bestimmen. Der x-Wert lässt sich ermitteln, indem man die y- und z-Werte in einen der SPLTV eingibt. Zum Beispiel x + 3y + 2z = 16, also erhalten wir:

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒x = 7

Auf diese Weise erhalten wir die Werte x = 7, y = 1 und z = 3, sodass die Menge der SPLTV-Lösungen für das obige Problem {(7, 1, 3)} ist.

So die Rezension von Über die Knowledge.co.id umSystem aus drei variablen linearen Gleichungen, Hoffentlich kann ich Ihre Einsichten und Ihr Wissen erweitern. Vielen Dank für Ihren Besuch und vergessen Sie nicht, andere Artikel zu lesen

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