Logaritmer: Egenskaber, logaritmiske ligninger, vilkår, bakker, problemer

Logaritme er en matematisk operation, hvor denne operation er operationen af ​​den inverse (eller inverse) af eksponenten eller magten. Basen eller hovedpersonen i denne logaritmiske formel er generelt i form af bogstavet a.

Eller der nævnes også, om denne logaritme er en invers eller invers af den magt (eksponent), der bruges i bestem eksponenten for et basisnummer.

På engelsk kaldes logaritmen logaritme.

Så i det væsentlige kan vi ved at studere logaritmer finde kraften i et tal, hvis styrke er kendt.

Logaritme

Når du ved, hvad en logaritme er, er du også forpligtet til at kende den generelle form for denne logaritme.

Her er den generelle form for logaritmen:

Den generelle form for logaritmen:

Hvis enⁿ = x derefter ^-enlogx = n

Information:

a: er grundlaget, der har følgende betingelser: a> 0 og en 1.

x: er det nummer, som algoritmen leder efter (numerus), betingelserne er: x> 1

n: er logaritmens kraft.

Nu er det tid for dig at se på eksemplerne nedenfor, så du bedre kan forstå beskrivelsen ovenfor:

1. Når 3² = 9, så ændres den i logaritmisk form til ³log 9 = 2
2. Når 2³ = 8, så ændres den i logaritmisk form til ²log 8 = 3
3. Når 5³ = 125, så ændres den i logaritmisk form til ⁵log 125 = 3

Hvordan har du det? Nu begynder jeg at forstå ret?

Godt, som regel her, vil du også ofte opleve forvirring i at bestemme hvilket nummer der er basen og hvilket nummer der er tallet.

Logaritme er en matematisk operation, hvor er det omvendte af eksponenten eller magten.

Den grundlæggende formel for logaritmen: b^c = a er skrevet som ^blog a = c (b kaldes basislogaritmen).

Er det ikke?

Slap af gutter, nøglen, som du bare skal huske, er hvis basisnummer det er grundlag, placeret øverst før 'log' -tegnet. Og nummerrang resultat det kaldes som numerus, placeret i bunden efter ordet 'log'. Let ret?

Logaritmiske ligninger

Logaritmisk ligning-en er en ligning, hvor variablen er basen for logaritmen.

Denne logaritme kan også defineres som en matematisk operation, der er den inverse (eller inverse) af eksponenten eller en magt.

Eksempel Nummer 

Her vil vi give nogle eksempler på logaritmiske tal, herunder følgende:

Dernæst har logaritmer også nogle egenskaber, der Påkrævet for dig at forstå, her. Hvorfor obligatorisk?

Dette skyldes, at disse egenskaber senere bliver din bestemmelse i at arbejde let på logaritmiske problemer.

Uden at forstå logaritmernes egenskaber kan du ikke arbejde på logaritmeproblemer, du ved!

Så hvad som helst helvede Hvad er logaritmens egenskaber? Kom nu, bemærk nedenstående anmeldelser.

Logaritmiske egenskaber

Følgende er nogle af egenskaberne ved logaritmer, som du skal forstå, herunder:

Ud over nogle af egenskaberne ovenfor er der også nogle egenskaber ved logaritmiske ligninger, herunder:

Egenskaber ved logaritmiske ligninger

Den logaritmiske ligning har også nogle specielle egenskaber, disse egenskaber er som følger:

1. Logaritmiske egenskaber ved multiplikation 

Den logaritmiske egenskab ved multiplikation er et resultat af tilføjelsen af ​​to andre logaritmer, hvor værdien af ​​de to tal er en faktor for den oprindelige numeriske værdi.

^-enlogs s. q = ^-enlog p + ^-enlog q

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmisk multiplikation

Multiplikation af logaritmer er en egenskab ved logaritme a, som kan ganges med logaritme b, hvis den numeriske værdi af logaritme a er lig med basantallet for logaritme b.

Resultatet af multiplikationen er en ny logaritme med basisnummeret lig med logaritme a. Og har samme numeriske værdi som logaritme b.

^-enlog b x ^blogc = ^-enlog c

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1.

3. Divisionens art 

Den logaritmiske egenskab ved division er resultatet af at trække to andre logaritmer, hvor værdien af ​​de to tal er en brøkdel eller division af den oprindelige numeriske værdi for logaritmen.

^-enlog p / q: ^-enlog p - ^-enlog q

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Omvendt sammenlignelige træk

Den omvendt proportionale logaritmeegenskab er en egenskab med andre logaritmer, der har basisnummeret og tallet kan udskiftes.

^-enlogb = 1 /^blog en

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1.

5. Modsat skilt 

Den logaritmiske egenskab af det modsatte tegn er en egenskab med en logaritme, hvis tal er en omvendt brøkdel af den oprindelige logaritme numeriske værdi.

^-enlog p / q = - ^-enlog p / q

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Karakter af rang 

Den logaritmiske egenskab af beføjelser er en ejendom, hvis numeriske værdi er en eksponent. Og kan bruges som en ny logaritme ved at udstede strømmen til en multiplikator.

^-enlog b^s = s. ^-enlog b

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Kraften i logaritmiske hovedtal 

Effekten af ​​en logaritmisk base er en egenskab, hvor værdien af ​​basisnummeret er a eksponent (magt), der kan bruges som en ny logaritme ved at fjerne strømmen til et tal skillevæg.

-en^slogb = 1 / s^-enlog b

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmiske hovedtal, der kan sammenlignes med numeriske beføjelser 

Egenskaben for et basenummer, der er proportional med kraften i numerus, er en egenskab, hvis numeriske værdi er a eksponent (magt) af værdien for basisnummeret, der har den samme resultatværdi som værdien af ​​kraften i numerus at.

^-enlog en^s = s

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0 og a \ ne 1.

9. Rang 

Kraften ved logaritmer er en af ​​egenskaberne for tal, hvis kræfter er i form af logaritmer. Resultatet af effektværdien er den værdi, hvor tallet kommer fra logaritmen.

-en ^-enlog m = m

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Ændring af den logaritmiske base 

Naturen ved at ændre basen for denne logaritme kan også opdeles i en sammenligning af to logaritmer.

^slog q = ^-enlog p /^-en log q

Der er flere betingelser for dette ene træk, nemlig: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritmisk ligningsformel

Baseret på ovenstående beskrivelse er logaritme en matematisk operation, der er en invers af eksponenten eller magten.

Et eksempel på logaritmen for den eksponentielle form mellem lian: a^b = c hvis det udtrykkes i logaritmisk notation, vil det være ^-enlogc = b.

Erklæringen er som følger:

• a er basis- eller basenummeret.
• b er resultatet eller rækkevidden af ​​logaritmer.
• c er tælleren eller domænet for logaritmen.

Med noter:

Det er nødvendigt for dig at forstå, før vi diskuterer yderligere om formlen for logaritmen, hvis der er skrevet ^-enlog b betyder det samme som log_-en b.

Formlen for den logaritmiske ligning er blandt andet:

Logaritmisk ligningsformel:

Hvis vi har ^-enlogf (x) = ^-enlog g (x), derefter f (x) = g (x).
Med nogle betingelser som: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmiske uligheder:

Hvis vi har log f (x)> ^-enlog g (x) så har vi to tilstande, nemlig:

Først når a> 0 betyder: f (x)> g (x)
For det andet på tidspunktet 0

Eksempel på spørgsmål og diskussion

I det følgende vil vi give nogle eksempler på spørgsmål såvel som deres diskussion. Lyt omhyggeligt, ja.

Eksempel på spørgsmål 1-3

1. ²logs 4 + ²log 8 =

2. ²log 32 =

3. Når det er kendt ²log 8 = m og ²log 7 = n, find derefter værdien af ¹⁶logs 14!

Svar:

Opgave 1.

Det første skridt, vi skal gøre, er at kontrollere basen.

De to ligninger af logaritmen ovenfor har tilsyneladende den samme basisværdi, som er 2.

Derfor kan vi bruge logaritmens anden egenskab til at finde resultatet.

så det, ²logs 4 + ²log 8 = ²log (4 × 8) = ²logs 32 = 5. Husk! Formålet med logaritmen er at finde kraften.

Så hvad er 2 til 32? Svaret er ingen ringere end 5. Let er det ikke?

Spørgsmål 2.

Lad os gå videre til spørgsmål nummer 2.

I spørgsmål nummer 2 kan vi ikke gøre det med det samme, for du vil helt sikkert opleve forvirring i at finde værdien af ​​kraften på 8, hvilket resulterer i 32. Hvordan så?

Hvis vi ser nærmere på problemet, er 8 resultatet af kraften i 2³ og også 32, som er resultatet af kraften i 2⁵.

Derfor kan vi ændre den logaritmiske form til:

⁸log 32 = ²³log 2

= 5/3 ²log 2 (brug ejendomsnummer 6)

= 5/3(1) = 5/3

Opgave 3.

Hvordan har I det? Er du begyndt at blive ophidset endnu?

Godt, i diskussionen af ​​spørgsmål nummer 3 vil dette gøre dig endnu mere ophidset!

Du skal vide, at modellen fra spørgsmål nummer 3 ofte findes i nationale eksamensspørgsmål eller universitetsudvælgelsesspørgsmål du ved.

Ved første øjekast ser det ganske kompliceret ud, ja, men hvis du allerede forstår konceptet, vil dette problem være meget let at gøre.

Hvis du finder en problemmodel som denne, kan du finde dens værdi ved hjælp af den logaritmiske egenskab med nummer 4.

Så processen vil være:

²log 8 = m og ²log 7 = n, ¹⁶logs 14?

¹⁶log 14 = ²log 14 / ²log 16

Bemærk:

For at vælge hvilken base, kan vi se direkte på det antal, der oftest vises i problemet. Så vi ved, at tallet 2 vises 2 gange, 8 så meget som 1 gang og 7 så meget som 1 gang.

Det antal, der vises mest, er ingen ringere end 2, så vi vælger 2 som basis. Forstået?

= ²logs (7 x 2) / ²logs (8 x 2)

Så vi beskrive tallet.

Lad os prøve at ændre det til den form, der allerede findes i problemet. Hvad mener du?

her fyre, på det kendte spørgsmål ²log 8 og også ²logfiler 7. Da tallene er både 8 og 7, bryder vi 14 i 7 × 2 og 16 i 8 × 2, så vi kan se det endelige resultat.

= ²log 7 + ²log 2 / ²log 8 + ²log 2 (brug ejendomsnummer 2)

= n + 1 / m + 1

Et andet eksempel på spørgsmål.

Opgave 1. (EBTANAS '98)

Er kendt ³log 5 = x og ³log 7 = y. Beregn værdien af ³logfiler 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Svar:

³logfiler 245 ^½ = ³logs (5 x 49) ^½

³logfiler 245 ^½ = ³logs ((5) ^½ x (49) ^½)

³logfiler 245 ^½ = ³logs (5) ^½ + ³logfiler (7²) ^½

³logfiler 245 ^½ = ½( ³log 5 + ³logs 7)

³logfiler 245 ^½ = (x + y)

Så værdien af ³logfiler 245 ^½ dvs. (x + y).

Spørgsmål 2. (UMPTN '97)

Hvis b = a⁴, er værdierne af a og b positive, derefter værdien af ^-enlog b - ^blogge en ie…?

Svar:

Det vides, om b = a⁴, så kan vi erstatte det i beregningen for at være:

^-enlog b - ^bloga = ^-enlog en⁴ - a⁴ log en

^-enlog b - ^bloga = 4 (^-enloga) - 1/4 ( ^-enlogs a)

^-enlog b - ^bloga = 4 - 1/4

^-enlog b - ^bloga = 3^3/4

Så værdien af ^-enlog b - ^blog et i spørgsmål nummer 2 er 3^3/4.

Opgave 3. (UMPTN '97)

Hvis ^-enlogs (1- ³log 1/27) = 2, og beregn derefter værdien af ​​a.

Svar:

Hvis vi laver værdien 2 til en logaritme, hvor basisnummeret på logaritmen er a bliver ^-enlog en²= 2, så får vi:

^-enlogs (1- ³log 1/27) = 2

^-enlogs (1- ³logs 1/27) = ^-enlog en²

Den numeriske værdi af de to logaritmer kan være en ligning, nemlig:

1- ³log 1/27 = a²

³logs 3 - ³log 1/27 = a²

³logs 3 - ³log 3^(-3) = a²

³logs 3/3^-3 = a²

³log 3⁴ = a²

4 = a²

Så vi får værdien a = 2.

Opgave 4.

Hvis det vides, at 2log 8 = a og 2log 4 = b. Beregn derefter værdien af ​​6log 14

en. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Svar:

For 2 log 8 = a

= (log 8 / log 2) = a
= log 8 = en log 2

For 2 log 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= log 4 = b log 2

Så 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + en log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Så værdien af ​​6 log 14 i eksemplet ovenfor er (1 + a) / (1 + b). (D)

Spørgsmål 5.

Værdien af ​​(3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) er?

en. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Svar:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3logs (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Så værdien af ​​3log 5 - 3log 15 + 3log 9 er 1. (B)

Spørgsmål 6.

Beregn værdien i logaritmeproblemet nedenfor:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Svar:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 til kraften 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Så værdien af ​​hvert logaritmeproblem ovenfor er 5 og 4.

Spørgsmål 7.

Beregn værdien i logaritmeproblemet nedenfor:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 logs 25 x 5 logs 3 x 3 logs 32

Svar:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3logs 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Så værdien af ​​ovenstående spørgsmål er 6 og 10.

Spørgsmål 8.

Beregn værdien af ​​log 25 + log 5 + log 80 er ...

Svar:

log 25 + log 5 + log 80
= log (25 x 5 x 80)
= log 10000
= log 104
= 4

Opgave 9.

Det er kendt, at log 3 = 0,332 og log 2 = 0,225. Så er log 18 i spørgsmålet….

en. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Svar:

Kendt:

• Log 3 = 0,332
• Log 2 = 0.225

Spurgt:

• log 18 =….?

Svar:

Logs 18 = logs 9. log 2
Log 18 = (log 3.log 3). log 2
Logs 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Log 18 = 0.664 + 0.225
Log 18 = 0,889

Så værdien af ​​log 18 i ovenstående spørgsmål er 0,889. (EN)

Spørgsmål 10.

Konverter følgende eksponenter til logaritmisk form:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Svar:

* Transformér eksponenterne til logaritmisk form som følger:

Hvis værdien af ​​ba = c, så er værdien for blog c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Således en kort gennemgang denne gang, som vi kan formidle. Forhåbentlig kan ovenstående gennemgang bruges som dit studiemateriale.