√ Definition des Vergleichs: Arten, Formeln, Beispielfragen (vollständig)

August 03, 2023
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Definition von Vergleich

Vergleiche in der Mathematik können auch als Verhältnisse bezeichnet werden.

Was ist dann ein Vergleich oder Verhältnis?

Vergleich (Verhältnis) ist eine Technik oder Möglichkeit, zwei Größen zu vergleichen.

Schreibverhältnisse oder Vergleiche können als a: b oder a/b geschrieben werden, wobei a und b zwei Größen sind, die die gleichen Einheiten haben.

Als nächstes werden Beispiele für die Anwendung von Vergleichen im Alltag erläutert.

Vergleiche im Alltag

Im Alltag gibt es viele Anwendungsmöglichkeiten für Vergleiche. Das Schreiben von Maßstäben auf einer Karte ist eine Vergleichsanwendung.

Wenn wir dann Brot backen, gibt es normalerweise eine Teigmischung aus Weizenmehl und Tapiokamehl.

Das Verhältnis beträgt beispielsweise 2:1, das heißt, für die Herstellung des Brotes benötigt man 2 Teile Weizenmehl und 1 Teil Tapiokamehl.

Als nächstes lernen wir etwas über Wertevergleiche.

Vergleich wert

Der Wertvergleich wird auch als Verhältnis bezeichnet. Bei gleichen Vergleichen handelt es sich um zwei gleiche Verhältnisse.

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Es kann also einfach erklärt werden, dass ein Wertvergleich eine Aussage ist, die besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind.

Ein Beispiel für einen äquivalenten Vergleich ist das Verhältnis der Mehlmenge zur gebackenen Brotmenge.

Je mehr Mehl verwendet wird, desto mehr Brot wird gebacken und umgekehrt.

Als nächstes wird der Vergleich von Umkehrwerten erläutert.

Umkehrwertvergleich

Der Vergleich der Wendewerte erfolgt zwischen den beiden Variablen.

Zum Beispiel der Vergleich zwischen der Größe eines Motorgetriebes und der Geschwindigkeit. Die kleine Größe des motorisierten Getriebes erzeugt eine große Geschwindigkeit und umgekehrt.

Im Folgenden wird ein mehrstufiger Vergleich erläutert.

Stratifizierter Vergleich

Ein geschichteter Vergleich ist ein Vergleich, der mehr als einen Vergleich umfasst.

Beispiele für Probleme im Zusammenhang mit mehrstufigen Vergleichen, zum Beispiel beträgt der Vergleich der Murmeln von Abdul und Beni 3:5, während der Vergleich der Murmeln von Beni und Ciko 4:3 beträgt.

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, das Verhältnis oder den Vergleich der Murmeln von Abdul, Beni und Ciko zu bestimmen.

Im Folgenden wird erläutert, wie der Vergleich berechnet wird.

So berechnen Sie Vergleiche

Der Vergleich kann wie folgt berechnet werden.

Erstellen Sie ein Modell des zu lösenden Problems.
Geben Sie die Art des durchzuführenden Vergleichs an. Bei den Vergleichstypen kann es sich um Vergleiche gleicher Werte, Vergleiche umgekehrter Werte, Vergleiche Ebenen oder andere Arten handeln.
Stellen Sie die Gleichungen auf und berechnen Sie die Vergleiche, um mithilfe der Vergleichsformel die Informationen zu ermitteln, die Sie erhalten möchten.

Im folgenden Abschnitt werden einige Vergleichsformeln erläutert.

Vergleichsformel

Erstellen Sie für ein Vergleichsproblem ein Modell in Tabellenform, um das Verständnis des Problems zu erleichtern.

Die Vergleichstabelle kann in Form einer Tabelle wie der folgenden vorliegen.

Variable 1	Variable 2
A₁	B₁
A₂	B₂

Aus diesem Modell können Gleichungen oder Formeln entwickelt werden, um den Vergleich zu vervollständigen.

1. Wertvergleichsformel

A₁/A₂ = b₁/B₂

2. Vergleichsformel für umgekehrte Werte

A₁/A₂ = b₂/B₁

Neben diesen beiden Vergleichsformeln gibt es auch Formeln zum Vergleich von Beträgen und Differenzen.

3. Betragsvergleichsformel

Anzahl der Objekte = (Anzahl bekannter Verhältnisse/Verhältnisse) x Anzahl bekannter Objekte

4. Differenzvergleichsformel

Unterschied in Objekten = (Unterschied in bekannten Verhältnissen/Verhältnissen) x Anzahl bekannter Objekte

Um das Vergleichsmaterial besser zu verstehen, betrachten Sie die folgenden Beispielfragen.

Beispiele für Vergleichsfragen

1. Hendra fährt mit dem Motorrad eine Strecke von 32 km und verbraucht dabei 4 Liter Benzin. Wenn Hendra 7 Liter Benzin hat, wie weit kann Hendra fahren?

Diskussion

Aus diesen Problemen kann wie folgt ein Modell des Problems erstellt werden.

Gas	Kilometerstand
4 Liter	32 km
7 Liter	X

Dieses Problem ist ein Wertvergleichsproblem

4/7 = 32/x

x = (7 x 32)/4 = 56 km

Die Strecke, die Hendra mit 7 Litern Benzin zurücklegen kann, beträgt also 56 km

2. Wenn ein Auftrag von 8 Personen erledigt wird, dauert er 18 Tage. Wenn 12 Personen die Arbeit erledigen, wie viele Tage wird es dauern, bis die Arbeit abgeschlossen ist?

Diskussion

Aus diesen Problemen kann wie folgt ein Modell des Problems erstellt werden.

Viele Arbeiter	Zeit
8 Personen	18 Tage
12 Personen	X

Bei diesem Problem handelt es sich also um ein umgekehrtes Wertvergleichsproblem

8/12 = x/18

x = (8 x 18)/12 = 12 Tage

Mit 12 Personen sind die Arbeiten also in 12 Tagen abgeschlossen.

3. Das Verhältnis der Anzahl der Andika- und Bona-Murmeln beträgt 2:3, während das Verhältnis der Anzahl der Bona- und Ciko-Murmeln 2:5 beträgt. Wenn die Gesamtzahl der Murmeln in den dreien 75 beträgt. Finden Sie die Anzahl der Murmeln Andika, Bona und Ciko.

Diskussion

Das Modell des Problems ist

A: B=2:3

B: C=2:5

————————–

A: B:C=4:6:15

Gesamtverhältnis = 4 + 6 + 15 = 25

Viele Andika-Murmeln

4/25 x 75 = 12 Murmeln

Viele Bona-Murmeln

6/25 x 75 = 18 Murmeln

Viele Murmeln von Ciko

15/25 x 75 = 45 Murmeln

Die Anzahl der Murmeln von Andika, Bona und Ciko beträgt also 12, 18 bzw. 45.

4. 10 Meter von Ihnen entfernt steht ein Baum. Hinter dem Baum befindet sich ein mehrstöckiges Gebäude, das 50 Meter hoch und 10 Meter vom Baum entfernt ist. Berechnen Sie die Höhe des Baumes mithilfe des Vergleichskonzepts

Diskussion

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir entsprechend dem Problem zeichnen. Dies soll das Verständnis des Problems erleichtern.

Basierend auf dem Bild oben können wir die Höhe des Gebäudes mit dem folgenden Vergleich ermitteln

20.t = 50,10

t = 25 Meter

Die Höhe des Baumes beträgt also 25 Meter.

5. Ein Schuhmacher ist in der Lage, mit 28 Arbeitern einen Auftrag in 84 Tagen abzuschließen. Aufgrund der steigenden Nachfrage müssen die Arbeiten in 56 Tagen abgeschlossen sein. Wie viele Arbeitskräfte müssen hinzugefügt werden, um die Arbeiten in 56 Tagen abzuschließen?

Diskussion

Genau wie beim obigen Problem müssen wir beim ersten Mal ein mathematisches Modell erstellen, entweder in Form eines Bildes oder einer Gleichung.

Im obigen Problem erstellen wir mithilfe des Vergleichskonzepts ein mathematisches Modell der Anzahl der benötigten Arbeitskräfte. Das verwendete Vergleichskonzept ist jedoch unterschiedlich.

Bei diesem Problem ist das verwendete Vergleichskonzept linearer Natur. Das heißt, die Verarbeitungsgeschwindigkeit bleibt sowohl 84 Tage als auch 56 Tage gleich.

Daher wird folgende Vergleichsform verwendet.

56x = 28,84

x = 42

Die Gesamtzahl der Mitarbeiter, die für die Arbeit an Schuhen in 56 Tagen benötigt werden, beträgt 42 Mitarbeiter. Mittlerweile beschäftigt der Schuhhersteller bis zu 28 Mitarbeiter. Somit beträgt der Bedarf an zusätzlichen Arbeitskräften 42-28 = 14 Arbeitskräfte.

6. Mutter macht 10 Kuchenformen, benötigt 8 Mehl. Eines Tages wollte Mutter 15 Kuchenformen backen. Wie viel Weizenmehl benötigen Sie?

Diskussion

In diesem Fall können wir äquivalente Vergleiche verwenden, um das Problem zu lösen. Der Vorgang ist der gleiche wie bei Frage Nummer 1. Wir müssen zunächst ein mathematisches Modell erstellen, um es leichter verständlich zu machen.

10 Pfannen → 8 Mehl

15 Pfannen → y Mehl

10 Jahre = 15,8

y = 12

Mutter muss 15 Kuchenformen machen, also 12 Mehl.

7. Ein Bus fährt von Stadt M nach O in 2 Stunden mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Wenn der Bus 30 Minuten schneller ankommen möchte, welche Geschwindigkeit sollte der Bus haben?

Diskussion

Der Vergleich von Umkehrwerten kann erneut verwendet werden, um dieses Problem zu lösen. Wir können ein mathematisches Modell wie folgt erstellen.

2 Stunden → 60 km/h

1,5 Stunden → v km/Stunde

1,5 V = 60,2

v = 80 km/h

Möchte der Bus den Ort O 30 Minuten schneller erreichen, muss die Busgeschwindigkeit 80 km/h betragen.

8. Ein Schneider kann in 20 Tagen 50 Paar Kleidung herstellen. Eines Tages erhält der Schneider eine Bestellung über 75 Paar Kleidungsstücke. Wie lange wird der Schneider dafür brauchen?

Diskussion

Um dieses Problem zu lösen, können wir einen einfachen äquivalenten Vergleich verwenden. Die Form der Lösung ist also wie folgt.

50 Paare → 20 Tage

75 Paare → m Tage

50 m = 75,20

m = 30

Ein Schneider kann in 30 Tagen 75 Paar Kleidungsstücke fertigstellen.

Abschluss

Vergleich (Verhältnis) ist eine Technik oder Möglichkeit, zwei Größen zu vergleichen.

Es gibt verschiedene Arten von Vergleichen, z. B. Wertvergleiche, Umkehrwertvergleiche, mehrstufige Vergleiche und andere Vergleiche.

Wie man Vergleiche berechnet, nämlich das Modell bestimmt, die Art des Vergleichs bestimmt, die Formel zur Berechnung des Vergleichs anwendet.

Wertvergleichsformel

A₁/A₂ = b₁/B₂

Vergleichsformel für umgekehrte Werte

A₁/A₂ = b₂/B₁

Daher kann die Diskussion über Vergleiche hoffentlich Ihr Wissen über Vergleiche erweitern. Danke schön.

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